Равновесная концентрация фасеток на межзеренной границе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ФАСЕТОК НА МЕЖЗЕРЕННОЙ ГРАНИЦЕ

© Ю.В. Васильева, В.Г. Кульков

Филиал Московского энергетического института (ТУ), г. Волжский, Россия, е-шай; [email protected]

Ключевые слова; фасетированная межзеренная граница; конфигурационная энтропия; свободная энергия границы. Рассматривается модель межзеренной фасетированной границы. Из условия минимума свободной энергии находится равновесная концентрация фасеток и их средний размер.

Рассмотрим плоскую границу специального типа между двумя зернами, образующими решетку совпадающих узлов (РСУ), ограниченную тройными стыками зерен. Линии тройных стыков считаем зафиксированными и не меняющими своего положения при фасе-тировании границы. Система релаксирует [1], образуя фасетки, расположенные в плотноупакованных плоскостях РСУ. Суммарная энергия такой границы будет меньше энергии исходной поверхности, несмотря на увеличение площади границы. Граница наклона в двумерной квадратной решетке РСУ образована пересечением реальной границы с плоскостью рисунка, третья геометрическая составляющая границы направлена по нормали к плоскости рисунка (рис. 1).

Тройные стыки обозначены темными кружками. Пусть граница содержит р элементарных сегментов в виде двух сопрягающихся под прямым углом фасеток (что равносильно р горизонтальным и р вертикальным ориентациям фасеток). Свободная энергия такой границы, может быть представлена в виде:

^ = 2рио - тs

(1)

Здесь П0 - упругая энергия линии стыка двух соседних фасеток; Т - абсолютная температура; Зр - конфигурационная энтропия границы.

Жесткая аккомодация границы [2] в пределах фасеток приводит к образованию зернограничных дислокаций, которые располагаются в стыках смежных фасеток и имеют противоположные знаки (рис. 2). Поэтому

выражение для определения упругой энергии линии стыка двух соседних фасеток имеет вид:

и

1п Г-

4п(1 - V) г

(2)

где Ь - величина порядка трансляции решетки зернограничных сдвигов; ц - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона; г0 - размер ядра (порядка Ь ); г - величина порядка половины размера фасеток.

Прямоугольник т^п ограничивает все возможные конфигурации границы. Первый элементарный сегмент может быть расположен только двумя способами: или по горизонтали, или по вертикали. Тогда число способов реализации границы, содержащей ровно р элементарных сегментов среди п плоскостей РСУ, можно

выбрать п^Р!(п, р,) числом способов, для р горизонтальных фасеток из т плоскостей соответственно т^р!(т! р!) . Согласно Больцману, энтропия фасети-рованной границы принимает вид:

п! т!

Sp = к 1п

1 р!(п!-р!) р!(т! - р!)

где к - константа Больцмана.

(3)

Рис. 1. Фасетированная граница

Рис. 2. Дислокации в стыках фасеток

Подставив (3) в (1), взяв производную от свободной энергии по р и прировняв ее нулю, с учетом формулы Стирлинга найдем равновесную концентрацию фасеток на границе:

С =^= = ехр|^- 1. (4)

у/Пт V кТ)

Средний размер фасеток равен:

2г = аС- = а ехр|^^ , (5)

где а - период решетки РСУ.

Все возможные способы реализации границы, изображенной на рис. 1, с любым допустимым числом р можно учесть следующим образом. Попасть в заранее определенный узел решетки РСУ можно только из двух соседних узлов. Число соответствующих путей поэтому равно сумме путей попадания в эти узлы. Дальнейшее рассмотрение задачи приводит к известному треугольнику Паскаля. Число способов выбора вертикальных и горизонтальных фасеток равно (п +

Аналогично (3) получим выражение для полной энтропии границы:

З = ^п 1п(^1 + — ^) + т 1п(^1 + —1). (6)

Выводы. Фасетированная межзеренная граница имеет равновесную концентрацию фасеток. Реальная концентрация зачастую определяется кинетическими процессами фасетирования и с течением времени стремится к равновесному значению. Полная энтропия фа-сетированной границы специального типа определяется структурой РСУ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кульков В.Г. Кинетика двумерного фасетирования межкристал-литных границ // Неорганические материалы. 2005. Т. 41. № 11. С. 1405-1408.

2. Орлов А.Н., Перевезенцев В.Н., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах. М.: Металлургия, 1980. 154 с.

Поступила в редакцию 15 апреля 2010 г.

Vasilyeva Yu.V., Kulkov V.G. Equilibrium concentration of facets on grain boundary.

The model of the grain faceted boundary is examined. From the condition of a minimum of free energy the equilibrium concentration of facets and their middle size are found.

Key words: faceted grain boundary; configuration entropy; free energy of boundary.