CC BY
54
УДК 621.891
Роль локальной кривизны в волновом механизме зернограничного скольжения нри деформации ноликристалла
Д.Д. Моисеенко, B.E. Панин, Т.Ф. Елсукова
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Рассмотрены экспериментальные и теоретические основы учета кривизны в многоуровневом подходе к компьютерному моделированию поведения границ раздела как самостоятельных планарных подсистем в нагруженном поликристалле. На базе гибридного дискретно-континуального метода возбудимых клеточных автоматов, использующего синергетические принципы дискретных переключений и законы механики сплошных сред, проведены комплексные исследования динамики потоков вещества и энергии вдоль межзеренных границ. Показано, что эти потоки имеют ротационно-волновую природу и зависят от условия нагружения межзеренной границы.
Ключевые слова: физическая мезомеханика, кривизна структуры, открытые системы, границы зерен, компьютерное моделирование, клеточные автоматы
Role of local curvature in grain boundary sliding in a deformed polycrystal
D.D. Moiseenko, V.E. Panin, and T.F. Elsukova
Institute of Strength Physics and Materials Science, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper considers experimental and theoretical principles of accounting for curvature in multiscale computer simulation of the behavior of interfaces as independent planar subsystems in a loaded polycrystal. Dynamics of matter and energy flows along grain boundaries is studied using the hybrid discrete-continuous method of excitable cellular automata, which combines synergetic principles of discrete switching and laws of continuum mechanics. It is shown that these flows have rotational wave nature and depend on loading conditions of a grain boundary.
Keywords: physical mesomechanics, structure curvature, open systems, grain boundaries, computer simulation, cellular automata method
1. Введение
Согласно физической мезомеханике, первичное пластическое течение в деформируемом поликристалле связано с кластерными нелинейными волновыми потоками атомов в поверхностных слоях и зернограничным скольжением [1-3]. Аналитическая теория таких потоков [4, 5] описывает их в виде нелинейных волн локальных структурных трансформаций, которые сильно зависят от кривизны х потока J:
J = х(л t)b(s, 0 % 1п—- 1&-У/, (1)
4п , г -
где Ь — вектор бинормали в локальной системе координат; ^ — текущее значение длины L области потока; г — время; г— радиус-вектор области потока; Ь1, Ь2 — модули вектора Бюргерса соответственно трансляционной
и ротационной несовместимости потока со средой; Vf— градиентная часть потока, обусловленная сторонними источниками.
Для поликристалла конкретного материала характер кривизны потока зернограничного скольжения зависит от степени разориентации зерен, наличия неподвижных тройных стыков (обусловливающих как сторонние источники градиентную часть потока), условий нагружения и др. Феноменологически кривизна потока должна коррелировать с неустойчивостью Эйлера длинномерного сжатого стержня, которая модулирует область зернограничного потока и прилегающей приграничной зоны (рис. 1). Данный вопрос представляется очень важным, так как кривизна зернограничного потока определяет генерацию на границах зерен деформационных дефектов. В то же время сильная кривизна зерногранич-
© Моисеенко Д.Д., Панин B.E., Eлcyкoвa Т.Ф., 2013
Рис. 1. Модулированный профиль приграничной полосы пластически деформированного материала в поликристалличес-ком образце свинца на третьей стадии ползучести; Т = 328 К, а = 4 МПа, х950, растровая электронная микроскопия
ного потока вызывает развитие разрушения материала [6-8].
Настоящая работа посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию и моделированию роли кривизны зернограничных потоков в формировании напряженно-деформированного состояния на границах зерен в нагруженном поликристалле.
2. Экспериментальные закономерности зернограничной деформации поликристаллов в различных условиях нагружения
Исследование температурной зависимости зернограничного скольжения при растяжении поликристал-
Рис. 3. Экструзия материала в зоне границы ABCD зерен с формированием полосы сильной кривизны при деформации растяжением поликристаллического образца свинца; Т = 77 К, V = 0.1 %/мин, 8 = 15 %, х60, световая микроскопия
лических образцов свинца обнаружило две стадии этой зависимости (рис. 2) [8]. При температуре жидкого азота зернограничное скольжение очень мало. Это исключает генерацию деформационных дефектов на границах зерен, затрудняет передачу пластических сдвигов из зерна в зерно, и в приграничных зонах возникает сильная кривизна (рис. 3). Такая зернограничная деформация характеризуется низкой пластичностью поликристалла. Рост зернограничного скольжения с повышением температуры деформации на первой стадии происходит в условиях сильной кривизны в приграничных зонах. При этом пластичность поликристалла снижается еще больше. Рост пластичности с повышением температуры возникает только на второй стадии возрастания зернограничного скольжения, когда облегчается передача пластических сдвигов из зерна в зерно и моменты локальных сил, вызывающих кривизну приграничной зоны, релаксируют распадом экструдированной полосы
Рис. 2. Зависимость от температуры деформации величины относительного удлинения (1) и полного смещения по границам зерен, определенного по вертикальной (2) и горизонтальной (2') составляющим зернограничного скольжения поликристаллов свинца; растяжение, скорость деформации V = = 0.1 %/мин
Рис. 4. Распад на ламели приграничной полосы экструдированного материала поликристалла свинца, деформированного при Т = 300 К, V = 2.1 %/мин, 8 = 30 %, х1650, растровая электронная микроскопия
Рис. 5. Поворот зерна А как целого при развитии зернограничного скольжения по границе MON. Сильная экструзия материала в стыке О трех зерен, x240
материала на ламели (рис. 4). Эти данные убедительно свидетельствуют о сильном влиянии кривизны приграничных зон на пластичность поликристалла.
Эффекты кривизны в приграничных зонах проявляются еще более наглядно при ползучести поликристаллов, когда зернограничное скольжение является ведущим и сопровождается сильными поворотами зерен как целого. На рис. 5 показано формирование деформации в зоне тройного стыка О поликристалла Pb + + 0.24 % Sb на третьей стадии ползучести. В этих условиях самосогласованно деформируются конгломераты зерен по схеме «сдвиги + повороты». На рис. 5 зерно А испытывает поворот по часовой стрелке под действием зернограничного скольжения по границе MON. В тройном стыке О возникает столь сильный концентратор моментных напряжений, что вершина зерна А сминается и формирует приграничную зону сильной кривизны в зерне С, а вершина зерна B пластически экструди-
Рис. 6. Экструзия ламелей в виде зоны высокой кривизны в стыке трех зерен А, В и С, х1000
Рис. 7. Возникновение трещин в зоне тройного стыка зерен, где развивается вихревая пластическая деформация; высокотемпературная ползучесть поликристалла сплава РЬ + + 1.9 % Sn, Т = 328 К, х300, растровая электронная микроскопия
руется с формированием очень сильной кривизны. Поликристалл находится на стадии предразрушения.
Другой пример экструзии материала в тройном стыке зерен при ползучести поликристалла РЬ + 0.24 % БЬ приведен на рис. 6. Растровая электронная микроскопия показала, что экструзия материала происходит путем смещения кристаллических ламелей относительно друг друга. При этом зона экструзии материала характеризуется очень высокой кривизной.
На рис. 7 показана многоуровневая кривизна вихревой деформации в зоне тройного стыка в поликристалле сплава РЬ + 1.9 % Бп в условиях высокотемпературной ползучести. Зерно А испытывает поворот против часовой стрелки. В соответствии с законом сохранения момента импульса в зоне тройного стыка зерен А, В и С возникает иерархия моментных напряжений, которые формируют повороты по часовой стрелке. В материале зарождается множество трещин, которые обусловливают разрушение поликристалла. Согласно [6-8], в условиях сильной кривизны и растягивающих нормальных напряжений термодинамический потенциал Гиббса становится больше нуля и разрушение происходит как структурно-фазовый распад конденсированного состояния материала. Это подтверждает важность исследования зон локальной кривизны в деформируемом твердом теле. В деформируемом поликристалле зоны локальных моментных напряжений и сильной кривизны возникают около границ зерен. Они оказывают сильное влияние на пластичность и прочность твердых тел.
Представленные на рис. 1-7 экспериментальные результаты свидетельствуют о том, что ротационноволновое зернограничное скольжение не может быть описано механизмом Эшби, связанным с возникновением в приграничных зонах геометрически необходи-
мых дислокаций [9]. В приграничных зонах в условиях интенсивного зернограничного скольжения возникают моменты локальных сил, которые формируют приграничные полосы экструдированного материала большой кривизны. Эти эффекты локальной кривизны в приграничных зонах деформируемого поликристалла до сих пор в литературе не учитывались [9-11].
3. Учет формирования кривизны в методе стохастических возбудимых автоматов
На протяжении многих десятилетий проблемы, связанные с теоретическим описанием пластического течения материала и прогнозированием его прочности, рассматривались вне закона самосогласования процессов на различных структурно-масштабных уровнях. Например, движение дислокации на микроуровне традиционно описывается через действие «внешнего механического поля», заданного на макромасштабном уровне.
Как правило, на макроуровне используется механика сплошных сред, на микроуровне — теория дислокаций и молекулярная динамика, на наноуровне — аппарат квантовой механики. Такие подходы являются, по существу, одноуровневыми.
В то же время последние два десятилетия интенсивно развивается новая парадигма — физическая мезоме-ханика материалов, в которой деформируемое твердое тело рассматривается как многоуровневая иерархически организованная система. В многоуровневом подходе учитывается самосогласованное развитие процессов пластического течения на нано-, микро-, мезо- и макромасштабным уровнях. Очень важным аспектом новой парадигмы является рассмотрение поверхностных слоев и всех интерфейсов в деформируемом твердом теле как самостоятельных двумерных подсистем, в которых пластическое течение распространяется по механизму нелинейных волн локальных структурных трансформаций. Развитая теория нелинейных волн локальных структурных трансформаций предсказывает важную роль в их распространении локальной кривизны х кристаллической структуры [1, 2, 4, 5]. Как было показано выше, предсказание этой теории качественно подтверждается экспериментом. Это свидетельствует о крайней актуальности разработки теории, позволяющей количественно моделировать ключевую роль параметра кривизны х в пластичности и прочности твердых тел.
Необходимость многоуровневого подхода в механике деформированного твердого тела и механике разрушения в настоящее время общепризнанна. Только многоуровневое описание взаимосвязи нелинейных волн локальных структурных трансформаций в двумерных сильно возбужденных системах, генерации нелинейными волнами деформационных дефектов и их движения в 3D-кристаллической подсистеме позволит адекватно объяснить эффекты локализации пластического течения на всех структурно-масштабных уровнях.
В рамках многоуровневого подхода к моделированию деформации и разрушения твердого тела с внутренними границами раздела наименее разработанным является вопрос об атомных механизмах распространения нелинейных волновых потоков в планарной подсистеме, описываемых аналитическим уравнением (1). Важная роль кривизны х в этих потоках свидетельствует о необходимости разработки атомных моделей нелинейных волновых потоков, содержащих данный параметр.
Так, в последние годы была разработана неевклидова модель сплошной среды, для которой в качестве существенного параметра, характеризующего структуру дефектов в материале, выбрана скалярная кривизна. В рамках неевклидовой модели было показано, что безвихревое поле перемещений для точек среды складывается из упругих перемещений в отсутствие дефектов и поля, характеризующего отличие внутренней геометрии модели от евклидовой геометрии. Компоненты внутренних напряжений при этом представляют собой сумму упругих напряжений и самоуравновешенных напряжений, определяемых скалярной кривизной [12, 13].
Таким образом, к интерфейсам, в которых нет упорядоченной кристаллической структуры, в принципе неприменима теория дислокаций, разработанная для трансляционно-инвариантных кристаллов. Классическая механика сплошных сред и линейная теория упругости не рассматривают интерфейсы как самостоятельные функциональные подсистемы, а их упругие поля строятся в рамках евклидова пространства.
Согласно многоуровневой парадигме физической мезомеханики, межзеренные границы являются самостоятельными двумерными подсистемами, в которых формируются поля квазиперидически распределенных значений растягивающих и сжимающих напряжений в виде «шахматной доски». В областях растягивающих нормальных напряжений с увеличенным молярным объемом вещества под действием касательных напряжений формируются зоны кривизны и происходит зарождение новых разрешенных структурных состояний. Эти дополнительные разрешенные состояния генерируют дефекты (в том числе зарождают ядра дислокаций), которые эмитируют вглубь трехмерной кристаллической
Рис. 8. Общая схема согласованного поведения планарной подсистемы (интерфейса) и трехмерной кристаллической решетки
структуры. Данный процесс схематически представлен на рис. 8.
В связи с этим создание методов компьютерного моделирования на основе нелинейной динамики интерфейсных потоков различной природы — актуальная стратегическая задача современного материаловедения. В данной работе будет проведен анализ результатов моделирования процессов формирования кривизны в поле действия потоков энергии на межзеренных границах с учетом моментных напряжений на базе метода возбудимых клеточных автоматов.
4. Концепция метода стохастических возбудимых клеточных автоматов с учетом локальных моментов сил и формирования локальной кривизны в материале
Для описания процессов распространения ротационно-волновых потоков дефектов был разработан метод возбудимых клеточных автоматов (БЕСА) [14-16]. Данный подход был разработан для моделирования процессов, которые не описываются в рамках классических методов. Например, процессов в открытых системах с непрерывной подкачкой энергии. Известно, что именно в таких системах возможны процессы самоорганизации и зарождения новых структур. Для описания термодинамически квазиравновесных квазистатических процессов существуют хорошо зарекомендовавшие себя и многократно экспериментально проверенные классические подходы. Как будет показано ниже, БЕСА-метод не противоречит классической теории упругости и, более того, основополагающее соотношение переноса в предельном случае совпадает с классическим законом Гука.
Существенным отличием предлагаемого подхода от большинства дискретных методов (например, молекулярной динамики или подвижных клеточных автоматов) является то, что активный элемент описывает не дискретный мезообъем материала, а фиксированную область пространства, через которую протекает материал, т.е. в терминах гидродинамики БЕСА-элемент моделирует «контрольный объем», в то время как классические подходы имеют дело с материальными объемами среды. Данная концепция открывает широкие перспективы для численного моделирования потоков вещества и энергии самой разнообразной природы.
В рамках данного метода каждый элемент объема пространства моделируется в виде активного элемента, состояние которого качественно характеризует локальный отклик среды и определенным образом зависит от значения энтропии. Параметры каждого клеточного автомата на каждом временном шаге алгоритма определяются с помощью теории нечетких множеств. В рамках предлагаемого подхода моделируемый образец заполняет область пространства, разбиваемого на элементар-
ные объемы, каждый из которых моделируется с помощью клеточного автомата. Помимо состояния, автомат характеризуется параметрами, соответствующими моделируемому объему среды. Возбудимый автомат способен совершать последовательную цепочку переключений состояний под влиянием внешнего воздействия (притока энергии). Каждый такой автомат характеризуется определенным набором соседей на первых трех координационных сферах, а также числовыми параметрами, соответствующими материалу, содержащемуся в моделируемом объеме пространства (модуль упругости, плотность, модуль сдвига, плотность дислокаций, удельная теплопроводность, удельная теплоемкость, коэффициент температурного расширения и др.).
В рамках метода возбудимых клеточных автоматов реализуется явный учет поликристаллической структуры материала, т.е. наличия в нем внутренних границ раздела. Сеть активных элементов, составляющих образец, разделена на кластеры, каждый из которых моделирует зерно, обладающее собственной ориентацией кристаллической решетки с углами Эйлера % ф, п. Исходя из эйлеровых углов ориентаций смежных зерен определяется угол разориентации на интерфейсе. Угол разориентации является одним из важных параметров, влияющих на энергетические характеристики границы. Разработанный алгоритм моделирования переноса механической энергии был дополнен блоками расчета векторов моментов сил, действующих на локальный мезообъем.
Одним из центральных соотношений метода является модифицированное соотношение Торнбулла, согласно которому рассчитывается скорость потока вещества через границу между активными элементами иП под действием напряжения на этой границе в прибли-
жении парного взаимодействия:
п-1
Игк шгк СТгк
где подвижность шгк определяется как
% Q■ &
Шк = Ю* ехР *
кВТгк
(2)
(3)
а (ш0 )к — максимальное значение подвижности, которое в рамках БЕСА-метода записывается следующим образом:
- (У -Ук )2
(шо)к =~^е ^ > (4)
УгУ к
где Уг, Ук — значения модуля упругости г-го и ^го элементов; с — эффективная скорость отклика среды на внешнее механическое воздействие; кв — постоянная Больцмана; Qi:k — энергия границы между г-м элементом и его ^м соседом на (п - 1)-м шаге по времени.
Значение энергии границы вычисляется по формуле
&к =УнAGB
|е*-0г|
%1 -1п
JHAGB
\
JHAGB
(5)
где у НАвВ — максимальная энергия границы, соответствующая максимальному углу разориентации кристаллической решетки; 0НАОВ — максимальный угол раз-ориентации; 0г, 0к — эффективные углы ориентации решетки г-го и £-го элементов; Тк - значение температуры на рассматриваемой границе, зависящее от температур данных элементов Т и Тк.
Объемная доля материала, переместившегося в соседний элемент к, и изменение механической энергии г-го элемента в результате взаимодействия с к-м соседом ДАПк определяются следующим образом:
ЬУП
-ДСк =
(6)
V, /с
ДАПк =ДС Пк стПк_1К,. (7)
Здесь Дt — величина временного шага; /с — размер элемента; Ус — объем элемента.
Как было сказано выше, нетрудно показать, что в предельном случае (одноосное нагружение однородного материала) соотношение для переноса в БЕСА-методе вырождается в линейный закон Гука. В случае однородной среды у = Ук = У, угк-1 = 0 и выражение (2) с учетом (3) и (4) преобразуется следующим образом:
(8)
С другой стороны, скорость потока игкк =Д//Дt, где Д1 — расстояние, на которое материал проникает из одного соседнего элемента в другой за время Дt. По определению линейной деформации Д/ = 8Пк/0, где /0 — линейный размер элемента, а 8пк — значение деформации материала г-го элемента при взаимодействии с к-м. Таким образом, имеем линейную зависимость деформации от напряжения:
8кУ = стПГ1 сД*Л>- (9)
Если выбрать с таким образом, что еД^/0 = 1, то эта зависимость совпадает с классическим законом Гука.
Необходимо отметить, что подвижность в соотношении Торнбулла может трактоваться весьма широким образом в зависимости от специфики описываемого процесса. Так, например, подвижность есть величина, обратно пропорциональная вязкости при описании процессов проникания частиц в твердое тело при ударном взаимодействии или процессов формирования вихрей в гидродинамике.
Согласно концепции Дж. Си, «физический мир нельзя описать адекватно без принятия гипотезы существования скорости изменения объема с изменением поверхности» [17]. Фактически в рамках его теории, описывающей диссипативные процессы пульсации массы и энергии, это означает существование дополнительных «объемных потоков». Наличие объемных потоков при-
водит к тому, что в локально открытых динамических системах (каковой и является любая граница раздела) третий закон Ньютона никогда не выполняется и всегда появляется некая добавка к классической ньютоновской силе реакции, отвечающая за действие этих объемных потоков.
Разрабатываемый БЕСА-метод находится в полном согласии с вышеуказанной концепцией. В рамках метода возбудимых клеточных автоматов подвижность рассматривается в качестве величины, обратной удельному (по объему) импульсу силы реакции материала, содержащегося в соседнем элементе. Данную ситуацию иллюстрирует схема, представленная на рис. 9. В таком случае торнбулловская скорость в соотношении (2) есть не что иное, как скорость потока вещества с учетом «объемного потока» со стороны окружающего материала (рис. 9).
Это позволяет численно моделировать процессы формирования кривизны через потоки энергии вдоль межзеренных границ с учетом действия окружающей трехмерной кристаллической структуры.
Развиваемый подход благодаря введению модифицированного соотношения Торнбулла явно учитывает неравновесный характер моделируемых процессов. С другой стороны, неравновесность процессов на границе раздела неразрывно связана с формированием кривизны, которую невозможно описать без учета локальных моментов сил вдоль интерфейсов.
и
Рис. 9. Схема взаимодействия активных элементов в рамках SECA-мeтoдa (а); массообмен активного элемента с окружающим материалом в результате действия объемных потоков (б)
В классических теориях переноса большинство решаемых задач сводится к одномерному случаю, где граница раздела вырождается в точку. Каждой такой точке приписываются свойства барьера, который нужно преодолеть (например, при прохождении дислокации через межзеренную границу). Разумеется, в такой постановке задачи моменты сил тождественно равны нулю, а понятие кривизны теряет смысл. Однако, как следует из экспериментальных данных и теории [1, 4, 5], интерфейсы представляют собой самостоятельные планарные подсистемы с ненулевой толщиной, для которых необходимо записывать и решать свои уравнения переноса, подобные (1). Следовательно, в трехмерной постановке необходимо решать одновременно две задачи: это перенос через границу и перенос вдоль границы раздела. Так, в работе [18] показано, что межзеренная граница представляет собой систему кластеров, окруженных квазиаморфной прослойкой; при этом механизм зернограничного скольжения описывается уравнением, схожим с соотношением Торнбулла. Таким образом, неявно утверждается, что массоперенос в границе зерна есть не что иное, как поатомная перестройка кластерной структуры интерфейса. Эта концепция находится в хорошей корреляции с применяемым в данной работе методом стохастических возбудимых клеточных автоматов.
С другой стороны, в работе [19] показано, что двумерная модель жидкого кристалла, состоящего из кластеров в окружении квазиаморфной фазы, описывается уравнением Клейна-Гордона для осцилляции касательных напряжений, инициирующих локальные повороты частиц. Авторами настоящей работы далее будет показано, что в методе возбудимых клеточных автоматов распределение локальных моментов сил вдоль межзе-ренных границ обусловливает модулируемый вихревой характер распространения возмущений вдоль интерфейса.
Рис. 10. Схема расчета угловой скорости вихря в активном элементе клеточного автомата. Двумерный случай
В силу своей общности, уравнения типа (1) сложно использовать для решения задач моделирования эволюции конкретных систем. Очевидный путь выхода из этой ситуации — создание неких «эволюционных алгоритмов» в виде простых численных схем расчета наиболее значимых параметров состояния системы. Одним из таких важных параметров является величина завих-
Рис. 11. Угол кручения (а) и зарождение новых дефектных структур (б), связанных с формированием кривизны решетки (в) [16]
Рис. 12. Схема нагружения (а) и результат моделирования (б) алюминиевого образца с тройным стыком зерен при поперечном изгибе. Различные зерна обозначены цифрами в кружках
ренности потока массопереноса вдоль границы, возникающая вследствие наличия кривизны последней.
На рис. 10 представлена схема расчета угловой скорости материала в активном элементе при формировании вихря на неоднородном поле потоков между прилегающими объемами окружающей элемент среды (для простоты схема представлена в плоском приближении).
Общая угловая скорость г-го элемента на рис. 10 под действием потока вещества через границу ^го и 1-го элементов (каждый ^й элемент лежит на первой координационной сфере г-го, каждый 1-й — на пересечении первых координационных сфер г-го и соответствующего ^го элементов) определяется в виде следующей суммы:
К L
(10)
к=1 /=1 1 ггк/ \
Здесь К — число элементов на первой координационной сфере г-го элемента; L — число элементов на пересечении первых координационных сфер г-го элемента и каждого ^го соседа.
Изменение момента силы г-го элемента за время т вычисляется следующим образом:
ДМ, -
G п гс3 Ду і
(11)
Здесь G — модуль сдвига материала, содержащегося в г-м элементе; гс — радиус элемента; Дуг — трехмерный угол поворота г-го элемента за время т, пропорциональный общей угловой скорости: Ду г = юг т.
С другой стороны, как это было показано в [16], по эффективному углу кручения материала можно оценить величину приращения плотности дефектов среды, связанной с ротационными модами неупругой деформации (рис. 11):
[ г (ф + йф) - гф] = гйф = г 0 йх йх ’
у =
СС1 - ББ1
BC
е - **.
6х
Изменение плотности дефектов в элементе Дрй вычисляем как отношение Д^ к площади сечения элемента клеточного автомата Sca:
ДРа =ДNd/Sca. (13)
Отметим, что изложенный в [16] алгоритм расчета угла кручения основывался на предположении об абсолютно упругом поведении каждого элемента среды, при котором постулируется линейная зависимость ротационной моды деформации от локального момента силы. В области пластического течения вдоль межзерен-ных границ ситуация меняется: поток вещества вдоль интерфейсов порождает сдвиговые деформации, на порядки превышающие величину сдвига в основном кристалле.
Далее путем прямого численного эксперимента будет показано, что именно вдоль межзеренных границ наблюдаются экстремальные значения локальных моментов сил, приводящих к формированию модулированной кривизны вдоль этих границ. При этом характер ротационно-волновой модуляции приграничной полосы локализованной деформации зависит не только от вида границы зерна, но и от напряженно-деформированного состояния, в котором происходит нагружение каждой конкретной границы раздела.
5. Моделирование кривизны вдоль границ раздела в области тройного стыка зерен. Поперечный изгиб
Для исследования процесса формирования кривизны вдоль межзеренных границ на мезоуровне проводились численные эксперименты по нагружению образцов с тройным стыком зерен. Схема нагружения и общий вид образца представлены на рис. 12. Образец моделировался с помощью клеточного автомата с ГЦК-упаков-кой ячеек размером 1 мкм. Размеры образца составляли 10x60x60 мкм. Начальные деформации и напряжения
и
Рис. 13. Формирование кривизны вдоль межзеренной границы в поле моментов сил: распределение десятичных логарифмов 2-компоненты моментов сил (различные зерна обозначены цифрами в кружках) (а); схема распределения знаков компоненты 2-моментов сил в данной структуре (б)
активных элементов были равны нулю. Изгиб моделировался путем задания линейного распределения скоростей деформации от -0.01 до 0.01 с-1 на лицевой и тыльной сторонах образца. Упругие характеристики моделируемого образца соответствовали характеристикам алюминия [20].
Результаты моделирования на основе БЕСА-метода показали, что все межзеренные границы представляют собой зоны с повышенными значениями моментов сил, на несколько порядков превосходящими величины моментов в теле зерна (рис. 12, б). При увеличении нагрузки со временем происходит постепенное уширение зон экстремальных значений моментов сил, что характеризует увеличение объема формирующейся неравновесной структуры кристаллической решетки в приграничных областях.
Для более детального анализа поведения материала в области интерфейсов было построено распределение десятичных логарифмов компонент 2 локальных моментов сил, действующих на мезообъемы моделируемой среды. Из рис. 13 видно, что компоненты моментов сил формируют волну кручения, зарождающуюся и распространяющуюся вдоль всей межзеренной границы в области тройного стыка. Наряду с зарождением кривизны вдоль границы между зернами 2 и 3, полуволна (очерченная эллипсом на рис. 13, а) порождает формирование специфической «островковой структуры» в теле зерна 3 в зоне тройного стыка.
Эта островковая зона на поле моментных напряжений растет по мере увеличения нагрузки, причем знаки моментов сил внутри этой зоны противоположны знаку момента остального материала тела зерна. Этот процесс говорит о начале фрагментации зерен, инициатором которой является локальная кривизна интерфейса вблизи тройного стыка. Схематически это представлено на рис. 13, б.
Результаты экспериментальных исследований структурной перестройки в области тройного стыка зерен,
представленные на рис. 5-7, полностью подтверждают результаты численного моделирования методом возбудимых клеточных автоматов. В действительности, наряду с разворотом зерна А как целого, вблизи тройного стыка формируется выделенная область с микровихрями противоположного знака относительно тела зерна А.
Отметим, что межзеренные границы в БЕСА-методе представляют собой планарные подсистемы с ненулевой толщиной (минимум два линейных размера активного элемента). На рис. 14 представлено распределение усредненных по толщине интерфейса 2-компонент моментов сил вдоль границы зерен 2 и 3. Видно, что сформировавшееся поле моментов сил представляет собой полный период волны.
Необходимо принимать во внимание тот факт, что каждая межзеренная граница находится в своих специфических условиях нагружения. Так, граница между зернами 1 и 2 находится в условиях сжатия, при котором может быть только коротковолновая модуляция; граница между зернами 2 и 3 у тройного стыка находится в условиях растяжения (длинноволновая модуляция).
Как уже подчеркивалось выше, каждая межзеренная граница представляет собой самостоятельную подсистему со своими индивидуальными характеристиками и специфическими условиями нагружения. Поэтому, на-
0 10 20 30 Ь, мкм
Рис. 14. Распределение усредненных по толщине интерфейса компонент 2 удельных моментов сил вдоль границы зерен 2 и 3
Рис. 15. Формирование ротационной волны в векторном поле локальных моментов сил вдоль межзеренной границы
ряду с исследованием интерфейса зерен 2 и 3, был проведен анализ поведения другой межзеренной границы в области тройного стыка — между зернами 1 и 2. Специфика этой границы состоит в том, что в условиях поперечного изгиба она нагружается сжимающими нормальными напряжениями.
По данным численного эксперимента были построены векторные поля моментов сил, формирующихся вдоль всех интерфейсов в области тройного стыка. Наряду с формированием устойчивой единичной волны, описанной выше, было обнаружено, что вдоль интерфейса зерен 1 и 2 векторное поле моментов сил представляет собой периодическую структуру в виде затухающей ротационной волны (рис. 15).
При тщательном анализе распределения всех компонент вектора момента вдоль границы между зернами 1 и 2 было обнаружено, что модуляция взаимокомпенси-рующих по знаку моментов сил носит неоднородный характер. На рис. 16 представлены графики распределения по длине границы L модулей удельных моментов сил по обе стороны от этой границы. График 1 относится к приграничной области зерна 1, график 2 — к приграничной области зерна 2, 0 на оси абсцисс относится к точке тройного стыка. Видно, что амплитуда модуляций уменьшается при движении от тройного стыка, что может говорить о диссипации в потоке энергии по мере его распространения вдоль интерфейса.
600
С 400
5 200
1
- ч; ч 2
жУ \ А А /\ ,ч
г V у \/V \ /К \/ \ УТЛ » а и'*
і Т 1 1 II —і III Ч* —і 1 1 1 н
По периодическому характеру кривой распределения моментов сил можно сделать вывод о вихревом течении материала в виде спиральной волны вдоль меж-зеренных границ. Такая спираль, наряду с механизмом зернограничного скольжения, может приводить к зарождению новых структурных состояний с дефектами в материале.
График этого распределения можно разделить на три участка: область от 0 до 13 мкм (I — «длинноволновый»), от 13 до 18 мкм (II — «переходный») и от 18 до 40 мкм (III — «коротковолновый»). На участке I по обе стороны интерфейса наблюдаются единичные волны с большим периодом модуляции, находящиеся в противо-фазе и, следовательно, взаимокомпенсирующие друг друга по знаку. Участок II является переходной областью, в которой модуляции моментов на противоположных сторонах интерфейса резко сокращают длину периода и сдвинуты по фазе друг относительно друга. Далее, на участке III можно видеть наличие регулярных противофазных модуляций с периодом примерно в 2 раза меньшим по сравнению с участком I.
Трехстадийность графика распределения моментов сил по длине границы может быть объяснена на базе
10
20 Ь, мкм
30
40
Рис. 16. Распределение модулей векторов удельных по объему моментов сил М на лицевой грани вдоль границы зерна 1 (1) и зерна 2 (2) от тройного стыка до нижнего края образца
Рис. 17. Поворот зерна А при развитии зернограничного скольжения вдоль ^МЫ; поликристалл сплава РЬ + 0.24 БЬ; ползучесть, Т = 328 К, а = 4 МПа, третья стадия, х260
Рис. 18. Схема нагружения (а) и результат моделирования (б) алюминиевого образца с тройным стыком зерен при продольном изгибе
аналогии с эйлеровой задачей нагружения длинномерного стержня. Решение данной задачи представляет собой целое семейство периодических функций с разной частотой модуляции. Участок III на рис. 16 можно интерпретировать как область модуляций с «собственной частотой» границы. «Длинноволновый» участок I есть следствие действия «наведенного поля» мощного концентратора напряжений в самой точке тройного стыка и границ соседних зерен.
Такой характер распределения модуляций по длине межзеренной границы свидетельствует о наличии в области II ярко выраженной неравновесной структуры, в которой возможно наличие бифуркационных точек спонтанной смены направления эволюции системы.
В то же время, согласно базовым представлениям синергетики и неравновесной термодинамики, здесь возможны два варианта эволюции системы: переход в хаотическое состояние либо формирование новых более сложно организованных структур. Хаотическое состояние определит термодинамический распад системы и быстрое разрушение материала. Второй вариант, по сути, есть формирование новой структуры, являющейся источником зарождения дефектов на границе раздела и эмитируемых в трехмерную кристаллическую подсистему тела зерна согласно схеме, представленной на рис. 8. Следовательно, зависимости такого рода можно использовать для определения вероятности зарождения дефектных структур или последующего разрушения материала вдоль интерфейсов. Пример такой генерации деформационных дефектов на границе зерна в условиях зернограничного скольжения при ползучести поликристалла РЬ + 0.24 БЬ приведен на рис. 17. Неравновесное зерно А в результате зернограничного скольжения вдоль границы КЬМЫ испытывает стесненный поворот как целое по часовой стрелке. На участке КЬ граница зерна А испытывает растягивающие нормальные напряжения,
на участке МЫ — сжимающие нормальные напряжения. Соответственно на участке КЬ развивается длинноволновая модуляция полосы приграничного материала, на участке МЫ — коротковолновая модуляция приграничной полосы. Между этими участками формируется переходная зона сильного сжатия материала, где зарождается мезополоса ЬА дисклинационного типа, которая фрагментирует зерно А на два разориентированных фрагмента. Этот экспериментальный результат хорошо коррелирует с моделью, представленной на рис. 15, 16.
6. Моделирование кривизны вдоль границ раздела в области тройного стыка зерен. Продольный изгиб
Следующий численный эксперимент был проведен для образца, идентичного предыдущему случаю, с видоизмененными граничными условиями, имитирующими продольный изгиб, совмещенный с действием на границу между зернами 2 и 3 растягивающих нормальных напряжений, которые вызывают увеличение молярного объема на этой границе (рис. 18). Данный эффект максимален в зоне тройного стыка и убывает с удалением от него. В данном случае изгиб моделировался путем задания линейного распределения скоростей деформации на боковых гранях образца от 0.01 до 0.01 с-1.
Анализ динамики распределения компонент моментов сил вдоль межзеренной границы позволил обнаружить формирование протяженной зоны смены знака моментов. Эта область перемещается вдоль границы зерен 2 и 3, удаляясь от тройного стыка. Динамика этого процесса представлена на рис. 19. Качественно подобный эффект наблюдали в работах [21, 22], где в процессе пластической деформации кручением под давлением методами просвечивающей электронной микроскопии было обнаружено формирование двухуровневых наноструктурных состояний с дипольным и мультипольным
Рис. 19. Распространение зоны смены знака момента сил от тройного стыка вдоль межзеренной границы на лицевой грани образца при продольном изгибе в моменты времени ^ = 20 (а), 40 (б), 50 мкс (в)
характером разориентировок. В качестве механизма образования указанных выше наноструктур авторами был предложен «механизм квазивязкого движения нанодиполей частичных дисклинаций (или дислокаций некристаллографического сдвига), контролируемого потоками неравновесных точечных дефектов в полях высоких локальных градиентов нормальных компонент тензора напряжений». В этих работах также затрагивается проблема формирования кривизны кристаллической решетки, но роль связанных с ней моментных напряжений никак не раскрывается. В то время как авторы проводят серьезный детальный анализ процесса распространения диполя и явно вводят такие величины, как скорость изменения угла переориентировки решетки, тем не менее связывают все это с полями нормальных компонент тензора напряжений.
В проведенном на базе метода возбудимых клеточных автоматов численном эксперименте, представленном на рис. 18-20, обнаружено, что в условиях стесненного изгиба образца с тройным стыком зерен локальные моменты сил противоположного знака обеспечивают распространение диполя вдоль межзеренной границы.
—401 | | | | | | |
0 10 20 30 40
Ь, мкм
Рис. 20. Распределение удельной по объему компоненты 2 моментов сил М2 на лицевой грани вдоль границы зерен 3 и 2 от тройного стыка до края образца
В то время как сами моменты приводят к зарождению единичных дисклинаций, область смены знака моментов приводит к формированию диполя. Этот механизм подтверждается графиком распределения момента силы вдоль межзеренной границы, представленным на рис. 20. Движение же диполя обеспечивается поворотными модами деформации во внешнем поле кручения (рис. 18).
Данные результаты говорят о том, что формирование высоких значений кривизны кристаллических решеток смежных зерен порождает ротационно-волновые потоки дефектов вдоль межзеренных границ. Эти потоки дефектов связаны с возникновением бифуркационных состояний в области А изменения знака моментов сил на интерфейсе разориентированных зерен (рис. 20). В этой области формируется аномально высокая неравно-весность кристаллической структуры, возникает увеличение молярного объема и генерируются сильно возбужденные бифуркационные структурные состояния, предсказанные в работе [23]. Данная область перемещается в поле локальных моментов сил вместе с зоной дисклинационного нанодиполя механизмом бифуркационных наноструктурных трансформаций.
Следует подчеркнуть, что экспериментальные результаты [21, 22] возникновения аномально высокой локальной кривизны, стабилизированной нанодиполями частичных дисклинаций, качественно хорошо согласуются с моделью, представленной на рис. 18-20. В работах [21, 22] нанодиполи частичных дисклинаций также движутся некристаллографически на наномас-штабном уровне в поле моментных напряжений при деформации кручением под давлением. Однако авторы [21, 22] используют классическую интерпретацию результатов, ассоциируя нанодиполи частичных дискли-наций с дислокциями некристаллографического сдвига и апеллируя к точечным дефектам в равновесной кристаллической решетке. Многоуровневый учет локальных моментов сил, возникновения аномально высокой кри-
визны неравновесной кристаллической структуры и генерации бифуркационных структурных состояний радикально изменяет традиционную методологию описания пластичности и прочности твердых тел.
7. Выводы
Численные эксперименты по нагружению структуры с тройным стыком зерен показали, что вдоль всех интерфейсов достигаются экстремальные значения моментов сил, на несколько порядков превышающие «фоновый уровень» моментов в теле отдельных зерен. Показано, что вдоль межзеренных границ реализуется квазипе-риодическое распределение моментов сил по типу ротационной волны. Вид ротационной волны зависит от типа межзеренной границы и напряженно-деформированного состояния, возникающего на границе смежных зерен. В численном эксперименте, имитирующем стесненный материальный поворот с воздействием на границах зерен растягивающих нормальных напряжений, обнаружено зарождение и движение дисклинационного диполя, движущегося вдоль межзеренной границы.
Наличие областей положительных и отрицательных компонент 2 моментов сил на границах зерен порождает локальное изменение кривизны материала, что в дальнейшем приведет к зарождению ротационно-волновых потоков дефектов вдоль межзеренной границы. Эти ротационно-волновые потоки в условиях высокой локальной кривизны стимулируют локальный структурнофазовый распад материала, который вызывает его разрушение по схеме волны переключения.
Проведенные теоретические исследования находятся в хорошем согласии с экспериментом.
Работа выполнена при финансовой поддержке проектов Президиума РАН №№ 25.3 и 2.2, СО РАН №№ Ш.23.1.1, 72 и 78, гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-6116.2012.1.
Литература
1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 7-26.
2. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Нелинейные волновые процессы в деформируемом твердом теле как многоуровневой иерархически организованной системе // УФН. - 2012. - Т. 182. -№ 12. - С. 1351-1357.
3. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Елсукова Т.Ф. Физическая мезомеханика зернограничного скольжения в деформируемом поликристалле // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 6. - С. 15-22.
4. Егорушкин В.Е. Калибровочная динамическая теория дефектов в неоднородно деформируемых средах со структурой. Поведение границы раздела // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. -С. 51-68.
5. Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации. Волны лока-
лизованной пластической деформации в твердык телах // Изв. вузов. Физика - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 19-41.
6. Panin VE. Fracture Mesomechanics of a Solid as a Nonlinear Hierarchically Organized System // Proc. Eur. Conf. Fracture 19, Kazan, Russia, 2012. - Kazan: Kazan Sci. Center RAS, 2012 (электронный ресурс).
7. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Наноструктурные состояния в твердых
телах // ФММ. - 2010. - Т. 110. - № 5. - С. 487-496.
8. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Солитоны кривизны как обобщенные структурные носители пластической деформации и разрушения // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 7-26.
9. Ashby M.F. The deformation of Non-Homogeneous Alloys // Strengthening Methods in Crystals / Ed. by A. Kelly, R.B. Nicolson. - London: Applied Science Publishing Ltd, 1971. - P. 137-192.
10. Meyers M., Chawla K.K. Mechanical Behaviour of Materials. - Upper Saddle River, NY: Prentice Hall Inc., 1999. - 680 p.
11. Cahn R.W The coming of Materials Science. - Amsterdam: Elsevier Science Ltd, 2001. - 571 p.
12. Мясников В.П., Гузев M.A. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // ПМТФ. -1999.- Т. 40. - С. 163-173.
13. ГузевM.A. Структура поля напряжений и перемещений в неевклидовой модели сплошной среды // Механика деформируемого твердого тела: Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4. - С. 1461-1462.
14. Моисеенко Д.Д., Максимов П.В. Распределение напряжений и деформаций на интерфейсе «поверхностный слой - подложка»: моделирование на основе стохастического подхода // Физ. мезо-мех. - 2005. - Т. 8. - № 6. - С. 89-96.
15. Panin V.E., Chernov V.M., Moiseenko D.D., Zhevlakov A.L., Maksimov P. V. Multilevel Modeling of Phenomena of Irradiation-Induced Swelling and Growth of Materials with Close-Packed Structure // AIP Conf. Proc. - April 10. - 2008. - V. 999. - Iss. 1. - P. 102- 117.
16. Моисеенко Д.Д., Почивалов Ю.И, Максимов П.В., Панин В.Е. Возникновение поворотных мод деформации в приграничных зонах зеренной структуры в нагруженном поликристалле // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 1.- С. 39-49.
17. Си Дж.С. Мезомеханика взаимодействия энергии и массы в диссипативнык системах // Физ. мезомех. - 2010.- Т. 13.- №5.-С. 27-40.
18. Mott N.F. Slip at Grain Boundaries and Grain Growth in Metals // Proc. Phys. Soc. - 1948. - V. 60. - P. 391-394.
19. Садовский В.М., Садовская О.В. Об акустическом приближении термомеханической модели жидкого кристалла // Физ. мезомех. -2013. - Т. 16. - № 3. - С. 55-62.
20. Физические величины: Справочник / Под ред. О.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 c.
21. ТюменцевA.H., ДитенбергИ.А. Нанодиполи частичные дисклина-ций как носители квазивязкой моды деформации формирования нанокристаллических структур при интенсивной пластической деформации металлов и сплавов // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14.-№3.- С. 55-68.
22. Тюменцев A.H., Дитенберг И.А., Коротаев А.Д., Денисов К.И. Эволюция кривизны кристаллической решетки в металлических материалах на мезо- и наноструктурных уровнях пластической деформации // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 63-79.
23. Гузев М.А., Дмитриев А.А. Бифуркационное поведение потенциальной энергии системы частиц // Физ. мезомех. - 2013. -Т. 16.- № 3. - С. 25-31.
Поступила в редакцию 08.05.2013 г.
Сведения об авторах
Моисеенко Дмитрий Давидович, к.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, mdd@ispms.tsc.ru
Панин Виктор Евгеньевич, д.ф.-м.н., акад., научн. рук. ИФПМ СО РАН, paninve@ispms.tsc.ru
Елсукова Тамара Филипповна, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, elsukova@yandex.ru
