Растяжение с кручением. Сообщение 2: устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жёсткое и мягкое нагружения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3:517.023

РАСТЯЖЕНИЕ С КРУЧЕНИЕМ. СООБЩЕНИЕ 2: УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБРАЗЦА В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ. ЖЁСТКОЕ И МЯГКОЕ НАГРУЖЕНИЯ

В. В. Струганое1, Е. Ю. Просвиряков2

1 Институт машиноведения УрО РАН,

620219, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34.

2 Уральский государственный университет им. А. М. Горького,

620083, г. Екатеринбург, пр-т Ленина, 51.

E-mails: stru@imach.uran.ru, evgen_pros@mail.ru

Рассмотрено растяжение с кручением полого цилиндрического образца в составе механической системы, состоящей из двух упругих цилиндрических стержней, передающих нагрузку на образец. Устойчивость системы исследована методами теории катастроф и теории особенностей дифференцируемых отображений для случаев жёсткого и мягкого нагружений.

Ключевые слова: матрица Гессе (гессиан), якобиан отображения, критические точки и критические значения, устойчивость, дискриминантный конус, жёсткое и мягкое нагружения.

1. Механическая система, реализующая растяжение с кручением образца.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух упругих цилиндрических стержней 1 и 2, передающих нагрузку на полый цилиндрический образец (рис. 1). Стержень 1 работает только на растяжение (кручение блокировано). В сечении A-A могут быть приложены растягивающие силы с результирующей P (мягкое нагружение), либо точкам сечения задаётся перемещение и (жёсткое нагружение). Жёсткость стержня 1 при растяжении равна Аь Стержень 2 работает только на кручение (продольное перемещение сечения C—C блокировано). В сечении D-D может быть приложен крутящий момент M (мягкое нагружение) либо задан угол закручивания ф (жёсткое нагружение). Жёсткость стержня 2 при кручении равна А2.

4 В С D

1 а, є —V 3 т, 7 2

4 В С D

Рис. 1. Механическая система нагружения образца

При данной схеме нагружения в образце 3 возникают растягивающее напряжение а и деформация є, а также касательные напряжения и сдвиги. Полагаем, что образец имеет единичные высоту и средний радиус поперечного сечения, а толщина стенки равна • В этом случае растягивающая сила, действующая непосредственно на образец, равняется по величине напряже-

Стружанов Валерий Владимирович — главный научный сотрудник отдела механики машин и технологий ИМАШ УрО РАН; д.ф.-м.н., профессор.

Просвиряков Евгений Юрьевич — магистрант кафедры теоретической механики Уральского государственного университета.

нию а (площадь поперечного сечения равна единице), а перемещение конца образца, примыкающего к стержню 1, равно деформации е. Кроме того, касательные напряжения и сдвиги можно заменить значениями касательного напряжения т и сдвига 7 на средней линии поперечного сечения, умноженному на соответствующие коэффициенты, определяемые внешним и внутренним диаметрами. Не нарушая общности дальнейших рассуждений, будем пренебрегать величиной этих коэффициентов, полагая их равными единице. Тогда крутящий момент равняется т, а угол закручивания — 7.

Полагаем, что свойства материала образца определяются потенциальной функцией П(е, 7), т. е. работа напряжений не зависит от вида пути деформирования и равна значениям потенциала П. В этом случае инкрементальные модули заданы элементами матрицы Гессе [1]:

а инкрементальные соотношения, связывающие приращения напряжений и деформаций, имеют следующий вид:

Здесь и ниже запятая, стоящая после знака функции, обозначает частные производные по переменным, обозначенным после запятой.

В дальнейшем в иллюстративных примерах будем использовать потенци-

где а = , Е = 1,96 ■ 105 МПа —модуль Юнга, С = 7,546 ■ 104 МПа —модуль

сдвига, V = {е, 7 : е, 7 ^ 0, Ее2 + С72 ^ 2а}.

2. Жёсткое нагружение. Жёсткое нагружение системы осуществляем заданием монотонно возрастающих величин и и ф. В этом случае состояние механической системы описывает потенциальная функция

где первые два слагаемых — потенциальные энергии упругих деформаций соответственно стержней 1 и 2. Деформации е, 7 ^ 0 здесь играют роль параметров состояния системы, а величины и, ф, А1, А2 ^ 0 — параметров управления. Таким образом, выражение (2.1) задаёт четырёхпараметрическое семейство функций.

Критические точки функции ^1 определяет система уравнений У2^1 = 0

= а(є, 7) — Аі(« — є) = 0, Жі,7 = т (є, 7) — А2(ф — 7) = 0. (2.2)

Решения уравнений равновесия (2.2) образуют четырёхмерное многообразие равновесных состояний (многообразие катастроф [2]) в пространстве М2 х х М| х МЦ, где М| = {А1, А2}, МЦ = {и, ф}. Проекция этого многообразия

(1.1)

йа = с11 йє + с12^7, йт = с21йє + с22 й^.

ал [1]

если (є, 7) Є V, если (є, 7) / V,

(1.2)

(2.1)

[2], т. е.

Здесь а = Пє, т = П7, V2 —оператор Гамильтона в пространстве М2 = {є, 7}.

в пространство составляет множество Г = (е, 7}, проекция в пространство МД — множество Л = (Л1, Л2 ^ 0}, проекция в пространство МЦ —множество и = (и, ф ^ 0}.

Если зафиксировать Л1 и Л2, то формулы (2.2) задают отображение х : М2 ^ МЦ (или Г ^ и). Якобиан этого отображения

, (Л-+1 т2

11 = I -21 -22 +

V Л2 Л2 +

Если якобиан /1 не вырожден, т. е. ёе1 /1 = [(Л1 + -11)(Л2 + С22) — С1^ =

= 0, то отображение х есть локальный гомеоморфизм (локальное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение) [3]. Точки из М^ в которых якобиан вырожден, называются критическими точками отображения х. Их образы в пространстве МЦ составляют множество критических значений отображения [4]. Согласно теореме Сарда [4] это множество имеет меру нуль. Таким образом, множество критических значений отображения х в пространстве МЦ представляет собой некоторую кривую (или кривые). Очевидно, что расположение критических точек и критических значений отображения х в пространствах М2 и МЦ будет зависеть от значений параметров Л1 и Л2.

Определим критические точки и критические значения отображения %1, используя потенциал (1.2) и значения Л1 = Л2 = 4,9 ■ 105 МПа. На рис. 2, а изображены критические точки отображения %1, образующие две линии 1 и 2, которые разбивают множество Г на три области: I, II, III. Отметим, что после пересечения путём деформирования линии 2 величины ст, т, Сц, С22, С12 обращаются в нуль, то есть образец разрушается. В результате отображение %1 принимает вид и = е, ф = 7. Нетрудно показать, что в области III якобиан /1 имеет положительные собственные значения, и поэтому он в области III положительно определён. В начале деформирования материал находится в упругом состоянии (сц = Е, С22 = О, -12 = 0). Здесь Е — модуль Юнга, О — модуль сдвига материала образца, находящегося в упругом состоянии. Ясно, что в этом случае якобиан /1 положительно определён. Так как начальный отрезок пути деформирования расположен в области I (см. рис. 2, а), то якобиан /1 должен сохранять положительную определённость во всей области I (знак собственного значения может поменяться только при пересечении кривой 1). В области II якобиан /1 имеет собственные значения разных знаков.

Рис. 2. Линии критических точек (а) и критических значений (б) отображения Х1

при Л1 = Л2 = 4,9 ■ 104 МПа

Напомним, что в точках линий 1 и 2 одно из собственных значений якобиана обращается в нуль.

Далее, кривые 1 и 2 из отображаются соответственно в кривые АВ (кривая 1) и С^ (кривая 2), точки которых являются критическими значениями отображения %1 в МЦ (см. рис. 2, б). Отсюда следует, что область

I из М^ отображается на плоскость ОАВ в МЦ, область II — на плоскость АВС^, а область III — на плоскость, являющуюся внешностью линии С^ (см. рис. 2, б). Поэтому каждая точка линий АВ и С^ имеет по два прообраза в М^, а каждая точка из области АВС^ — по три прообраза. Таким образом, кривые АВ и С^ являются бифуркационными кривыми, которые отделяют точки {и, ф} € МЦ, дающие одно решение уравнений (2.2), от точек, дающих три решения.

Если рассечь обозначенные плоскости по некоторой прямой I (см. рис. 2, б), то взаимное расположение плоскостей будет таковым, каким оно схематически представлено на рис. 3. Видно, что плоскости образуют складку.

Увеличим параметры А1 и А 2 до значения А1 = А2 = 2,94 ■ 105 МПа. Критические точки отображения %1 в этом случае образуют кривые АВ и ВС (см. рис. 4, а).

Эти кривые ограничивают область II, где собственные значения якобиана /1 имеют разные знаки. Во внешности области II собственные значения якобиана положительны (якобиан положительно определён). В свою очередь, внешность области II разбивается на части I и III пунктирной линией В^, являющейся продолжением линии ВС (рис. 4, а). На этой кривой инкрементальные модули материала образца обращаются в нуль, т. е. в области III образец разрушен.

При отображении в МЦ линии АВ и ВС переходят соответственно в кривые А;В; и В;С; (рис. 4, б), точки которых являются критическими значениями отображения %1. Область I отображается на плоскость О^В'А', область

III — на плоскость, являющуюся внешностью линии ^;В;С;, а область II — на плоскость С В А . Кривые В С и В А — это бифуркационные кривые, кото-

Рис. 3.

Складка в пространстве М2

Рис. 4. Линии критических точек (а) и критических значений (б) отображения Х1

при А1 = А2 = 2,94 ■ 105 МПа

рые отделяют точки области СВ1 А1, дающие три решения уравнений (2.2), от точек плоскости Оиф, дающих одно решение.

Если рассечь данные плоскости по линии, пересекающей кривые В'С и В'А' (прямая 11, см. рис. 4, б), то взаимное расположение плоскостей будет таковым, каким оно схематически представлено на рис. 5. Видно, что плоскости образуют сборку.

Перейдём теперь к исследованию устойчивости процесса деформирования. Известно [2], что тип равновесия (устойчивость или неустойчивость состояния равновесия) определяется собственными значениями матрицы Гессе потенциальной функции ^1. В нашем случае гессиан функции ^1 равен V2V2Wl или

Рис. 5.

Сборка в пространстве М2,

Н (^) =

^1,ее

^1)7е

^1,е7

^1,77

А1 + С11 С21

с12 Л2 + С22

Если ёе1 Н(^1) = 0, то теорема Морса [2] гарантирует существование гладкой замены переменной такой, что потенциальная функция локально может быть представлена квадратичной формой

^1 = К1У2 + К2У2- (2-3)

Здесь К1, К2 —собственные значения матрицы Н (^1), вычисленные для состояния равновесия; у1, у2 —новые переменные. С учётом новой замены координат в соответствии с ^1 = л/1К1 |У1, ^2 = \/1К21У2 квадратичная форма (2.3) может быть приведена к одной из морсовских канонических форм [2]: ^1 = г2 + ^2 = М0 (г) (собственные значения положительны), ^1 = -г2 + + = М2 (г) (собственные значения разных знаков), ^1 = —г2 — = М|(г)

(собственные значения отрицательны). Функция МП называется морсовским г — седлом (г — число отрицательных собственных значений, п — общее число собственных значений). Исключительно морсовские 0 — сёдла имеют локальный минимум в точке равновесия, так что только такие сёдла локально устойчивы. Морсовское 2 — седло имеет локальный максимум (неустойчивость) . Морсовское 1 — седло определяет в положении равновесия традиционную седловую точку в пространстве М^, поэтому устойчивость (неустойчивость) зависит от характера изменения управляющих параметров.

Критические точки функции ^1, в которых ёе1 Н(^1) = 0, называются изолированными, невырожденными или морсовскими. Критические точки, в которых ёе1 Н(^1) = 0, называются неизолированными, вырожденными или неморсовскими. Морсовские критические точки структурно устойчивы. Возмущение потенциальной функции в этой точке не влияет на качественный характер поведения функции в окрестности данной точки. Тип критической точки сохраняется и, следовательно, сохраняется тип равновесия системы. Неморсовские критические точки структурно неустойчивы. Возмущение потенциальной функции в такой точке вызывает качественные изменения в поведении самой функции в окрестности неморсовской критической точки. Вырожденная критическая точка расщепляется на несколько изолированных критических точек. У механической системы появляется новое положение

равновесия, в которое она переходит скачкообразно (происходит катастрофа). Таким образом, в вырожденных критических точках происходит смена типа равновесия [3]. Итак, вырожденные критические точки определяются из совместного решения уравнений (2.2) и уравнения

det H(Wi) = (Лі + СИ)(Л2 + С22) - c22 = 0.

(2.4)

В уравнении (2.4) отсутствуют параметры управления и и ф, а критические точки в пространствах и М2 (правильнее — их проекции в эти пространства) полностью заполняют множества Г и Л, поэтому вырожденные критические точки определяются только одним уравнением (2.4). Учитывая, что ёе! Н(^і) = Л^2ёе1 /і, получаем совпадение проекций вырожденных критических точек функции ^і в пространство М2 с критическими точками отображения хі. Отсюда вырожденные критические точки многообразия катастроф при проекции их в пространство М2 образуют линии критических точек отображения хі (см. рис. 2, а, рис. 4, а), а при их проекции в пространство МЦ — линии критических значений отображения хі (см. рис. 2, б, рис. 4, б).

Рассмотрим теперь пространство М^ = {Лі + Сц, Л2 + С22, Сі2}, в котором координатную систему определяют элементы матрицы Гессе. В этом случае элементы гессиана задают отображение : М2 х М^ ^ мН . Множество точек в МН, в которых матрица Гессе особенная, имеет две компоненты. Это Ьі (в ней лишь одно собственное значение равно нулю) и £2 (в ней обращаются в нуль оба собственных значения). Размерность этих подмножеств определяется по формуле [5]

dim Li =

n(n + 1) — l(l + 1)

2 ;

(2.5)

Рис. б. Дискриминантный конус в координатах X = Лі + ец, Y = Л2 + С22, Z = С12

где n — размерность матрицы Гессе, l — число нулевых собственных значений. Отсюда dim Li =2, dim L2=0. Подмножество Li является поверхностью второго порядка в RH, называемой дискриминантным конусом матрицы Гессе; подмножество L2 состоит из одной точки, а именно — вершины конуса, что следует из решения характеристического уравнения для матрицы H (W1).

Дискриминантный конус матрицы H(Wi) (рис. 6) делит пространство RH на две области (внутренность и внешность конуса). Внутри конуса матрица Гессе положительно определена (оба собственных значения положитель-

ны), вне конуса оба собственных значения гессиана имеют разные знаки или оба отрицательны. Следовательно, если образ отображения (точка в пространстве МН) располагается внутри дискриминантного конуса, то положение равновесия системы устойчиво; если вне конуса, то неустойчиво.

Процесс деформирования системы можно изобразить движением в пространстве МН точки с координатами X = А1 + Сц, У = Л2 + С22, ^ = С12 по некоторому пути (см. рис. 6). Этот путь начинается в точке А(Е + А1, С + А2, 0) и заканчивается в точке В(А1, А2, 0), также расположенной внутри конуса и соответствующей разрушению образца. Если путь в М^ находится внутри дискриминантного конуса при постепенном возрастании параметров и и ф, то соответствующий путь в пространстве МЦ не пересекает бифуркационные кривые (например, путь /2, см. рис. 4, б). В этом случае процесс деформирования протекает равновесно, вплоть до самого разрушения образца.

Отметим, что данный вывод справедлив и тогда, когда путь в МН только касается конической поверхности, а затем снова уходит в глубь конуса. Соответствующий путь в МЦ проходит через точку В' (см. рис. 4, б).

Рассмотрим теперь случай, когда путь в М^- пересекает коническую поверхность. Соответствующий путь в МЦ пересекает бифуркационные кривые (например, путь 1, см. рис. 2, б). При пересечении первой кривой ^С в некоторой точке а путь остаётся на верхней плоскости (см. рис. 3) и равновесный характер процесса сохраняется. После пересечения второй бифуркационной кривой АВ в точке т (в то время как путь в М^ пересекает коническую поверхность) происходит скачкообразный переход с верхней плоскости (плоскость ОАВ) на нижнюю плоскость (внешность кривой ^С). Этот скачок показан на рис. 3. Следовательно, после пересечения конической поверхности путь в МН выходит в область неустойчивости и сразу скачкообразно переходит в точку разрушения, то есть происходит внезапное разрушение системы.

Отметим один вариант, при котором можно избежать внезапного разрушения. Пусть деформирование образца в системе осуществляется по прямой £ = 7 в пространстве М^ Образ этой прямой в пространстве МЦ показан на рис. 7 (параметры А1 = А2 = 4,9 ■ 104 МПа). Путь в МЦ сначала достигает второй бифуркационной кривой АВ, затем разворачивается и устремляется к первой бифуркационной кривой С^; после её достижения разворачивается в обратном направлении. Таким образом, непрерывное деформирование образца возможно лишь при разгрузке, осуществляемой по определённому закону (линия МЯ, см. рис. 7).

Если же вести пропорциональное нагружение системы (и = ф), то после достижения путём в МЦ второй бифуркационной линии АВ путь в М2 претерпевает разрыв (рис. 8), т. е. параметры состояния скачкообразно возрастают. Как было показано выше, этот скачок заканчивается разрушением образца.

3. Мягкое нагружение. Мягкое нагружение системы осуществляем заданием монотонно возрастающих параметров Р и М. Состояние системы в этом

Рис. 7. Образ пропорционального деформирования образца в системе

Рис. 8. Разрыв пути деформирования образца

случае характеризует потенциальная функция

г ц г ф

^2 = ^1(£,7) -/ Р^и -/ М#, (3.1)

Уо Уо

где второе и третье слагаемые — работа внешних сил, взятая со знаком минус. Роль параметров состояния здесь играют величины (£, 7, и, ф) € М2 х МЦ, а роль параметров управления — величины (Р, М, А1, А2) € М^ х М2 (М^ = = {Р, М}). Таким образом, выражение (3.1) определяет четырёхпараметрическое семейство функций параметров состояния.

Критические точки функции ^2 являются решениями системы уравнений У4^2 = 0, т. е.

^2,е = а(£, 7) - А1(и - £) = 0, ^2,7 = Т(£, 7) - А2(ф - 7) = 0,

^2,ц = А1(и - £) - Р = 0, ^2,ф = А2(ф - 7) - М = 0, (3-2)

где У4 —оператор Гамильтона в пространстве М2 х М^. Решения уравнений равновесия (3.2) образуют параметризованное четырёхмерное многообразие равновесных состояний (многообразие катастроф) в пространстве М2 х х МЦ х М2 х ММ. Проекция этого многообразия в пространство М2 образует множество Г, проекция в пространство М^ — множество Л, проекция в пространство МЦ — множество и, проекция в пространство М^ — множество Q = = {Р, М ^ 0}.

Уравнения (3.2) приводятся к двум уравнениям:

а(£, 7) - Р = 0, т(£,7) - М = 0, (3.3)

которые фактически и определяют критические точки функции ^2, так как если известны £, 7, Р, М — решения уравнений (3.3), то при фиксированных А1 и А2 из уравнений (3.2) сразу вычисляются параметры и и ф, соответствующие данному равновесию. Другими словами, решения уравнений (3.3) задают параметризованное двумерное многообразие в пространстве М2 х ММ, являющееся проекцией четырёхмерного многообразия равновесных состояний в данное пространство.

Формулы (3.3) задают отображение %2 : М2 ^ ММ. Якобиан этого отображения

/2 =( С11 С10 -

2 С21 С22

Сравнивая его с матрицей (1.1), находим, что данный якобиан совпадает с гессианом функции П, определяющим инкрементальные модули материала образца. Если якобиан невырожден, т. е.

ёе! /2 = С11С22 - с22 = 0,

то отображение %2 есть локальный гомеоморфизм. Критические точки, где ёе! /2 = 0, и критические значения отображения %2 образуют соответственно в пространствах М2 и ММ бифуркационные кривые. Очевидно, что расположение кривых не зависит от значений параметров А1 , А2 и и, ф. В пространстве М2 имеются две кривые, расположение которых подобно кривым,

изображённым на рис. 2, а; в пространстве ММ — только одна кривая, получающаяся отображением ближайшей к началу координат кривой в М^. Дальняя кривая отображается в точку (0, 0) Є ММ.

Исследуем теперь устойчивость процесса деформирования. Матрица Гессе функции ^2 имеет вид

H (W2) =

( Лі + cll cl2 —Л1 О

c2l Л2 + C22 О —Л2

—Л1 О Л1 О

О —Л2 О Л2

)

Вычисляя детерминант этой матрицы, находим, что det H(W2) = AiA2det /2 = = AiA2det H(П). Так как Ai, А2 > 0, а матрица H(П) второго порядка, то матрица H(W2) может иметь только одно или два нулевых собственных значения, т. е. rankH(W2) ^ 2.

В самом общем случае компоненты матрицы Гессе четвёртого порядка параметризуют десятимерное пространство М]0. Иначе говоря, элементы гессиана задают отображение F2 : М^ х ^ М]0. Если ранг матрицы Гессе больше или равен двум, то множество особых точек состоит из двух подмножеств. Первое подмножество L2 составляют точки, где матрица имеет два нулевых собственных значения, второе подмножество Li —точки, где матрица имеет одно нулевое собственное значение. Вычисляя их размерности по формуле (2.5), находим, что dim L2 = 7, dim Li = 9. Но в матрице Гессе нашей системы семь компонент являются константами, т. е. в пространстве М] изменяются только три координаты, а именно, Xi = Ai + cii, X2 = А2 + С22, X5 = ci2. Тогда, на самом деле, реальная размерность множеств, где матрица Гессе особенна, соответственно равна 0 и 2, т. е. меньше на семь.

Положим cii = С22 = ci2 = 0. Непосредственно проверяется, что матрица Гессе имеет точно два нулевых собственных значения. Следовательно, подмножество, где гессиан имеет два нулевых собственных значения, состоит из одной точки L^ = {Ai, 0, —Ai, 0, А2, 0, —А2, Ai, 0, А2}. Очевидно, что теперь множество L1 определяется уравнением

det /2 = det H(П) = Cii С22 — С22 =0 (cii ,C22 ,Ci2 = 0),

которое задаёт коническую поверхность второго порядка с вершиной в точке L^. Данная поверхность является дискриминантным конусом матрицы H(П).

Если теперь в точке L2 построить ортогональную систему координат Xi = = Ai +Cii, X2 = А2 +C22, X3 = Ci2, то получим пространство М^, параметризуемое элементами матрицы H (П). Пространство М? отличается от пространства М] только началом координат (в первом начало координат определяется значениями cii = C22 = Ci2 = 0, во втором — cii = — Ai, C22 = — А2, Ci2 = 0). От-

сюда дискриминантный конус матрицы H (П) в пространстве М? получается перемещением вершины дискриминантного конуса матрицы H(Wi) в точку Xi = X2 = X3 = 0. Следовательно, данная вершина отвечает разрушению образца. Отметим, что внутри дискриминантного конуса матрицы H(П) эта матрица положительно определена. Рассматривая внутренние точки конуса как точки пространства М]0, находим, что и матрица H(W2) положительно определена внутри конуса.

Из равенства det H(W2) = AiA2det /2 следует, что вырожденные критические точки функции W2 в пространстве М^ совпадают с критическими точками отображения Х2, т. е. критические точки многообразия катастроф при их

проекции в пространство М2 образуют линии критических точек отображения Х2, а при проекции в пространство М^ —линию критических значений и одну точку (начало координат). Таким образом, пересечение дискриминантного конуса матрицы Н(П) в пространстве М? соответствует пересечению бифуркационной линии (линии критических значений отображения Х2) в пространстве . В этот момент процесс деформирования теряет устойчивость и она скачком (динамически) переходит в положение, отвечающее вершине конуса, т. е. образец в результате скачка разрушается.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-08-00125).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Стружанов, В. В. Растяжение с кручением. Сообщение 1: Свойства материала [Текст]/

B. В. Стружанов, Е. Ю. Просвиряков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - № 1(16).-36-44 с.—КЭБЫ 1991-8615.

2. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф [Текст]: В 2-х книгах/ Р. Гилмор. — М.: Мир, 1984. — Кн. 1. — 350 с.

3. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С. В. Фомин.—М.: Наука, 1989.—624 с.

4. Арнольд, В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов [Текст]/ В. И. Арнольд, А. Н. Варченко,

C. М. Гусейн—Заде. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

5. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф [Текст]: В 2-х книгах/ Р. Гилмор. — М.: Мир, 1984. — Кн. 2. — 285 с.

Поступила в редакцию 23/УІ/2008; в окончательном варианте — 15/УІІІ/2008.

MSC: 74H55

TENSION WITH TORSION. PART 2. DEFORMATION PROCESS STABILITY OF A SAMPLE IN A MECHANICAL SYSTEM. RIGID AND SOFT LOADINGS

V. V. Struzhanov1, E. Yu. Prosviryakov2

1 Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences,

620219, Ekaterinburg, Pervomajskaya st., 91.

2 Ural State University,

620083, Ekaterinburg, pr. Lenina, 51.

E-mails: stru@imach.uran.ru, evgen_pros@mail.ru

Tension with torsion of a hollow cylindrical sample within the mechanical system structure consisting of two elastic cylindrical rods, transmitting loading on a sample is studied. System stability is determined by methods of catastrophe theory and theory of differentiated mapping peculiarities for soft and rigid loadings.

Key words: Hessian, Jacobian of mapping, critical points and critical values, stability, a discriminantal cone, rigid and soft loading.

Original article submitted 23/VI/2008; revision submitted 15/VIII/2008.

Struzhanov Valeriy Vladimirovich, Dr. Sci. (Phis. & Math.) Prof., Division of Machines Mechanics and Technology of Institute of Engineering Science.

Prosviryakov Eugeniy Yurievich, Graduate Student, Dept. of Theoretical Mechanics of Ural State University.