Рассеяние лазерного излучения в градиентных волноводах с шероховатой границей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.36:621.373:541.532

Рассеяние лазерного излучения в градиентных волноводах с шероховатой границей

Ло Серии Абду Лахад, А. Н. Осовицкий

Кафедра радиофизики, Российский университет дружбы, народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Решена задача о рассеянии ТЕ волны на шероховатой границе оптического градиентного волновода. Получены выражения для коэффициента затухания волны за счет рассеяния при различных законах распределения показателя преломления в волноведущем слое. Выполнен сравнительный анализ характеристик процесса рассеяния в зависимости от параметров градиентного волновода и шероховатости поверхности.

1. Введение

Основной причиной потерь мощности в волноводных системах интегральной оптики в видимом и ближнем инфракрасном диапазонах является рассеяние [1,2], которое, кроме того, ограничивает некоторые характеристики прежде всего разрешение) планарных устройств. Рассеяние может происходить как на объемных неоднородностях показателей преломления сред, составляющих волновод, так и на шероховатости их границ раздела [2,3]. Последний механизм, как правило, является превалирующим. С другой стороны выделяют рассеяние с излучением в среды, обрамляющие волноводный слой, и внутриволноводное рассеяние, которое остаётся локализованным в волноводной системе [4].

В литературе внимание исследователей сосредоточено на анализе рассеяния с излучением лишь в пленочных волноводах, имеющих две резкие границы раздела сред [2-4]. Другой класс волноводных систем — градиентные волноводы, которые широко используются в различных устройствах интегральной оптики [5], в этом плане практически не изучены. Поэтому задача рассеяния света на шероховатой границе градиентных волноводов является практически важной и актуальной.

Решение этой задачи позволит не только установить связь между величиной потерь на рассеяние и параметрами волновода и шероховатости, но и применить полученные результаты в других важных областях. Прежде всего, в развитии нового метода измерения характеристик шероховатости достаточно гладких поверхностей. Этот метод, использующий волноводное рассеяние света на шероховатой границе, обладает на сегодняшний день рекордными для оптических методов чувствительностью и разрешением [3,4]. Однако развитый применительно к пленочным волноводам он требует некоторых специальных технологических приемов и дополнительных измерений. Есть основания предполагать, что использование рассеяния в градиентных волноводах позволит устранить отмеченные недостатки и измерять шероховатость поверхности без дополнительных технологических операций.

Существенный интерес представляет также перспектива изучения влияния технологических параметров таких процессов как диффузия, ионный обмен, эффузия на качество поверхности оптических материалов. Все указанные выше направления исследований требуют решения задачи о рассеянии света на шероховатой границе градиентных волноводов и анализа особенностей этого процесса, что и составляет главную цель данной статьи.

2. Постановка задачи. Метод её решения

Рассмотрим плоский диэлектрический градиентный волновод (рис. 1). В приповерхностной области диэлектрика с показателем преломления щ создана область с повышенным показателем преломления, распределение которого подчиняется закону п(х). В качестве среды с щ используется воздух. Граница раздела сред при х — 0 является шероховатой, а её профиль описывается функцией 6(х,у). В данной работе анализ рассеяния ограничим одномерной шероховатостью, т. е. будем считать 5 зависящей только от г.

Рис. 1. Рассеяние в волноводе с шероховатой границей.

Выделим участок волновода длиной Ь. На этом участке функцию, описывающую профиль поверхности можно представить в виде ряда Фурье по пространственным частотам (гармоникам) поверхности Кп:

оо

6{г) = ^ <*„ <ж(Кпг + вп), (1)

га— 1

где Ап и вп амплитуда, и фаза соответствующей пространственной гармоники с Кп = п^ — ^. Величина Л„ = £ имеет смысл периода пространственных гармоник шероховатости поверхности.

Пусть в волноводе распространяется только низшая ТЕ волна. Амплитуда этой волны будет затухать вдоль направления её распространения за счёт рассеяния на шероховатой границе. Требуется получить выражения устанавливающие связь между коэффициентом затухания (рассеяния) волны и параметрами градиентного волновода и шероховатости поверхности. Кроме того, необходимо найти угловое распределения рассеянной мощности в дальней зоне.

Поставленная задача решается в приближении с1п <С Л, что справедливо для хорошо обработанных поверхностей (Л — длина волны используемого лазерного излучения). Это условие позволяет учитывать только первые порядки дифракции на каждой гармонике шероховатости, а также использовать метод возмущения. Он в свою очередь дает возможность рассчитывать действительную часть постоянной распространения волноводной волны из дисперсионного уравнения для градиентного волновода с идеально ровной границей.

Для решения задачи используется оптико-геометрический подход [6,7], к достоинствам которого следует отнести относительную простоту и наглядность. При его использовании возможны два варианта последовательности решения поставленной задачи. Во-первых, в начале можно решать задачу о рассеянии на шероховатой границе раздела сред, а затем находить коэффициент затухания волны за счет рассеяния в градиентном волноводе. Второй вариант использует известные решения о рассеянии на одной гармонической составляющей в случае градиентного волновода с такой границей. А затем находится коэффициент рассеяния с учетом многих пространственных гармоник шероховатости поверхности.

Поскольку определение коэффициента излучения в случае гармонического гофра поверхности проводилось различными методами [7,8], второй вариант является предпочтительным. Он позволяет также достаточно просто решить вторую часть задачи, т.е. нахождение углового распределения рассеянной мощности.

3. Решение задачи о рассеянии на гофрированной

границе плоского градиентного волновода

В соответствии с выше сказанным, на первом этапе решается задача о рассеянии волноводной волны на гофрированной по гармоническому закону границе градиентного волновода. Рис. 1 поясняет суть используемого подхода к решению этой задачи.

На длине волновода I между двумя соседними отражениями от границы имеет место однократное рассеяние на гармоническом гофре. В результате мощность волноводной волны Р(1) в точке г = I будет равна

Р(1) = Рое-°"г, (2)

где Р0 — мощность падающей (волноводной) волны при г = 0.

При условии, что затухание вызвано только рассеянием из (2) можно получить

1 , /. Ч "Пп ^рас(А-п) /0ч

ап = - 1п(1 - г)п) ~ у = 1р^ . (3)

Здесь г/„ — дифракционная эффективность на гофрированной с периодом Лп границе, Ррас — мощность дифракции при однократном рассеянии.

Из (3) следует, что для нахождения ап нужно определить две величины г]п и I. Значение т}„ определяется из решения задачи о дифракции на гофрированной по гармоническому закону границе раздела сред. Эта задача обычно решается сшиванием полей на такой границе и достаточно хорошо известна. В случае ТЕ волны выражение для ?/„ можно найти, например в [9].

Учет особенностей волноводного распространения позволяет получить следующие выражения для дифракционной эффективности

Vn = (М) - -y2\jn0 " (ч - ' (4)

где по — значение показателя преломления на поверхности волновода при х = 0, ко — ^ — постоянная распространения волны в вакууме, 7 = n0 sin ф — эффективный показатель преломления падающей (волноводной) волны. Выражение (4) описывает случай рассеяния минус первого порядка только в подложку (среда с ггз). При рассеянии в обе обрамляющие волноводный слой среды выражение для 7)п можно привести к виду

Vn = (М) I , v , ===? • (5)

Вторая величина /, входящая в (3), определяется из дисперсионного уравнения для градиентного волновода с идеальной границей, которое в ВКБ приближении для низшей Т-Е-волны имеет вид [7]

2к0 I Jn2{x) - 72dx - 2arctg I v/ 1 - J = 0,

no ~ 72 / 2

хт — координата точки поворота, в которой п(же) = 7.

Значение I получим дифференцируя это выражение по /со7

хт

, n f dx 27

l = ! 2, л 2 +-/-- /-- • (6)

J у/п?(х) - 72 fcoV/72-n?V/n2-72

Задавая закон распределения п(х), можно найти значения I при различных параметрах волновода. Приведём соответствующие выражения для наиболее распространенных законов распределения показателя преломления, где An = щ-щ, h — параметр распределения, часто называемый глубиной диффузии, имеющий смысл толщины волноводного слоя.

Для линейного профиля п(х) — по — Anf при х > 0

7

koynl - 72у/72 - п\ Ап \п0 - yjnl - 72/

(7)

Для экспоненциального профиля п{х) = no — An^l - е^ j при х > 0

27 , 2ф (к . щщ - 72 1

Ч—- + arcsm--- . (8)

Для гауссового профиля п(х) = n() - An^l - е^2 j при х > 0

I , 27 |

По

In 1 -^-г • О)

Таким образом, значения а„ находятся из выражений (3), (4) и (6) в случае излучения только в подложку и (3), (5) и (6) в случае рассеяния в обе обрамляющие среды.

Но эти выражения будут описывать рассеяние на любой, но единственной пространственной гармонике. В случае шероховатой поверхности таких гармоник много (см. (1)) и коэффициент затухания за счет шероховатости поверхности волновода можно записать в виде се — Здесь суммирование проводится по всем гармоникам шероховатости в интервале номеров от N1 — ^(7 - п3) до N2 = х(7 + "-з).

Вторая часть поставленной задачи — нахождение углового распределения рассеянной мощности в дальней зоне, а также выражения для полной мощности рассеяния.

Если рассеяние на одной гармонике происходит на большой длине волновода Ь и Рр^с ~ Рпад, то выражение для РрдС имеет вид = Р0( 1-е~а"ь), а при апЬ <с I или Р.~ Р0

pic = arilp0. (10)

рас

1

рас

Из сравнения выражений (3) и (10) следует, что Р^ас = МРрас, т.е. мощность, рассеянная на длине участка волновода Ь, в М раз больше однократно рассеянной мощности. Величина М = у есть число отражений волноводной волны от шероховатой границы на длине Ь. Так при Ь — 1 см для градиентных волноводов с различными параметрами М достигает значений от нескольких сотен до нескольких тысяч. Следовательно, Рр1ЗС на 2 3 порядка больше мощности, рассеянной однократно. Это свойство волноводного рассеяния представляет значительный интерес

для разработки метода измерения шероховатости особо гладких диэлектрических поверхностей, о котором говорилось выше.

С другой стороны, как следует из выражений (4), (5) и (3), г)п и Ррас зависят от периода пространственной гармоники Л. В свою очередь, каждому значению периода соответствует свой угол рассеяния <рп, отсчитываемый от нормали к оси волновода, значение которого определяется выражением

щ вт крп = 7 - , (11)

Лц

где щ — показатель преломления среды, в которую происходит рассеяние (г = 1, 3). Следовательно, для шероховатой поверхности РраС является функцией угла рассеяния

= (12)

Можно ввести и полную мощность, рассеянную с участка шероховатой поверхности длиной Ь

N2

Р£С = ЬР0^2 ап=аЬР0. (13)

Это же самое значение РД, можно получить, проинтегрировав (12) по всем углам рассеяния.

Таким образом, обе части задачи о рассеянии низшей ТЕ волны на шероховатой границе градиентного волновода решены, получены выражения для основных характеристик процесса рассеяния в градиентных волноводах и можно перейти к их всестороннему анализу.

4. Анализ основных характеристик процесса

рассеяния от параметров волновода и шероховатости поверхности

В начале остановимся на анализе коэффициента рассеяния ап. В соответствии с (3), величина а„ обратно пропорциональна I, значение которого определяется только параметрами волновода и не зависит от шероховатости границы раздела сред. Величина I зависит от профиля распределения показателя преломления вол-новедущего слоя и значений пх, пз и щ. Из выражений (7)-(9) видно, что значение I пропорционально толщине /г, 7 и обратно пропорционально Ап = п0 — П3.

Достаточно очевидной является квадратичная зависимость ап от амплитуды пространственной гармоники ¿п, что является следствием используемого приближения (1п « А [9]. Не столь прозрачна зависимость ап от профиля показателя преломления п(х), поскольку изменение профиля и его параметров сопровождается изменениями как I, так и г)п. Влияние профиля п(х) на ап демонстрируют зависимости ап от Н, представленные на рис. 2. Для корректности сравнения значения всех параметров профилей взяты одинаковые щ — 1, пз - 1.514, щ - 1.614 и при расчетах предполагалось А = 0.63 мкм, Л = 1 нм, Лп = 1.3 мкм.

Как видно из представленных зависимостей с ростом толщины волноводного слоя коэффициент рассеяния монотонно уменьшается в случае линейного и параболического профиля п(х). В тоже время для гауссового и экспоненциального профилей существуют значения, /г при которых ап достигает максимального значения. Указанное отличие на наш взгляд вызвано характером изменения показателя преломления слоя при переходе к показателю преломления подложки. Для гауссового и экспоненциального профилей п(х) —> пз при х —> ос и при 7 —> пз точка поворота хт и I, следовательно, стремятся к бесконечности, а ап — к нулю. В случае линейного и параболического профилей п(х) — п3 при х = /г и точка поворота не может быть больше /г. Рост толщины слоя приводит к увеличению I и

Рис. 2. Зависимость коэффициент рассеяния от Ь для различных законов изменения показателя преломления волноводного слоя.

падению ап. Напомним, что выражения для I выведены из дисперсионного уравнения градиентного волновода, полученного в ВКБ приближении. Не исключено, что указанные выше особенности поведения ап в области критического режима могут быть следствием этого приближения.

Второй важной характеристикой процесса рассеяния является величина рассеянной мощности. В соответствии с (10), мощность рассеяния на одной пространственной гармонике прямо пропорциональна а„ и все отмеченные выше зависимости для ап справедливы и для Рр^с. Так же вполне очевидной является зависимость Р{^с от Ь, которая имеет линейный характер. Это связано с тем, что с ростом Ь линейно растет число однократных отражений от шероховатой границы.

Теперь обратимся к выражению (11), описывающему связь между значением пространственной гармоники (периода) шероховатости и углом рассеяния. Поскольку углы рассеяния могут изменяться в интервале — | ^ у ^ то из всего многообразия пространственных гармоник, описывающих шероховатость поверхности, к рассеянию в среду 3 (в подложку) приводят периоды, лежащие в интервале

л - 1 А л - 1 Л (,

Лтах »т 1 Лтт — лг ~ , ' И^)

Я] 7-йз УУ2 7 + Па

Интервал периодов, дающих рассеяние в воздух, получается из (14) заменой пз на пь и он всегда меньше поскольку п3 > щ = 1.

Как следует из (14), значения Лтах и Лт1П зависят от параметров волновода и Л. Если толщину волноводного слоя /г выбирать близкой к критической (7 ~ пз), то Лтах ~ Ь, а Лтт ~ Те- ^тах Достигает своего максимально возможного значения. Увеличение толщины волноводного слоя приводит к росту 7 и, следовательно, к уменьшению обоих граничных значений периода. Таким образом, изменяя параметры волновода и А, можно варьировать в довольно больших пределах интервал пространственных гармоник шероховатости поверхности, приводящих к рассеянию. Для примера укажем наиболее характерные значения граничных периодов для А = 0.63 мкм: = 0.2 мкм, Лтах от сотен до десятков микрометров. Интересно отметить, что при волноводном распространении света можно обеспечить диапазон периодов, приводящих к рассеянию, в 1.5-г 2 раза больше, чем для

66

Абду Лахад Ло Серии, Осовицтй А. Н. Рассеяние лазерного излучения

рассеяния на открытой поверхности. Эта возможность обусловлена, в основном, существенно меньшими значениями Лтт, реализуемыми при волноводном рассеянии.

Й„ :

\ . \

^ '.параболически.

\ \

<ь~ейпый \ '■

\\

V-х-.

гспхсовъш

5 КС гО к к Ч^ ¡¿<3,1 Ь л Ь< и

Рис. 3. Зависимость коэффициент рассеяния от угла для линейного изменения показателя преломления, при по = 1.614.

Другой важнейшей характеристикой процесса волноводного рассеяния на шероховатости границы является угловая зависимость рассеянной мощности в дальней зоне. Пример такой нормированной на Ро зависимости представлен на рис. 3 для случая рассеяния в подложку при А = 0.63 мкм и Ь — 1 мм. Подчеркнём, что амплитуда йп для всех пространственных гармоник предполагается одинаковой (1п — с?о — 1 нм. На приведённом графике можно выделить три области углов рассеяния. Первая и третья соответствуют рассеянию только в подложку, а углы области 2 обеспечивают рассеяние и в воздух, и в подложку. Напомним, что каждому значению угла рассеяния соответствует строго определённое значение периода шероховатости границы волновода. Если измерить угловую зависимость рассеянной мощности для конкретного волновода, то с помощью полученных в данной работе выражений, можно установить зависимость с1п от Лга, т. е. получить функцию спектральной плотности шероховатости используемой поверхности.

5. Заключение

Полученные выражения для основных характеристик процесса рассеяния и результаты их анализа указывают принципиальные направления выбора параметров волноводов для обеспечения тех или иных требований к их параметрам.

В частности для использования градиентного волновода в качестве системы передачи, необходимо выбирать параметры, обеспечивающие минимальное затухание. При реализации волноводного метода измерения шероховатости поверхности желательно наоборот добиваться максимума при заданных <1п.

Дальнейшее изучение рассеяния в градиентных волноводах целесообразно сосредоточить на сравнительном анализе рассеяния в градиентных и пленочных волноводах, а так же на учете двухмерности шероховатости реальных поверхностей.

Литература

1. Введение в интегральную оптику. / Под ред. Барноски; Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. - 367 с.

2. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974. — 576 с.

3. Андлер Г., Егоров А. А., Черемискин И. В. // Опт. и спектр. — 1984. — Т. 56.

- С. 731.

4. Osovitsky A. N., Tchelyev А. P., Tcheremiskin /. V. Guided-Wave Optics. Proc. SPIE. - 1993. - Vol. 1932, - P. 312.

5. Адаме M. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984.

6. Сычугов В. А., Чтыроки И. // Квантовая электроника. — 1982. — Т. 9, № 3.

- С. 634.

7. Сычугов В. А., Тищенко А. В. // Квантовая электроника. — 1982. — Т. 9, № 7.

- С. 1451.

8. Прохоров А. М., Спихальский А. А., Сычугов В. А. // Квантовая электроника.

- 1976. - Т. 3, № 10. - С. 2227.

9. Осовицкий А. Н., Тупанов Л. В. // Вестник РУДН, Серия «Физика». — 2001.

- № 9(1). - С. 87.

UDC 535.36:621.373:541.532

Dispersion of light in the gradient wave guides with rough border Lo Serigne Abdou Lahad, A. N. Osovitsky

Department of Radiophysics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The problem on dispersion of TE waves on rough border of the optical gradient wave guide is solved. Expressions for the attenuation factor of the wave due to dispersion under various laws of distribution of refraction index in the wave propagating layer are obtained. Comparative analysis of characteristics of dispersion process depending on parameters of the gradient wave guide and the surface roughness are carried out.