Расчет течения разреженного газа около пластины под углом атаки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 197 5

№ 2

УДК 533.6.011.8.

РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА ОКОЛО ПЛАСТИНЫ ПОД УГЛОМ АТАКИ

В. И. Власов

Метод Монте-Карло, ранее применявшийся автором для специальной модели молекул (максвелловские сферы), обобщается для произвольной модели одноатомной молекулы с конечным сечением столкновения. Приводятся результаты расчетов обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа для двух моделей молекул—псевдомаксвелловских и сфер постоянного диаметра. Как видно из результатов расчетов, аэродинамические характеристики горячей пластины слабо зависят от модели молекулы (особенно в области сильного разрежения) при одинаковых значениях числа Рейнольдса Иео, вычисленного по температуре торможения.

1. Развиваемый в работе метод Монте-Карло является видоизменением и усовершенствованием метода Левина — Хэвиленда [1, 2], в котором на каждой итерации численно моделируются случайные блуждания одной пробной молекулы на полевых молекулах с функцией распределения от предыдущей итерации. Когда пробная молекула вылетает из рассматриваемой ограниченной области течения, с границы этой области в соответствии с граничными условиями вбрасывается новая пробная молекула. В процессе движения пробной молекулы формируется функция распределения следующей итерации. Этот процесс продолжается до тех пор, пока итерации не сойдутся. Необходимость формирования и запоминания функции распределения, зависящей от нескольких переменных, предъявляет тяжелые требования к быстродействию и объему оперативной памяти ЭЦВМ, что ограничивает возможность применения метода Левина — Хэвиленда. Этот метод применялся в задачах о теплопередаче между параллельными пластинами и о профиле ударной волны [1, 2].

В работах ]3, 4] метод Левина — Хэвиленда был видоизменен таким образом, чтобы не было необходимости вычислять и запоминать функцию распределения молекул. Вместо этого в каждой пространственной ячейке запоминаются плотность газа и одна случайная скорость молекулы, которая изменяется в момент пролета пробной молекулы через эту ячейку по правилу, обеспечи-

вающему частоту запоминания, пропорциональную значению функции распределения для данной молекулярной скорости. Было показано, что при этом можно правильно моделировать движение пробной молекулы в стационарном потоке разреженного газа для квазимаксвелловской модели молекулы (максвелловская сфера), которая принимается за сферу с сечением столкновения а, обратно пропорциональным относительной скорости g двух молекул перед столкновением

а = ао/£,

где а0 = сопв^ g = |?— ?! |, % и ?! — скорости молекул перед столкновением. Ниже этот метод обобщается для произвольной модели одноатомной молекулы с конечным сечением столкновения а ^).

2. Рассмотрим стационарное течение разреженного одноатомного газа. Вокруг обтекаемого тела выделим конечную область 2 с внешней границей Г. Эту область разобьем на малые пространственные ячейки ть. На границе Г функция распределения влетающих в 2 молекул предполагается соответствующей невозмущенному течению газа. Внутри каждой ячейки <*>к параметры газа считаем

постоянными, а функцию распределения/(х, 5) — не зависящей от геометрической координаты х б0»*-

В каждой ячейке ш* запоминаем числовую плотность газа п и Один случайный вектор — скорость полевой молекулы ^ Способ получения случайных векторов ^ должен быть таким, чтобы в каждой ячейке плотность вероятности вектора ^ была равна нормированной функции распределения —/(£1). Это значит, что

1Ъ

вероятность в произвольный момент времени обнаружить в ячейке полевую скорость ?! из интервала = й\х й%у вокруг вектора \ должна равняться

я {?!€(?,

На этом поле плотности п и полевых молекулярных скоростей

?! моделируем случайные блуждания одной пробной молекулы ?, которая влетает в область 2 через внешнюю границу Г в соответствии с известной граничной функцией распределения входящих молекул. Когда молекула выходит из области 2, вместо нее вбрасываем через Г другую пробную молекулу.

Сформулируем правила запоминания полевых скоростей и столкновений пробной молекулы с полевыми.

—>

1. При пролете пробной молекулы со скорость I через ячейку за время запоминаем ее скорость \ в этой ячейке в качестве

полевой скорости $! с вероятностью, пропорциональной М.

2. : При пролете молекулы 5 через ячейку (оА за время Д* вероятность ее столкновения с полевой молекулой ?! равна ng^з(g)^t.

4—Ученые 'записки ЦАГИ № 2 49

Покажем, что если пробная молекула % движется в соответствии с функцией f(x, I), то применение правила 1 обеспечивает запоминание полевой скорости в ячейке также в соответствии

с местной функцией /(?t), а правило 2 обеспечивает правильную частоту столкновений пробной молекулы и распределение скоростей партнеров по столкновению. Пусть S$ — проекция трехмерной

ячейки о>А на плоскость, перпендикулярную вектору скорости £ лробной молекулы, влетающей в эту ячейку. Точки попадания молекулы в Sz равномерно распределены по этой области. Далее, пусть h — длина пути пробной молекулы в ячейке; | а»* | — объем

ячейки (»ft. Для любого вектора £ имеем, очевидно,

I I = J j* A ds — 7^;

здесь k — средний путь молекулы ? в ячейке.

Время пребывания пробной молекулы в ячейке

Д* = /5/6.

В соответствии с правилом 1 запоминаем скорость ? в качестве НОВОЙ полевой скорости ?! в ячейке 0)ft с вероятностью

РЕ = аД^ = аЩ, а = const.

Пусть Nk — число прохождений пробной молекулы через данную ячейку (Йй со всевозможными скоростями. Из них Л/$ — число прохождений молекулы через ячейку со скоростью из элемента

(?, й%). Имеем

= NkAS^f$)dX- А = const; '

Nk = m, = NkA j5e ?/(T)dT; .

A ~(Jseg/(T)eR)-\ ,

• Тогда частота запоминание скорости из элемента (?, d%)

V=l V ~ 1 ^

4 , - -где tj = At\ — NkA | I/(?) d\ — суммарное время, проведенное

V=I

пробной молекулой в ячейке <ЙЙ со скоростью из (?, d%). Мы видим, что частота запоминания скорости пропорциональна функции распределения. Следовательно, плотность вероятности вектора ^

1 -

в ячейке равна

Рассмотрим множество Ni попаданий пробной молекулы со ско-——*

ростью из (I, dV) в данную ячейку. Из них попаданий произошли 50

а те моменты времени, когда в ячейке была запомнена полевая

—► —►

скорость из интервала (?1, й^). Имеем

В соответствии с правилом 2 вероятность столкновения равна ‘Л£3 <Я) Ы. Тогда из числа Ме, столкнутся в ячейке с полевыми

молекулами (?„ йпробные молекулы (|, й\) в количестве

%, _

V — 1

— 1 * у |м |

где А£ А?» = -/- = ^-! — среднее время пролета через ячейку

v=l Е

—►

•юА молекулы I.

Далее

-*• -г

Из числа М прилетевших молекул (£, £#) столкнутся в ячейке молекулы в количестве.

рг=2 =м *?//£) ш а1-

Мы видим, что задание вероятности столкновения в виде ngo^.t дает правильные значения для полного числа столкновений моле-—>■

тсул (?, (1%) со всевозможными полевыми молекулами в ячейке <ой

*—► •*

и для числа столкновений Р^ с молекулами (%и й?,).

Чтобы обойти особенность Д? оо при I 0, а также для экономии случайных чисел правила для запоминания полевых молекулярных скоростей и для столкновений пробной молекулы можно •сформулировать так.

3. Запоминать в соответствующей ячейке скорость % пробной молекулы в качестве полевой скорости через равные промежутки времени при движении пробной молекулы, где порядка среднего времени свободного пробега пробной молекулы.

4. Сразу после выхода с границы или после очередного столкновения вычисляем величину

Т — — 1п /?,

где Н — случайное число, равномерно распределенное в интервале {0,1); затем для каждой проходимой ячейки, при ^^>ngoН, вычисляем новое значение .

%' = т — ng<зht

и проходим ячейку без столкновения, а если х < ng<з^t, то пробная

молекула \ сталкивается в этой ячейке с полевой молекулой и время до столкновения определяем по формуле

При запоминании скорости I через время количество Ре за; ' —>■ —V

поминаний в ячейке скорости из (£, равно

= (2) где ^ — полное время, которое пробная молекула провела в данной

■ >■ —►

ячейке <ок, имея скорость из (?, ё%). Сравнивая (1) и (2), видим, что правила 1 и 3 эквивалентны при £0=1/аи дают частоту запоминания, пропорциональную функции распределения.

Покажем справедливость правила 4. Пусть молекула без столкновений проходит ряд ячеек сой, вероятности столкновений в которых Pk = (ngaДг%<С1- Вероятность пролета без столкновений К ячеек

6=1

к=1

где / (^) есть вероятность того, что время свободного пробега & > т. е. это функция распределения 0. Как известно, величину & можно находить из уравнения Т7(&) = /?, где /? — случайное число,, равномерно распределенное в интервале (0, 1).

Имеем

П(1-^*) = Я;

к

2ш(1 -рк)=~^рк-

1п /?;

(3)

- іпя.

Отсюда получаем правило 4. Для случая максвелловских сфер^ у которых сечения а обратно пропорциональны g, я = а0/^-, условие (3) принимает вид

о0 ^ (пМ)к = — 1п Я.

*

Вычисление параметров газа в какой-либо ячейке шк проводим путем осреднения соответствующих молекулярных признаков по суммарному времени пребывания пробной молекулы в этой ячейке [4]. Так как в начале расчета поле плотности неизвестно, то расчет ведется по итерациям. Задается начальное приближение к полю плотности «0, а также начальное распределение полевых молекулярных скоростей (по одной в каждой пространственной ячейке <йа). В процессе моделирования блужданий пробной молекулы вычисляется новое поле плотности п1. Затем расчет повторяется на новом поле плотности и т. д. до тех пор, пока итерации не сойдутся в пределах малой случайной ошибки. При вичислении v-й итерации, в которой используется поле плотности п-,-1 от предыдущей итерации, функция распределения пробных молекул

/,(.*, Ц дает новое поле плотности п^(х). Полевые молекулы имеют

при этом плотность вероятности /, (х, ?!)/«,. Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые проводятся при выводе уравнения Больцмана, получим уравнение для /,(*, Е)

= —■ Г(/; Д —/,/Ч1) ^ ЛЬ й? д* * ^

Предполагая процесс итераций сходящимся, при «ч_х = я, получим уравнение Больцмана.

3. Методом, изложенным выше, проводились расчеты обтекания плоской пластины конечной длины й и бесконечного размаха гипер-звуковым потоком одноатомного разреженного газа. Отражение молекул от поверхности пластины диффузное с полной аккомодацией. В расчетах применялись две модели молекул — максвелловские сферы и твердые сферы постоянного диаметра.

На фиг. 1—3 приведены рассчитанные значения аэродинамических коэффициентов горячей пластины, температура которой равнялась температуре торможения Т0, при значении числа М=10 для двух углов атаки а == 5° и 15°.

¥

0,2

0,3 3 Иед 30

Фиг. 1

ОЛ

0,2

О

+ максделлоЗсхие сферы о твердые сферы

9 т>

С 3 ¥

< )

1*

г г £ II 3

© * >1

Ъс — 5 0 >-

X > Ф

<

0?3 3 Пе^ 30

Фиг. 2

1 + маисбеллодсиие^ сферы о твердые сферы

& С Ь

II 8 с )

э

к с э

* II с.

< > < > ¥ я . с

т,

0,2

+ максВеллоВские сферы о твердые сферы

0

+ о 4 Р~

£ II X

ос = < 1 * * !

¥

< >

О!

0,3

3

Фиг. 3

Ле0 30

в + максвелловские сферы -, т^т--о,ооп^т0 о твердые сферы ь твердые сферы Т!1Г- 0,05Т0

— < 1 0 V

к ч Р

К д 2

1- Т

М =20 ь *—

0.2

0,1

0,3

3

' Фиг. 4

Яев 30

I

а, а с 3

f <- '

8

0 М- 20 ос - 5*

д

с*

0.10

0,05

+ максвелловские сферы 7^= Та л твердые сферы Тш= 0,05Т0 о твердые сферы ГпГТ^

0.3

3

Фиг. 5

Пе0 30

В качестве определяющего параметра взято число Ие0 = = роо Усовычисленное по значениям плотности и скорости газа в невозмущенном потоке и по значению коэффициента вязкости при температуре торможения. Как видно из графиков, аэродинамические характеристики горячей пластины слабо зависят от модели молекулы при Ке0^30. Вычислительные детали метода изложены в работах [3, 4]. В настоящей работе расчеты для псевдо-максвелловских. молекул проведены заново с большей точностью, чем в указанных работах.

На фиг. 4, 5 приведены рассчитанные значения коэффициентов сопротивления и подъемной силы, для холодной пластины при М = 20 и а = 5°. Как видим, в отличие от горячей пластины аэродинамические характеристики холодной пластины существенно зависят от модели молекул — в том же диапазоне чисел Ке0-<30. Поскольку в реальных потоках с высоким значением Т0 молекулы ближе к твердым сферам, чем к максвелловским молекулам, то для твердых сфер были сделаны более подробные расчеты с оценкой влияния температуры пластины. Как видно, результаты для. Тт = Гсо = 0,007444 Т0 и Тт = 0,05 Т0 близки, и малая температура пластины слабо влияет на аэродинамические характеристики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Наviland J. К., Lavin М. L. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas. Phys. Fluids, vol. 5, N 11, 1962.

2. H a v і 1 a n d J. K. The solution of two molecular flow problems by the Monte-Carlo method. Methods in computational physics, vol. 4, 1965. (Перевод в сб. „Вычислительные методы в динамике разреженных газов”. М., „Мир", 1969).

3. Власов В. И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 6, 1971.

4. Власов В. И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.

Рукопись поступила ljIV 1974 г.