Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

________У ЧЕНЫЕ ЗА ПИСКИ Ц А Г И

Том IV ....... 1~973 ....“Г

М-1,

УДК 533.6.011.8 ! ::! ' " '

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНЫ ПЙД^^ЛОМ АТАКИ ПОТОКОМ РАЗРЕЖЕННОГО ¿АЗА

В. И. Власов ; м .и

Дано изложение метода Монте-Карло да* расчета течении разреженного газа около пластины, помещенной в потоке под углом атаки. Расчеты проводились при числе М==10 в ре^еяодаой области между режимом сплошной среды й свободномолекулярным течением. Дано сравнение с результатами экспериментов, а также с расчетами по теории сильного .взаимодействия внешнего поток.» с пограничным слоем. В расчете обнаружено заметное влиядре,, малой, толщины; пластины (й/й = 0,03) не только на сопротивление, »о и на величину подъемной силы в области ігочти континуалыгог© течения при угле атаки а = 5°. ;; ■■■ ) . .. -г;.;. .

1. Плоская пластина бесконечного размаха, длиной d и малой толщиной о помещена под углом атаки а н гийёрэвуковой поток одноатомного разреженного газа, имеющего следующие параметры на бесконечности: р^ — плотность, 'У» — скорость, Г,„ — температура. При 8 > 0 пластина имеет прямоугЬльйО'е нойеречное сечение. Число М течения М = Vx Л 1, где т — масса моле-

f О«I оо

кулы газа, ¿ — постоянная Больцмана. Модель молекул газа— максвелловская сфера, сечение столкновения которой з обратно пропорционально относительной скорости g перед1столкновением:

5 = 30 l.gl ... > • . . (Г>

здесь з0 = const; £ = 1?— ii |; i и E, — скорости сталкивающихся молекул. I ; .

Коэффициент вязкости газа, состоящего из таких молекул, равен 1

2kT ' т

¡1 =-----. (г)

30

Следовательно, эта модель молекул аналогична максвелловской модели, для которой коэффициент вязкости газа также пропорционален температуре. Число Рейнольдса Re0 = р,Vxd/\>.0, определенное по значению коэффициента вязкости соответствующему температуре торможения Тп, принадлежит переходной области

2 — Ученые записки ЦАГИ \s !

17

значений 0,-1 ——30, л где не применимы уравнения Навье — Стокса и для определения параметров течения надо решать кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения скоростей молекул f(x, у, Z), зависящей в данном случае от пяти переменных. В работе предполагается, что отражение молекул от поверхности обтекаемого тела является диффузным, т. е. функция распределения отраженных от пластины молекул — максвелловская при температуре пластины Г„ и с нулевой средней скоростью.

2. Краткое описание применяемого в статье метода Монте — Карло дано в статьях [1] —[3]. В статье [3] проведен расчет аэродинамических характеристик пластины нулевой толщины 8 = 0. Ниже дается более подробное изложение метода,решения в применении к рассматриваемой задачё.

Сущность -'метода заключается в моделировании с помощью ЭЦВМ случайных блужданий одной пробной молекулы на фоне полевых молекул, распределение скоростей которых в процессе движения пробной молекулы изменяется таким образом, чтобы в среднем за большой промежуток времени это распределение

соответствовало искомой функции / (х, у, £).

Вокруг пластины "Выделяется прямоугольная область 2 с длинами сторон tx'% taa внешней границе Г которой функция распределения. нее молекул предполагается, невозмущенной. Область S2 разбивается на малые,прямоугольные ячейки *»г;, внутри которых параметры газа считаются постоянными.

Вычисление иараметрР8 г^за в ячейках основано на эрго-дической гипотезе, согласно которой фазовые средние равны соответствующим средним по времени. В процессе моделирования случайных блужданий пробной молекулы накапливалось и запоминалось общее время ее пребывания в какой-либо ячейке (ЕД£)г/. Для всех ячеек также накапливались величины {ЩМ)и, где ф = Еу, Д2—.функции скорости: пробной молекулы в момент ее . пребывания в соответствующей ячейке u»iy. Для достаточно большого времени слежения за пробной молекулой с точностью до малых случайных ошибок можно полагать, например, среднюю скорость молекул газа в ячейке ш(7

: - №Ш)и

... (3)

Когда пробная молекула выходит из области 2, вместо нее с внешней границы области в соответствии с невозмущенной функцией распределения вбрасывается новая пробная молекула. Если N — число разыгранных траекторий, каждая из которых начинается и кончается на внешней границе области Q, а /V,, N3, N3, — коли-

чество пробных молекул, вошедших в область Я через грани I, II, HI, IV (N = Nl + Аг2 4- 4- yV4), то в соответствии с граничными

условиями вбрасывание молекул через грани производится в нро-порциях

'V.-A, j AW, J U (4)

где

ey>0

( m

exp

m(5- Vxy

2kTan

(5)

/«,(£)— невозмущенная функция распределения, Поо = — числовая плотность газа. .

Положение вброшенной молекулы на соответствующей грани области 2 выбирается равновероятно, например, на грани I

x¡ = _ (/1 — d), = j^/?v — i-j /2, (6)

где /?v — очередное случайное число, равномерно распределенное в интервале (0,1). Скорость молекулы на границе Г вычисляется

как реализация случайного вектора ?, плотность рероятности которого пропорциональна функции !„/<»($), где ?„>()—проекции вектора S на внутреннюю нормаль к границе. Например, для грани I

компоненты скорости ? пробной молекулы, влетевшей в область 2, выражаются следующим образом через три случайных числа

fí.+u Я.~2' .......

= Voo sin а + U7 COS <р; %г — W sin <р; ¡

W-.

V

2k

m

Too ln Я»; f — 2r/?v+1;

5,== Ideosa -}- r

V

Г 2k

m

(7)

m

где r Voo cos а |/ определяется как обратная функция

/■'“'(Я) от случайного числа Rv+2;

F(r) = [(erf г + erfSJ cos a + —-~=z[e~Sx — e~'*)

S V r .

X

X (1 + erf Sx) cos a -[-

1

-si

здесь 5 = V0

Sy-i:

-l

(8)

m

Г 5

= м у f, sx

■ S cos a.

2кТх

Обратная функция /7-1 (/?) (0 •<■/?< 1) заранее вычислялась и кусочно аппроксимировалась линейными функциями, коэффициенты которых запоминались.

Если п — числовая плотность газа в какой-либо ячейке а М — время пребывания пробной молекулы в этой ячейке, то вероятность ее столкновения

ы з&/ (?!) — а0 пЫ. (9)

Практически для экономии времени счета момент столкновения пробной молекулы определяется следующим образом. Функция распределения случайной величины— времени свободного пробега 8,

/>(0) = ехр , где интеграл берется вдоль траектории

молекулы. Следовательно, & можно находить из уравнений

’ р (в) - Я;

Сразу после влета молекулы в область 2 или после очередного ее столкновения с полевой молекулой через случайное число /? вычисляется величина

* ==— 1п/?. - (11)

30

Затем по мере движения молекулы через ячейки величина -уменьшается на

......... х'= (12)

Пока т>0, пробная молекула Движется свободно, а в той ячейке, для которой впервые-получилось -с•<0,.происходит столкновение.

Для расчета свободного движения пробной молекулы не нужно распределение полевых молекул; для молекулярной модели максвелловских сфер надо знать только плотность газа на пути молекулы. Скорость полевой молекулы с которой сталкивается

пробная молекула £, должна быть реализацией случайного вектора с плотностью распределения

<13>

С другой стороны, частота попадания пробной молекулы

* * . * • ; 1 . *

в ячейку юг/- со скоростью, близкой к данной ?, пропорциональна величине

Следовательно, частота столкновений в ячейке *>и пробных молекул, имеющих скорости, близкие к скорости с, пропорциональна величине

?/(5)во«Д£~/(Е). (14)

Сравнивая (13) и (14), видим, что в качестве скорости полевой молекулы в ячейке можно запоминать скорость ?, которую имела пробная молекула перед тем, как в последний раз столкнулась в этой ячейке с полевой молекулой. При этом последовательные столкновения пробной молекулы в данной ячейке ши

будут происходить с полевыми молекулами, скорости которых

1

распределены в соответствии с ПЛОТНОСТЬЮ вероятности ----------/(?!).

/I

Таким образом, в каждой малой геометрической ячейке <о/;-вместо ‘ -—^ — > функции распределения /(£) запоминался один вектор скорости V Вычисление новой скорости V пробной молекулы производилось по формуле для столкновения; упругих сфер

где е — случайный вектор, равномерно распределенный на единичной сфере. Его компоненты выражаются через два случайных числа /?ч, следующим образом:

После столкновения вычислялось новое значение 1 по (11) И расчет продолжался.

Когда пробная молекула сталкивается с пластиной, добавляются слагаемые в накапливаемые для пластины суммы:

Здесь х, у — координаты точки удара молекулы о пластину; знак плюс берется для падающих молекул, минус —для отраженных. Если М0 — поток молекул в область 2 через ее границу в соответствии с невозмущенной функцией распределения

то воздействие потока на пластину выразится следующим образом:

Скорость молекулы, отраженной от пластины, определяется в соответствии с диффузным законом отражения

как и для торцов пластины.

Для расчета движения и столкновений пробной молекулы надо знать поле плотности и распределение скоростей полевых молекул. Распределение полевых скоростей получается в процессе моделирования блужданий пробной молекулы. Истинное поле плотности, так же как и все остальные необходимые характеристики течения, вычисляется по итерациям. В Качестве начальной итерации принималось невозмущенное состояние газа п —пх. Затем вычислялась следующая итерация поля плотности и расчет повторялся до тех пор, пока итерации не сходились в пределах малой случайной ошибки. Во всех случаях оказалось достаточно трех итераций.

(16)

(17)

(18)

Плотность газа в ячейке вычисляется аналогично

6„ = | Є,|=иГя;

%-х = сое в*;

Бтг = віп <р,;

(19)

Ф- = 2я/?, + 2,

в,г

о энсперимент 0 = В.Ш М-10

«_+— расчет > 6- --в а-/ 0

Д г р*о,ол 1заима/ейст!ие 7

сильное \

о О^ эгТ* — \

£ " •д- Ь О $> 4 0 ч

,*.•+ \

\

V

\ \ ,

0,1

10

Фиг. I

100 Не а

М-10 осв5# Т^ -Ту ° эксперимент, 6=0,03Ч ' —■¥—расчет ,■ 6*0 —ь—расчет, $*0,031 сильное /лаимоде!1ст1ие

N

:-н ч 1

>0 к°

I— о 0 0 V

О

0.1

0,1

10 Фиг. 2

Лев

М-10 Г'лГ~Тд

и* s

4г г1 N ‘"а \ ч

•Л— О

о знсперимент; 5=0, ОЛ —+—расчет > 6~0 ' ' "■■ __л__ „ ,8‘0,0Л — сильное /¿аимовейстОие 1 ' " ‘ с с, О

0,1

0,05

0,1

1В Фиг. 3

100

Яе.

x*Ü,Jä x,'d jct*7i -r. 'Зі

Фиг. 4

.ЪП>

Величина з0 определялась из задаваемого числа Рейнольдса

роо Veo d Роо Уоо °0 d

1 fio - 2 kT0 ’

Re0:

где То—Гоо^І — температура торможения.

Вычисленные компоненты Рх, /"у силы, действующей на пластину, приводились к проекциям сопротивление — подъемная сила,

действующим параллельно и перпендикулярно вектору скорости Уж:

2

---------5— (/^СОва + ^уЗІпа);

Роо Vio d

2

Су —------------2—• (Fy cos а — F v sin а);

pao ^oo d

2 її

mr=---------------------5—— M,.

‘ Рае id d 2 2

(20)

3. Для сравнения с экспериментальными результатами [4] параметры задачи были взяты такими же или близкими: число М = 10 в расчете, в эксперименте 5<М<10, угол атаки а = 5°; относительная толщина пластины 8/d = О и 0,03 в расчете, 8/d=0,03 в эксперименте; температура пластины в расчете, как и в эксперименте, равнялась температуре торможения Tw — T0\ число Re0 изменялось в диапазоне от 0,1 до 30.

На фиг. 1—3 дано сравнение результатов расчета с экспериментом [4] для сх, cr mz при а = 5°. Там же нанесены результаты расчетов [4] по теории сильного взаимодействия внешнего потока с пограничным слоем. Из расчетов по методу Монте-Карло видно значительное влияние малой толщины пластины не только на сопротивление, но также на подъемную силу и момент в области почти континуального режима. На фиг. 4 и 5 приведены профили плотности и компоненты Vy — скорости потока в некоторых сечениях x¡ = const для а = 5°, Ree = 30, 8 = 0,03 d.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов. Докл. АН СССР, т. 167, № 5, 1966.

2. Власов В. И. Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе. .Ученые записки ЦАГИ“ т. 1, № 4, 1970.

3. Власов В. И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. .Ученые записки ЦАГИ", т. И, № 6, 1971.

4. Гусев В. Н., Коган М. Н., П е р е п у х о в В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

Рукопись поступила 4¡/V ¡972 г.