CC BY
10Решетневские чтения. 2017
УДК 539.3+539.4
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ АРМИРОВАНИЕМ
Ю. В. Немировский1, Н. А. Федорова2
1Институт теоретической и прикладной механики имени С. А. Христиановича СО РАН Российская Федерация, 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская 4/1 E-mail: nemirov@itam.nsc.ru 2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: feodorova.natalia@mail.ru
В рамках плоской задачи неоднородной линейной анизотропной теории упругости на основе структурной модели выполнено моделирование композита, армированного семействами криволинейных волокон. Полученные решения позволяют проектировать элементы авиационных конструкций с требуемыми для практики свойствами.
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории, прочность.
DIRECT AND INVERSE PROBLEMS OF PLANAR CONSTRUCTIONS REINFORCED
BY CURVILINEAR STRUCTURES
Y. V. Nemirovsky1, N. A. Feodorova2
1Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS 4/1 Institutskaya Str., Novosibirsk, 630090, Russia E-mail: nemirov@itam.nsc.ru
2Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: feodorova.natalia@mail.ru
Mathematical simulation of composite material reinforced by sets of curvilinear fibers is done by reference to the structural model within the heterogeneous anisotropic linear elasticity problem. The obtained solutions allow to design airframe elements which exhibit the required properties.
Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories, strength.
В работах авторов [1; 2] сформулирована плоская где Em - модуль Юнга материала m-го семейства
задача аршфсшатсш среды в криволинейш,1х ортогс^ волокон. Связь напряжений и деформаций для неод-
нальных вю^дагатж ц), которая вклшчает урав- нородного армированного материала запишем в виде
нения равновесия, обобщенный закон Дшамеля- *
Неймана в условиях термоупругого анизотропного CTj = a CTj +^CTm<mlmilmj,где напряжения в связуш-
деформирования, соотношения для напряжений в во- m=
локне на основе структурной модели [3]. Пусть арми- щем CTj определяем по формулам
рование выполнено k семействами волокон, <m -
углы армирования m -м семейством волокон ст1- = ~ v)( + ve.-ас (1 + v)T), (m = 1,..., k), являются непрерывными функциями
координат, em - деформация в волокне, <э - интен- стс. = ---е.., j = 3-i,i = 1,2,
m „ m j (1 + v) j
сивность армирования m -м семейством волокон. Де- v '
формации в волокне определим по структурной моде- где E, v- соответственно модуль Юнга и коэффици-
ли [3] k
е l2 +е l2 +е l l =р0 ент Пуассона связующего материала, a = 1 -Vrom -
11 m1 22 m 2 12 m1 m 2 m' ,
m=1
em = em +eTm, eTm = aamT, удельная интенсивность прослоек связующего между
, , a армирующими слоями. При наложении дополнитель-
где lm1 = cos <m, lm2 = sin <m, am - коэффициент ли- F ^ „ F
m m2 m m ных условий постоянства сечений волокон (рацио-
нейного расширения т-го семейства волокон; T - за- нальное армирование), что соответствует условиям
данная постоянная температура. Напряжение в волок- технологического процесса, интенсивность армирова-
не CTm находим по формуле am = Emem + EmeTm , ния rom удовлетворяет следующим соотношениям
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
(H 2 ®m COS 9m ) + —" (Hl®m Sin Фт ) = 0. (1)
oq
Интенсивность rom определяется из (1) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий.
В рамках прямой задачи выполнено рациональное проектирование плоских волокнистых композитов, армированных непрерывными семействами криволинейных волокон. Выполнено моделирование для одного, двух, трех семейств криволинейных волокон и им изогональных траекторий [4-6]. Такой подход позволил решить прикладные задачи о прочности криволинейно армированных вращающихся дисков, являющимися элементами конструкций ответственного назначения [7].
Разработанный подход позволяет поставить и решить для различных механических ограничений обратную задачу об определении направлений рационального армирования. Задача рассмотрена для симметрической относительно срединной поверхности пластины [8]. Пластина состоит из прослоек связующего и прослоек арматуры. Прослойки тонкие, в пластине реализуется плоское напряженное состояние. Температура постоянна по толщине пластины. Ограничения рассмотрены на число семейств армирующих волокон, условий равнонапряженности некоторых из семейств, равной трещиностойкости связущего.
Сформулированы разрешающие системы дифференциальных уравнений, детерминантным методом исследован их тип, поставлены краевые задачи, приведены частные решения задач о нахождении неизвестных направлений армирования. Выделено два класса задач по способам ввода семейств армирующих волокон. К первому классу относятся независимые семейства волокон (нет ограничений на семейства волокон). Ко второму классу относятся связанные семейства волокон. При рациональном армировании на функции, задающие траектории армирования семействами волокон, наложены дополнительные ограничения, например, для двух семейств волокон вводится условие их изогональности.
Библиографические ссылки
1. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов : монография / СФУ. Красноярск, 2010. 136 с.
2. Федорова Н. А. Управление криволинейными структурами армирования плоских конструкций // Известия Алтайского государственного университета. Серия математика и механика. 2014. № 1/1(81). С. 130-133.
3. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P. 898-903.
4. Федорова Н. А. Решение плоской задачи упругой среды, армированной тремя семействами волокон // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. Спец. выпуск. С. 90-99.
5. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Решение плоской задачи для металлокомпозита, армированного одним семейством криволинейных волокон // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 2 (32). С. 3-16.
6. Галанин М. П., Федорова Н. А. Армирование плоских конструкций по изогональным траекториям : препринт // ИПМ им. М. В. Келдыша. 2017. № 33. 16 с.
7. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. Т. 56. № 7/3. С. 191-196.
8. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельные деформации термоупругих плоских конструкций с криволинейным армированием // Вестник СибГАУ. Т. 17, № 1. 2016. С. 73-78.
References
1. Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A. Mate-maticheskoe modelirovanie ploskikh konstruktsii iz armi-rovann^ykh voloknisfykh materialov. Krasnoyarsk : Sib. Fed. Univ., 2010. 136 р. (In Russ.)
2. Fedorova N. A. Upravlenie krivolinejnymi strukturami armirovanija ploskih konstrukcij // Izvestija Alta-jskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija matematika i mehanika. 2014. № 1/1(81). Р. 130-133. (In Russ.)
3. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. Vol. 12. 1970.
4. Fedorova N. A. Reshenie ploskoj zadachi uprugoj sredy, armirovannoj tremja semejstvami volokon // Vychislitel'nye tehnologii. 2005. T. 10. Spec. vypusk. Р. 90-99. (In Russ.)
5. Nemirovskij Ju. V., Fedorova N. A. Reshenie ploskoj zadachi dlja metallokompozita, armirovannogo odnim semejstvom krivolinejnyh volokon // Vestnik ChGPU im. I. J a. Jakovleva. Serija: Mehanika pre-del'nogo sostojanija. 2017. № 2 (32). Р. 3-16. (In Russ.)
6. Galanin M. P., Fedorova N. A. Armirovanie ploskih konstrukcij po izogonal'nym traektorijam // Preprint IPM im. M. V. Keldysha. 2017. № 33. 16 р. (In Russ.)
7. Nemirovsiky Yu. V., Feodorova N. A. Predel'noye deformirovaniye diskov gazovykh i gidroturbin pri razlichnykh strukturakh armirovaniya // Izvestia vuzov. Phisics. 2013. Vol. 56. № 7/3. Р. 191-196. (In Russ.)
8. Nemirovskij Ju. V., Fedorova N. A. Predel'nye de-formacii termouprugih ploskih konstrukcij s krivoline-jnym armirovaniem // Vestnik SibSAU. T. 17, № 1. 2016.
73-78. (In Russ.)
© Немировский Ю. В., Федорова Н. А., 2017
