CC BY
22
УДК 539.3+539.4
Вестник СибГАУ Том 17, № 1. С. 73-78
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕРМОУПРУГИХ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ АРМИРОВАНИЕМ
Ю. В. Немировский1, Н. А. Федорова2*
1Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН Российская Федерация, 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1 2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26 E-mail: feodorova.natalia@mail.ru
Представлена разработка нового научно-методологического подхода в создании плоских авиационных конструкций путем армирования семействами криволинейных волокон. Математическое моделирование выполнено на основе структурной модели композита в рамках плоской неоднородной линейной задачи термоупругости в криволинейной системе координат. Получена разрешающая система дифференциальных уравнений. На ее основе ставится как прямая, так и обратная задача армированной среды. Сформулированы краевые условия в криволинейной системе координат. В осесимметрической постановке задачи получена разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Эта система является системой дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной. Построен эффективный численный метод, учитывающий особенности разрешающей системы для армированной среды. В рамках прямой задачи в условиях осесимметрической деформации плоской конструкции рассмотрены комбинации двух семейств криволинейных траекторий. В качестве примера таких семейств приведены семейства логарифмических спиралей и им изогональных траекторий, семейство спиралей Архимеда и семейство траекторий «спицы велоколеса», семейство логарифмических спиралей и семейство «спицы велоколеса». Рассмотрены эффективные и рациональные структуры армирования. Интенсивность армирования рассмотрена при наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон, что соответствует условиям технологического процесса. Введена интегральная характеристика эффективности армирования - расход арматуры. Проанализированы свойства расхода арматуры в зависимости от начальных стадий технологического процесса для различных криволинейных траекторий армирования двумя семействами криволинейных волокон. Поставлена обратная задача для симметрической относительно срединной поверхности пластины. Пластина состоит из прослоек связующего и прослоек арматуры. Прослойки тонкие, в пластине реализуется плоское напряженное состояние. Температура постоянная по толщине пластины. Прослойки связующего выполнены из изотропного материала, на них наложено дополнительное условие равной трещиностойкости.
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории, термоупругость, трещи-ностойкость, предельные деформации.
Vestnik SibGAU Vol. 17, No. 1, P. 73-78
BREAKING STRAINS OF PLANAR THERMOELASTIC CONSTRUCTIONS REINFORCED
BY CURVILINEAR STRUCTURES
Y. V. Nemirovsky1, N. A. Feodorova2*
1Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS 4/1, Institutskaya Str., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
2Siberian Federal University 26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: feodorova.natalia@mail.ru
This paper describes a new methodological approach to development of planar aeronautical constructions reinforced by curvilinear fibers sets. The structural model of composite in terms of the planar non-homogeneous thermoelasticity problem in the case of curvilinear coordinates is used to simulate the problem. The resolving system of differential equations is obtained. The direct problem and the inverse problem of a material reinforcement are stated on the basis of this system. The boundary conditions are defined for curvilinear coordinates. The resolving system of differential equations with radial and circular movement's variables is obtained for an axisymmetric problem. This
system is a second-order differential equations system, highest derivatives of which are not isolated. The effective numerical method which takes into account the factors of the resolving system for a reinforced material is designed. Different mixed configurations of two sets of curvilinear trajectories are considered for the direct problem when a planar construction is under conditions of axisymmetric strain. The following examples are described: the logarithmic spiral trajectories set and the set of trajectories isogonal to it (to logarithmic spiral), the Archimedean spiral trajectories set and the "wheel spokes" trajectories set, the logarithmic spiral trajectories set and the "wheel spokes" trajectories set. Effective reinforcement structures and reasonable reinforcement structures are studied. The reinforcement power is considered with subject to additional conditions of fibers cross-sections constancy. It corresponds to the industrial process conditions. The reinforcement effectiveness integral characteristic is defined. It is called an "armature spending". Its properties are studied for different initial states of an industrial process and for different curvilinear trajectories of reinforcement by two curvilinear fibers sets. The inverse problem for a plate which is symmetric with respect to its median surface is stated. A plate consists of a binding material layer and an armature layer. Layers are thin. A plate has a plain stress condition. The temperature is constant across a plate cross-section. A binding material layer is isotropic and equal cracking resistant.
Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories, thermoelastic, cracking resistance, breaking strains.
Введение. Современные волокнистые композиты являются неоднородными анизотропными материалами. Упругость и неупругость волокнистых композитов определяется типом арматуры (стекло-, боро-, угле- и органоволокна) и матриц (полимерных, углеродных, металлических, керамических), степенью их взаимодействия в композите, а также углом нагру-жения относительно направлений армирования. Композиты обладают двумя уровнями неоднородности -микронеоднородностью (монослой, составленный из волокон и связующего) и макронеоднородностью (слоистая структура, составленная из монослоев, с произвольной укладкой по толщине пакета). Отсюда два направления в механике композитов: микро-и макромеханика. Сочетанию микро- и макроструктур композита в задаче оптимизации посвящена недавняя работа коллектива зарубежных авторов [1]. Для зарубежной литературы характерно наличие большого количества работ по композитам, описывающих гиперупругость при условии конечных деформаций, например [2; 3]. Структурно-неоднородная среда по своему физико-механическому поведению значительно богаче однородного материала. Разнообразие возможных ситуаций в процессе деформирования и разрушения композитов делает изучение этих материалов привлекательным для специалистов из разных областей механики твердого тела. Например, в волокнистых композитах на уровне армирующих элементов всегда имеются микродефекты - трещины, обусловленные не только несовершенством технологии, но и отступлением от идеализированной модели материала. Центральным моментом в механике волокнистых композитов является существенный учет структуры материала на уровне армирующих элементов - обстоятельство, не характерное для классической механики твердого тела. На уровне армирующих элементов создаются механические свойства материала; управляя укладкой волокон, можно в определенных пределах управлять полями сопротивления материала, «подстраивая» их под действующие усилия. Общий подход построения механики волокнистых композитов представлен в монографии [4].
В настоящее время возможности существенного прироста прочностных характеристик сталей, алюми-
ниевых, титановых и магниевых сплавов практически исчерпаны, и поэтому для значительного улучшения технических параметров в объектах ответственного назначения необходимо использовать разнообразный спектр современных композитных материалов, сочетающих высокую удельную прочность и жесткость с другими ценными качествами: высокой технологичностью изготовления конструкций из них, повышенной стойкостью к агрессивным средам.
В современной аэрокосмической промышленности широко используются тонкостенные элементы из волокнистых композитных материалов. Волокнистое армирование позволяет применять новые принципы проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и изделие создаются одновременно в рамках единого технологического процесса. В результате получается изделие с новыми уникальными эксплуатационными качествами. До недавнего времени армирование осуществлялось преимущественно прямолинейными волокнами. Такие структуры армирования не могут быть эффективны для конструкций с большими градиентами полей напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов, часто встречающихся при создании реальных объектов. В этом случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными структурами армирования, согласованными с реальными требованиями эксплуатации соответствующих изделий.
Постановка задачи. В работах [5; 6] сформулирована плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах (^), которая
включает уравнения равновесия, обобщенный закон Дюамеля-Неймана в условиях термоупругого анизотропного деформирования [7-9], соотношения для напряжений в волокне на основе структурной модели [10]. Пусть армирование выполнено к семействами волокон, фм - углы армирования т-м семейством волокон (т = 1, ...,к ), являются непрерывными функциями координат, ет -деформация в волокне, ют - интенсивность армирования т-м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [10] 2 2 0 8111т1 +г221т2 + г121т1 1т2 = 8т, (1)
где lml = cos фт, lm2 = sin фт, а"т - коэффициент линейного температурного расширения материала т-го семейства волокон; Т - заданная постоянная температура. Напряжение в волокне от находим по формуле
«34 = -mlLT + ^ ®m sin Фт C0s Фт
= Em (е11 c0s2 Фт + Е22 sin2 Фт + + е12 C0s Фт sin Фт ) + ^ ,
(2)
где Ет - модуль Юнга материала т-го семейства волокон; <зТт = ЕтаатТ . Связь напряжений О] и деформаций £у для неоднородного армированного мате-
к
риала запишем в виде = а + ®т1тг1т],
т=1
где напряжения в связующем определим по формулам с учетом поля температур [7]: с Е
о„ = -
(1 -V2) E
( ■
'» „ 2 Л"» +Ve JJ-a
(1+ v)T ),
= (Г7у)е]' ] =3—4г =1 2'
где Е, V, ас — соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного температурного расширения связующего материала;
' = 1 -ХШт -
т=1
связующего между армирующими слоями. Напряжения с учетом структурных характеристик имеют вид [5; 6]
011 = а11£11 + а12£22 + а12е12 + а14 ,
О22 = а12е11 + а22£22 + а23£12 + а24, (3)
012 = а13£11 + а23е22 + а33е12 + а34.
Приведем коэффициенты в (3) а], г = 1,3, ] = 1,4,
учитывающие все структурные характеристики и влияние поля температур:
*
т
а11 = т1 Ет®т С08" Фт ,
т=1 *
т
а12 =Vm1 Ет®т 81п2 Фт С^2 Фт ,
т=1
*
т
а13 =Е Ет®т Фт вШ Фт ,
т=1
(4)
«22 = m1 +Z Em®m sin4 Фт > т=1
«23 = Z Em ®т C0s Фт ^ Фт
т=1
1 -V2
1 + V
удельная интенсивность прослоек
«33 = m2 + Z Em ®т sin2 Фт C0s2 Фт >
ЬТ =ас (1 + v)T. При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон, что соответствует условиям технологического процесса, интенсивность армирования ®т удовлетворяет следующим соотношениям [11]
5 5
ТГ (Н2®т С08 Фт ) +5- (Н1®т вШ Фт ) = 0. (5)
5с, 5-
Интенсивность ®т определяется из (5) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе [12] построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий.
В рамках прямой задачи (известна структура армирования) замкнутая разрешающая система формулируется относительно компонент тензора деформации, поставлена краевая задача в криволинейных координатах [5; 6]. Коэффициенты системы и краевых условий содержат все структурные характеристики композита: заданные углы армирования, интенсивность армирования, механические характеристики материалов связующего и арматуры. В случае осе-симметрической задачи (концентрическое кольцо) армирование проводится одним, двумя и тремя семействами волокон, представляющих собой алгебраические спирали и им изогональные траектории [12]. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Особенность полученной системы состоит в том, что она является системой, неразрешенной относительно старшей производной. На основе монографии [13] для такой системы разработан новый эффективный численный метод, учитывающий особенности армированной среды и уменьшающий ошибки численного счета [14]. Такой подход позволяет решать задачи о криволинейно армированных вращающихся дисках, являющихся элементами конструкций ответственного назначения [15].
Анализ признака «расход арматуры». Для анализа эффективности конструкции вводится характеристика армирования - расход арматуры [11]. Обозначим ее символом В. Для армирования кольцевой пластины двумя семействами волокон в полярной системе координат расход арматуры определяется по формуле
Л2
В = | Л(®!( Л) + ®2( Л))Ж,
«14 =-m1LT +am ®m C0s2 Фт «24 =-m1LT +am ®m sin2 Фт
где Л - линейный размер пластины, Л е[Л1, Л2]; ю1 - интенсивность армирования первым семейством
m=1
волокон; ю2 - интенсивность армирования вторым семейством волокон. Проводится анализ зависимости В от начальных стадий технологического процесса -начальных интенсивностей армирования двумя семействами армирующих волокон для различных структур армирования.
Интенсивности армирования для данных структур найдены в аналитическом виде как решение задачи Коши дифференциальных уравнений, представляющих условия постоянства сечений волокон (5). Они определяются по следующим формулам для армирования семейством логарифмических спиралей и семейством «спицы велоколеса»:
®20^ к -(ш 00 )2) ©2 =-—.
^ ((-(ш 9о )2))
Для армирования вдоль траекторий семейства спирали Архимеда интенсивность имеет вид
©30 У ^ + К Уф0 „
©3 =- . =-, для траекторий, изогональ-
Щ1 + 1§2фо
ных к семейству логарифмических спиралей, интенсивность армирования задается формулой
©40 V
©4 =-—, где ©10, ©20, ©30, ©40 - начальные интенсивности армирования семействами волокон; 90, ф0 - начальные углы выхода арматуры.
На рисунке в осях интенсивностей армирования ю1, ю2 показано влияние выбранных начальных условий технологического процесса (в соответствии с таблицей) на признак В «расход арматуры» для различных криволинейных структур армирования.
Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения.
Сформулированная плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах позволяет решать и обратную задачу по определению эффективной рациональной структуры, если к ней добавить требования равнодеформируемости волокон или равнотрещиностойкости в связующем по критерию Баландина [16].
Постановка задачи об армированной пластине с равной трещиностойкостью связующего. Рассматривается пластина, полученная из набора прослоек связующего и прослоек арматуры, симметричных относительно срединной поверхности. Прослойки тонкие, поэтому реализуется плоское напряженное состояние. Пусть температура T = const постоянная по толщине пластины.
Запишем полные деформации е12 в де-
картовой системе координат как сумму механических и тепловых деформаций:
S11 = S11 +а T, S22 = S22 +а T, S12 = S12 +а Т.
Параметры технологического процесса
0>01 — начальная интенсивность армирования первого семейства волокон ©02 — начальная интенсивность армирования второго семейства волокон 90 — начальный угол выхода семейства «спицы велоколеса»
0,3 0,3 л/4
0,05 0,376 л/12
0,1 0,318 5л/4
0,51 0,18 7л/4
Расход арматуры В (ось аппликат) для: а - структуры армирования «семейство логарифмических спиралей» и «спицы велоколеса»; б - структуры «семейство спиралей Архимеда» и «спицы вело-колеса»; в - семейства логарифмических спиралей и им изогональных траекторий
Потенциальная энергия в прослойках изотропного связующего равна
тт/ _с шесЬ , с шесЬ , п. с шесЬ ™ =°11£11 + °22е22 +2°12£12 ,
где напряжения в связующем заданы соотношениями
с = 7 „шесЬ + 7 „шесЬ = О11 = "11£11 + "12£22 =
= й'цЕц + ^12„22 — ^11 + ^12)а СТ,
с 1 шесЬ , 1 шесЬ О22 = «11£22 + «12£11 = (6)
= ^12„11 + ¿ПЕ22 — (^11 + ^2)аСТ,
О12 = ^13 „12 .
С учетом (6) потенциальная энергия запишется как
= ^11e11 + b12£22 + b13£12 + b14£11£22 + + b15£11 + b16£22 + b17 = Wc = C0nst.
b11 = b12 =
1 -v2
b 2vE
b14 = "-T, b15 =-
1 -v2
b16 =-
2EacT
1 2 ' 17 !
1 — V2 1 — V
Условие совместности деформаций в декартовой системе координат имеет вид
b17 =
2(1 + v) 2acT vE 1 -v2 ' 2 (acT )2 E
3Ч1 , 32£22 = 32Ё12
SNU , 3N12 = °, SNu + = 0.
3x 3y 3x 3y
-0 (®1C0s Ф1) + (®1sin Ф1) =
ox oy
-5 (®2 C0s Ф2 ) + (®2 sin Ф2 ) = °.
ox oy
(10)
(7)
Коэффициенты в (7) для изотропного связующего имеют вид
E E
—' b13 =-
(8)
Sy2 Sx2 5x5y '
Пусть 2h - толщина пластины, 51 - толщина армирующего слоя первого направления ф1 с интенсивностью армирования ю1, 52 - толщина армирующего слоя второго направления ф2 с интенсивностью армирования ю2. Тогда усилия запишем в виде
N11 = 2(h - 81 - 52 )a1c1 + 281 [(1 - ®1 )a1c1 + ®1ст« ] х
х C0s2 ф1 + 252[(1 -®2)of1 +®2стЦ J C0s2 ф2, N22 = 2(h - 81 - 52)стС22 + 251 [(1 - ®1)^22 + ®1°« ] х
х sin2 Ф1 + 252 [(1 - ®2 )ст22 + ®2СТ« ] sin2 Ф2,
N12 = 2(h - 51 - 52)ac2 + 251 [(1 - Ю1К2 + ®1°« ] х х sin ф1 C0s ф1 + 252 [(1 -®2K2 + ®2ст« J sin ф2 C0s ф2,
где ст«, ст« - напряжения в волокнах арматуры первого и второго семейства соответственно. Их зависимость от температуры задается в виде
ст« = E1(£1 -a«T), ст« = E2(£2 -a2T),
где деформации в волокнах определяются по формуле (1). Уравнения равновесия в усилиях запишутся как
(9)
Вводится условие постоянства сечений волокон (5) в декартовой системе координат, а именно:
Совокупность уравнений (7)-(10) позволяет решить задачу о нахождении направлений армирующих слоев рассматриваемой пластины в условиях термоупругого деформирования, т. е. решить обратную задачу с дополнительным условием равной трещино-стойкости связующего. При введении начальных условий на интенсивности армирования и краевых условий на внешнем контуре получаем замкнутую систему по определению траекторий армирования.
Заключение. Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-90400 Укр_а.
Acknowledgments. The work was performed with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research (grant №14-01-90400 Ucr_a).
Библиографические ссылки
1. Multi-scale design of composite materials and structures for maximum natural frequencies / Zhi Hao Zuoa [et al.] // Materials & Design. 2013. Vol. 51. P. 1023-1034.
2. Azimuthal shear of a transversely isotpic elastic solid / F. Kassianides [et al.] // Math. Mech. Solids. 2008. Vol. 13. P. 690-724.
3. Jog C. S. The equation of equilibrium in orthogonal curvilinear reference Coordinates // Journal of Elasticity. 2011. Vol. 104. P. 385-395.
4. Vasiliev V. V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Elsevier, Oxford, 2007. 505 p.
5. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов : монография / СФУ. Красноярск, 2010. 136 с.
6. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 2013. № 1(30). С. 233-244.
7. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. Киев : Наук. думка, 1965. 204 с.
8. Modeling of thermomechanical behavior of layered plates at technological thermal radiation / A. Gachkevich [et al.] // Manufacturing processes. Actual problems. Vol. 2. Modelling and optimization of manufacturing processes / Ed. by: M. Gajek, O. Hachkevych, A. Stanik-Besler. Opole : OWPO, 2013. С. 221-234.
9. Немировский Ю. В., Терлецкий Р., Федорова Н. А. Предельные деформации термоупругих плоских
конструкций с криволинейным армированием // Решетневские чтения : материалы XIX Междунар. науч.-прак. конф. (10-14 нояб. 2015, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2. / под. общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. С. 130-131.
10. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P. 898-903.
11. Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Оптимальное армирование пластин при плоском напряженном состоянии // Прикл. механика и техн. физика. 1983. № 5. С. 158-165.
12. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. «Математика и физика». 2011. № 4(3). С. 400-405.
13. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М. : Наука, 1986. 740 с.
14. Федорова Н. А. Построение эффективного численного метода решения осесимметрической задачи армированной среды // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности : тезисы докладов XXIV Всерос. конф. (2-4 июня 2015, г. Омск) / под ред. ак. В. М. Фомина. Новосибирск, 2015. С. 200-204.
15. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. Т. 56, № 7/3. С. 191-196.
16. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск : Наука, 1986. 165 с.
References
1. Zhi Hao Zuoa, Xiaodong Huanga, Jian Hua Rongb, Yi Min Xie. Multi-scale design of composite materials and structures for maximum natural frequencies. Materials & Design, 2013, Vol. 51, P. 1023-1034.
2. Kassianides F., Ogden R. W., Merodio J., Pence T. J. Azimuthal shear of a transversely isotpic elastic solid. Math. Mech. Solids, 2008, Vol. 13, P. 690-724.
3. Jog C. S. The equation of equilibrium in orthogonal curvilinear reference Coordinates. Journal of Elasticity, 2011, Vol. 104, P. 385-395.
4. Vasiliev V. V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Elsevier, Oxford, Great Britain, 2007, 505 p.
5. Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A. Matemati-cheskoe modelirovanie ploskikh konstruktsii iz armi-rovann'ykh voloknist'ykh materialov. [Mathematical modeling of the plane constructions from reinforced fibrous materials]. Krasnoyarsk, Sib. Fed. Univ. Publ., 2010, 136 p. (in Russ.).
6. Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A. [Study of curvilinear reinforcement rational structures in polar
coordinate system]. Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 2013, No 1 (30), P. 233-244 (In Russ.).
7. Kovalenko A. D. Vvedenie v termouprugost. [Introduction to thermoelasticity]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1965, 204 p. (In Russ.).
8. Gachkevich A., Kushnir R., Nemirovsky Yu., Terletsky R., Tury O. Modeling of thermomechanical behavior of layered plates at technological thermal radiation. Manufacturing processes. Actual problems -2013, vol. 2. Modeling and optimization of manufacturing processes Ed. by: M. Gajek, O. Hachkevych, A. Stanik-Besler / Studia i monografie, z. 365. Glava 17. Opole : OWPO, 2013, P. 221-234.
9. Nemirovsky Yu. V., Terletsky R., Feodorova N. A. [Breaking strains of planar thermoelastic constructions reinforced by curvilinear structures] Reshetnevskie chteniya : materialy XIX Mezhdunar. nauch.-prak. Konf. (10-14 noyab. 2015, g. Krasnoyarsk) [Reshetnev Readings: proceedings of VII Intern. scientific-practical. Conf. (Nov 10-14, 2015, Krasnoyarsk.)]. 2015, Krasnoyarsk, SibSAU Publ. Ch. 2. P. 130-131 (In Russ.).
10. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer. Int. J. Mech. Sci., Vol. 12, 1970, P. 898-903.
11. Bushmanov S. B., Nemirovskij Ju. V. [Optimum reinforcing of plates at a flat tension]. Prikl. mekhanika i tekhn. fizika. 1983, No. 5, P. 158-165 (In Russ.).
12. Feodorova N. A. [Modeling for Reinforced with Isogonal Trajectories Ring-Shaped Lames in Polar Coordinate System]. Journal of Siberian Federal University. Mathematics&Phisics, 2011, 4(3), P. 400-405 (In Russ.).
13. Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza. [Bases of the numerical analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 740 p.
14. Feodorova N. A. [Creation of an effective numerical method of the solution of an osesimmetrichesky problem of the reinforced environment]. Chislennye metody resheniya zadach teorii uprugosti i plastichnosti : Tezisy dokladov XXIV Vserossiyskoy konferentsii. Omsk, 2-4 iyunya, 2015. Pod redaktsiey akademika V. M. Fomina. [Numerical methods for solving problems of the theory of elasticity and plasticity: Abstracts of XXIV All-Russian Conference. Omsk, June 2-4, 2015]. Novosibirsk, 2015, P. 200-204 (In Russ.).
15. Nemirovsiky Yu. V., Feodorova N. A. [The limit deformation disks of gas and water turbines at various reinforcement structures]. Izvestia vuzov. Phisics, 2013, Vol. 56, No 7/3, P. 191-196 (In Russ.).
16. Nemirovskiy Yu. V., Reznikov B. S. Prochnost' elementov konstruktsiy iz kompozitnykh materialov [Strength of elements of designs from composite materials]. 1986, Novosibirsk, Nauka Publ., 165 p. (In Russ.).
© Немировский Ю. В., Федорова Н. А., 2016
