CC BY
27
6. Программа инженерного расчёта температуры перегрева кристалла электрорадиокомпонента и его теплоотвода / Н.В. Горячев, А.В. Лысенко, И.Д. Граб, Н.К. Юрков // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2012. Т. 1. С. 340.
7. Уразаев В.Г. Влагозащита печатных узлов, 2006г.
8. Лысенко, А.В. Анализ современных систем управления проектами / А.В. Лысенко // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2012. Т. 1. С. 371-372.
9. Барканов Н.А. Справочник конструктора РЭА: Компоненты, механизмы, надежность. М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.
8. Коновалов, А.В. Программная реализация нейронной сетис использованием нейронов с модулем памяти / А.В. Коновалов, А.В. Лысенко, Н.В. Горячев // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2015. № 4 (26). С. 60-67.
11. Лысенко, А.В. Анализ особенностей применения современных активных систем виброзащиты для нестационарных РЭС / А.В. Лысенко, Г.В. Таньков, Д.А. Рындин // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2013. Т. 2. С. 155-158.
12. Фридман Е.И. Герметизация радиоэлектронной аппаратуры. М.: Энергия 1978г. - 360с.
УДК 62.51.4
Волков1 С.Н., Бабишин1 В.Д., Кулиш2 Н.С., Юркевич1 Е.В., Кривопалов1 Д.М.
*АО «Научно-производственная корпорация «Космические системы мониторинга, информационно-управляющие и электромеханические комплексы» имени А.Г. Иосифьяна», Москва, Россия
2Федеральное государственное унитарное предприятие «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения», Королёв, Россия
ПРЯМОЙ МЕТОД ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТЬЮ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ В УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ
В статье рассматривается проблема оптимизации испытаний СТС в условиях динамического нагружения при сохранении требуемой точности определения параметров данной СТС. Построена модель выбора требований к техническим характеристикам СТС в соответствии с заданной надежностью этих систем, базирующаяся на использовании прямых методов оптимального управления в условиях динамического нагружения на этапе разработки. Для устойчивого решения данной задачи предложен прямой модифицированный градиентный метод ускоренного спуска, сочетающий в себе метод наискорейшего спуска с использованием метода ускоренного перебора. Данный метод в отличие от существующих градиентных методов позволяет существенно сократить количество наземных испытаний СТС и их стоимость за счет использования метода ускоренного перебора, при сохранении требуемой точности определения параметров СТС. Кроме того, за счет введения параметров регуляризации повышается устойчивость решения данной задачи
Ключевые слова:
НАДЕЖНОСТЬ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ; МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ; НАЗЕМНЫЕ ИСПЫТАНИЯ; СНИЖЕНИЕ СТОИМОСТИ; МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТОЙЧИВОГО РЕШЕНИЯ
Введение
Производство и эксплуатация высоконадежных мелкосерийных объектов сложных технических систем (СТС) на примере космической техники показывает необходимость предъявления требований к техническим характеристикам данной техники в соответствии с заданной надежностью уже на этапе разработки, с тем эти характеристики проектируемых бортовых систем (БС) космических аппаратов (КА) обеспечивали заданный уровень надежности на этапе летных испытаний. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний. Как известно [1,2,3], задача управления надежностью сложных технических систем сводится к определению физико-механических или технических свойств БС при динамических условиях нагружения объекта.
Однако на этапе разработки космических комплексов, создаваемых в единственном экземпляре, когда полностью отсутствуют данные для априорного статистического анализа состояния процесса функционирования БС КА, невозможно точно определить требования к техническим характеристикам БС КА и спрогнозировать все действующие на системы КА нештатные ситуации (дестабилизирующие факторы или нагрузки). Кроме того, важность и актуальность данной задачи заключается в практической невозможности проведения всего комплекса испытаний сложных БС с целью сбора необходимой информации, без которой, в то же время невозможно и само проектирование, что в конечном счете приводит к значительному увеличению количества наземных испытаний и их стоимости.
Данная задача связана с некорректностью постановки прямых задач оптимизации систем управления процессом функционирования состояния БС КА [4]. Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая некорректность приводит к практической не единственности решения в рамках заданной точности и большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения, что в целом значительно снижает устойчивость решения данной задачи.
Поэтому для предъявления необходимых требований к техническим характеристикам сложных технических систем в соответствии с заданной надежностью космической техники на этапе разработки требуется большое количество наземных испытаний,
что приводит к значительным материальным и финансовым затратам.
При этом, обобщающей характеристикой физико-механических или технических свойств данных систем является сопротивляемость [1,3], т.е. наибольшее значение внешнего воздействия, которое объект может выдерживать за неограниченное время и превышение которого приводит к отказу бортовой системы. Как известно [1,2,3], сопротивляемость является случайной величиной, т.е. она характеризуется некоторым законом распределения вероятности значений результатов внешних воздействий, и в целом определяет состояние процесса функционирования БС КА.
Таким образом, на этапе разработки для определения состояния процесса функционирования БС КА возникает проблема выбора требуемых (наилучших) характеристик проектируемой бортовой системы в соответствии с заданной надежностью на основе оптимального закона изменения характеристик этих БС с течением времени при отсутствии точных значений исходных параметров с минимальными затратами. Для решения такой проблемы предлагается математический алгоритм решения задачи оптимального управления надежностью бортовых систем в условиях динамического нагружения на основе проведения оптимизации наземных испытаний прямым методом ускоренного спуска.
2. Анализ существующих решений задачи оптимального управления в условиях неопределенности
Существующие подходы, развитые в теории оптимального управления, содержат в себе основные достижения классического вариационного исчисления [5], и др., принципа максимума Л.С. Понтря-гина [6], метода динамического программирования на основе решения уравнения Беллмана для непрерывных детерминированных систем [7,8], градиентных методов оптимизации [11,13], методов оптимизации нелинейных случайных процессов [ 7] и т.д. Наряду с теоретическими исследованиями, известно большое количество работ посвященных численным методам решения задач оптимального управления [11].
Исследования, направленные на разработку новых вычислительных методов решения задач оптимального управления [8,10], продолжаются и в основном направлены на решение задачи оптимизации
для сериино- выпускаемых космических комплексов. Однако во многих практических применениях не всегда удается решить задачу оптимизации численно в явном виде, особенно для целевоИ функции большого количества переменных.
Кроме того, как было отмечено ранее, данные задачи являются некорректно поставленными [4]. Как правило, существующие подходы по определению требуемых параметров проектируемой бортовоИ системы основаны на определении состояния БС в виде функции распределения сопротивляемости, которая представляет собой исчерпывающую характеристику допустимого предела величин внешнего воздействия, приводящего устройство к отказу при заданной надежности данной системы.
В этом случае, как известно из теории надежности [1,2,3], в качестве оценки эффективности работы БС КА используется показатель надежности, определяемый уравнениями связи между характеристиками, полученными в результате комплекса испытаний, и показателями надежности, полученными методом их косвенного измерения. Фактически результаты косвенного измерения представляют собой математическую модель задачи управления надежностью при отсутствии старения исследуемого объекта.
Существующие методы определения параметров сложных технических систем (СТС) при оценке эффективности их работы используют в качестве исходных данных заданные значения функции надежности Ял(п) СТС и функции РА(х) распределения
п и
А
наибольших значений внешнего воздействия и . Из теории надежности [1,2,3] известно, что надежность системы СТС как вероятность безотказной работы системы в виде функции надежности Я(П >п) за время / = пАт системы по р заданным управляемым параметрам СТС, при условии что отклонение выходного параметра системы АЬ не превысит допусков АЬЙСТ1 , определяется следующим выражением
р т
Я(п >п) = ПЕРСС X ар С) , (1)
1 =1 г =1
где: - условная функция распределения
внешнего воздействия относительно гипотезы о том, что предельное (допустимое значение воздействия) принадлежит элементарному отрезку X^ < X^
< х + Ах ;
х1 - случайная величина предельных значений управляемого параметра, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются;
и - случайная величина нагрузки;
С — случайная дискретная величина, равная числу испытаний (оценивается как дискретное время) до отказа;
Ат - интервал корреляции;
5рх(—) = Ф(-С) хАх - функция распределения предельных значений управляемого параметра, обоснования и исчерпывающая характеристика допустимого предела величин внешнего воздействия, приводящее устройство к отказу;
ф {х^ - плотность функции распределения случайной величины X управляемого параметра -V,- ;
Ах - длина интервала разбиения предельного значения управляемого параметра -V,- ;
т- число интервалов разбиений предельного значения управляемого параметра -V,- .
Для 1-го параметра выражение (1) согласно [1,2,8] преобразуется в выражение
т п
^(п) = £[Р(х)] х5Р(Х) (2)
Вычислительный алгоритм решения задачи управления надежностью для одного параметра включает следующие этапы:
1. Определение плотности распределения ф ^
значении управляемого параметра по формуле (2). Для этого значения управляемого параметра -V,- разбиваются на I =1, 2,.ш интервалов, для которых минимальный интервал времени (корреляции) АткОр
означает, что значения максимумов случайной функции нагрузок, разделенные любым большим интервалом, можно считать практически некоррелированными.
2. Представление уравнения (2) в виде компактной матричной формы
А хф = г (3)
где вектор ф = 5РА(Х) ,
А
оператор
или
переходная функция,
А =
FJ X)
ф - плотность распределения значений параметра, т.е. векторная функция, подлежащая определению,
г е ЯА(п) - левая часть уравнения (2), т.е.
п
векторная функция надежности.
3. Решение системы линейных алгебраических уравнений вида (3) методом Зейделя.
Алгоритм решения задачи управления надежностью с помощью выражения (3) согласно[8] имеет следующий вид:
фп+1 = х В хфпхщ+П— х С, к = 1,..., и, (4)
где ф1"+1 - искомый вектор приближения на текущем
(п + 1) -ом шаге итерации;
фп - то же, на предыдущем шаге итерации;
В =
0
Ф,,
матрица;
0 Ф,, Ф,
А = —
12
00 00
Ф
0
....0 ...0
Ф
3 тп
.Ф1т ..Ф2п
...0
нижняя треугольная
ерхняя треугольная
матрица;
Ф = АТ X А ;
- коэффициент стабильности; С = АТ х г ;
где АТ транспортирования матрица оператора А .
Оптимальность полученного решения оценивается по критерию минимума эвклидовой нормы отклонения площади под графиком зависимости ф от эталон-(*
ного значения ф , которое в нашем рассмотрении принято как плотность функции распределения проектного значения сопротивляемости. Величина этого отклонения (текущая погрешность) ек определяется по следующей формуле
л
Е (ф—ф
х Ах
Еф;2 х Ах
(5)
где - фф(х) эталонные значения плотности функции распределения проектного значения управляемых параметров, которые подчиняется согласно[12] нормальному закону при условии, что нагрузка согласно теории надежности, действующая на объект
11
Ф
к
1=1
1=1
управления, подчиняется экстремальному закону распределения вероятности;
/ = 1,2.....т ; к = 1,2......п ;
Лх - длина интервала разбиения предельного значения управляемого параметра;
п - число испытаний (дискретное время); т- число интервалов разбиений пределвного
значения управляемого параметра ;
ф (х) -текущие значения кривой плотности рас-
воздействий, что в целом создает большие вычислительные трудности при решении задач оптимального управления в условиях неопределенности.
2. Построение математической модели для устойчивого решения задачи оптимального управления надежностью СТС.
В отличие от существующих подходов задачу управления надежностью предлагается решать на основе применения прямых методов оптимального управления, что существенно позволит сократить объемы наземных испытаний и повысить точность
пределения управляемого параметра системы на /
= 1, 2,.......ш-м интервале разбиения параметра xt ,
получаемые в результате решения задачи по фор муле (4).
Недостатком такого решения является значительное увеличение количества итераций (испытаний) , необходимого для определения функции текущей плотности распределения сопротивляемости ф , полученной в результате решения уравнения (4), что в целом снижает оперативность вычислительного процесса. А это в свою очередь приводит к значительному увеличению материальных (финансовых) и вычислительных ресурсов, что в конечном счете к снижению точности оценки искомой плотности функции распределения СТС ффП для уравнения (4).
Известен ряд механизмов повышения адекватности и оперативности управления производственно -техническими системами в условиях неопределенности. Назовем три из них, наиболее применимые для решения нашей проблемы.
Широкое применение получили аналитические методы, формирующие управление с использованием сочетания оперативных решений, принимаемых на основе анализа сочетания показателей текущей производственной ситуации, и статистического анализа ретроспективных данных [10]. Для информационной поддержки принятия таких решений проводится анализ производственного опыта управления, предшествовавшего текущей ситуации, и перенесение полученных результатов на прогнозируемый сценарий.
Использование методов интеллектуального анализа данных позволяет выявлять скрытые закономерности и прогнозировать поведение исследуемой системы. Однако задачи прогнозирования связаны с большими затратами временных, финансовых и человеческих ресурсов. Кроме того, без формализации характеристики возникающих ситуаций прогноз может стать основой для принятия неэффективных решений.
Другим подходом является анализ известных прецедентов. В этом случае воздействия адаптируются к ситуации на основании распознавания состояний объекта управления, и точность принимаемых решений повышается за счет применения механизма логического вывода (CASE - Based Reasoning) [11] . Данный подход позволяет уменьшить риск принятия решений с помощью построения функции последствий от принятых решений. Однако построение упреждающих моделей поведения в неопределенных ситуациях связано с большой трудоемкостью создания базы знаний, формализующей обобщенный опыт специалистов для конкретной предметной области.
Третий подход основан на поиске решений с применением модели ситуационного управления [10,11]. В этом случае все предсказуемые и непредсказуемые ситуации классифицируются в пространстве признаков, сложные ситуации декомпозируются на множества ситуаций, имеющих одноша-говые решения, и производится выбор оптимального решения. Подход связывает конкретные способы управления с определенными ситуациями для наиболее эффективного достижения целей бизнес-процесса [9].
В целом известные подходы к построению систем оптимального управления показывают, что их эффективность во многом зависит от особенностей возникающих ситуаций и характера информационных
определения требований к техническим характеристикам БС КА на этапе проектирования так и при проведении наземных испытаний.
Для получения оптимального количества итераций порт . и оптимального значения проектного значения плотности распределения сопротивляемости ФП по формуле (5) введем целевой функционал. Данный функционал вводится согласно [1,2] из уравнений связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности в виде
P„i«)=\FnMRuix)dFlx\
(6)
где (x)-функция надежности в виде:
R (x) = 1 - F (x)
Запишем выражение (6) в следующей форме
Ря(")= J F7\x^-Fü{x)^_{x)dx, (7)
Выражение (7) кратко записывается в операторном виде
РЙ ( п) = Ьф, ( x) (8)
где L - интегральный оператор в матричном виде.
Выражение (6) теперь можно записать по аналогии с выражением (2) в виде
m
РЛп) = Т ГFn-1(x)(1 - F (x))] х ф(x)x&x,
п k=1 (9) Выражение (2) записывается в операторном виде: р_„(п) = Вф£(х) .
Таким образом, обобщенная устойчивая математическая модель прямой задачи оптимизации управления надежностью записывается:
J(попт ) = Pn (попт ) = Ьфх (x) =
m (10)
= E[Fn (х)(1 - Fä(x))] xdF(X) ^ min
k=1
при следующих ограничениях:
m
ВфЛх) = R(nonm) = x dF(x)
Ыi )] = —= u,3.. Ar
д F х( X ) = ф( х) хдх
Лт >о х(0) = х0 х(1=х
где У\попт(£)] - целевой функционал требуемой вероятности отказа имеет вид выражения (1);
п(х ) = {п,.....,пп} -вектор-функция управления с
целевым функционалом У \пшт (х)] и управляющими функциями п(х ) в виде плотности распределения
Фх (х);
х() = {х1, ¿2,....хм} -вектор-функция состояния объекта в виде к -ых интервалов Лх разбиений предельного значения управляемого параметра х , где к=1, 2,.......т управляемого параметра х1 ;
к=1
n
to < t < у
В иL соответственно интегральные операторы для уравнений целевого функционала и уравнения ограничений для заданной надежности;
■[попт.(х)] - вероятность отказа в п(х1,....,хт) -й итерации;
Ат - период корреляции стационарного случайного процесса;
п - число испытаний СТС (число итераций);
К(попт) - заданная функция надежности СТС;
^й(х) - известная функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний;
■Ри(^) - известная функция распределения наибольшего значения нагрузки после одного испытания;
~ есть плотность распределения случайной
величины X г которая является результатом решения модели;
х - случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются;
ф Дх) - есть плотность функции распределения
случайной величины х , которая является результатом решения уравнения (10).
В такой интерпретации решение задачи управления надежностью сводится к определению оптимального количества итераций яош11 (.С,...хст) , при которых функционал ■ [попт (х)] в модели (10) или вероятность отказа СТС Р( пшт)достигают минимальных значений для заданной надежности К(попт) .
Для определения оптимального управления птт (х'..х) , особенно когда ставится задача определения требуемых технических характеристик разрабатываемых систем, используются методы прямой минимизации функционала ■ [попт (х)] (прямые методы оптимального управления).
Для нахождения требуемого (минимального) функционала ■ [попт (х)] используют, как правило, градиентные методы [11,13]. Однако данные методы обладают существенными недостатками: это большое количество итераций, что приводит к значительным затратам, а также низкая устойчивость вычислительного процесса.
3. Прямой модифицированный градиентный метод оптимального управления
Для решения полученной задачи оптимального управления надежностью, в отличие от существующих градиентных методов минимизации функционала в статье предлагается прямой метод ускоренного спуска. Данный метод для решения задачи минимизации функционала ■ [попт (х)] в математической модели (10) предусматривает метод, сочетающий в себе метод наискорейшего спуска с использованием метода ускоренного перебора [14,15].
В дальнейших расчетах решение задачи минимизации функционала/[«¿(х)] модели (10) методом ускоренного спуска осуществляется по следующему алгоритму:
Случайная величина хс заменяется значением плотности распределения фXх) •
Согласно [8,12], функция распределения проектного значения плотности распределения сопротивляемости фф , определяемая выражением (5), должна подчиняться нормальному закону распределения при условии, что функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний
) известна и определяется
—ру х — ц+
где [I и р параметры распределения.
Градиент целевого функционала VJ[попт(х)] в общем виде определяется по формуле V {■ [И(ф,...ф )]} = ( ■Ш + Аф1, ф2,..., фт )] — ■ [П(ф,...,фт ) ),....
у [п(ф1,...,фт + Афт)] — ■[п(ф,..., фт]}
(11)
Необходимым условием минимизации целевого функционала ■ [пшт(х)] является
V{■ [п (ф,....,фт)]} = 0 т.е. все частные производные
■[п (ф + Аффуф)]—■[я(ф,ф,,ф,-,Фп) _
£ = 0,
■[п I
Аф
, Фт + Афт )] — ■[п(ф,...,фт )] Афт
= 0
Достаточное условие, как правило, входит в исходную информацию, для которой вторые частные производные функции J\nk{фí,.....,фт)\ должны быть положительными.
Вся итерационная последовательность ц (ф,...,ф)
строится в два этапа.
Первый этап. Методом Ускоренного перебора
определяются первичные элементы п!^(Ф1, —,Фт) 11-той итерационной последовательности для плотности распределения сопротивляемости фпа . согласно модели (10). В основе данного метода используется метод перебора согласно [11].
Для этого, в отличие от этого метода Методом ускоренного перебора определяется такая начальная итерация (х) из области решений метода наискорейшего спуска, при которой текущая погрешность £к при определении плотности распреде-
ления управляемого параметра
нимальной погрешности
Минимальная погрешность щ
'кба,
будет равна ми-
задается Заказ-
чиком.
Текущая погрешность £к определяется по формуле (5).
Процесс вычислений количества первичных элементов итерационной последовательности п1,(,ф1 ....ф„) для данного этапа определяется согласно [11] условием
Щ <£баз (12)
Момент окончания вычислений метода ускоренного перебора фиксируется номером итерационной
последовательности (Ф1, —,Фт) , при котором погрешность плотности функции распределения СТС фЦ определяется условием
Щ [°,1] (13)
Второй этап. Методом наискорейшего спуска определяются элементы %(Ф21,....,Ф2т) 21-ой итерационной последовательности по следующему алгоритму:
- задаются начальные значения плотности распределения сопротивляемости из области решений метода наискорейшего спуска для начальной итерации %(Ф21,....,Ф2и) , которая является исходной точкой итерационной последовательности
{п,-,....., п,,} итераций и совпадает с моментом окончания метода ускоренного перебора (условие (13) для 1-го этапа).
Обозначим начальную итерацию данного метода
п21(ф
21„
г2т0
п
(
В определяемый градиент в общем виде /[иДх)] по формуле (11) подставляем координаты начальной П, (ф ,....,Фч™. ) .
итерации п21 Определяем
V{у [(ф^.ф )]} = {■
210 '""'Г2т0' градиент уу1[п21(ф2ъ,...,ф>т)]
У[п21(ф21а +Лф,...,ф2т„ )] -
Лф
У[п21 (ф210 ,......, ф2щ +Лт )] - У[п21 (ф210 ,......ф2т )]
{-0---0-(15)
Введем следующие обозначения
„ у[п21(ф!10 +Л1,....,ф2т0 )] - У[п21(ф210 , —Ф2т0 )] К1 =- ;
Кт =
У[п21 (ф210 ,.....ф2т0 + Лт )] - У[п21 (ф210 ,.....ф2т„ )]
Тогда градиент УУ 1[п21(ф21 ф2т )]
(18)
¿1 =
ф210 +.....+ фт0
ф210 К1 +.....+ фт„Кт
(22)
Подставляя выражение (22) в формулу (19) вычисляется градиент УУ2[п22(ф221,.....,ф )] по формуле:
У{У [^22,,.....,ф2^)]} = УЩф - .....,{фт0 - /К,}]} =
ф„ +......+ Ф
У[п21 (ф210 ,...., ф2т + Лфт )],......У[п21 (ф210 ,......, ф2т„ )]
...,{-5-2---5-М (14)
Лфт
Для повышения устойчивости вычислений в формуле (14) введем вместо приращений —Лфт параметры регуляризации V.......V , которые задаются исходя из требуемой погрешности вычисления производных в формуле (14).
Тогда градиент УУ1[п21(ф21^,...,ф2т )] определяется в виде частных производных
У {у [ П21Ф10,.....ф^)] } =
У[п21 ф ....., ф2т„ )] - У[п21 (ф>1„ ,......, Фт„ )]
определятся
У/1[п21(ф210,.....,ф2т )] = =.......,Кт) (16)
0 0
Затем определяется следующая итерация п22(ф221,......,Ф22„ ) по формуле
п22(ф221 ,.....,ф22т ) = П ^Ф^.....,фт)- ^.......,^ (17)
где \ - длина шага данной итерации, которая определяется по следующему алгоритму:
Перепишем уравнение (17) с учетом выражения (16) и введенных обозначений в следующем виде:
.....,ф22т ) = п21(ф10,....., Ф2т0 ) - Ч^....., Кт) =
= Фф - .......ф - ^т]
Подставляя координаты точки ^(ф ,—,ф ) из уравнения (18) в уравнение (16), определяем градиент УУ 2[п22(Ф22[,.....,Ф2м)1 по формуле
У {У2 ......ф2я)]} = У{./2[ф2^ - ВД,.....- /^Кт ]} (19)
Номера итерационной последовательности п,(х,,■■■■, ) рассматриваются в виде ортогональных векторов согласно [13,14]. Тогда, согласно свойству произведения ортогональных векторов, составляется следующее уравнение
п21(фг^ ,......,фт0 )• .....,ф2я) = 0 (20)
Подставляя координаты начальной итерации п21(ф2^,....,ф2т ) и выражение (18) в формулу (20) получим
«21(ф210>...ф2т0 ) ' «22(ф22>....,ф2т) = (ф210 ^^ ф2^ ) '[ф210 - /К 1);...
...; (Ф2т - \К„ ) = (Ф2 - Ф210 /К +........+ Ф2 -фгт\Кт ) = 0 (21)
Из этого выражения определяем длину шага / в виде
Ф2210 +.....+ Ф2 = МФь К1 +......+ Ф2тКт )
,фту7{/2[{ф210 -. '""„ Kl},...
— 0 ф210 К1 +......+ Ф2т Кт
(23)
.,{Ф2,
+ ... + фф
Фф К1 + .... + Ф-тК
"Кт}]}
Введем следующие обозначения
П1 =ф21 —
0 К1 +.......+ фтК
К
Пт = ф2т -
ф2210 +.
■. + Фт
-К„
ф210 К1 +......+ Фт0Кт
градиент УУ2[и22(ф221,.....,ф22_ )]
вычисляется
Тогда в виде
У^ф,.....Ф2т )] = УУ2(П1,......., Пт) = Ц.....Ц) (24)
и приравнивается 0.
Ц,,.......Ьт - частные производные градиента
А/ 2[п22
,ф2. )]
ф........фт , которые вычисляются по аналогии с расчетом (16).
Для сокращения вычислений градиента УУ2[п22(ф22 ,.....,ф22 )] будем полагать, что
У У [п
2[п22(ф221,..
,ф22 )] = 0 при условии, что все П4 = 0 .
Если градиент У У-^п22(ф22^,.....,ф )] ^0 ,
п23 (ф23. ,.
то выпол-
няется следующая итерация формуле
п23 (ф23 ,......, ф3„ ) = п22 (ф22 ,......., ) - /2УУ2[(П1,........, Пт ) (25)
Длина шага / для уравнения (25) находится аналогично по ранее рассмотренному алгоритму.
Затем вычисляется градиент УУ^п^ф^,......,ф23м)]
по аналогии с расчетом (23).
Если градиент УУ3[п23(ф31,.....,ф23ш)]^ 0 , то итерационный процесс вычислений элементов минимизируемой последовательности {^1,.....пп} итераций
продолжается до тех пор, пока не будет выпол-нятвся условие минимизации ......г ПРИ ко~
тором градиент (п2„(опт)(фЧ1,......,ф2^ )] = 0 • В этом
случае количество итераций п„пт (фц„пт,......фтопт)
будет оптимальным или минимальным.
Математический результат подтверждается числовым примером решения 2- мерной задачи двумя методами: методом Зейделя для уравнения (4) и методом ускоренного спуска для модели (10).
Пусть имеется задача: определить оптимальные значения плотности распределения сопротивляемости фф/(х ) при заданной надежности К(попт) = г СТС для следующих условий:
1. Решить систему уравнений (2б) для 2-мерной задачи методом Зейделя по формуле (4)
ф + ф2 < 12 1 + 5ф2 < 13
где ф(х1) -плотность распределения сопротивляемости СТС в момент времени 11 ,
ф2(х2) - плотность распределения сопротивляемости СТС в момент времени ^ ,
а = 1 - параметр регуляризации.
Начальная итерация п(0)(ф,ф) для системы уравнений (26) задается как ф(х1) = 1,2 <ф2(х1) = 0 .
(26)
V
Решение системы (2 6) с точностью е,
%
знаков приводится в таблице 1.
до 4 -х Таблица 1
и(ф,ф2) ф(х1 ) ф2(х2)
п(0)(ф,ф) 1,2 0
«(1)(Ф,Ф2) 1,2 1,88
«(2)(Ф,Фг) 1,012 1,9928
«(3)(Ф,Ф) 1,00072 1,999568
«(4)(Ф,Фг) 1,00001 1,99991
изводным уравнения (26) по ф и ф2 и приравнивается 0. Далее определяются ф и ф , при которых градиент целевого функционала 3 (п ) равен 0.
Решение данной системы с точностью до 4-х знаков приводится в таблице 2.
Таблица 2
П(ф,ф2) ф( x) ф( x)
n(0) (Ф,Ф) 1.2 1,88
n(1) (ф, Ф2 ) 1,0008 1,99952
«(2)(Ф,Фг) 1,00001 1,99991
Из таблицы 1 видно, что решение системы достигается 4-й итерацией п(4)(ф,ф) при этом соответственно ф(х) =1, 00001 ф2(х2) =1, 99991 .
2. Решить систему уравнений (26) методом ускоренного спуска для модели (10).
Условие задачи. Определить такие значения плотности распределения сопротивляемости ф^(х) , при которых при заданной надежности СТС обеспечивается минимальная вероятность отказа СТС.
составляется модель оптимального управления для системы уравнений (26) на основе модели (10)
J("опт ) = Р(") = 0,2 + (ф -1)2 + (ф2 - 2)2 ^ min (27) При следующих ограничениях 10ф +ф2 < 12 3ф + 5ф2 < 13
Начальная итерация для данной задачи п(0)(ф,ф2) определяется методом ускоренного перебора ф(х1) = 1,2; ф2(х2) = 1,88 , исходя из условия (12) и заданной минимальной погрешности е, до 4-х
кбазмин
знаков. Для этого случая текущая погрешность£к
определяется по формуле (5). Соответственно, текущая плотность функции распределения управляемого параметра ф(х) системы уравнений (26) определяется по формуле (4) методом Зейделя.
Затем методом наискорейшего спуска находится градиент VJ(nOTm)по формуле (11) по частным про-
Из таблицы видно, решение уравнения (26) достигается 2-й итерацией п(2)(ф,ф) , при этом соответственно ф(х2) =1, 00001 ф(х2) =1, 99991 .
Таким образом, метод ускоренного спуска дает выигрыш по сравнения с методом Зейделя примерно в 2 раза по количеству итераций.
Данный метод в отличие от существующих градиентных методов позволяет существенно снизить
количество итераций п(2)(ф,ф) решения задачи оптимального управления надежностью СТС за счет использования метода ускоренного перебора.
Кроме того, за счет введения параметров регуляризации повышается устойчивость решения данной задачи.
Выводы
1. Построен обобщенный вариант математической модели устойчивого решения прямой задачи оптимального управления для определения требований к техническим характеристикам СТС в условиях динамического нагружения при проведении наземных испытаний на этапе разработки. Данная модель позволяет ввести оптимальность в управление надежностью и в определение количества наземных испытаний СТС.
2. Предложенный метод ускоренного спуска при решении прямой задачи оптимального управления СТС позволяет:
- повысить оперативность принятия решения по управлению, что в целом значительно снизит количество наземных испытаний СТС и, в конечном счете, приведет к уменьшению их стоимости;
- повысить устойчивость решения прямой задачи оптимального управления СТС на этапе проведения наземных испытаний.
Для решения данной задачи вводится целевой функционал для вероятности отказа/[и^(х)] = _Р(и) и
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков В.К., Масоди Д.А. Новый подход к решению обратной задачи надежности // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2000.
2. Дедков В.К, Бабишин В.Д., Дорошенко М.А. «Метод оптимального управления техническим состоянием бортовых систем космического аппарата на основе решения обратных задач» // Международный симпозиум «Надежность и качество», Том 1, Пенза, 2011
3. Северцев Н. А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности- М.:, Высшая школа, 2006.
4. Тихонов А.Н.Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач . М.- Наука.1986.
5. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации-М: Высшая школа, 2006.
6. Понтрягин Л.С., и др. Математическая теория оптимальных процессов: Учебник / Л.С Понтрягин -М. Физматгиз,197 6.
7. Беллман Р. Динамическое программирование- М. Мир, 1960.
8. Бурба А.А., Бабишин В.Д., Давыдов А.Н., Дедков В.К., Дорошенко М.А. Устройство формирования управляющих воздействий для обеспечения устойчивой работы сложных технических систем. Патент на изобретение №2475828 от 20.02.2013.
9. Трахтенгерц Э.А., Иванилов Е.Л., Юркевич Е.В. Современные компьютерные технологии управления информационно-аналитической деятельностью // М: СИНТЕГ, 2007.
10. Бурков В.Н., Ириков В.А. Модели и методы управления организационными системами М., Наука 1994.
11. Асланов М. А., и др. Системный анализ и принятие решений в деятельности учреждений реального сектора экономики, связи и транспорта: Книга / М. А. Асланов, В.В. Кузнецов, Ю.Н. Макаров, А.А. Мальчевский, А.Ю. Шатраков; под ред. В.В. Кузнецова. - Москва. ЗАО Издательство «Экономика». 2010. 406 с.
12. Бабишин В.Д. Маклаков В.В. Дорошенко М.А. Теоретические рекомендации по определению закона распределения технических характеристик сложных систем в условиях динамического нагружения. «Двойные технологии» 4-й квартал 2013.
13. Кремер Н. Исследование операций в экономике -М.: ЮНИТИ, 2006.
14. Бабишин В.Д. Модели и методы оперативной оценки надежности бортовых систем КА. Монография, Palmarium academic publishing 2017.
15. Бабишин В.Д., Кулиш Н.С., Кривопалов Д.М., Кулиш Н.С., Юркевич Е.В. и др.«Устройство формирования оптимальных управляющих воздействий для обеспечения устойчивой работы сложных технических систем» заявка на предполагаемое изобретение №201714587 входящий. №078522 от 26.12.2017 ФГУП ЦНИИмаш
УДК 621.5
Данилова Е.А., Трусов В.А., Лысенко А.В.
ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» («ПГУ»), Пенза, Россия
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПЕЧАТНОГО УЗЛА
В статье проведен анализ причин отказов элементов печатных узлов в условиях механических воздействий, а также рассмотрен подход в проведении испытаний, позволяющий за счет изменения параметров испытаний смещать области максимальных значений механических перемещений и напряжений в заданную точку печатной платы Ключевые слова:
ПЕЧАТНЫЙ УЗЕЛ, МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ, УСТАЛОСТНАЯ ПРОЧНОСТЬ, АМПЛИТУДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПРОВЕДЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Для обеспечения высокой надежности бортовой радиоэлектронной аппаратуры (БРЭА), в том числе эксплуатационной, необходимо выявление неисправностей не только с помощью проверки и визуального осмотра, но и с помощью длительных испытаний. Для их проведения в сжатые сроки требуется разработка специальных методов и средств.
Характеристики эксплуатации связаны с объектом-носителем БРЭА и отличаются значительным разбросом их параметров. Поэтому на первый план выходят проблемы организации и проведения испытаний, обеспечивающих адекватное соответствие условиям эксплуатации, что позволяет обеспечить раннее выявление дефектов, проявляющихся в заданных режимах эксплуатации [1-3].
Наибольшее влияние на надежность БРЭА оказывают вибрационные нагрузки, приложенные к печатным узлам (ПУ) БРЭА. Причинами отказов и нарушений нормального функционирования БРЭА при воздействии вибрации могут быть отслоение и отрывы проводников и межсоединений печатных плат (ПП), нарушение паяных, клеевых и сварных соединений,
отрывы электрорадиоэлементов (ЭРЭ), разрушение основания ПП и т.д. Все эти явления характерны как для однослойных, так и для многослойных ПП.
Разрушения элементов ПУ могут происходить при напряжениях, значительно меньших предельно допустимых при статических режимах нагружения, что связано с усталостью материалов. Для определения зависимости между интенсивностью воздействий и временем до разрушения необходимо проведение длительных испытаний, что значительно увеличивает время производства и стоимость радиоэлектронной аппаратуры. Поэтому актуальна разработка новых методов проведения испытаний, которые обеспечат сокращение необходимых для проведения испытаний материальных и временных затрат.
Отказы печатных узлов при воздействии вибрации связаны с деформациями и механическими напряжениями в различных конструктивных элементах. К отказу ПУ могут приводить отказы различных его элементов (рис. 1), для каждого из которых процессы разрушения развиваются в наиболее «опасных» местах.
Элементы ПУ, являющиеся причинами отказов
Основание ПП Выводные ЭРЭ БМЮ компоненты Элем крепл П енты 1ения П Печа прово тные дники
Рисунок 1
Основные элементы ПУ
Например, отказы БМБ-компонентов чаще связаны с разрушениями мест пайки. Для оценки времени до усталостного разрушения паяного соединения и самого компонента под действием вибрации необходимо оценить возникающие в них механические напряжения и сравнить с их критическими значениями.
Отказы выводных ЭРЭ, установленных на ПП, часто обусловлены усталостными процессами, происходящими в выводах при вибрационных воздействиях. Усталостные разрушения происходят при резонансных колебаниях ЭРЭ и заключаются в разрушении выводов в опасных точках. Это связано со значительным возрастанием механических напряжений. В зависимости от вида ЭРЭ и варианта его установки на ПП может быть различное количество опасных точек.
В качестве примера для резистора, установленного на ПП, как показано на рисунке 2, опасным точками будут являться места крепления выводов резистора с ПП (3), выводов и корпуса элемента (1) и места перегибов (2).
Наиболее подвержены негативному влиянию выводные элементы, характеризующиеся значительной массой.
Прочность паяного соединения в условиях вибрации зависит от величины возникающих при этом нормальных и касательных напряжений. Каждое из них вызывает соответствующего типа разрушение: отрыв за счет действия максимальных нормальных напряжений; срез за счет действия максимальных касательных напряжений. Таким образом, прочность паяного соединения характеризуется сопротивлением отрыву и сопротивлением срезу.
Рисунок 2 - Резистор, установленный на печатную плату
Процесс разрушения припоя проходит две фазы: образование микротрещины, а затем ее дальнейшее развитие до полного разрушения. Образование микротрещины обусловлено неоднородностью материала, состоянием поверхности и амплитудой цикла. Фаза полного разрушения характеризуется тем, что наряду с перечисленными факторами начинают оказывать влияние форма и размеры паяного соединения, а также действующее напряжение. Кроме того, усталостные разрушения паяных соединений чаще связывают с циклическим изменением температур.
Механические напряжения и деформации, вызванные вибрацией, приводят также к разрушению основания ПУ, которое чаще всего представляет собой слоистый пластик. Отличительной особенность слоистых пластиков является различие механических свойств (прочности) по утку и по основе. Отказы, связанные с основанием ПУ, возникают также в результате деформации под нагрузкой, которая определяет способность материала сохранять постоянную силу сжатия, не обнаруживая текучести или ослабления прочности сборки. Данная характеристика имеет важное значение, поскольку определяет надежность и долговечность крепления ПП
