Расчет неоднородных пластин переменной толщины методом наискорейшего спуска Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Евразийской науки / The Eurasian Scientific Journal https://esj.today 2018, №1, Том 10 / 2018, No 1, Vol 10 https://esj.today/issue-1 -2018.html URL статьи: https://esj.today/PDF/43 SAVN118.pdf Статья поступила в редакцию 14.02.2018; опубликована 09.04.2018 Ссылка для цитирования этой статьи:

Мищенко Р.В., Пименов Д.А. Расчет неоднородных пластин переменной толщины методом наискорейшего спуска // Вестник Евразийской науки, 2018 №1, https://esj.today/PDF/43SAVN118.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.

For citation:

Mishchenko R.V., Pimenov D.A. (2018). Calculation of inhomogeneous plates of variable thickness by the method of steepest descent. The Eurasian Scientific Journal, [online] 1(10). Available at: https://esj.today/PDF/43SAVN118.pdf (in Russian)

УДК 624.048; 539.32; 539.219.1

Мищенко Роман Викторович1

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», Саратов, Россия

Аспирант

E-mail: roman_radon4@mail.ru РИНЦ: https://elibrary.ru/author_profile.asp?id=789909

Пименов Дмитрий Алексеевич2

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», Саратов, Россия

Аспирант

E-mail: scorpions91@inbox.ru РИНЦ: https://elibrary.ru/author_profile.asp?id=789910

Расчет неоднородных пластин переменной толщины методом наискорейшего спуска

Аннотация. В данной статье рассматривается идея применения метода наискорейшего спуска для решения нелинейного дифференциального уравнения изгиба пластинки переменной толщины, выполненной из физически нелинейного, неоднородного материала. Использование неоднородного материала позволяет увеличить эффективность использования пластинки и в значительной степени повышает ее несущую способность, а наличие переменной толщины придает ей соответствующую архитектурную выразительность. Алгоритм решения задачи изгиба физически нелинейной, неоднородной пластинки переменной толщины методом наискорейшего спуска, построен на основе метода последовательных нагружений. Для повышения точности получаемых результатов на каждом этапе нагружения в качестве первого приближения использовалось решение, полученное методом последовательных нагружений, после чего это решение уточнялось методом наискорейшего спуска до 5 итераций. Для оценки точности получаемых результатов и скорости сходимости метода наискорейшего спуска, дополнительно, исследуемая задача решалась двухшаговым методом последовательного возмущения параметров. На основании полученных численных данных построены соответствующие графики. Проведен анализ качественного изменения напряженно-деформированного состояния конструкции при изменении соответствующих параметров функции упрочнения и функции переменной толщины. Приведены процентные соотношения

1 https://vk.com/id22336207

2 https://vk.com/scorpions91

для прогибов и изгибающих моментов в характерных сечениях при различных значениях коэффициента упрочнения.

Ключевые слова: физическая нелинейность; переменная толщина; математическая модель; функция неоднородности; фронт упрочнения; градиент спуска; корректирующая функция; итерационный метод; инкрементальное уравнение

В настоящее время решение современных задач строительной механики связано с использованием новых материалов, особенно полимерных, а также более сложных расчетных схем, близких к реальным конструкциям. Данное обстоятельство естественным образом приводит к увеличению числа факторов, которые необходимо учитывать при исследовании напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний конструкций, и в значительной степени усложняет расчет [1].

При комплексном подходе к решению сложных задач строительной механики аналитические методы в большинстве случаев малоэффективны. Статический и динамический расчет десятки и сотни раз статически неопределимых стержневых систем, использование резервных возможностей материала конструкций, введение дополнительных коэффициентов и функций в математические модели, описывающие напряженно-деформированное состояние исследуемых конструкций, в большинстве своем приводят к моделям, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Задачи в которых используются математические модели, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, относятся к задачам нелинейной строительной механики. Как известно, задачи нелинейной строительной механики описываются фундаментальной системой уравнений, которая состоит из трех групп: статических, геометрических и физических. В зависимости от условий деформирования конструкции, вводятся дополнительные гипотезы в отдельные группы уравнений фундаментальной системы, в результате чего уравнения могут быть как линейными, так и нелинейными, и на основании этого выделяют следующие виды нелинейностей: геометрическую, физическую и конструктивную нелинейность. Каждый вид нелинейности назван в соответствии с той группой уравнений, в которой были введены соответствующие изменения. Если в геометрических соотношениях (соотношениях Коши) отказаться от предположения о малости перемещений и углов поворота, то, следовательно, возникает так называемая геометрическая нелинейность. Весьма важные исследования по расчету пластин и оболочек с геометрической нелинейностью принадлежат таким ученым как И.Г. Бубнов, В.З. Власов, А.И. Лурье, В.В. Новожилов, В.В. Петров, И.В. Кривошеин [2]. В случае отказа от использования в физических соотношения классического обобщенного закона Гука, который предполагает линейную зависимость между напряжениями и деформациями, возникает так называемая физическая нелинейность. Также нелинейные зависимости могут проявляться при наличии неоднородности в материале конструкции в виде упрочнения или деградации поверхностных слоев материала, или же если толщина конструкции является функцией ее координат. Если же в процессе деформирования конструкции происходит изменение расчетной схемы, связанное с изменением граничных условий, то говорят о конструктивной нелинейности [3, 4].

Нелинейные задачи строительной механики имеют принципиальные отличия от линейных задач. Так в нелинейных задачах энергия деформации уже не является квадратичной функцией, кроме того, не справедлив принцип суперпозиции и основанные на этом принципе классические теоремы строительной механики [3, 4].

Для приближенного решения задач нелинейной строительной механики существует довольно широкий класс методов, основанных на различных идеях и предположениях. Список

этих методов весьма обширен и включает в себя такие методы как метод последовательных нагружений (МПН), двухшаговый метод последовательного возмущения параметров (ДМПВП), метод Ньютона-Канторовича (МНК), метод Бицено-Коха (МБК) и т. д. Одним из таких методов решения задач строительной механики является метод наискорейшего спуска (МНС) или градиентный метод, разработанный в 1948 году Л.В. Канторовичем [5, 6]. Данный метод оказался весьма мощным инструментом для решения задач в различных научных сферах таких как экономика, нелинейное программирование и строительная механика. Метод наискорейшего спуска относится к группе итерационных методов, а в некоторых литературных источниках называется методом численной оптимизации [1]. Схема метода наискорейшего спуска заключается в следующем: строится последовательность приближений к минимуму такого рода, что переход от одного приближения к следующему осуществляется по направлению наискорейшего убывания данного функционала [6].

Изначально метод наискорейшего спуска (МНС) разрабатывался для решения задач о нахождении минимума квадратичных функционалов, а именно к линейным ограниченным операторам. Дальнейшие исследования показали, что поиск экстремума функционала аналогичен решению соответствующего дифференциального уравнения, а именно к исследованию неограниченных операторов. Впоследствии Л.В. Канторовичем была предложена идея, что неограниченный сложный оператор можно ограничить другим более простым неограниченным оператором. Им доказана теорема: если положительно определенный оператор А является В - ограниченным, то есть справедливо выражение

(Бы, и )<( Ли, и )< М (Бы, и ), (0 < т < М < +ю) (1)

m

то имеет место 5-сходимость процесса наискорейшего спуска к обобщенному решению дифференциального уравнения с быстротой геометрической прогрессии. В условии (1)

обозначение вида (Bu,u) - есть скалярное произведение функций. Однако теорема Л.В. Канторовича и условие (1) справедливы только в том случае, когда дифференциальный оператор исследуемой задачи является линейным.

Наиболее полно метод наискорейшего спуска был представлен в работах А.А. Самарского. Этот метод согласно А.А. Самарскому относится к одношаговым итерационным методам. Рассмотрим структуру метода наискорейшего спуска в общем виде, на примере решения систем линейных алгебраических уравнения вида:

Ax = f, (2)

где: A - матрица M хM, x = (xi' x2' хз.....xn) - искомый вектор, f = (fi' f2' f3.....fn) -

заданный вектор. Предполагается, что определитель матрицы A отличен от нуля, так что решение для x существует и единственно.

Тогда, канонической формой одношагового итерационного метода решения системы уравнений (2) называется его запись в следующем виде:

B±iXn±L-Xn + Axn = f, n = 0,1,2...n0, (3)

£n±1

где Bn±i - матрица, соответствующего итерационного метода, sn±i - итерационный параметр (градиент спуска). При решении системы уравнения (2) изначально предполагается,

что задано начальное приближение в виде xo и, соответственно, существует матрица вида о-1 . Тогда из уравнения (3) можно последовательно определить все

Б~п\ п = 1,2,...,n -1

xn, n = 1, 2, •••, no . Для нахождения xn+i по известным f и xn достаточно решить систему уравнений вида

Bn+1 Xn+1 = Fn , (4)

где Fn - матрица столбец (заданный вектор), который определяется следующим образом:

F = (Bn+1 - S+1A) xn + Tn+!f • (5)

В работе А.А. Самарского [7] идея метода наискорейшего спуска излагается в двух видах: явном и неявном. Итерационный метод называют явным (неявным), если матрица

Bn = E (Bn ^ E) , где E - единичная матрица. Преимуществом неявных методов является более быстрая сходимость.

Рассмотрим идею решения системы уравнений (3) в явной форме метода наискорейшего спуска. Итерационный параметр (градиент спуска) sn+i выбирается из условия минимума II II z =( x — x)

llzn+i II a при заданном векторе zn, где n+1 v n+1 ' - это вектор, определяющий направление наискорейшего спуска в точке xn . Поскольку погрешность zn удовлетворяет уравнению вида

z„+1 = zn — sn+iAzn > (6)

то выражение, определяющее llzn+1lL, будет выглядеть следующим образом:

|Zn+1 IIA = I\Zn\\A — 2S+1 (Azn , zn ) + Sn+1 (A' zn , Azn ) • (7)

Из выражения (7) следует, что величина II^+JIa будет минимальной только в том случае, если положить градиент спуска равным

e = (A5^?5l

^ (A2 zlt, Az„ )• (8)

Поскольку величина zn xn x неизвестна (так как неизвестно точное решение x), то

надо учесть, что Azn = rn = (Axn — f) - есть невязка решения, и вычисление градиента спуска s

n+i производить по следующей формуле:

S = (Г 7 Г") (Q\

S"1 (Ar„, r.) • (9)

Для решения системы уравнений (3) методом наискорейшего спуска в неявной форме необходимо величину градиента спуска 8п+\ , как и в явной форме, выбирать из условия

минимума 11^+\ IIа при заданном векторе zn. Поскольку погрешность 2п = хп — х удовлетворяет уравнению вида

Zn+\ = Zn ~еп+\В-\, (10)

то выражение, определяющее И^+Ла , будет иметь вид:

1Ы1А = Ik IIA - 2^+1 (Az„, в -1 Azn) + e^ (AB-lAzn, B~lAzn). (11)

Учитывая, что Azn = rn = (Axn - f), а wn = B rn получим следующее:

Hzn+J|A =1 lzn|l A - 2^n+1 (rn, Wn ) + ^+1 (AWn, Wn ) . (12)

Следовательно, величина Ilzn+1|L будет минимальной, если в выражении (12) положить градиент спуска равным

£ = (rn , Wn) (13)

^ (Awn, Wn). (13)

Применение, изложенного выше, метода наискорейшего спуска при решении задач как линейной так и нелинейной строительной механики встречает перед собой ряд проблем: при переносе теоремы Л.В. Канторовича на задачи строительной механики возникает проблема построения соответствующего симметричного, положительно полуограниченного оператора B, область определения которого должна совпадать с областью определения родственного оператора A с обязательным выполнением неравенства (1). Однако в работе [3] автором показано, что применительно к задачам строительной механики условия теоремы Л.В. Канторовича обеспечиваются в том случае, если упругая система, описываемая оператором В является более жесткой по сравнению с исходной, которая описывается оператором А. В связи с этим оператор В для каждой конкретной задачи может быть построен на основании инженерных соображений. При этом скорость сходимости метода наискорейшего спуска будет зависеть от того насколько качественно выбран ограничивающий оператор В.

Для применения метода наискорейшего спуска прежде всего необходимо, чтобы, во-первых, задача описывалась линейным оператором и, во-вторых, этот линейный оператор должен быть ограниченным. В результате чего возникает две проблемы, а именно, как линеаризовать нелинейный дифференциальный оператор и как ограничить полученный линейный дифференциальный оператор.

В данной статье рассмотрим идею применения метода наискорейшего спуска для решения нелинейного дифференциального уравнения изгиба пластинки переменной толщины, выполненной из физически нелинейного неоднородного материала. Использование неоднородного материала позволит увеличить эффективность использования пластинки и в значительной степени повысит ее несущую способность. Для этого создадим в крайних волокнах по толщине пластинки неоднородные слои. Эти слои будем называть упрочненными слоями, а линию ограничивающую основной материал от упрочненного слоя будем называть фронтом упрочнения. Неоднородность создается таким образом, чтобы кривые, описывающие изменение прочностных характеристик материала в упрочненном и в основном слое, имели общую касательную в точках фронта упрочнения. В этом случае не образуются концентраторы напряжений в местах контакта основного и упрочняющего материалов.

Поскольку материал пластинки неоднородный, то для адаптации математической модели введем в физические уравнения функцию неоднородности материала, которая будет учитывать изменение прочностных характеристик по толщине упрочненного слоя [8]. Применяя феноменологический подход вводим в пределах фронта упрочнения функцию

неоднородности Эта функция вводится в инкрементальные физические уравнения,

построенные на основе теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина. Связь

между приращением тензора-девиатора напряжений ААо£ и приращением тензора-девиатора деформаций ААес в безразмерной форме, принята в виде [4]:

2 »

ААа( = ^ Е*ААе(., (14)

где Е* = Еку(с) , здесь Е* - касательный модуль неоднородного материала в

безразмерном виде, Ек - касательный модуль основного материала в безразмерном виде, С -безразмерная координата по толщине пластинки. Диаграммы деформирования основного и неоднородного материала являются нелинейными.

Функция неоднородности для пластинки переменной толщины с двусторонним упрочнением, при аппроксимации временных сопротивлений материала при различных концентрациях упрочняющей среды с помощью экспоненциальной зависимости в безразмерной форме имеет вид:

w(C) = exp

ln (K ^

(15)

где - безразмерная толщина упрочненного (неоднородного) слоя по толщине

пластинки, ^щ - функция переменной толщины пластинки, К > 1 - коэффициент упрочнения.

Для функции неоднородности (15) обязательны следующие основные свойства: функция У (с) нелинейная; производные от нее в точках линии фронта упрочнения должны обращаться в ноль

V (Сфу ) = о

; функция У (С) отлична от единицы только в пределах упрочненного слоя. Запишем нелинейное дифференциальное уравнение изгиба пластинки в безразмерном

виде:

V2 (А^п ) -1Ь (Ас, и) = р (£ щ), (16)

где V - дифференциальный оператор Лапласа, А - безразмерная переменная жесткость пластинки, и - безразмерный прогиб, р - безразмерная равномерно

распределенная нагрузка, - безразмерные координаты в плане пластинки, а

дифференциальный оператор

^ (Ас, и ) выглядит следующим образом:

\ д2А д2и д2Ас д2и 0д2Ас д2и Ь (А , и) =--с—- +-с— - 2-^-. (17)

v с ' д£2 дщ2 дщ2 д£2 дфщдфщ ( )

Безразмерная переменная жесткость пластинки

Ас в уравнении (16) имеет вид:

А о

Ас = - | Есу(С)(С + 0.5кщ)2йС, (18)

де Ес - безразмерный секущий модуль материала.

Для линеаризации исходного нелинейного дифференциального уравнения (16) необходимо привести его к инкрементальной форме с использованием дифференциала Гато [4].

hc

Приведем без вывода инкрементальное дифференциальное уравнение изгиба пластинки в безразмерном виде [4, 9]:

V2 (Dk V2 Au ) -1L (Dk, Au) = Ap (£ V),

(19)

где Au - приращение безразмерного прогиба пластинки, Dk - безразмерная переменная жесткость пластинки, Ap 0=, w) - приращение безразмерной равномерно распределенной нагрузки, а дифференциальный оператор

L(Dk,Au)

имеет вид:

\ \ д2D, d2Au д2D d2Au 0 52D д2Au

L (Dk, Au) =-т-т +-т-г - 2---• (20)

v k ' дг/2 д/ д=д/д=д/ )

Безразмерная переменная жесткость пластинки Dk в уравнении (19) имеет вид:

4 0

Dk = 4 J Ekv(£)(£ + 0.5h J (21)

Пределы интегрирования в выражениях (18) и (20) расставлены из условия, что начало координат располагается по верхнему контуру пластинки. Функцию переменной толщины

пластинки hr примем в виде синусоидального велароида [10] и запишем в следующем виде:

Кг(),г) = 1 — A sin (ж)) sin (nr¡), (22)

где A = (ho — hc )/К - безразмерный параметр относительной толщины пластинки, ho -

h

толщина пластинки на опоре, hc - толщина пластинки в центре.

Изложим идею построения алгоритма решения инкрементального дифференциального уравнения изгиба пластинки вида (19) методом наискорейшего спуска (МНС). Уравнение (19) имеет вид инкрементального уравнения метода последовательных нагружений, таким образом на каждом этапе нагружения примем в схеме реализации в качестве линейного симметричного, положительно полуограниченного оператора B оператор инкрементального уравнения (19) при

условии, что переменная жесткость пластинки Dk входящая в этот оператор будет зависеть от

суммарного прогиба пластинки ^ ^un за все предыдущие этапы нагружения кроме текущего, и будет иметь вид:

B = V2

Dk (SAu„)V2]-1L[Dk (^Au„) ,]. (23)

В качестве оператора А в условии (1) примем оператор, вид которого полностью

совпадает с видом оператора (23), однако переменная жесткость пластинки ^к входящая в

оператор А будет зависеть от суммарного прогиба пластинки ^ за все предыдущие этапы

нагружения плюс приращение прогиба полученное на текущем этапе. В результате чего оператор А будет иметь вид:

A = V2

D'k (S Au„ + Aun+1) V2 ] -1L [Dk (X Au„ + Au^ ),]. (24)

-hfn

На каждом этапе нагружения, в качестве первого приближения, будем использовать решение, полученное методом последовательных нагружений. В результате чего первоначально на каждом этапе необходимо решить уравнение вида:

B [AU+i ] = AP • (25)

Для дальнейшей реализации алгоритма метода наискорейшего спуска необходимо

определить приращение невязки решения П на текущем этапе нагружения, которая с

учетом принятых условий и обозначений будет иметь вид:

АА = А [ди+1 ]-Лр =У2 [ду2 (а<1)]-11 \В[, )]-Ар. (26)

После определения приращения функции невязки решения переходим ко второму этапу

алгоритма МНС, а именно к определению приращения корректирующей функции на

текущем этапе нагружения, которая является решением дифференциального уравнения вида:

V2

B [AZ£ ] = AF„,

DV2 (AZj+1)]-1L [D, (AZ^ )] = AF„. (27)

Уравнение (27) по виду совпадает с инкрементальным уравнением (19), единственным различием является то, что правая часть уравнения (27) представляет собой «фиктивную нагрузку», которая представляет собой невязку решения на текущем этапе нагружения.

Третьим этапом реализации алгоритма метода наискорейшего спуска является

определение величины градиентного спуска а<1+1 на текущем этапе нагружения. Выражение

Е]+1

определяющее градиент спуска ап+1 записывается в следующем виде:

(B [AZj+1 ], AZj+1)

(A [Az£ ], AZ£ ) •

j rri+1 ] , rri+ л • (28)

(В\Л21+1 ] Л21+1) (А\А21+1 ] Л21+1) В формуле (28) выражения V [ п+1 ]' п+Ч и V [ п+1 ]' п+Ч - скалярные

произведения функций, которые представляют собой, соответственно, энергию оператора В и

энергию оператора А и определяются следующим образом:

(В [Л^ ], А^^1 ) = } } (В ]) ^Цё^ёц, (29)

0 0

(А [Л^ ] , ) = } } (А\Л^ (30)

0 0

В результате чего приращение прогиба пластинки на текущем этапе нагружение с учетом поправки решения будет выглядеть следующим образом:

Л1 =Ли+1 - а^Л^1. (31)

Используя формулу (31) и приведенный выше алгоритм метода наискорейшего спуска можно на каждом этапе метода последовательных нагружений определять приращение прогиба с заданным значением точности.

В качестве примера, для реализации алгоритма метода наискорейшего спуска, рассмотрим задачу изгиба пластинки жестко защемленной по контуру. Пластинка находится под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Для решения дифференциальных уравнений (25) и (27) применялся метод конечных разностей с сеткой 32 х 32. Вычисление определенных интегралов (21), (29) и (30) производилось с использованием метода Симпсона [11]. Для повышения точности получаемых результатов на каждом этапе нагружения задача решалась методом последовательных нагружений после чего полученное решение уточнялось методом наискорейшего спуска до 5 итераций. Для оценки точности получаемых результатов и скорости сходимости метода наискорейшего спуска дополнительно задача решалась двухшаговым методом последовательного возмущения параметров [4, 9]. При обоих вариантах решения задачи нагрузка разбивалась на 10 частей. Ниже на рис. 1 приведен график зависимости максимальных прогибов в центре пластинки от

параметра относительной толщины X . Обозначения кривых, приведенные на графике umax (X) соответствуют величине коэффициента упрочнения K.

7

0 -1-1-1-1-1----

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Л

Рисунок 1. График зависимости прогибов в центре пластинки от параметра Х (составлено/разработано авторами)

По результатам расчета приведенным на рис. 1 видно, что с ростом параметра относительной толщины X максимальные значения прогиба в центре пластинки увеличиваются. В то же время рост коэффициента упрочнения К наоборот приводит к снижению максимальных прогибов в центре пластинки, которое в процентном соотношении относительно К=1 (пластинка без упрочнения) составляет: К = 2 - Х = 0 —19,1% , Х = 0,1 —19,9% , Х = 0,3 — 21,7% , Х = 0,5 — 24,4% Х = 0,7 — 30,4% ; К = 3 - Х = 0 — 30,6% , Х = 0,1 — 31,6% , Х = 0,3 — 34,0% , Х = 0,5 — 37,4% Х = 0,7 — 44,1% , К = 4 - Х = 0 — 38,5% , Х = 0,1 — 39,7% , Х = 0,3 — 42,4%, Х = 0,5 — 45,9% Х = 0,7 — 52,5% . Анализ эпюр изгибающих моментов для приведенной задачи показывает, что наличие двустороннего упрочнения у пластинки переменной толщины приводит к незначительному изменению изгибающих моментов. На краю пластинки при жестком защемлении ее краев, уменьшение максимальных изгибающих моментов относительно К = 1 колеблется в пределах от 0,1 до 1,0 %. Однако в центре пластинки с ростом коэффициента упрочнения К изгибающие моменты увеличиваются. Это увеличение относительно К = 1 составляет: К = 2 - Х = 0 — 0,1% , Х = 0,1 — 0,6% , Х = 0,3 — 2,1% , Х = 0,5 — 5,4% Х = 0,7 —16,1% ; К = 3 - Х = 0 — 0,1% , Х = 0,1 — 0,9% , Х = 0,3 — 3,3% , Х = 0,5 — 8,2% Х = 0,7 — 23,2% , К = 4 - Х = 0 — 0,1% , Х = 0,1 —1,1%, Х = 0,3 — 4,2%, Х = 0,5 —10,0% Х = 0,7 — 27,4% .

Ниже на рис. 2а,б приведен график зависимости интенсивности напряжений на опоре (рис. 2а) и в центре (рис. 2б) пластинки от параметра относительной толщины Х . Обозначения кривых, приведенные на графиках, соответствуют величине коэффициента упрочнения К .

(а)

(б)

Рисунок 2. График зависимости интенсивности напряжений на опоре (а) и в центре (б) пластинки от параметра х (составлено/разработано авторами)

На графиках, приведенных на рис. 2а,б, видно, что наличие слоя неоднородности с повышенными прочностными характеристиками приводит к увеличению интенсивности напряжений как в центре пластинки, так и на опоре. Из графика на рис. 2, а видно, что зависимость напряжений от параметра X в опорной части пластинки имеет слабо выраженную нелинейную зависимость, вне зависимости от величины коэффициента упрочнения К и при практических расчетах может быть принята в виде линейной зависимости. Однако для

центральной части пластинки (рис. 2б) зависимость ^ (Х) имеет ярко выраженный нелинейный характер.

Таким образом, из анализа полученных результатов видно, что наличие таких параметров как неоднородность и переменная толщина позволяют довольно эффективно управлять напряженно-деформированным состоянием конструкции.

В заключение следует отметить ряд важных преимуществ метода наискорейшего спуска: во-первых, метод наискорейшего спуска позволяет сводить решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к решению уравнений с постоянными коэффициентами; во-вторых, использование приведенного выше алгоритма МНС позволяет на каждом этапе нагружения получать результат с заданной точностью; при решении задач с использованием метода наискорейшего спуска не требуется построения систем аппроксимирующих функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Численные методы решения задач строительной механики: справ. пособие / В.П. Ильин [и др.]; под общ. ред. В.П. Ильина. - Минск: Высшая школа, 1990. - 349 с.

2. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки / А.С. Вольмир. - М.: Гос. изд-во техн.-технич. лит., 1956. - 421 с.

3. Петров, В.В. Решение нелинейных задач строительной механики методом наискорейшего спуска / В.В. Петров // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2017. - Т. 13. - №3. - С. 103-111; https://doi.org/10.22337/1524-5845-2017-13-3-103-111.

4. Петров, В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / В.В. Петров.

- М.: Инфра-Инженерия, 2014. - 480 с.

5. Канторович, Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика / Л.В. Канторович. - М.: УМН, 1948. - Т.3. - 6(28). - С. 89-185.

6. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М.: Изд-во «Наука», 1977. - 752 с.

7. Самарский, А.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 432 с.

8. Мищенко, Р.В. Расчет неоднородных балок переменной толщины / Р.В. Мищенко, Д А. Пименов // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». - 2017. - Т. 9.

- №4; http://naukovedenie.ru/PDF/07TVN417.pdf

9. Кривошеин, И.В. Инкрементальные методы расчета гибких физически нелинейных пологих оболочек и пластинок: монография / И.В. Кривошеин. -Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2015. - 256 с.

10. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.Н. Халаби. - М.: Наука, 2006. - 544 с.

11. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Изд-во «Наука», 1974. - 832 с.

Mishchenko Roman Viktorovich

Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Saratov, Russia

E-mail: roman_radon4@mail.ru

Pimenov Dmitriy Alekseevich

Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Saratov, Russia

E-mail: scorpions91@inbox.ru

Calculation of inhomogeneous plates of variable thickness by the method of steepest descent

Abstract. In this paper we consider the idea of using the steepest descent method to solve a nonlinear differential bending equation for a plate of variable thickness made of a physically nonlinear inhomogeneous material. The use of an inhomogeneous material makes it possible to increase the efficiency of the use of the plate and substantially increases its bearing capacity, and the presence of variable thickness gives it the appropriate architectural expressiveness. The algorithm for solving the bending problem of a physically nonlinear, inhomogeneous plate of variable thickness by the method of steepest descent is constructed on the basis of the method of successive loading. To improve the accuracy of the results obtained, a solution obtained by the method of successive loads was used as the first approximation at each loading stage, after which this solution was refined by the method of steepest descent to 5 iterations. To assess the accuracy of the results obtained and the rate of convergence of the steepest descent method, in addition, the problem under investigation was solved by a two-step method of successive perturbation of the parameters. Based on the obtained numerical data, the corresponding graphs are constructed. The analysis of the qualitative change in the stressstrain state of the structure is performed when the corresponding parameters of the hardening function and the variable thickness function change. The percentage ratios for deflections and bending moments in characteristic sections are given for different values of the hardening coefficient.

Keywords: Physical nonlinearity; variable thickness; mathematical model; inhomogeneity function; hardening front; gradient of descent; corrective function; iterative method; incremental equation