Прямой метод анализа устойчивости систем с линейно возрастающим запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

И. П. Меденников

ПРЯМОЙ МЕТОД АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНО ВОЗРАСТАЮЩИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Статья посвящена анализу устойчивости линейных дифференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздыванием. Приведены необходимое и достаточное условия асимптотической устойчивости, в которых условие положительной определенности функционала ослаблено по сравнению с классическим, предложенным Н. Н. Красов-ским. Для широкого класса устойчивых систем с линейно возрастающим запаздыванием построен квадратичный функционал Ляпунова—Красовского с заданной производной, для которого на множествах конкретного вида имеется квадратичная нижняя оценка. Функционал находится через матрицу Ляпунова, для которой приведены основные свойства. Показано, что после некоторых модификаций этот функционал может применяться для анализа устойчивости по отношению к нестационарным возмущениям в коэффициентах и в запаздывании. Такой анализ требует наличия верхних оценок специального вида на норму матрицы Ляпунова. Для скалярного случая получены требуемые оценки, на основании которых выведены достаточные условия асимптотической устойчивости скалярного уравнения с линейно возрастающим запаздыванием и нестационарными возмущениями в коэффициентах. Модификация функционала в данном случае заключается в добавлении к нему интегрального слагаемого, обеспечивающего отрицательность производной и сохраняющего квадратичную нижнюю оценку на множествах специального вида. Библиогр. 11 назв.

Ключевые слова: устойчивость, дифференциально-разностные системы, линейно возрастающее запаздывание, метод функционалов Ляпунова—Красовского, робастная устойчивость, матрица Ляпунова.

I. P. Medennikov

DIRECT LYAPUNOV APPROACH TO THE STABILITY ANALYSIS OF DIFFERENTIAL-DIFFERENCE SYSTEMS WITH LINEARLY INCREASING TIME DELAY

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

This article is about the stability analysis of linear differential-difference systems with linearly increasing time delay. The necessary and sufficient conditions of the asymptotic stability are given in the article. At the same time the posititive definiteness condition is weakened comparing with classic Krasovskii condition. The quadratic Lyapunov—Krasovskii functional with a given derivative is constructed for a wide class of stable systems with linearly increasing time delay. This functional has a quadratic lower bound on the sets of certain type. The functional is defined by the Lyapunov matrix, its main properties are given. It is shown that after some modifications this functional can be used to analyze the stability with respect to the time-dependent perturbations in coefficients and delay. Such analysis requires upper bounds of a special type on the norm of the Lyapunov matrix. The required bounds for the scalar case were obtained. The sufficient conditions of the asymptotic stability of scalar equation with linearly increasing time delay and the time-dependent perturbations in coefficients are derived based on these bounds. Modification of the functional in this case consists in adding the integral

Меденников Иван Павлович — аспирант; e-mail: ipmsbor@yandex.ru Medennikov Ivan Pavlovich — post-graduate student; e-mail: ipmsbor@yandex.ru

term that assures negativity of a derivative and preserves the quadratic lower bound on the sets of a certain type. Bibliogr. 11.

Keywords: stability, differential-difference systems, linearly increasing time delay, Lyapu-nov—Krasovskii approach, robust stability, Lyapunov matrix.

1. Введение. Системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом применяются при моделировании динамических процессов в окружающем мире. Особый класс составляют системы с линейно возрастающим запаздыванием, которые по существу являются нестационарными. В настоящей работе рассматриваются дифференциально-разностные системы следующего вида:

х(Ь) = Лх(Ь) + Вх(аЬ). (1)

Здесь Ь ^ Ьо > 0, х(Ь) € М", Л и В - постоянные (ихи)-матрицы, 0 < а < 1. Уравнения такого типа встречаются в теории радиоактивного распада [1]

Ли(Ь) , ч , ч

——= -ХиШ + \buCbt).

аЬ

Системы с линейно возрастающим запаздыванием также могут использоваться при моделировании информационных процессов.

Устойчивость систем такого вида была исследована в работах [2-4]. В работе [5] доказаны необходимое и достаточное условия асимптотической устойчивости системы (1), причем, по аналогии с [6], условие положительной определенности функционала ослаблено по сравнению с классическим, предложенным Н. Н. Красовским [7].

Одна из целей настоящей работы состоит в распространении результатов А. П. Жабко и В. Л. Харитонова [8, 9], разработавших конструктивный метод построения квадратичного функционала для систем с постоянным запаздыванием, на случай систем с линейно возрастающим запаздыванием. Другая цель - анализ устойчивости по отношению к неопределенности в коэффициентах и в запаздывании. В [10, 11] была впервые рассмотрена задача робастной устойчивости систем с линейно возрастающим запаздыванием и сформулирован алгебраический критерий робаст-ной устойчивости этих систем. Метод функционалов Ляпунова-Красовского позволяет решать более общую задачу, а именно исследовать устойчивость по отношению к нестационарным возмущениям в коэффициентах и в запаздывании.

Каждое решение системы (1) определяется начальными условиями: начальным моментом времени Ьо и начальной вектор-функцией в), в € [аЬо,Ьо], х(в) = в). Будем полагать в дальнейшем, что начальные функции являются кусочно-непрерывными на промежутке [а Ьо, Ьо].

Решение системы (1) с начальными данными Ьо, у будем обозначать через х(Ь,Ьо,у), а сегмент траектории х(з,Ьо,у) на промежутке в € [аЬ,Ь] при Ь ^ Ьо -через XI(Ьо, у), или просто х, если начальный момент времени и начальная функция очевидны из контекста. Функцию, тождественно равную на промежутке в € [аЬ,Ь] нулевому вектору, будем обозначать через 04.

В качестве векторной нормы будем использовать евклидову норму, а для векторных функций - равномерную норму

М-)|| = вир Мв)\\.

в€[аЬо,Ьо]

2. Вспомогательные результаты. Кратко приведем утверждения, которые понадобятся в дальнейшем.

2.1. Оценка на решение. Введем обозначения

Л = шах{Ке Л: ёе^А Е — А) = 0},

Л = шах{—ж, И.ец: det(A + ам В) =0}.

В [10, 11] показано, что, если А < 0 и ¡л < 0, то система (1) асимптотически устойчива. Предположим, что ¡л > —ж, тогда для любого е > 0 справедлива оценка на решение

(г У+е

Нетрудно видеть, что а.-^ есть максимальный из модулей собственных чисел матрицы А-1 В. Таким образом, условие ¡2 < 0 равносильно тому, что все собственные числа матрицы А-1 В лежат внутри единичного круга.

2.2. Свойства фундаментальной матрицы. Рассмотрим фундаментальную матрицу системы (1) К(г,го), которая является решением матричного уравнения

дК(г,го)

-= АК ¿,¿0) + ВК «Мо , О ¿о,

дг

с начальными условиями К(г,го) = 0пхп при г < го и К(го,го) = Е.

Система (1) удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решения, а потому матрица К(г,го) существует и единственна (так как каждый столбец матрицы К(г,го) есть решение системы (1) с соответствующей кусочно-непрерывной начальной функцией).

Фундаментальную матрицу в скалярном случае будем называть фундаментальным решением.

Лемма 1. Частная производная фундаментальной матрицы по второму аргументу при г ^ г0 выражается равенством

dto ' aya

(При t = to под производной будем понимать левостороннюю производную.)

Доказательство. Пусть ato < ¡ < to. Рассмотрим при t ^ to выражение

Ia

G(t,n,to)= K(t, ¡) - K(t, to) K(to, ¡) - j K(t,T) BK(ar,r¡) dr.

ta/a

to,

n/a

Нетрудно видеть, что G(to,¡,to) = 0, и при t G [to,to/a] выполняется

dG(t, ¡, to)

dt

AG(t,¡,to),

таким образом, С(г,п,го) при г € [го,го/а] есть нулевая матрица. Следовательно, согласно теореме о единственности решения системы (1), при г ^ го будет выполняться равенство

г0/а

К (г,п) = К (г,го) К (го,п)+ ! К (г,т) ВК (ат,п) Лт.

п/а

А тогда, продифференцировав это равенство по ¿о и учитывая, что К(¿о, п) = ел(Ьо п), будем иметь

дк(г,¿0) ^ + ^ АГ]) + 1К Л N в ^ =

ato aya

т. е.

= _*(«, ад ¿.I* (,,!*) в.

oto a \ a J

Лемма доказана.

Лемма 2 (Формула общего решения в форме Коши). Решение x(t,t0 при t ^ t0 может быть представлено в виде

хЦ,Ъ,<р) = К№)Фо) + - [ К и,-) В<р(т)(1т.

а ] \ а)

а Ьо

Доказательство. Согласно лемме 1,

Ь

/I

— (К(г, т) х{т, ¿0, ¥>)) <1т =

Ьо

Ь

Ьо

Ьо

= -- ( к (г,-) в<р{г0)ат.

аа

а Ьо

Таким образом, лемма доказана.

2.3. Основы метода функционалов. Приведем основные результаты работы

[5].

Введем в рассмотрение множества

Бы = {ф е РС(Ио,М,К"): МОП < (1 + М)М*о)||}, м > 0,

где под РС([а4о, ¿о], К") понимается класс кусочно-непрерывных на промежутке [аАо^о] вектор-функций. Применительно к системе (1) метод функционалов Ляпунова-Красовского основывается на следующей теореме.

Теорема 1 (Достаточное условие асимптотической устойчивости) [5].

Пусть задан неотрицательный и непрерывный в нуле функционал ф) такой, что 0Ь) = 0, и выполнены условия

1) , ф) ^ С! |ф(£о)||7 при ¿о > 0, ф е Бы при некоторых М ^ 0, с\ > 0, ^ > 0;

хЬ)

2) -—-^ —С2 ||ж(£)||" для некоторых С2 > 0, V > 0.

Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво (неравномерно) по Ляпунову.

Замечание 1. Система (1) является линейной, поэтому либо все ее решения асимптотически устойчивы по Ляпунову, либо нет. В дальнейшем будем говорить об устойчивости линейных систем, а не их решений.

dr :

Заметим, что теорема 1 применима к системам более общего вида

¿(г) = (А + До(г)) х(г) + (В + Д1(г)) х(в(г)),

где До (г) и Д1(г) - непрерывные и ограниченные при положительных г функции, а в(г) - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая при всех положительных г условиям 0 < 6(г) < г, ¿в(г)/Лг > $ (здесь $ - некоторая положительная постоянная).

Пусть А < 0 и ¡2 < 0. Выберем величину ^ > 0 таким образом, чтобы выполнялось условие ¡л ^ < —1. Оно равносильно тому, что а-*1 < а1/"', т. е. все собственные числа матрицы А-1 В лежат внутри круга радиуса а1/"'. Тогда функционал

уо(го,Ф)= ! ||х(в,го,^)||7¿в (2)

г0

существует и удовлетворяет [5] условию

¿Уо(г, хг)

—Цх(г,го,^)Г.

¿г

Теорема 2 [5]. Для функционала (2) на множествах Бм справедлива оценка

с

М*0, у) > 27(1 + м)11^°)1Г>

где постоянная С определяется из условия

Нетрудно видеть, для функционала Уо(го,р) выполнены условия из теоремы 1 при с1 = 27(1+м) > с2 = !> ^ = 7-

Замечание 2. Пусть А и ¡2 для системы (1) произвольны, за исключением {А ^ 0, ¡2 = 0} и {X = 0, ¡2 ^ 0}. Тогда необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости системы (1) - существование неотрицательного и непрерывного в нуле функционала у(г,р) такого, что у(г, 0г) = 0, для которого выполнены условия

1) у(го,ф) > с1 ||^>(го)||7 при го > 0, ^ € Бм при некоторых М > 0, с1 > 0, ^ > 0; ¿у(г, хг)

2) -^ —С2 \\хш г для некоторых С2 > 0, V > 0.

¿г

3. Основные результаты. Предложим конструктивный метод построения функционала (2) для случая 7 = 2, являющийся распространением результатов работ [8, 9] на системы с линейно возрастающим запаздыванием. Здесь и далее предполагается, что все собственные числа матрицы А отрицательны, а все собственные числа матрицы А-1 В лежат внутри круга радиуса а1/2.

3.1. Функционал с заданной производной. Пусть Ж - симметричная положительно-определенная матрица. Будем искать функционал, удовлетворяющий условию

Для нахождения явного вида функционала

vo(to,ф)= J xT(s,toW x(s, tods

to

воспользуемся формулой общего решения в форме Коши, приведенной в п. 2.2. Бу-

+^

дем называть и(Ь,г) = § Кт(в^) Ш К(в,т) ds матрицей Ляпунова, ассоциирован-

г

ной с матрицей Ш. С учетом этого обозначения выражение для функционала примет вид

го

УоЦо,<р) = ЛоМ*о,*оМ*о) + -Ло) [ и ио,~) В<р(т)(1т +

а ] V а/

ato (3)

to to v 7

+ 4/ fT(Ti)BTu(^,^)Blf(T2)dT2dr1. a2 J J \ a a)

ato ato

3.2. Свойства матрицы Ляпунова. Следующие три утверждения выражают свойства матрицы Ляпунова.

Лемма 3 (Свойство симметрии). Справедливо равенство

U T (t,T )= U (T,t).

Лемма 4 (Динамическое свойство). При т ^ t еправедливо равенство dU (t, т)

дт

■= -U(t,T)A- - U (t,-) В

aa

(в точке т = £ под производной понимается левосторонняя производная).

Лемма 5 (Алгебраическое свойство). Выполняется соотношение

^ЕШ =-ту- АТи(г, г) - и (г, г)А--вти(-,г]--и(г,-)в.

dt ауа/ауа/

Доказательство этих утверждений заключается в непосредственном рассмотрении определения матрицы Ляпунова и опирается на свойства фундаментальной матрицы.

4. Анализ устойчивости по отношению к неопределенности в коэффициентах и в запаздывании. Ниже изложены результаты, относящиеся к применению метода функционалов для анализа устойчивости возмущенных систем.

4.1. Системы с неопределенностью в запаздывании. Рассмотрим систему

т= Ау(£)+Ву т), (4)

где в(£) - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая при всех положительных £ условиям 0 < в(Ь) < dO(t)/dt > $ (здесь $ - некоторая положительная постоянная). Пусть а - такое число, что 0 < а < 1, и все собственные числа матрицы

А 1В лежат внутри круга радиуса а1/2. Введем функционал

¿о

аа

»(¿о)

¿о ¿о ¿о

»(¿о) »(¿о) »(¿о)

в котором ^(г, т) - матрица Ляпунова для системы (1), ассоциированная с Ш = Шо + Ш1. Будем в дальнейшем считать, что матрицы Шо и Ш1 являются положительно-определенными. Введем также обозначение

OM-vw-imm,* у

a at у a J

Теорема 3. Производная функционала v\(t0, ф) вдоль решений системы (4) есть dil (t'Ш) = -yT(t) Wo y(t) - ® yTm) W1 y(0(t)) + 2 yTm) BT l(t, yt),

dt dt

где

ь

Щ,у<) = и{^)у{1) + - [ 0 (г, -) Ву{т)йт

аа »(¿)

Доказательство. Выпишем выражение для Ъ^г^^, состоящее из четырех слагаемых:

ь

vi(t,Vt) =yT(t)U(t,t)y(t) + -yT(t) f U (t,-) By(r)dT +

aa

m

t t t + ^2 f f yT(n)BTU (^,^By(r2)dr2dr1+ J yT(T)Wiy(T)dT.

»(¿) »(¿) »(¿)

Обозначим эти слагаемые как .11, .3, .1 / и продифференцируем последовательно каждое из них, используя полученные ранее свойства матрицы Ляпунова. Для первого слагаемого будем иметь

^ = 2 [Ау{1)+Ву{втти{1,1)г{1) +

+ ут(*) - 2 Ати(г, *) - § ^ (V ^ в) у{±),

для второго -

t

^ = l[Ay{t)+By{e{t))]T [ u(t,-)By{T)dT+-yT{t)uU-\By{t)-

dt a a a a

m

_ V(i) ® ® W(i))+V(() / щи в ,ÂT) dT,

a dt \ a J a J at

для третьего

t t

ih = ! « (H) I „ (ffi.l) Ву(т) dr,

e(t) e(t)

и, наконец, для четвертого

^ = yT(t) Wl vit) - ® yTm) wi y(em

Согласно динамическому свойству,

dU (t,-) rp / t \ 1 rj, (t t

-= —AU (t, - ) - - BTU -, -

dt \ a/ a yaa

Учитывая это и сократив все повторяющиеся слагаемые, окончательно получим

= VW Wo yit) - œ vTm) Wl vm) +

+ 2 yT{9(t)) BT (lJ(t,t) y{t) +

\ a dt \ a J J

t

a a a dt a a

e(t)

Теорема доказана.

4.2. Системы с неопределенностью в коэффициентах. Рассмотрим систему

z(t) = (A + Ao(t)) z(t) + (B + Ai(t)) z(at), (5)

где Ao(t) и Ai(t) - матричные функции, для которых существуют положительные константы ¿о и ¿i такие, что ||Ao(t)|| ^ ¿o, ||Ai(t)|| ^ ¿i при всех t ^ to.

Пусть, как и в п. 4.1, U(t,T) - матрица Ляпунова для системы (1), ассоциированная с W = Wo + Wi (матрицы Wo и Wi - положительно-определенные). Введем функционал

to

vi(to,^)= vo(to, J (t) Wi ф(т) dT,

to,

a to

в котором слагаемое vo определяется равенством (3).

Теорема 4. Производная функционала vi(to, ф) вдоль решений системы (5) есть

dvi{Î>Zt"> = _zTu\ Wq Zu\ — azT(at) Wî ziat) + 2 \A0(t) zit) + Ai (t) z(at)}T mit, zt), dt

здесь

t

1

m(t, zt) = U (t, t) z(t) + - [ U (t,-) В z(t) dr.

aa

at

Доказательство проводится по той же схеме, что и теоремы 3.

4-3. Оценки в скалярном случае. Дальнейший анализ устойчивости возмущенных систем (4) и (5), основанный на применении к теореме 1 результатов теорем 3 и 4, требует нахождения верхних оценок на норму матрицы Ляпунова. Получим такие оценки для скалярного уравнения

х(Ь) = —ах(Ь)+Ьх(аЬ), (6)

где а> 0; |Ь| < аа1/2.

Фундаментальное решение уравнения (6) обозначим через к(Ь,Ьо). Введем также обозначения

= —, п = 0,1,2,... . ап

Так как на отрезке [¿о ,Ьо/а] фундаментальное решение есть решение обыкновенного дифференциального уравнения без запаздывания, имеем

к(з,го) = в-а(8-'о), 8 е [го,го/а].

Воспользуемся методом шагов и выпишем формулу для нахождения фундаментального решения на отрезке в е [Ьп, Ьп+1], п =1, 2,... ,

к(в,Ьо) = в-а(-°-*п) |'к(гп,Ьо) + j ва(а-*п) Ьк(аа,Ьо) 8 е [¿п,Ьп+1].

Верхнюю оценку на модуль фундаментального решения дает следующее утверждение.

Лемма 6. На отрезке в е [Ьп,Ьп+1], п =1, 2,... , справедлива оценка

г=о ^ ; р=1

о1

(Здесь и далее будем считать, что --- = 1.)

р=1

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Нетрудно видеть, что на промежутке в е \р1 2] справедлива оценка

1к(в,го)1 < в-а(8-11) ^е-а(41-4о) + Ь ! ва(а-г1) в-а(аа-'о) ^ <

< е —а(з —40) ^ е—а(аз —40)

а 1 — а

Предположим справедливость формулы (7) при в е [Ьп-1,Ьп]. Тогда для в е [Ьп,Ьп+1 ] находим

1к(з,1о)1 < в-а(з-'п) Шгп,го)1 + 1Ь11 са(°-1п) 1к(аа,го)1 йЛ <

— '|Ь|\4 < 1

\г=0 ^ а ' р=1 1 ^

+ 1ЫЕ п гЛ^ /

¿=о ^ ^ Р=1 г

т. е.

V ¿=0 а ' р=1 а

+иШп 1 1

. а > 11 1 - аР а(1 - а4+1) ¿=0 4 ' р=1 у '

еа(з — гп) е-а(а'1+ з-го) _ е-а(гп-1-ъ — го)

Изменив индекс суммирования во второй сумме, получим

-а(аг з-го)

«Мо)| « £ (т) ПгЬ'"'''"' +

¿=1 4 7 Р=1

+ е-а(зШУ ^ 1 о) _ ШУ ^ 1 о)

\4=0 ^ а ' р=1 1 — а'Р ¿=1 ^ а ' р=1 1 — а'Р

Тогда окончательно будем иметь

< ± п тЬ'-**^-- (т)" п т^ <

¿=1 4 7 р=1 4 7 р=1

¿=о у 7 р=1

Лемма доказана.

¿1

Нетрудно заметить, что существует такая постоянная р, что --- < р для

Р=1

всех натуральных г.

Рассмотрим теперь матрицу Ляпунова для уравнения (6), ассоциированную с единицей:

и(£,т)= J к(в,£) к(в,т) ds.

Будем использовать обозначения = —, тп = — при п = 0,1, 2,... .

ап ап

Теорема 5. Пусть

2 л / |Ь| \ 2 л \Ь\

р 1 1л , л а \ .. _ Р 1

А*1 = о--тг 1 + 4—льг Ь № = —■

а

2а I —\ 1 Г г в 1-^1-й

а2 а \ а / а2а а

Тогда справедливы оценки

|и(£о,£о)| < Р1, (8)

|М^о,гоЖм1е-а(4°-То)+М2е-а(т1-4о), т0 < ¿о < (9)

а

|М(^,гоЖм1е-а(то^о)+М2е-а(41-То), ¿о < т0 < -. (10)

а

Доказательство. Будем использовать определение матрицы Ляпунова и оценку (7) на фундаментальное решение. Покажем сначала справедливость оценки (8):

+Т п /шV А2

Ноо / п ■■ X 2

^ / п \ 2

^ге а ¡п / |ь| \ г \

Введем обозначение Л(£о) = ^^ J у—у е~аа я 1 (¿е. Нетрудно видеть, что

2г п г—^ ^ г+3

-2 аа!й

аа п=о ^ уг=о 4 7 г=1 з=о У 7

Изменив в этом выражении порядок суммирования, будем иметь

+ /|т|\2г 1'Г1+1 г—1 , |,|\ г+з + 1'Г1+1

г=о п=г ^ г=1 з=о п=г ^

~ / н \2г ^ е_2а4о ^ ш V V (Щ3 1

а у 2аа1 ^ \ а ] ^ \ а ) а(а{ + о.з)

Изменив порядок суммирования во втором слагаемом, получим

л^ 1 1 2а. 2 ^ ( Щ V3 1 ^ 11

а2 а ¿=0 4 7 ¿=¿+1

,,,2-е~2<и° (1+4

2а 1 _ М1 \ 1 _ М

а2а \ а >

А тогда

2 1 / 1ь Р 1

М^о)! < -^ 1+4

а

2а 1 _ I 1 _ М

а2 а \ а

что и требовалось доказать.

Рассмотрим далее случай то ^ ¿о ^ При этом

КЬо,тэ)| < / 1к(в,го)||к(в, то)| йв

Тп + 1

+ у, ~

= ^ ^(в^о^Щв^о )| йв + ^ / ^(в^о^Щв^о )| йв.

п=о I п=отП+1

Воспользовавшись оценкой (7) и введенным ранее обозначением Л(Ьо), находим

\Щ10,т0)\ ^ ' 7 , / \ { — ] е

Г п /Ш\г+п+1

2 еа{1о+го) Г Щ ¿3.

= р2еа(4о+то)Л(го)+р2еа(4о+то)^ Г ¿ГШ

п=о г=о а

т„+1

Рассмотрим сумму во втором слагаемом последнего выражения. Изменив порядок суммирования, будем иметь

п=ог:+1 г=о

г+п+1

)

а

Е / Е(-)

/мл \2г /\1\\п+1—г 1'Г1+1

е

аа

о п=г

т„+1

1 +оо /|7|\2г , +оо /|7|\П—г+1 , , Ь

с-а(тп^+1+т0) < 1 1 а с-а(т1+то)

¿=0 У 7 п=г У / 1 а2а 1 а

Тогда

г? Л ( ^ \ ,2 ж К*о,то)| < £--^ 1 + 4—2-тгг е-^о-о) + ^--^ —^- е^^Ч

1-М/ а 1 _ 1 _ М

* а / а2а а

и оценка (9) также доказана. Справедливость оценки (10) напрямую вытекает из (9) и свойства симметрии матрицы Ляпунова. Таким образом, теорема доказана.

4-4- Анализ устойчивости скалярного уравнения по отношению к неопределенности в коэффициентах. Система (5) в скалярном случае примет вид

¿(Ь) = (—а + Ао(Ь)) ¿(Ь) + (Ь + А^)) ¿(аЬ). (11)

Здесь, как и ранее, а > 0, |Ь| < аа1/2, а Ао(Ь) и А1(Ь) - функции, при всех Ь ^ Ьо ограниченные по модулю положительными константами 6о и ¿1 соответственно.

Возьмем положительные числа юо и , сумма которых равна единице. Рассмотрим функционал г^^о,у), введенный в п. 4.2. Согласно теореме 4, для производной этого функционала вдоль решений уравнения (11) справедливо

А

= —юо г2(£) — а-Ю1 г2(а£) +

+ 2 [А0(г)г(г) + А1 (г)г(аг)} | и(г,г)г(г) + - I и (г,-) Ъг{т)д,т. I <

< —юо г2(£) — аю1 г2(а£) +2 5о ¡1 г2(£) + 61 ¡1 (г2(£) + г2(а£)) +

г г

+ ММ | |м ^ 1) | + + ММ | |м ^ | + ^

аг

Заметим, что с учетом оценок на норму матрицы Ляпунова

Тогда окончательная оценка для производной функционала г1 вдоль решений уравнения (11) будет иметь вид

-—- < - I гу0 - 2 до/XI - ¿1/XI--— +М2) I г (¿) -

- - ¿1/¿1 - ММ(/41 +/42)) +

+

(¿о + ¿1) Щ|

г

J (/л + /42 г2(г) ¿г.

Чтобы скомпенсировать последнее слагаемое в приведенной выше оценке, добавим к функционалу г1(£о, у) слагаемое

^оМ =

(¿о + ¿1) Щ

/41 е V а и)

+/42 а е а( " <у22(т) ¿т.

а го

Нетрудно видеть, что

^гт(£,гг)_ (¿о + ¿1) Щ|

dt а а

(¿о + ¿1) |Щ|

+

(¿о + ¿1) Щ

а а г

+/42 а) -а ^—/41 + /42 г2(оЛ) +

/41 а е ^ > — ¡1,2 и — е ^ а) ) г (т) ат.

а /

г

а

г

Тогда

с^т(Ме) ^ (¿о + ¿1) \ь\ 2ил , (¿о + ¿1) \Ъ\ 2. .

--- < -¡л2г (¿) Н--т х (аЦ -

ах а а

(¿о + ¿1) Щ|

J (/л + /х2 г2(т) ¿т.

Теорема 6. Производная функционала

го

г(Хо,у) = г1(Хо, у) +гт(Хо,у) = го(Хо,у) + J у2(т) ¿т + гт(Хо,у)

а го

вдоль решений уравнения (11) удовлетворяет условию

А

< — юо —

2 ¿о /XI + /XI + ¿о — (/XI + /хг) + (¿о + ¿1) — М2 аа

г 2(Х) —

а

е ^ |Ь^ ^ ч - ~ ч Щ

«1 /XI + 01 — (/XI + /х2) + (д0 + о 1 ] — /XI аа

2(аХ).

Доказательство непосредственно вытекает из приведенных выше выкладок.

Теорема 7. При выполнении условий

1) 2 ¿о /XI + ¿1 /XI + <50 (/XI + /х2) + (¿о + ¿1) V ("2 <

2) ¿1 /XI + ¿1 ^ (/XI + /х2) + (¿о + ¿1) < ам;1 уравнение (11) будет асимптотически устойчивым.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 1, представляющей собой достаточное условие асимптотической устойчивости.

При выполнении условий текущей теоремы справедливость второго условия теоремы 1 гарантируется теоремой 6.

Покажем, что выполняется также и первое условие теоремы 1. Оно справедливо для функционала го(Хо,у), согласно теореме 2. Следовательно, осталось лишь убедиться в том, что

го

Действительно,

J у2(т) ¿т + гт(Хо,у) > 0.

а го

го

! Ю1 у2(т) ¿т + гт(Хо,у) =

а го

Г ( (¿0 + ¿1)161 2/ чл ^

= / \ ги 1--/XI е ^ ' -\--/х2ае ^ «/ у (Т) "Т ^

7 \ аа аа у

а го

го

> I I (^-(¿о + ^М^

а го

поскольку, согласно условию 2 текущей теоремы, аи>1 — (¿о + ¿1) ^ /XI > 0. 138

а

г

Итак, все условия теоремы 1 выполнены для функционала v(to,<£>), а значит, уравнение (11) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Теорема доказана.

5. Заключение. В настоящей работе построен квадратичный функционал Ляпунова-Красовского для линейных дифференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздыванием. Показано, что этот функционал может применяться для анализа устойчивости по отношению к неопределенности в коэффициентах и в запаздывании. Следует отметить, что такой анализ требует нахождения верхних оценок на норму матрицы Ляпунова. Для скалярного случая получены все требуемые оценки. На основании этих оценок выведены достаточные условия устойчивости скалярного уравнения с линейно возрастающим запаздыванием и нестационарными возмущениями в коэффициентах. В дальнейших исследованиях планируется аналогичным образом провести анализ устойчивости скалярного уравнения с нестационарным возмущением в запаздывании, а затем распространить результаты на общий случай.

Литература

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ.; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooke K. Differential-difference equations.)

2. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с линейным запаздыванием // Сиб. матем. журн. 1964. Т. 5, № 2. С. 214-218.

3. Гребенщиков Б. Г. Методы исследования устойчивости систем с линейным запаздыванием // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 1. С. 41-51.

4. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. О стабилизации одной системы с последействием // Автоматика и телемеханика. 2011. № 1. С. 13-26.

5. Меденников И. П. Метод функционалов Ляпунова-Красовского для дифференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 37-42.

6. Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9-20.

7. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

8. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

9. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1-2. С. 110-117, 200-209.

10. Laktionov A. A., Zhabko A. P. The method of difference transformations for differential systems with linear time-delay // Linear Time Delay Systems (LTDS). Grenoble, France, 1998. P. 201-205.

11. Жабко А. П., Лактионов А. А. Метод разностных преобразований для систем дифференциальных уравнений с линейным запаздыванием // Вопросы механики и процессов управления. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. Вып. 19. С. 45-54.

References

1. Bellman R., Cooke K. Differential-difference equations (Russian translation). Moscow: Mir, 1967, 548 p.

2. Valeev K. G. Linejnye differencial'nye uravnenija s linejnym zapazdyvaniem (Linear differential equations with linear time-delay). ¡Siberian math. journal, 1964, vol. 5, no. 2, pp. 214-218.

3. Grebenshchikov B. G. Metody issledovanija ustojchivosti sistem s linejnym zapazdyvaniem (Methods for studying stability of systems with linear delay). ¡Siberian math. journal, 2001, vol. 42, no. 1, pp. 41-51.

4. Grebenshchikov B. G., Lozhnikov A. B. O stabilizacii odnoj sistemy s posledejstviem (On the stabilization of a delayed system). Avtomatika i Telemekhanika, 2011, no. 1, pp. 13—26.

5. Medennikov I. P. Metod funkcionalov Ljapunova-Krasovskogo dlja differencial'no-raznostnyh sistem s linejno vozrastajushhim zapazdyvaniem (Lyapunov-Krasovskii approach to the stability analysis

of differential-difference systems with a linear increasing time-delay). Transactions of 44th Control Processes and Stability Conference. Pod red. N. V. Smirnova, T. E. Smirnovoj. St. Petersburg: Izdat. Dom S-Peterb. un-ta, 2013, pp. 37-42.

6. Zhabko A. P., Medvedeva I. V. Algebraicheskij podhod к analizu ustojchivosti differencial'no-raznostnyh sistem (Algebraic approach to the stability analysis of differential-difference systems). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2011, issue 3, pp. 9-20.

7. Krasovskii N. N. O primenenii vtorogo metoda Ljapunova dlja uravnenij s zapazdyvanijami vremeni (On the application of the second Lyapunov method for equations with time delays). Applied mathematics and mechanics, 1956, vol. 20, pp. 315-327.

8. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems (Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems). Automatica,, 2003, vol. 39, pp. 15-20.

9. Kharitonov V. L. Funkcionaly Ljapunova s zadannoj proizvodnoj (Lyapunov functionals with a given derivative). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2005, issue 1-2, pp. 110-117, 200-209.

10. Laktionov A. A., Zhabko A. P. The method of difference transformations for differential systems with linear time-delay. Linear Time Delay Systems (LTDS). Grenoble, France, 1998, pp. 201-205.

11. Zhabko A. P., Laktionov A. A. Metod raznostnyh preobrazovanij dlja sistem differencial'nyh uravnenij s linejnym zapazdyvaniem (The method of difference transformations for differential equations with linear time-delay). The problems of mechancs and control processes, 2003, issue 19, pp. 45-54.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.