Периодические дифференциально-разностные системы. Алгоритм построения матрицы Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36+519.63

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 1

К. А. Слупко

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ЛЯПУНОВА

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассмотрен вопрос анализа устойчивости дифференциально-разностной системы с периодическими коэффициентами. Для ответа на вопрос об экспоненциальной устойчивости системы был использован метод функционалов Ляпунова—Красовского. В процессе возникла необходимость нахождения матрицы Ляпунова, непосредственное вычисление которой в общем случае невозможно для нестационарных систем. В результате был построен численный метод нахождения матрицы Ляпунова: для простого случая соизмеримых запаздывания и периода системы и после для несоизмеримых. Для оценки эффективности предложенного метода было проведено сравнение полученных матриц Ляпунова с известными матрицами для специальных порождающих стационарных систем. Оно показало жизнеспособность разработанного метода. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: системы с запаздыванием, устойчивость, матрица Ляпунова.

K. A. Slupko

THE CONVERGENCE OF THE METHOD OF CONSTRUCTING THE LYAPUNOV MATRIX FOR TIME-DELAY SYSTEMS

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

In this paper the problem of stability analysis of delay system with periodic coefficients was studied. Exponential stability was analyzed by the method of Lyapunov—Krasovskii functional. Necessity of use of the explicit Lyapunov matrix was resolved by proposing a numerical method for construction of the Lyapunov matrix for any period and delay in the system: for the simple case of commensurate dimensions of delay and period, and for the complex case of any dimensions. High efficiency of used method was estimated by comparison with well-known Lyapunov matrices for special induced stationary systems. Bibliogr. 9.

Keywords: delay systems, stability, Lyapunov matrix.

1. Введение. В настоящее время моделирование динамических систем является наиболее распространенным методом описания различных явлений и объектов. Полученные модели часто представляют собой системы дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием описывают процессы, в которых скорость изменения в каждый момент времени зависит не только от текущего состояния, но и от некоторых предыдущих состояний [1-4]. Интерес к уравнениям с запаздыванием со стороны как фундаментальных, так и прикладных наук значительно возрос в последнее время. Это объясняется постоянно расширяющейся сферой приложения таких уравнений в самых различных областях науки и техники: от физиологии и управления численностью популяций до разработки электронных схем и лазерной оптики. Проблема устойчивости решений таких уравнений, безусловно,

Слупко Ксения Алексеевна — студент, магистр; e-mail: slupko.kseniia@gmail.com Slupko Ksenia Alekseevna — student, magister; e-mail: slupko.kseniia@gmail.com

чрезвычайно важна с точки зрения приложении и занимает одно из центральных мест в исследованиях.

Метод функций Ляпунова, как известно, один из эффективных средств решения задач по изучению свойств устойчивости движения и управления им. Область применения метода достаточно широка. В силу своей общности он с успехом используется для анализа не только систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, но и при исследовании систем с распределенными параметрами, систем с запаздыванием, стохастических систем. Распространение этого метода на класс функционально-дифференциальных уравнений, с одной стороны, естественно, как перенесение известных результатов на новый класс уравнений, с другой, -требует преодоления значительных трудностей, возникающих из-за функциональной природы уравнений.

В работах [5, 6] предложено расширение метода функций Ляпунова с помощью функционалов. Это естественное обобщение прямого метода на системы функционально-дифференциальных уравнений. Однако при таком подходе может возникнуть сложность в построении матрицы Ляпунова.

В настоящей работе рассматриваются линейные нестационарные уравнения с запаздыванием, в которых коэффициенты есть периодические функции. Для данного класса уравнений строится квадратичный функционал, который возможно использовать при анализе устойчивости решений. Также предлагается численный метод построения матрицы Ляпунова, применяемой для построения этого функционала.

2. Вспомогательные утверждения. Далее будут рассматриваться системы с запаздывающим аргументом

x(t) = A0(t) • x(t) + A1(t) • x(t - h), (1)

здесь x(t) e Rn, h = const > 0, Ao(t + T) = A0(t), Ai(t + T) = Ai(t).

Каждое решение системы (1) определяется начальным моментом to и начальной функцией ^(t) e PC([-h, 0], Rn): x(t0 + в) = р(в), - h < в < 0.

Введем норму

M\h = sup Мв)\\.

ee[-h,o]

Определение 1 [3]. Система (1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют y > 1, & > 0 такие, что неравенство

\\x(t,to,f)\\ < Y • e-°<t-t0) •Mh

справедливо при всех t ^ to для любого начального момента to.

Для системы (1) метод функционалов основывается на следующей теореме:

Теорема Красовского [5]. Пусть известен функционал V(t, •), удовлетворяющий таким условиям:

1. Существуют a1 > 0, a2 > 0 такие, что

«1 • \\x(t)\\2 < V(t,xt) < «2 • \\xt\\h.

2. Существует в > 0 такое, что

dV{t,xt{t0,<p)) 2 -jf- < -Р • 1НМо,¥>)11 ,

где x(t,to,y>) и xt(to,^>) - решение и состояние системы (1) соответственно. Тогда система (1) является асимптотически устойчивой.

Замечание 1. Второе условие теоремы можно переписать так: существует положительно-определенная функция чл(х) такая, что

-—-=о,¥>)), (2)

вдоль решений системы (1).

3. Квадратичный функционал. Первый шаг в построении функционала по системе (1), по которому в дальнейшем возможно будет судить об устойчивости решений рассматриваемой системы, заключается в получении функционала, удовлетворяющего второму условию теоремы Красовского. Справедлива теорема

Теорема 1 [7]. Пусть система (1) экспоненциально устойчива, Ш - положительно-определенная матрица размерности [п х п]. Тогда функционал

о

у0 (г,хг) = хТ (г) ■ и (г,г) ■ х(г) + 2хт (г) ■ ^ и (г, С + н + г) ■ А1 (С + н + г) ■ х(г + +

-н

о о

+У хт(а +г)■ АТ(а+н+г)■ I и(а+н+г,&+н+г)А^а+н+г)(3) -н -н

где

сю

и (р, ")= ! Кт (г, р) ■ Ш ■ К (г, и)йг, (4)

м

удовлетворяет условию (2) на решениях системы (1).

Замечание 2. В теореме 1 К(р,^) - фундаментальная матрица системы (1). Определение 2 [7]. Матрицу и(г,т), определенную по формуле (4), будем называть матрицей Ляпунова для системы (1), ассоциированной с матрицей Ш.

Матрица и(г, т), полученная по формуле (4), удовлетворяет следующим свойствам [7]:

Лемма 1 (Свойство симметрии):

и Т (г,т ) = и (т,г).

Лемма 2 (Алгебраическое свойство):

<ЕШ = _ (с/(м). Ао{г) + [и(г,г) ■ А0(г)]т) -

- (и(г,г + н) ■ А1(г + н) + [и(г,г + н) ■ А1(г + н)]т).

Лемма 3 (Динамическое свойство):

ди(г,т)

дт

= -и (г, т) ■ Ао(т) - и (г, т + н) ■ А1(т + н) - кт (т, г) ■ ш,

= -Ат0{1) ■ и (*, г) - АЦт + 1г)-и{1 + 1г,т)-\¥ ■ Кт{1, г). Лемма 4 (Свойство периодичности):

и (г + т, т + т) = и (г,т).

Функционал (3) удовлетворяет второму условию теоремы Красовского, однако можно показать, что для него в общем случае не выполняется первое условие теоремы Красовского [7].

Возьмем три симметричные положительно-определенные матрицы Шо, определим матрицу

Ш = Ш0 + + к-Ш2 (5)

и рассмотрим следующий положительно-определенный функционал:

о

= (0)Ш0^(0) + (-к)Ш^(-к) + ! р(в)тШ2^(в)3,в.

-к

Тогда функционал

о

У(г,хг)= Уо(г,Хг) + ! х(г + в)тШ + (к + в)Ш2]х(г + в)ёв, (6)

-к

где Уо(г,х^) - функционал из теоремы 1, построенный по матрице Ляпунова, ассоциированной с матрицей (5), удовлетворяет второму условию теоремы Красовского с матрицей (5). Также можно показать, что этот функционал удовлетворяет оценкам [7]

аг- \\х(г)\\2 < У(1,хг) < а2 ■ Ы\, ¿У(г,хг(го, у)) 2

-^- < -Р- 1НМо,¥>)11

(а.г,в> 0).

4. Новое определение матрицы Ляпунова. Основная сложность в построении функционала (6) - построение матрицы Ляпунова, так как при ее определении через формулу (4) необходимо знать фундаментальную матрицу системы (1) на всей временной оси.

Определение 3 [7]. Матрицей Ляпунова для системы (1) будем называть матрицу и (г, т), удовлетворяющую при т < г системе уравнений

= -и(I, г) ■ Ао(т) - и(I, г + к) ■ А\(т + к), (7)

и т (г,т ) = и (т,г),

<ЕШ = (£/(М) . Ао(г) + [£/(М) . АоШт) - (8)

- (и(г,г + к) ■л1(г + к) + [и(г,г + к) ■л1(г + к)]т), и (г + т, т + т) = и (ь,т).

Справедливы такие теоремы [7]:

Теорема 2. Если система (1) экспоненциально устойчива, то система (7), (8) имеет единственное решение.

Теорема 3. Если матрица и(г,т) является решением системы (7), (8), то для соответствующего ей функционала (6) выполнено (2).

Следующая теорема связана с условием существования решения системы (7), (8).

Теорема 4. Пусть est ■ <p(t) и e-st ■ t), где f(t) и ф(t) - периодические векторы такие, что ^>(t0) = 0 и ф^0) = 0 - два решения исходной системы (1). Тогда существует W такая, что система (7), (8) не имеет решения.

5. Численный метод. Для решения системы (7), (8) введем обозначения

D(t) = U (t,t), U\(t,r ) = U (t,T ), U2(t,r) = UT (t +h,t)Ai (т+h), U3(t,r ) = U (t+h,T+h).

Тогда система (7), (8) примет вид

0U1(t,T )

дт dü2(i,T )

= - Ul(t,T) • Aq(т) - U2(t,T),

= - AT (t) • U2(t, т ) - AT (t + h) • U3(t,T ) • Ai(t + h).

(9)

dt

Граничные условия

Ui(t,t) = D(t),

U3(t,T ) = Ui(t + h,T + h),

1 1 г (10)

U2(t,t) =~t2(W + D (t)) + P{t) - -(AT0(t) ■ Dit) + Dit) ■ A0(t)),

U2(t, 0) = Ui(t,T) ■ Ai (h).

Здесь P(t) - кососимметрическая матрица.

Таким образом, получена система из 6 уравнений в частных производных (9), (10), в которой запаздывание отражено в граничных условиях. Далее построим численный метод, аналогичный методу Рунге-Кутты третьего порядка. Для этого рассмотрим систему в общем виде

дт1

dU2(Ti,T2)

дт'.

2

= f2(т1,т2, U1(t1,t2), U2(t1,t2)),

предполагая, что правые по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам.

Будем строить расчетную схему следующим образом. Введем обозначения

fab = fi(ri + аА,т2 + bA,Ui,U), U ab = Ui (т i + aA,T2 + ЬА), i= ТД

Тогда расчетная схема

з

Ui(TI +A,T2) = Ui0 = Ui1 + AJ2 Piki + ЫА),

i=i

U2(T1 +A,T2) = Ui0 = U000 + А £ Pili + ф2(А),

i=1

где

ki = fi(Ti + OiA, T2 + ßiA, UQ0 + Zi(A), u2Q0 + di(A)), li = f2(Ti + öiA, T2 + ßiA, Ui1 + Zi(A), Ui1 + di(A)).

Для определения всех неизвестных параметров разложим функцию погрешности в ряд в окрестности нуля:

a2

V-i(A) = Vi(0) + AV-i(O) + —МО) + —vf }(0) + Oi(A3).

(3)

При подсчете y>i(0), ф>1(0), ф\ (0) будут появляться слагаемые, часть из которых можно подсчитать лишь приближенно. Для достижения точности oi(A3) допустимо аппроксимировать каждое из вышеуказанных слагаемых со следующей точностью:

Ф1(0)=0, 4>1(0) - o(A2), ii1(0) - o(A), ^(3)(0) - cA,

где c = const.

По способу задания первое равенство выполняется точно: ^i(0) = 0. Далее найдем полную производную функции Ф1 (A). Введем обозначения: x = ti + «¿A, y = Т2 + piA, g1 = U0O + zi(A), g2 = U00 + d(A). Тогда получим

3

I-1

i=1

3

MA) = - f1(T1 ,t2 - A,U1, U0-1) - £ pi f1(x,y, g1,g2) -

3

- A pi

1

df1(x,y,g1,g2) . adf1(x,y,g1,g2) , + Pi-5--1"

dx dy

df1(x,y,g1,g2) , sdf1(x,y,g1,g2)

+ ¿¿(Д) ^ +^(Л)-

ддг дд2

Аналогично найдем вторую и третью производные. После для определения неизвестных параметров подставляем в выражениях для производных функции погрешности Д = 0 и приравниваем к нулю. Так, для первой производной равенство примет вид

-¡?0(1+ Р1 + Р2 + Р3)=0.

Пока еще остаются неопределенными функции г.1(Д), ^ (Д). Зададим их в следующей форме:

хг(Д) = 0,

г2(Д) = Да2/1(п + а2\Д т2 + МД, и0°0, и°°),

г00 I \ Л ,00 ттОО

( dU00\

z3(A) = Даз/i in + «31Д, т2 + /331Д, £7™ + А^/™, + МА^- ) +

( dU00 \

+ Да4/1 in + а32 Д, Г2 + /З32 A, + ЛзД/Г, + МА^- ) ;

дт2

d1(A) = 0,

¿2(A) = M25C/2(T1'T2 + £2A)

d3(A) = Ab3

дт2

dU2(T1,T2 + t3A)

дт2

Далее, подставляя все функции в выведенные ранее равенства, построим систему для определения всех параметров метода. Так, из условий для первой производной находим

г^0) = к (0) = 0, Р1 + Р2 + Р3 = -1.

Приравнивая к нулю вторую производную и приводя подобные слагаемые, получим

ра + р2а.2 + рзаз = 0, 1

Р1р1 + Р2@2 + Рзвз Р20,2 + Рз(аз + ач) = +РзЬз =

Уравнение для третьей производной дает

Р1а21 + Р2а22 + Рза\ = 0, рф\ +Р2Р1 +РзГ4 =

" 2' 1 2'

1

3'

Р2а2 + Рз(аз + а4)2 Р2Ъ\ +РзЪ2з =

Ргахрх + Р2а2р2 + Рзазвз = 0, Р2а,2а.2 + Рз(аз + а4)аз = 0, Р2Ъ2а.2 + РзЬзаз = 0,

Р20,2р2 +рз(аз + ал)/3з = Р2Ь2р2 +РзЬз(Зз = р2Ь2а2 +рзЬз(аз + а,4) = Р2а2а21 + Рз(азаз1 + а4аз2) = 0,

Р2а2р21 +Рз(аз/3з1 + Я4/З32) = —77,

6

Рз(азМ + а4Х3) =

6

Рз(азМ + а4Х4) =

6

Р2Ь2е2 + рзЬз^з = -7.

6

Таким образом, после всех упрощений получили систему 20 уравнений с 26 неизвестными. Она имеет не единственное решение. Выберем одно решение, например

Р1 = -1> Р2 = те, Рз = «1 = «2 = аз = «21 = «31 = «32 = /?1 = а4 = Л3 =

А4 = /?32 =0, /?2 = &2 = а-2 = 1, /?3 = Ьз = аз = —А1 = Л2 = — ■Ц, /?31 = £2 = £3 =

— = —I' Решение равенства нулю ^1(0) удовлетворяет строго. При раз-

решении уравнений для равенства нулю второй и третьей производных появляется

ди0

дт2

■. Ее необходимо знать с точностью до о(Д):

и211 = и2

00

дт

Д

ди°° | Д2 [д2и°° | д2и°° | д2и°°

дтг дт2

+

д2и°°

дт2 '2 V дт2

1 (дЩ(тит2 + Д)

+ ■

дт22

+ о(Д2),

дЩ0 2 +°(Д)

Д

Д \ дт2 дт2

и2 (т1 + Д,т2 +Д) - и2(т1 ,т2) = и2(т1, т2) - и2 (тг, Т2 + Д) -и2(т1 + Д,т2 +Д) + и2(т1 ,т2 + Д)

Д

Д

д {дЦ2(тът2+Д) + ¿^(п + А.тз+А)^ + о(д)_

дт2

дт

Собирая все формулы в одну, получим выражение для Д^г

дт2

(дГ:

00

дт1

Расчетная схема для первого уравнения будет выглядеть таким образом:

и110

Щ1 + А(-/г1 + ^к2 - ±к2), к1 = Ь(т1 +Д,т2 + Д,и11 и1), к2 = Ь(т1 +Д,т2 + 2Д, и1 + г2(Д), Щ1 + а2(Д)), кз = Мп + Д,т2 - §Д, и!1 + гз(А), Щ1 + ¿3(Д)),

гз

13

14 ¿2

а3

= Д/1(г1 + Д,г2 + |Д,[/111,г7211), = -§Д/1(Т! + Д, г2 + §Д, и? + 73(Д), Щ1 + 74(Д)),

8_

15

-ТЕ^к 1

8

М1

дт\

2М1

дт2

= -^74,

= 174.

Используя граничные условия, задаем значения на диагонали Щ(кД,кД), г = 1,2, к = 0, N, и рассчитываем их в точках под ней.

Для несоизмеримых периода и запаздывания (в системе (1)) необходимо аппроксимировать функцию из(т1 ,т2) с точностью о(Д). Предположим, что задано число разбиений N. Найдем N > N такое, что \\и(т1 + ДМ, т2 + ДМ) - и(т1 + к,т2 + к)\\ < Эта задача имеет численное решение.

Введем норму

||А(т)||Л= вир у/шах(Х(А(т)АТ(т))).

т е[0;к]

Тогда получим следующие оценки на погрешности вычисления и1(т1,т2) и и2(т1,т2):

\\о1(Д3)\\ < Д4^1(\Л0(т)\\т, \\Л1(т)\\т, №(т)\\т, \\Р(т)\\т),

\ЫА3)\\ < a4M\\a0(t)\\t, ||ai(t)\\t, \\d(t)\\t, \\P(т)\\t). Замечание 3. Введем норму

\\U(t,T)\\h= sup sup Jmax(X(U(t,T)UT(t,T))).

Te[0;h] t£[0;h] V

Если исходная система (1) экспоненциально устойчива, справедлива оценка

||U^t) - í/i(í,r)||T < i ||т, ||P(r)||Tb(||Ao(r)||T, ||Ai(t)||t),

где Ui(t,T) - приближенное значение искомой матрицы, рассчитанное при использовании численного метода; функции gi и - известные, ограниченные функции своих аргументов.

Замечание 4. Обычно для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных применяется метод сеток. В силу особенностей рассматриваемой системы (граничные условия, область) было решено построить новый метод. При использовании метода сеток в итоге пришлось бы работать с N2 • n2 уравнений, а в предложенном методе получаются N • n2 уравнений, где N - число разбиений отрезка [0; T], n - размерность исходной системы.

6. Пример. В качестве примера рассмотрим применение предложенного алгоритма для получения экспоненциальной оценки решения системы

(cos(21) - i sin(2í) sin2(í) - sin(2í) \ Л ' V" cos2(t) ~ sin(2t) - cos(21) + i sin(2í)) Л '

í 2 cos(t) cos(t — 1) — cos(t) sin(t — 1) —2 cos(t) sin(t — 1) — cos(t) cos(t — 1)\ , , + \—2sin(t)cos(t — 1) + sin(t)sin(t — 1) 2sin(t)sin(t — 1) + sin(t)cos(t — 1) ) x(t—1).

Пусть t0 = 0.

Используя описанный выше алгоритм, найдем численное представление матрицы Ляпунова. После построим функционал (6) и найдем параметры ai, а2, в из оценок на него. По ним вычислим параметры для оценки решения по следующим формулам:

1

a=w

В итоге имеем

\\x(t,<f)W < 2.14e-0-87t\Mi.

Для сравнения приведем другую оценку:

\\x(t,v)\\ < 3e-t\Mi.

Ее можно получить, если привести рассмотренную в примере систему к стационарной и применить для ее анализа метод, изложенный в работах [8, 9].

7. Заключение. В настоящей работе был рассмотрен вопрос использования метода функционалов Ляпунова-Красовского для анализа устойчивости линейных дифференциально-разностных систем и предложен численный метод построения матрицы Ляпунова для систем с периодическими коэффициентами.

Также стоит отметить, что данный метод можно распространить на системы с несколькими запаздываниями и на системы с распределенным запаздыванием.

Литература

1. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949. Т. 4, вып. 5. С. 99—141.

2. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ.; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooke K. Differential-difference equations.)

4. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. Математика. 1958. Вып. 6. С. 86—95.

5. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315—327.

6. Разумихин Б. С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 6. С. 740—746.

7. Letyagina O. N., Zhabko A. P. Robust stability analysis of linear periodic system with time delay // Intern. Journal of Modern Physics A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 893-907.

8. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной: Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117.

9. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной: Матрицы Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 200-209.

References

1. Myshkis A. D. Obshhaja teorija differencial'nyh uravnenij s zapazdyvajushhim argumentom (General theory of differential equations with retarded arguments). ¡Success of mathem. sciences, 1949, vol. 4, no. 5, pp. 99-141.

2. El'sgol'ts L. E., Norkin S. B. Vvedenie v teoriju differencial'nyh uravnenij s otklonjajushhimsja argumentom (Introduction to the theory of differential equations with deviating argument). Мoscow: Science, 1971, 296 p.

3. Bellman R., Cooke K. Differencial'no-raznostnye uravnenija (Differential-difference equations). Ed. by L. E. El'sgol'ts. Мoscow: Мк, 1967, 548 p.

4. Zubov V. I. K teorii linejnyh stacionarnyh sistem s zapazdyvajushhim argumentom (On theory of linear preiodic system with time argument). News of Higher Educational Institutions. Mathematics, 1958, no. 6, pp. 86-95.

5. Krasovskii N. N. O primenenii vtorogo metoda Ljapunova dlja uravnenij s zapazdyvanijami vremeni (On the application of the second Lyapunov method for equations with time lags). Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1956, vol. 20, pp. 315-327.

6. Rasumikhin B. S. Primenenie metoda Ljapunova k zadacham ustojchivosti sistem s za,pa,zd,yva,niem (Application of method of Liapunov to problems of stability of delay systems). Avtomatica i Telemekhanica, 1960, vol. 21, no. 6, pp. 740-746.

7. Letyagina O. N., Zhabko A. P. Robust stability analysis of linear periodic system with time delay. Intern. Journal of Modern Physics A, 2009, vol. 24, no. 5, pp. 893-907.

8. Kharitonov V. L. Funkcionaly Ljapunova s zadannoj proizvodnoj: Funkcionaly polnogo tipa (Lyapunov functionals with a given derivative: Functionals full type). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2005, issue 1, pp. 110-117.

9. Kharitonov V. L. Funkcionaly Ljapunova s zadannoj proizvodnoj: Matricy Ljapunova (Lyapunov functionals with a given derivative: Matrix Lyapunov). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2005, issue 2, pp. 200-209.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 13 ноября 2014 г.