CC BY
36
ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
УДК 159.9
ПРОЯВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КРЕАТИВНОСТИ В СТРАТЕГИЯХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В.Е. КЛОЧКО*, О.М. КРАСНОРЯДЦЕВА, Э.А. ЩЕГЛОВА, Т.А. ВАУЛИНА
ФГБОУ ВПО «Томский национальный исследовательский университет», Программа повышения конкурентоспособности ТГУ
Статья посвящена результатам апробации модели оценки параметров математической креативности (Я. Ьйкт) на российской выборке студентов первого курса Томского национального исследовательского университета, обучающихся по различным направлениям подготовки. На основании эмпирических данных выявлены и описаны основные способы и стратегии решения студентами математических задач, имеющих несколько вариантов решения. Выделены преобладающие стратегии решения, характерные для студентов, отличающихся разным уровнем креативного математического мышления. Модальность стратегий решения задач определялась с учетом предложенных способов решения задачи, их эффективности и количества используемых математических подходов (идей, представлений, алгоритмов, инструментов).
Ключевые слова: математические задачи, стратегии решения, креативность, беглость, гибкость, оригинальность.
Введение
Социальный заказ, обращенный к современной образовательной практике, предъявляет особые требования к развитию одаренности человека, как в плане ресурсной составляющей, так и ее динамического компонента, проявляющегося в готовности к творческой самореализации [2].
Проблемы исследования и развития креативности традиционно являются одними из наиболее обсуждаемых как в отечественной, так и в зарубежной литературе. Сложность современного подхода к этой проблематике обусловлена, с одной стороны, ее междисциплинарностью (включенностью в проблемное поле математики, психологии, педагогики), а, с дру-
© Клочко В.Е., Краснорядцева О.М., Щеглова Э.А., Ваулина Т.А., 2014
* Для корреспонденции:
Клочко Виталий Евгеньевич
доктор психологических наук, профессор кафедры общей и педагогической психологии Томского национального исследовательского университета E-mail: klo@nextmail.ru
гой, - тем, что, несмотря на многочисленные исследования, к настоящему времени в научном мире так и не сложилось единого подхода к определению понятия креативности. Под нею понимается и высший уровень развития интеллекта, и один из важных компонентов общей структуры интеллекта, и сложная структура, включающая в себя логический интеллект в качестве компонента. При выделении собственно математической креативности и иностранные и отечественные ученые единодушны в том, что данный феномен служит проявлением общих креативных способностей человека, а его развитие влияет на раскрытие креативных возможностей человека [4, 7, 10].
По мнению ряда исследователей, математическая креативность, являясь одной из характеристик продвинутого математического мышления, относится к свойству профессионального математического мышления, связанного с постановкой и решением реальных сложных задач (Subotnik R.F., Pillmeier E. and Jarvin L., 2009 [13]; Sriraman B., 2005 [11]; Liljedahl P. & Sriraman B., 2006 [12]). В то же время большинство авторов отмечает универсальный
характер математической креативности и возможность ее развития у всех студентов (Sheffield L.J., 2009 [9]; Yerushalmy M., 2009 [15]; Herskovits S., Peled I. & Littler G., 2009 [5]). При этом в качестве основных инструментов развития математической креативности указывается на постановку и решение математических задач.
В настоящей статье описаны результаты проведенного исследования среди студентов Томского национального исследовательского университета по решению математических задач, имеющих несколько способов решения (ЗНР). Рассматривается возможность измерения математической креативности через оценку способов и стратегий решения математических задач.
Методика
Выборка исследования
Выборку исследования составили 220 студентов первых курсов различных факультетов Томского национального исследовательского университета, очной формы обучения. Среди них 151 девушка и 69 юношей. Исследование проводилось среди студентов экономического, физико-технического факультетов, факультета прикладной математики и кибернетики, факультета журналистики, института искусств и культуры. Выборка была составлена таким образом, чтобы в нее вошли представители разных направлений подготовки, физико-математического, экономического и гуманитарного профилей обучения, характеризующихся разными уровнями преподавания математики.
Методы исследования
Для оценки проявления математической креативности у студентов нами была использована разработанная R. Leikin (2009) модель для оценивания креативности с использованием задач с множественными способами решений (MSTs) [6, 8]. Эта модель включает в себя операциональные определения и соответствующую схему расчетов для оценивания креативности,
основанную на трех элементах: беглость, гибкость и оригинальность, предложенных E.P. Torrance (1974) [14].
Решения одной и той же задачи считаются разными, если они основаны:
- на разной репрезентации некоторых математических концептов, задействованных в задаче;
- на различных свойствах (определениях или теоремах) математических объектов в пределах определенной области;
- на различных свойствах математических объектов в разных областях.
Студентам было предложено решить разные типы задач: арифметическая задача, система линейных уравнений и текстовая задача. В инструкции было сказано: решить каждое задание как минимум тремя способами.
1. Арифметическая задача.
Найдите произведение: 407X393.
Данное задание относится к типовым
задачам, включенным в школьную программу по математике, и имеет множество различных способов решения, основанных на математических правилах, математическом представлении и математическом моделировании. Одно из них основано на понимании, что предложенное произведение двух чисел можно представить в виде разности квадратов: 407X393=(400+7)(400-7)=4002-72. Этот способ характеризуется интуитивным пониманием структуры задачи и аналитическим подходом к решению; его оригинальность, согласно используемой схеме, оценивается в 10 баллов. Такое решение предложили 14,5% респондентов из исследуемой выборки.
2. Система линейных уравнений.
Решите систему уравнений:
4x + 5y = 18 5x + 4y = 18
Данное задание относится к типовым задачам и имеет несколько решений, среди которых: подстановка, линейная комбинация, построение графиков - изучаются в школьном курсе математики, матричные
методы (метод Крамера и метод Гаусса) - на первом курсе университета. Предложенная система линейных уравнений симметрична, соответственно у нее есть решение, основанное на понимании. Оригинальность такого способа решения в соответствии с используемой в данном исследовании моделью оценки креативности устанавливается в 10 баллов.
3. Текстовая задача.
Задача «Джем»: Мария изготавливает клубничное варенье для нескольких продовольственных магазинов. Для поставки варенья в магазины она разливает его по большим банкам. Однажды Мария разлила 80 литров варенья поровну по банкам. Она решила освободить 4 банки и переложить варенье из них поровну в другие банки. Мария поняла, что она добавила ровно 1/4 от предыдущего количества в каждую банку. Сколько банок Мария приготовила в самом начале?
Данная задача является типовой задачей, имеющей несколько решений. Некоторые решения основаны на алгоритмах, изучаемых в школьном курсе математики (например, пропорции, составление уравнения или системы уравнений). Кроме того, она имеет несколько нестандартных для математики решений (без использования переменных) решений, основанных на понимании и опирающихся на структуру задачи. Оригинальность последних, согласно используемой модели, оценивается в 10 баллов.
По результатам выполнения студентами ЗНР на основании предлагаемых ими решений рассчитывались такие показатели, как правильность, беглость, гибкость, оригинальность и креативность. Для каждой задачи данные показатели рассчитывались отдельно. Оценка показателей осуществлялась в соответствии с индивидуальными и коллективными пространствами решений (индивидуальные пространства решений - это все решения задачи, предложенные респондентом, коллективные пространства решений - это совокупность решений,
предложенных группой). Схема расчетов состояла в следующем.
Правильность (корректность). Правильность решения задачи оценивалась в зависимости от полноты предложенного студентом решения по 25-балльной шкале. За полное правильное решение респондент получал 25 баллов. То, что другие решения задачи являлись неполными, не влияло на балл, полученный за правильность.
Беглость. Беглость (Бег) респондента, выполняющего тест, определялась количеством решений в индивидуальном пространстве решений.
Гибкость. Гибкость (Гиб) респондента оценивалась в соответствии с индивидуальным пространством решений. Для первого решения - Гиб=10; для каждого последующего решения, если оно принадлежит к группе решений, отличающихся от решений, найденных ранее - Гиб=10; если решение принадлежит к одной из ранее использованных групп, однако имеет четкое, но существенное отличие - Гиб=1; если решение практически не отличается от предыдущего - Гиб=0,1. Общая гибкость респондента при выполнении задания представляет собой сумму баллов за гибкость всех решений в индивидуальном пространстве решений.
Оригинальность. Оригинальность (Ор) оценивается путем сравнения индивидуальных пространств решений и коллективного пространства решений референтной группы: для нетрадиционного решения, предложенного менее 15% респондентов референтной группы, или для решения, основанного на инсайте -Ор=10; для решения, предложенного от 15 до 40% респондентов референтной группы - Ор=1; для решения, предложенного более 40% респондентов референтной группы, или решения, основанного на алгоритме традиционного решения - Ор=0,1. Общая оригинальность респондента при выполнении задания представляет собой сумму баллов за оригинальность всех решений в индивидуальном пространстве решений.
Следует отметить, что десятичная схема оценивания гибкости и оригинальности позволяет оценивать как результат, так и процесс решения задачи со многими решениями.
Креативность. Креативность (Кр) каждого решения является продуктом оригинальности и гибкости решения: Кр^Гиб^Орг Соответственно самым креативным решениям присваивается высший балл Кр=100 за гибкое и оригинальное решение. При этом необходимо учитывать порядок предлагаемых респондентами решений, поскольку ранее найденные решения не могут считаться креативными. Общая креативность респондента при выполнении задания находится как сумма баллов за креативность всех решений в индивидуальном пространстве решений.
Полученные в ходе исследования данные были подвергнуты детальному качественному анализу, в результате которого были определены способы решения конкретных задач, предлагаемые респондентами, составившие индивидуальные и коллективные пространства решений. Кроме того, особое внимание было уделено стратегическому поведению студентов при решении ЗНР. В результате этого были выделены основные стратегии решения математических задач, под которыми понимаются осознанные способы построения и применения системы актуально и потенциально доступных средств (способов) решения математической задачи. К актуально доступным средствам решения относятся те способы и алгоритмы решения задачи, которые изучаются в рамках образовательной программы, к потенциально доступным средствам - существующие способы решения математической задачи, но не рассматриваемые в учебном процессе.
Количественный анализ и статистическая обработка эмпирических данных проводилась с помощью программы IBM SPSS Statistics.
Результаты
Рассмотрим предложенные студентами способы и стратегии решения каждой задачи, предполагающей множественные способы решений.
1. Анализ предложенных студентами способов решения арифметической задачи показал, что подавляющее большинство студентов первым способом предлагает вертикальное умножение (умножение в столбик). Данный способ решения оказался самым распространенным, его указали 92% респондентов. Заметим, что, несмотря на отсутствие запрета, лишь 9% респондентов для нахождения произведения двух чисел воспользовались калькулятором; остальные студенты различными способами старались преобразовать заданное произведение двух чисел.
Коллективное пространство решений арифметической задачи, полученное на студенческой выборке, равно 6. Это означает, что студентами были предложены способы решений из 6 различных групп (разность квадратов, разложение одного или двух множителей на слагаемые, разложение на простые множители, вертикальное умножение, использование калькулятора, «китайское умножение»). Индивидуальные пространства решений арифметической задачи находятся в диапазоне 1-4, то есть каждым студентом было предложено от 1 до 4 способов решения задачи.
По результатам решения студентами арифметической задачи, в соответствии с описанной выше моделью оценки математической креативности, были рассчитаны следующие параметры: беглость, правильность/корректность выполнения задания, гибкость, оригинальность и креативность. Результаты этой процедуры представлены в таблице 1.
Анализ полученных данных выявил, что подавляющее количество респондентов успешно справилось с решением предложенной задачи.
Таблица 1
Компоненты креативности по результатам решения студентами арифметической задачи (п=220)
Статистики Бег Кор Гиб Ор Кр
Минимум 1 3 10 0,1 1
Максимум 4 25 40 20,2 201
Среднее 2,23 23,23 19,74 2,40 18,91
Стандартное отклонение 0,829 5,41 7,15 4,27 38,17
Асимметрия -0,107 -2,927 0,159 2,213 2,690
Эксцесс -0,950 7,032 -0,590 4,423 7,088
При этом большинство из них (78%) продемонстрировало от 2 до 4 способов ее решения. Максимальный балл за гибкость в индивидуальном пространстве решений равен 40. Это означает, что было предложено 4 решения, основанные на разных математических подходах. Максимальный коэффициент оригинальности составил 20,2 балла, то есть отдельными респондентами максимально было предложено по 4 способа решения арифметической задачи, два из которых являются оригинальными, а два решения основаны на традиционном математическом алгоритме решения.
Значения параметров распределения исследуемых признаков указывают на тот факт, что показатели оригинальности и креативности характеризуются асимметричными (левосторонняя асимметрия) распределениями с выраженным эксцессом. Это означает, что в целом большинство респондентов при решении вычислительной задачи продемонстрировало низкий уровень оригинальности и креативности. При этом результаты проведенного исследования выявили, что 77 студентов (35%) предложили для решения этой задачи хотя бы одно оригинальное решение. По итогам выполнения арифметической задачи 65 студентов (30%) набрали коэффициент креативности 100 и более баллов. Максимальный коэффициент креативности составил 201 балл. Это значит, что указанными студентами было предложено 3 спо-
соба решения задачи, два из которых были оригинальными и основанными на разных математических подходах.
2. Качественный анализ работ респондентов установил, что в целом студентами был предложен достаточно большой спектр всевозможных способов решения системы линейных уравнений (коллективное пространство решений равно 11). При этом индивидуальные пространства решений находятся в диапазоне от 0 до 7.
Согласно полученным данным, наиболее распространенными способами решения системы линейных уравнений у студентов являются способы, связанные с выражением переменной и ее подстановкой, а также способы решений, включающие в себя алгебраические действия с исходными уравнениями. На третьем месте по популярности у студентов идет группа решений, основанных на приравнивании уравнений. Неожиданным для нас явился тот факт, что симметрию в предлагаемой системе уравнений смогли увидеть только 3 студента.
В соответствии с используемой моделью оценки математической креативности по результатам предложенных студентами способов решения системы уравнений были вычислены параметры математической креативности и их статистические показатели, которые представлены в таблице 2.
Таблица 2
Компоненты креативности по результатам решения студентами системы линейных уравнений (п=220)
Статистики Бег Кор Гиб Ор Кр
Минимум 0 5 10 0,1 1
Максимум 7 25 41 21 210
Среднее 2,40 23,0 20,45 1,80 16,93
Стандартное отклонение 1,05 5,53 8,20 2,98 29,71
Асимметрия 0,136 -2,591 0,275 3,459 3,516
Эксцесс 0,980 5,151 -0,664 12,854 13,202
Полученные данные указывают на то, что большинство респондентов успешно справилось с решением системы линейных уравнений. 77% студентов продемонстрировали от 2 до 7 различных способов решения предложенной задачи. Максимальный балл за гибкость в индивидуальном пространстве решений, равный 41, означает, что предложено 5 способов решения системы уравнений. Из них 4 решения основаны на различных подходах и 1 решение сходно с одним из предыдущих, но отличается от него некоторыми важными характеристиками. Максимальный коэффициент оригинальности для этого задания составил 21 балл. Это доказывает, что было предложено 3 способа решения системы линейных уравнений, два из которых являются оригинальными и нетрадиционными и один -частично нетрадиционным.
Распределения признаков «оригинальность» и «креативность» отличаются левосторонней асимметрией и выраженным эксцессом. Такой результат указывает на то, что большинство респондентов продемонстрировало низкий уровень выраженности этих показателей. Причем хотя бы одно оригинальное решение системы линейных уравнений предложили всего 15 респондентов (7%) и у такого же количества респондентов коэффициент креативности составил 100 и более баллов. Максимальный коэффициент креативности, полученный при решении системы уравнений, равен 210 баллам. Он указывает на три способа решения задачи, два из которых отличаются как оригинальностью, так и разными математическими подходами.
3. Согласно полученным результатам, коллективное пространство решений текстовой задачи равно 7, индивидуальные пространства решений лежат в диапазоне от 0 до 3. Наиболее распространенными у студентов способами решения текстовой задачи являются следующие: составление уравнения с одной переменной, составление системы уравнений с двумя переменными, решение по действиям. Причем сле-
дует отметить, что из данных групп решений студентами были предложены разнообразные способы, основанные на разных аналитических подходах. Решения без использования переменных, основанные на понимании структуры задачи, предложили только 18 респондентов (8%).
Статистические показатели параметров математической креативности приведены в таблице 3.
Таблица 3
Компоненты креативности по результатам решения студентами текстовой задачи (п=220)
Статистики Бег Кор Гиб Ор Кр
Минимум 0 5 10 0,1 1
Максимум 3 25 30 20,1 200,1
Среднее 0,83 19,93 11,63 4,35 41,54
Стандартное отклонение 0,68 7,16 4,04 4,93 48,22
Асимметрия 0,580 -1,010 2,470 1,015 1,127
Эксцесс 0,569 -0,519 5,621 0,009 0,322
Анализ полученных данных показывает, что большинство респондентов предложило лишь 1 способ решения рассматриваемой задачи. Чуть более половины респондентов (63%) из тех, кто предложил хотя бы 1 способ решения, решил задачу правильно; остальные допустили различного рода ошибки (как логические, так и математические), что не позволило им получить верного ответа. Максимальный балл коэффициента гибкости, равный 30, указывает на то, что были студенты, которые предложили по 3 решения задачи, основанные на разных математических подходах. При этом распределение показателя гибкости характеризуется левосторонней асимметрией. Невысокая гибкость, продемонстрированная большинством респондентов, объясняется малым количеством используемых ими вариантов решений указанной задачи.
Распределения признаков оригинальности и креативности для текстовой зада-
чи близки к нормальному распределению. Третья часть студентов, из тех, кто решил задачу, предложила хотя бы одно оригинальное решение. Максимальное значение показателя оригинальности, равное 20,1, свидетельствует о том, что среди трех предложенных решений 2 были нетрадиционными и оригинальными и 1 решение основано на традиционном алгоритме. Максимальный показатель креативности для текстовой задачи составил 200,1 балла и указывает на 3 способа решения, 2 из которых отличаются оригинальностью и различными используемыми математическими подходами.
Обсуждение
Анализ результатов использования ЗНР на студенческой выборке дал возможность выявить преобладающие стратегии решения математических задач, имеющих несколько способов решения. Задачи из теста ЗНР отличались сложностью, возможностью использования стандартных математических алгоритмов решения, а также наличием интуитивных решений, основанных на понимании структуры задачи и моделировании. Основаниями для классификации стратегий решения математических задач послужили количество предложенных способов решения задачи, их эффективность (нахождение правильного решения), количество используемых математических подходов (идей, представлений, алгоритмов, инструментов). При этом были выявлены следующие четыре стратегии.
Первая стратегия («элементарная») характеризуется 1 или 2 способами решения задачи, основанными на элементарном (самом популярном) традиционном математическом алгоритме. Причем второй способ представляет собой незначительную модификацию первого. Примерами такой стратегии являются вертикальное умножение, когда множители меняют местами, или при решении системы двух
линейных уравнений поочередное выражение каждой переменной и ее подстановка в другое уравнение. Как правило, алгоритмические задачи решаются правильно, но попытка решения текстовой задачи, требующей аналитического подхода, основанного на понимании ее структуры, в большинстве случаев оказывается неуспешной (верный ответ может быть получен в результате использования метода подбора), либо попытка решения вовсе отсутствует.
Вторая стратегия («репродуктив-но-вариативная») характеризуется достаточно большим количеством способов решения задачи, каждый из которых соответствует разным математическим подходам, основанным на использовании традиционных математических алгоритмов. Например, систему линейных уравнений решают и через выражение переменной и ее подстановку, и совершая различные алгебраические действия с исходными уравнениями, и матричными методами, и т.д. При этом последовательность способов решения задачи часто соответствует увеличению их сложности. Возможно, что не все решения будут правильными или завершенными (но не обязательно). Нестандартные решения алгоритмических задач не используются. Для решения текстовой задачи, требующей понимания ее структуры, применяется один или несколько способов решения с использованием традиционных математических алгоритмов. Например, текстовая задача решается через составление уравнения или системы уравнений (традиционный математический подход для подобных задач). При этом если предлагается несколько вариантов решения задачи, то все они основаны на одном математическом подходе и даже по своей сути чаще всего представляют один способ решения. Отличия могут состоять в том, что записаны однотипные системы уравнений с некоторой модификацией (сокращают множители, переносят члены уравнения в другую его часть и др.) или варианты реше-
ний состоят в том, что одну и ту же систему уравнений решают разными способами. Решений текстовой задачи, основанных на понимании и логическом рассуждении, не предлагается.
Третья стратегия («креативно-ин-сайтная») характеризуется достаточно большим количеством предложенных способов решения, не только основанных на разных традиционных математических подходах, но и представляющих собой нестандартные решения стандартных задач. Здесь возможны следующие варианты. Первоначально студенты демонстрируют способы решения по традиционным математическим алгоритмам, в ходе выполнения которых начинают понимать структуру самой задачи, в результате чего у них «рождается» нестандартное решение (происходит инсайт), например, при решении системы линейных уравнений всевозможными известными из курса математики способами приходит понимание того, что она симметрична. Или понимание особенностей задачи происходит уже на первом этапе ее решения, тогда нетрадиционный способ решения предлагается первым, а далее приводятся другие, стандартные способы решений, построенные на традиционных математических алгоритмах. Иногда студенты описывают несколько нестандартных способов решения. При такой стратегии обычно все предпринятые попытки решения задачи доводятся до конца (получение правильного ответа). Если какой-то способ, столкнувшись с трудностями, студент прерывает, то после других (удачных) вариантов решения этой задачи вновь к нему возвращается и доводит до логического завершения.
Четвертая стратегия («оптималь-но-инсайтная») характеризуется, как правило, одним нетрадиционным решением (в редких случаях двумя). Предлагаемые решения основаны на понимании структуры задачи и аналитическом подходе к ее решению. Студент, продемонстрировав, по его мнению, оптимальный способ решения
задачи, несмотря на инструкцию (решить задачу как минимум тремя способами), отказывается от дальнейших попыток нахождения других способов ее решения. Например, представив произведение двух трехзначных чисел в виде разности квадратов, других способов решения, в том числе самый элементарный и распространенный - умножение в столбик, не описывает. Обычно все задачи решены правильно. При этом одни студенты подробно описывают логику своего рассуждения, другие же бывают предельно краткими, указывая лишь ключевые моменты своего решения.
Согласно используемой в настоящем исследовании модели (Я. Ье1кт), проявление математической креативности при решении разных типов задач рассматривалось через такие параметры, как беглость, гибкость и оригинальность, которые вычислялись, исходя из анализа предложенных студентами способов решения каждой задачи. Анализ этих показателей и стратегий, использованных студентами при решении задач, продемонстрировал, что:
- при первой стратегии решения отмечаются низкие показатели беглости, гибкости и оригинальности и соответственно очень низкий уровень креативности (практически ее отсутствие);
- при второй стратегии решения - высокие показатели беглости и гибкости, но низкий показатель оригинальности при слабо выраженной креативности;
- при третьей стратегии решения - высокие показатели беглости, гибкости, оригинальности, что свидетельствует о выраженной креативности;
- при четвертой стратегии решения -низкие показатели беглости и гибкости при чрезвычайно высоком показателе оригинальности.
Заключение
Таким образом, в исследовании было установлено, что студенты, отличающиеся креативным математическим мышлением
при решении задач с несколькими способами решений и демонстрирующие третью или четвертую стратегии решения, составляют незначительную часть (12%) от общей выборки студентов.
Анализ полученных результатов позволяет сделать предположение о возможности формирования таких условий образовательной среды, которые дают возможность осуществлять трансформацию стратегий решения математических задач в сторону повышения математической креативности. Более того, психологическое сопровождение процессов развития математической креативности не может быть эффективным вне исследования стратегических компонентов мыслительной деятельности человека. Установленная ранее устойчивая взаимосвязь между показателями общего интеллекта и математическими способностями студентов указывает на то, что уровень развития математических способностей в большей степени определяется не профилем обучения, а уровнем общего интеллектуального развития; причем сам факт гуманитарной направленности однозначно не свидетельствует об уровне развития математических способностей [1]. Все это может служить основанием для более глубокого осмысления проблемы разработки и внедрения современных образовательных форм содействия развитию как общей, так и математической креативности на более ранних этапах образования [3].
Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ (проект № 14-0600712) «Кросс-культурное исследование уровня развития математической креативности у студентов вузов разных категорий и профилей подготовки».
Литература
1. Ваулина Т.А., Щеглова Э.А. Особенности
взаимосвязи общего интеллекта и математических способностей у старшеклассников и студентов, обучающихся в разных
образовательных средах // Сибирский психологический журнал. - 2013. - № 49. - С. 74-84.
2. Клочко В.Е. Проблема одаренности: транспективный анализ тенденций развития // Теоретическая и экспериментальная психология - 2012. - Т. 5. - № 3. - С. 67-77.
3. Краснорядцева О.М. Актуализация потенциала одаренности подростков с выраженным интересом к математике: возможности психолого-образовательных технологий // Сибирский психологический журнал. - 2013. - № 48. - С. 39-47.
4. Лейкин М. Влияние билингвизма на математическую креативность в раннем детстве // Теоретическая и экспериментальная психология. - 2013. - Т. 6. - № 2. - С. 31-44.
5. Hershkovitz S. Peled I. & Littler G. Mathematical creativity and giftedness in elementary school: Task and teacher promoting creativity for all / In: R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds.). Creativity in mathematics and the education of gifted students. - Rotterdam, The Netherlands: Sense Publisher, 2009. - Ch. 16. - P. 255-270.
6. Leikin R. & Lev M.. Mathematical creativity in generally gifted and mathematically excelling adolescents: What makes the difference? ZDM // The International Journal on Mathematics Education. - 2013. - Vol. 45(2). - P. 183-197.
7. Leikin R., Berman A. and Koichu B. (Eds.). Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students. - Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2009. - 420 p.
8. Leikin R. Exploring mathematical creativity using multiple solution tasks / In: R. Leikin, A. Berman and B. Koichu (Eds.). Creativity in mathematics and the education of gifted students. - Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2009. - P. 129-145.
9. Sheffield L.J. Developing mathematical creativity - Questions may be the answer / In: R. Leikin, A. Berman and B. Koichu (Eds.). Creativity in mathematics and the education of gifted students. - Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2009. - P. 87-100.
10. Sriraman B. Are giftedness & creativity synonyms in mathematics? An analysis of constructs within the professional and school realms // The Journal of Secondary Gifted Education. - 2005. - Vol. 17. - P. 20-36.
11. Sriraman B. Problem solving as a pre-cursor to Mathematical Proof // Mathematics in School. - 2005. - Vol. 34. - No. 1. - P. 4-8.
12. Sriraman B., Liljedahl P. Musings on mathematical creativity // For the Learning of Mathematics. - 2006. - Vol. 26(1). - P. 17-19.
13. Subotnik R.F., Pillmeier E., & Jarvin L. The psychosocial dimensions of creativity in mathematics: Implications for gifted education policy / In: R. Leikin, A. Berman, & B. Koichu (Eds.). Creativity in mathematics and the education of gifted students.
- Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2009. - P. 165-180.
14. Torrance E.P. Torrance Tests of Creative Thinking: Directions Manual and Scoring Guide. - Lexington, MA: Ginn, 1974.
15. Yerushalmy M. Educational technology and curricular design: Promoting mathematical creativity for all students / In: R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds.). Mathematical creativity and the education of gifted students.
- Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2009. - P. 101-113.
MANIFESTATION OF MATHEMATICAL CREATIVITY IN THE STRATEGIES OF SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS
V.E. KLOCHKO, O.M. KRASNORYADTSEVA, E.A. SHCHEGLOVA, T.A.VAULINA
Tomsk National Research University, Tomsk State University Competitiveness Improvement Program, Tomsk
The paper presents the results of testing the model of evaluation of the characteristics of mathematical creativity (R. Leikin) on the sample of the Russian first-year university students, majoring in different areas of study. On the basis of the empirical data, the basic methods and strategies of students' solving of mathematical multiple solution tasks are identified and described. The dominant strategies of solving the mathematical tasks that are specific to students with different levels of creative mathematical thinking are defined. The modality of the strategies of solving of mathematical tasks was determined by the students' methods of solving the mathematical tasks, their effectiveness, and the amount of mathematical approaches that were offered by students (ideas, concepts, algorithms and tools).
Keywords: math problems, strategies of problem solving, creativity, fluency, flexibility, originality.
