CC BY
66
ПРОЦЕДУРЫ И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ В ПЛАТЕЖНЫХ СИСТЕМАХ*
Моделирование расчетных взаимоотношений в платежных системах. Основное значение слова «модель», его этимология, происходит от французского «modèle» — образец. Далее по тексту термин «модель» употребляется в общенаучном смысле, т. е. модель рассматривается как условный образ объекта, содержащий его основные, существенные черты. Под моделированием понимается изучение каких-либо объектов или процессов не прямо и непосредственно, а через специально созданные отражающие их изображения, образы или описания. Цель моделирования — создание образа, адекватного его физическому оригиналу, то есть такого его описания, благодаря которому проявляются и становятся понятными его основные свойства.
Модели расчетных систем могут быть представлены графическим, табличным, математическим и другими способами. Наиболее распространенными формами представления моделей расчетов являются табличные и графические методы, часто они дополняют друг друга.
В зарубежных публикациях, посвященных изучению систем расчетов и платежей, приводится таблица клиринговых расчетных операций, автором которой считается Моника Безиад (Monique Bйziade), эта таблица называется матричной моделью расчетов и клиринга. Подобным образом представляются матричные модели (таблицы расчетов) Дэвидом Шеппардом (David Sheppard) в работе «Платежные системы», а также документах КПРС. Эти таблицы сопровождаются графическими пояснениями и примерами, иллюстрирующими порядок и процедуры осуществления расчетов.
Табличным данным в математике соответствуют структуры, называемые матрицами, которыми в
* Окончание. Начало см. в журнале «Финансы и кредит». 2008. № 11 (299).
в. ю. копытин,
кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита экономического факультета Южного федерального университета (ростов-на-Дону)
соответствии с классическим определением являются прямоугольные таблицы чисел или объектов другой природы, содержащие некоторое количество строк т и столбцов п. Числа m и п называются порядками матриц, и определяют их размерность. Матрица называется квадратной, если m = п, т. е. число ее строк равно числу ее столбцов. Для обозначения матриц обычно используются большие буквы, а объекты, находящиеся на пересечении строк и столбцов, называются ее элементами, номер строки элемента идентифицируется (I = 1, 2, 3,..., г), а столбец ^ = 1, 2, 3,...,/).
На наш взгляд, нельзя считать равнозначными таблицы, содержащие данные, и математические объекты, которыми являются матрицы. Математические объекты обычно используются для поиска неизвестных значений на основе заданных условий, поэтому пояснения процедур расчетов на базе табличных иллюстраций и матричные математические объекты не следует считать эквивалентными понятиями. Тем не менее матрица как объект моделирования может быть представлена в виде одной или нескольких табличных структур, но проводить преобразования этой структуры при помощи математических методов представляется затруднительным.
Под преобразованием в общем случае понимают замену одного объекта другим объектом, полученным из первого по определенным правилам. В контексте матричного моделирования расчетных систем преобразование является переходом от одной формы расчетов к другой, что позволяет непроцедурным путем отразить изменение моделей расчетных систем в направлении перевода одной модели расчетов в другую.
Использование математических объектов и методов позволяет совершенно по-новому решать проблемы моделирования расчетных операций и
их анализ как решения математических уравнении, но связывающие между собоИ не отдельные числа, а различные структуры чисел, организованные в виде аналогов табличных структур: матриц, векторов (отдельных строк и столбцов) и отдельных числовых величин — скаляров.
С точки зрения математического моделирования расчетных систем представляет интерес матричная модель, приведенная в статье А. В. Федо-русенко1, в котороИ автор сводит расчетные операции в двухмерную таблицу и показывает скалярные преобразования (правила), иллюстрирующие переход от расчетов на валовой основе к расчетам при двухстороннем зачете, а затем многостороннем зачете требований и обязательств. Возможно, этой модели не хватает разъяснения, каким образом первичным данным ставятся в соответствие математическим объекты. Кроме того, в работе рассматривается матричная модель клиринга, а преобразования осуществляются в скалярной форме, что, как следствие, несколько сужает рамки модели как инструмента исследований.
В научных трудах О. И. Кольваха представлена система матричного моделирования и анализа финансовых взаимоотношений, которая имеет минимальное количество первоначальных самоочевидных утверждений, объясняющих отображение фактических объектов (исходных данных) в математические. В этих работах путем формулирования двух аксиом определяется соответствие между первичными данными и отражающими их математическими объектами. Матрица-корреспонденция выражает объект взаимоотношений, а матрица-проводка (транзакция) отражает количественный показатель этого взаимоотношения. субъекты отношений определяются пересечением строк и столбцов матриц-корреспонденций. Моде-леобразующей принимается матрица размерностью, равной количеству субъектов, состоящая из численных значений матриц-проводок. Все другие характеристики финансовых связей выводятся путем матричных преобразований. Разработанные аксиомы и модель позволяют сформулировать, кроме бухгалтерского учета, для которого эта модель первоначально разрабатывалась, в том числе и методы расчетов в платежных системах.
Фактическими аналогами расчетных операций, которые совершаются при помощи платежных инструментов, являются различные виды инструкций по переводу средств от плательщика к получателю.
Любому виду платежной инструкции может быть поставлен в соответствие его математический эквивалент — матрица-транзакция (расчет).
Над расчетными матрицами, в отличие от обычных таблиц данных, определены известные математические операции: умножение на скаляр, сложение, вычитание, транспонирование, умножение и обращение матриц. В матричной алгебре, как и в обычной алгебре, связи между величинами устанавливаются формулами, но входящие в них величины принимают значения не на отдельных числах, а на таблицах чисел заданной структуры и размеров.
Представленная ниже система матричных тождеств2 расчетных операций позволяет построить соответствующую систему информационно-технологических образов форм расчетов. Каждой форме расчетов, выраженной определенным методом, ставится в соответствие ее матричный образ3, который является эквивалентом этого метода в системе операций векторно-матричной алгебры.
Для изложения методологии и методики построения матричных моделей расчетов определим такие понятия, как матрица-корреспонденция и матрица-транзакция.
Квадратная матрица размером т = п, у которой на пересечении строки, соответствующей участнику расчетов X, и столбца, соответствующему участнику Y, находится единица, а все остальные элементы равны нулю, называется матрицей-корреспонденцией.
Саму матрицу-корреспонденцию будем обозначать Е (X, У), а ее ненулевой элемент, всегда равный единице, через Е (X, Г) =1. В соответствии с определением, все остальные элементы Е (I, J) = 0 для всех и J^Y.
Матрица-транзакция — это произведение суммы расчетной операции на матрицу — корреспонденцию.
Я (X, Г) = ^Ху ■ Е (X, Г). (1)
например, для суммы расчетной операции ХА в = 80 единиц расчетных активов и корреспон-
1 Федорусенко А. В. Совершенствование платежной системы банка // Банковское дело. 2006. № 8.
2 Здесь следует напомнить, чем «тождество» отличается от «математического уравнения». Тождество — это отношение между объектами, формула, которая справедлива для любых допустимых значений. Математическое уравнение — это запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.
3 Под термином «образ» понимается форма отражения предметов и явлений материального мира в сознании человека. Материальной формой воплощения образа являются различные знаковые модели, которые служат условными обозначениями для записи понятий, предложений и выкладок.
денции между участниками Е (А, В) — «Расчетные активы переводятся от участника расчетов А к участнику В», получаем следующую матрицу-транзакцию:
R(A,B) = 80 х
obl/req A B C D E
A 0 1 0 0 0
B 0 0 0 0 0
C 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0
E 0 0 0 0 0
obl / req A B C D E
A 0 80 0 0 0
B 0 0 0 0 0
C 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0
E 0 0 0 0 0
При умножении скаляра X на матрицу все числа, содержащиеся в ней, увеличиваются в Храз. Все элементы матрицы расчетных операций, кроме Е (А, В) =1, равны нулю. Поэтому скалярная величина — сумма транзакции ХА В = 80 — устанавливается в соответствующей позиции матрицы на пересечении строки А и столбца В, т. е. R (А, В) = 80, в то время как все остальные элементы матрицы—транзакций будут нулевыми4.
В дальнейшем не обязательно производить операции над самими матрицами, что достаточно трудоемко и, кроме того, занимает много места, поэтому при записи примера будут использованы символические эквиваленты расчетных операций, а окончательные результаты будут представлены в виде моделеобразующей матрицы.
В качестве моделеобразующей (базисной) матрицы принята квадратная матрица расчетов размерностью, равной количеству участников, в которой последовательно накапливаются матричные эквиваленты расчетных операций между участниками расчетов.
Моделирование расчетных методов. В целях иллюстрации матричного моделирования расчетных методов используем практический числовой пример. для отражения представленных в нем операций использованы расчеты между пятью
участниками расчетов. По условиям задачи за период времени ti — t2 по данным двадцати трех платежных инструкций, которыми обменивались пять участников расчетов (условно обозначаемых A, B, C, D, E), необходимо сформировать числовые выражения следующих моделей расчетных систем:
• валовых расчетов в режиме реального времени (Real-time Gross Settlement — RTGS);
• валовых расчетов с периодической (пакетной) обработкой платежей (Batch Gross Settlement — BGS);
• двухстороннего неттинга (Bilateral Netting — BN);
• многостороннего неттинга (multilateral netting— mn).
Транзакции в символическом виде при обработке платежных инструкций методом валовых расчетов в режиме реального времени могут быть записаны как
RTGSt2 tl = 40E (А,, B) + 80E (A, C) + + 50E (A, D) + 30E (А, Е) + 70E (B, A) + +50E (B, C) + 40E (B, D) + 100E (B, Е) + + 110E (C, A) + 40E (C, B) + 90E (C, D) + + 60E (C, E) + 100E (D, A) + 120E (A, B) + +70E (D, C) + 140E (D, E) + 130E (E, A) + +20E (E, B) + 170E (E, C) + 30E (E, D) + +90E (A, B) + 190E (D, C) + 80E (B, D), где суммы, указанные в платежных инструкциях, умножены на соответствующие матрицы-корреспонденции и записаны в хронологическом порядке в течение периода обработки (ti — t2). В общем виде метод валовых расчетов в режиме реального времени можно сформулировать следующим образом:
RTGS = ¿X. ■Ei(Xi,Y¡) ,
(1)
4 В тождествах и их числовых выражениях, которые разъясняют их практическую реализацию, принята следующая система обозначений: символы «X.» и «У.» могут принимать любые значения на множестве участников расчетов, символы, отличные от «X» и «У», такие, например, как «А», «В», «С», «Л>», «Е» — используются для идентификации конкретного участника расчетов.
где коэффициентами линейного разложения являются скалярные величины — суммы расчетных операций X (г = 1, 2,.), которые указаны в платежных инструкциях, а п — равно их количеству.
Матричную формулу (1) мы называем информационно-технологическим образом системы валовых расчетов в режиме реального времени: в ней суммы операций, определенные на соответствующих корреспонденциях между участниками расчетов, представлены в хронологическом порядке.
Заметим, что в течение периода обработки участник расчетов А три раза переводит средства участнику В, а участники Б и В дважды передают расчетные активы соответственно участникам С и
¡=i
D, в то время как участник расчетов D не осуществляет переводов на участника B. Следовательно, числовое выражение формулы валовых расчетов с периодической обработкой платежей после приведения подобных матриц-транзакций будет иметь следующий вид:
BGSn t1 = 250E (А, B) + 80E (А, C) + + 50E (А, D) + 30E (А, Е) + 70E (B, A) + + 50E (B, C) + (20E (B, D) + (00E (B, Е) + + (10E (C, A) + 40E (C, B) + 90E (C, D) + 60E (C, E) + (00E (D, A) + 0E (D, B) + +260E (D, C) + (40E (D, E) + (30E (E, A) + +20E (E, B) + (70E (E, C) + 30E (E, D).
То есть переход от системы валовых расчетов в режиме реального времени к системе валовых расчетов с периодической обработкой платежей осуществляется путем «приведения подобных» (суммированием) матриц-транзакций за время периода обработки. Применив указанное преобразование, получаем формулу валовых расчетов с периодической обработкой платежей:
BGS =Z SXY Е (X, Y), (2)
X Y
где коэффициентами линейного разложения будут суммы операций сводных расчетных операций: Sx Y (X, Yпринадлежат множеству участников расчетов).
Приведение подобных матриц-транзакций за время периода обработки может выполняться по следующей формуле:
SX Y = X Ч
где
— сумма единичной транзакции между участниками X и Y;
никами X и У в течение периода обработки платежей. Если в течение данного периода обработки расчеты между какими-либо участниками не проводились, то SX У = 0. Матричная формула (2), на наш взгляд, является информационно-технологическим образом расчетов за определенный период обработки или системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей: в ней суммы У) — это итоговые суммы, состоящие из отдельных транзакций, определенных на однотипных корреспонденциях между участниками.
Для иллюстрации дальнейших преобразований систем расчетов запишем числовое выражение символического образа системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей в матричном виде:
obl/ req A B C D E
A 0 250 80 50 30
B 70 0 50 120 100
C 110 40 0 90 60
D 100 0 260 0 140
E 130 20 170 30 0
BGSa-ti -
Пусть BGS — это матрица обязательств между участниками (participant — par) расчетов, а BGS = (BGS) ' — транспонированная к ней матрица получаемых участниками платежей или матрица их требований, т. е. матрица, в которой строки и столбцы переставлены — инвертированы по отношению к исходной матрице BGS. Для получения разницы между обязательствами (obligation — obl) и требованиями (requirement — req) необходимо из матрицы обязательств вычесть транспонированную к ней матрицу требований. Результатом этой операции будет матрица двухстороннего неттинга, представляющая собой разницу между требованиями и обязательствами, которая одновременно показывает направление перевода средств от плательщика к получателю для осуществления расчетов.
obl/ req A B C D E
A 0 250 80 50 30
B 70 0 50 120 100
N = t2-t1 C 110 40 0 90 60
D 100 0 260 0 140
E 130 20 170 30 0
req/ obl A B C D E
A 0 70 110 100 130
B 250 0 40 0 20
C 80 50 0 260 170
D 50 120 90 0 30
E 30 100 60 140 0
settlement A B C D E
A 0 180 -30 -50 -100
B -180 0 10 120 80
C 30 -10 0 -170 -110
D 50 -120 170 0 110
E 100 -80 110 -110 0
Обратите внимание на знаки чистой позиции, выраженные вектором-строкой: положительный и отрицательный. Как известно, знаки «—» (минус) и «+» (плюс) могут обозначать либо количество, либо действие. В данном случае при интерпретации знаков их следует воспринимать как знаки действия:
nX Y — количество транзакций между участ
«+» — передача средств (откуда), «—» — получение средств (куда).
Для перехода от системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей к системе двухстороннего неттинга требуется из матрицы обязательств между участниками расчетов вычесть транспонированную к ней матрицу требований, результатом этих операций будет матрица двухстороннего зачета, формулу которой можно записать в следующем виде:
BN = BGS - BGS. (3)
Матрица BN обладает свойствами, в которых проявляется двойственная природа расчетных отношений:
1. Элементы сальдовой матрицы BN зеркально симметричны относительно главной диагонали, т. е. для каждого элемента AS (X, Y) — сальдо расчетов участников Хи Y— всегда существует равный по модулю, но противоположный по знаку элемент с инвертированной корреспонденцией AS (Y, X) такой, что всегда соблюдается равенство: AS (X, Y) = — AS (Y, X), где X, Y — любые два корреспондирующих участника. Это свойство матрицы BN показывает двухсторонний зачет между участвующими в расчетах субъектами.
2. Поскольку сумма каждой пары зеркально симметричных элементов равна нулю, то и сумма всех элементов матрицы двухстороннего неттинга также равна нулю: Z AS (X, Y) =0, т. е. все взаимные требования и обязательства урегулированы.
Матричная формула (3) — это информационно-технологический образ двухстороннего неттинга.
Свертывание матрицы обязательств, требований и двухстороннего зачета в итоговый столбец (вектор5) достигается умножением справа на единичный вектор e (столбец, состоящий из единиц). Преобразование гоЫ = BGSe сворачивает матрицу BGS в итоговый вектор обязательств, а преобразование rreq = BGS e в итоговый вектор требований. По данным нашего примера, числовые значения преобразований запишутся в следующем виде:
t2-t1obl
obl/ req A B C D E " obl'
A 0 250 80 50 30 1 410
B 70 0 50 120 100 X 1 340
C 110 40 0 90 60 1 300
D 100 0 260 0 140 1 500
E 130 20 170 30 0 1 350
req/ obl A B C D E req
A 0 70 110 100 130 1 410
B 250 0 40 0 20 X 1 310
C 80 50 0 260 170 1 560
D 50 120 90 0 30 1 290
E 30 100 60 140 0 1 330
t2-t1req
Числовое значение вектора чистых позиций после умножения матрицы двухстороннего зачета на единичный вектор может быть представлено в следующем виде:
settlement A B C D E net
A 0 180 -30 -50 -100 1 0
B -180 0 10 120 80 X 1 30
C 30 -10 0 -170 -110 1 -260
D 50 -120 170 0 110 1 210
E 100 -80 110 -110 0 1 20
тП,2-,1 =
Отсюда следует, что для перехода от системы двухстороннего неттинга к системе многостороннего неттинга необходимо матрицу двухстороннего неттинга умножить на единичный вектор, результатом умножения являются многосторонние нетто-позиции каждого участника расчетов. На основании этого запишем формулу многостороннего неттинга в следующем виде:
тп = В№е. (4)
Векторная формула (4) — это информационно-технологический образ многостороннего неттинга. Его формула следует из матричных тождеств (1), (2) и (3).
Как известно, матрицу и вектор, содержащие положительные и отрицательные элементы, можно разложить на два объекта, один из которых будет положительным, а другой отрицательным. Для наглядности проведем это преобразование, тогда вектор многостороннего неттинга будет представлен следующим образом:
mn =
par A B C D E
net obl req
0 0 0
30 30 0
-260 0 260
210 210 0
20 20 0
5 Векторы, в отличие от матриц, принято обозначать маленькими буквами.
Приведенный пример показывает, что для осуществления расчетов валовым методом требуется значительно больше средств по сравнению с системами нетто-расчетов. По данным нашей задачи видно, что, например, участнику расчетов А при проведении расчетов валовым способом требуются ликвидные средства в размере 410 ед., а при
проведении расчетов методом многостороннего неттинга он имеет нулевую нетто-позицию. При осуществлении расчетов на основе двухстороннего неттинга между участниками A и B вместо 250 ед. расчетных активов участнику А требуется всего 180, а участник B вообще не затрачивает средств для осуществления двухсторонних расчетов. Кроме этого, средства, необходимые для расчетов между всеми участниками при сравнении системы валовых расчетов и системы многостороннего неттинга расчетов, снижаются с 1 900 (сумма обязательств всех участников) единиц расчетных активов до 260.
Смешанные системы являются частным случаем систем нетто-расчетов и моделируются путем последовательных преобразований системы брутто-расчетов, причем эти преобразования могут завершиться либо двухсторонним зачетом, либо многосторонним неттингом. Например, в России в настоящее время введена в эксплуатацию система банковских электронных срочных платежей (БЭСП), которая позволяет ее участникам рассчитываться как валовым методом, так и на основе двухстороннего взаимозачета. В системе БЭСП предусматривается также и взаимозачет электронных платежных сообщений на многосторонней основе, однако процедура расчета методом многостороннего неттинга пока не разъяснена в нормативных документах.
Содержательный результат формульного представления моделей расчетов, по нашему мнению, заключается в том, что удалось перейти от обычного процедурного описания технологии расчетов к ее представлению в форме компактных и единообразных матричных тождеств. Основные методы расчетов представлены как система следующих друг из друга компактных векторно-матричных формул, которые могут быть полезны для единообразного понимания расчетных взаимоотношений.
Литература
1. Доклад Рабочей группы по принципам и практическим аспектам платежных систем Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов «Ключевые принципы для системно значимых платежных систем» // Вестник Банка России. — 2002. — № 18 - 19.
2. Доклад Банка международных расчетов «Report on netting schemes», (февраль 1989 г.) (www. bis. org).
3. Доклад Банка международных расчетов «Report of the Committee on Interbank Netting Schemes of the Central Banks of the Group of Ten countries», (ноябрь 1990 г.), (www. bis. org).
4. Доклад Банка международных расчетов «Real-time gross settlement systems», (март 1997 г.), (www. bis. org).
5. Доклад Банка международных расчетов «Survey of electronic money developments», (май 2000 г), (www bis. org).
6. Доклад Банка международных расчетов «Clearing and settlement arrangements for retail payments in selected countries», (сентябрь 2000 г.), (www bis. org).
7. Справочный документ стандартных терминов, содержащий глоссарий терминологии платежных систем Банка международных расчетов: «A glossary of terms used in payments and settlement systems», (март 2003 г.), (www. bis. org).
8. Доклад Банка международных расчетов «Survey of developments in electronic money and internet and mobile payments», (март 2004 г.), (www. bis. org).
9. Доклад Банка международных расчетов «New developments in large-value payment systems», (май 2005 г.), (www. bis. org).
10. Доклад Банка международных расчетов «Central bank oversight of payment and settlement systems», (май
2005 г.), (www. bis. org).
11. Доклад Банка международных расчетов «General guidance for national payment system development», (январь
2006 г.), (www. bis. org).
12. Доклад Банка международных расчетов и Всемирного банка «General principles for international remittance services», (январь 2007 г.), (www bis. org).
13. Directive of the European Parliament and of the Council 2000/46/EC of 18.09.2000 «On the taking up, pursuit of and prudential supervision of the business of electronic money institutions» (OJL 275, 27.10.2000).
14. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей (Серия «Теория вероятностей и математическая статистика»). — М.:Наука, 1974.
15. Ж. Матук. Финансовые системы Франции и других стран. В 2 т. — М.: АО «Финстатинформ», 1994.
16. David Sheppard. Payment Systems. Handbooks in Central Banking. — Issued by the Centre for Central Banking Studies, Bank of England, May 1996. (www bankofengland. co. uk)
17. Кольвах О. И. Компьютерная бухгалтерия для всех. — Ростов-на-Дону: Издательство «Феникс», 1996.
18. Чигридов М. В. Системы валовых расчетов в режиме реального времени (мировой опыт и россия) //Деньги и кредит. — 2005. — № 11.
19. Копытин В. Ю. Бухгалтерский учет межбанковских расчетов кредитных организаций в России //Расчеты и операционная работа в коммерческом банке. — 2006. — № 9.
20. Федорусенко А. В. Совершенствование платежной системы банка // Банковское дело. — 2006. — № 8.
21. Генкин А. Частные деньги: мифы и реальность // Аналитический банковский журнал. — 2006. — № 11.
22. Шамраев А. В. Перспективные направления деятельности по нормативному регулированию безналичных расчетов // Банковское дело. — 2006. — № 11.
23. Крахмалев С. В. Системы розничных денежных переводов в России //Финансы и кредит. — 2007. — № 28.
24. Летуновская А. В. Современные карточные платежные системы европейских стран //Деньги и кредит. — 2007. — № 10.
