CC BY
419
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №5 2013
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
Попов Александр Николаевич
Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А. Гагарина
Начальник кафедры Кандидат технических наук Popov Aleksahdr Nikolaevich Military and air academy of a name of professor N.E.Zhukovskogo and Yu.A.Gagarin
Chief of chair E-Mail: anton.hatun@yandex.ru
Хатунцев Антон Александрович
Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина
Преподаватель Hatunzev Anton Aleksandrovich Military and air academy of a name of professor N.E.Zhukovskogo and Yu.A.Gagarin
Teacher
E-Mail: anton.hatun@yandex.ru
Шашков Игорь Геннадиевич
Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина
Преподаватель Кандидат технических наук Shashkov Igor Gennadiyevich Military and air academy of a name of professor N.E.Zhukovskogo and Yu.A.Gagarin
Teacher
E-Mail: igoshashkov@yandex.ru
Кочетков Андрей Викторович
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Доктор технических наук, профессор Kochetkov Andrey Viktorovich Perm national research polytechnical university
Professor E-Mail: soni.81@mail.ru
Пространственный деформационный нелинейный расчет железобетонных изгибаемых конструкций методом конечных элементов
Spatial deformation nonlinear calculation of reinforced concrete bent designs by the
method of final elements
Аннотация: Моделирование железобетонных конструкций конечными элементами позволяет отказаться от использования методов расчета прочности железобетонных конструкций по нормальным, наклонным и пространственным сечениям и каркасностержневым моделям. В работе предлагается численное моделирование напряженно-деформированного состояния нелинейной, изотропной структуры железобетонной конструкции с использованием специальных объемных конечных элементов в форме
05.23.11 - Проектирование и строительство дорог, метрополитенов, аэродромов, мостов и транспортных тоннелей
криволинейного параллелепипеда, с реализацией в программном комплексе COMSOLMultiphysics 4.3b.
Abstract: Modelling of reinforced concrete constructions by final elements allows to refuse use of methods of calculation of durability of reinforced concrete constructions on normal, slope both spatial sectional views and wireframe-bar models. In work numerical modelling of the intense-deformed condition of nonlinear, isotropic structure of a reinforced concrete construction with use of special volume final elements in the form of a curvilinear parallelepiped, with realisation in program complex COMSOL Multiphysics 4.3b is offered.
Ключевые слова: Железобетон; метод конечных элементов; моделирование;
изгибаемые конструкции; пространственный расчет.
Keywords: Reinforced concrete; finite element method; modeling; bent designs; spatial calculation.
***
Введение
Нормативные методики расчета прочности железобетонных конструкций содержат эмпирические зависимости и расчетные модели, отражающие лишь характерные этапы напряженно-деформированного состояния (НДС). В настоящее время на практике используется деформационная модель расчета по нормальным сечениям. Расчет по наклонным сечениям, так и остается выполняемым по стержневым аналогиям, в связи со сложностью описания НДС. Это говорит о необходимости поиска качественно новых альтернативных подходов к решению данной задачи.
Для создания универсального метода целесообразно моделирование железобетонных конструкций конечными элементами (КЭ), что позволит отказаться от использования методов расчета прочности железобетонных конструкций по нормальным, наклонным и пространственным сечениям и каркасно-стержневым моделям. Вместо этого прочность конструкции будет оцениваться исходя из прочности отдельных КЭ, находящихся под воздействием полного комплекса силовых факторов.
КЭ железобетонных конструкций строятся на базе прикладных технических теорий [1], позволяющих перейти от трехмерной задачи к двумерной, что упрощает математическую и вычислительную процедуру. При этом основные зависимости для КЭ получались на основе механики композиционных материалов. Вопрос о совместной работе бетона и арматуры на стадиях до и после образования трещин решался при формировании матриц упругости или жесткости железобетонных элементов.
Определение характеристик таких элементов осуществлялся двумя путями. Первый путь состоит в том, что арматура при помощи коэффициентов армирования равномерно распределяется по объему КЭ и железобетон представляется композиционным материалом, состоящим из двух сплошных сред - бетона и «размазанной» арматуры. Второй - заключается в разработке специальных изопараметрических КЭ, состоящих из бетона, пересекаемых арматурой в виде одиночных стержней, работающих на растяжение-сжатие в одном или двух направлениях. Жесткость таких элементов определяется как сумма жесткостей бетона и арматуры.
Однако данный подход дает хорошую сходимость результатов только для конструкций, где соотношение ширины к высоте не столь значительно. Расчет конструкций, в которых ширина много больше высоты, необходимо производить, только используя трехмерные конечные элементы. В работе [2] для моделирования многослойных конструкций рассмотрен специальный объемный КЭ, являющийся модификацией стандартного КЭ в
форме параллелепипеда и базирующийся на общих принципах и соотношениях трехмерной механики деформированного твердого тела. Матрица механических характеристик данного элемента вычисляется послойно, что позволяет использовать его для физически нелинейных материалов, когда при линейном законе изменения деформаций по толщине, напряжения меняются нелинейно.
Эффективным инструментом, позволяющим решать данные типы задач, являются программные комплексы, реализующие метод конечных элементов (МКЭ). К ним относятся хорошо известные в нашей стране программы NASTRAN, ANSYS, COSMOS (США), DIANA (Голландия), ROBOT (Франция), STARK (Россия), ЛИРА, SCAD (Украина). Постепенно набирает распространение программный комплекс COMSOL (Швеция), являющийся мощной интерактивной средой для моделирования и расчетов научных и инженерных задач, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных. Данный математический пакет способен решать задачи любой сложности, в частности в разделе «Строительная механика», но, несмотря на это, в России получил распространение только в разделе «Термодинамика».
COMSOL Multiphysics 4.3b позволяет: проверять сходимость и систематическую погрешность решений; объединять целочисленные блоки, а также решать задачи с большим количеством узлов и элементов, тем самым повышая точность вычисления в интересующих точках. Благодаря встроенным физическим режимам, где коэффициенты дифференциальных уравнений задаются в виде понятных физических свойств и условий (модуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность, теплопроводность, теплоемкость и т.п.), не требуется глубоких знаний математической физики и МКЭ. Преобразование этих параметров в коэффициенты математических уравнений происходит автоматически. Взаимодействие с программой возможно стандартным способом - через графический интерфейс пользователя, либо программированием с помощью скриптов на языке COMSOL Script или языке MATLAB
[3].
Новизна, предлагаемая в работе, заключается в численном моделировании НДС нелинейной, изотропной структуры железобетонной конструкции с использованием специальных объемных КЭ в форме криволинейного параллелепипеда, с реализацией в программном комплексе COMSOL Multiphysics 4.3b.
1. Моделирование работы железобетонной конструкции в программном комплексе COMSOL
За объект моделирования принята железобетонная статически определимая балка прямоугольного сечения без предварительного напряжения. Нагрузка в виде сосредоточенных сил прикладывалась симметрично. Выбор конструкции обусловлен возможностью расчета на отдельных характерных стадиях работы балки. Расчетная схема, геометрические размеры и схема армирования представлены на рис. 1,основные расчетные характеристики железобетона
- в табл. 1.
Рис. 1. Расчетная схема и конструкция железобетонной балки прямоугольного сечения
Таблица 1
Расчетные характеристики железобетона
№ п/п Параметр Значени е
Характеристики бетона (класс по прочности на сжатие В25)
1. Расчетное сопротивление осевому сжатию для предельных состояний первой группы, МПа 14,5
2. Расчетное сопротивление осевому растяжению для предельных состояний первой группы, МПа 1,05
3. Расчетное сопротивление осевому сжатию для предельных состояний второй группы, МПа 18,5
4. Расчетное сопротивление осевому растяжению для предельных состояний второй группы, МПа 1,6
5. Начальный модуль упругости на сжатие и растяжение, 103 МПа 30
6. Коэффициент Пуассона 0,2
7. Плотность, кг/м3 2400
Характеристики продольной арматуры A6OO
1. Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний первой группы, МПа 510
2. Расчетное сопротивление сжатию для предельных состояний первой группы, МПа 450
3. Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний второй группы, МПа 590
4. Модуль упругости, 103 МПа 190
5. Коэффициент Пуассона 0,3
6. Плотность, кг/м3 7850
Характеристики поперечной арматуры A24O
1. Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний первой группы, МПа 175
2. Расчетное сопротивление сжатию для предельных состояний первой группы, МПа 225
3. Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний второй группы, МПа 235
4. Модуль упругости, 103 МПа 210
5. Коэффициент Пуассона 0,3
6. Плотность, кг/м3 7850
Моделирование в программном комплексе COMSOL Multiphysics 4.3b выполнялось в разделе Structural Mechanics. Бетон балки задан как линейно-упругий материал, с включением модели Concrete, реализующей алгоритмы критерия разрушения Willam-Warnke в соответствии с [4]. Данная модель допускает образование трещин по площадке нормальной к действующим главным напряжениям при превышении ими заданного предела прочности при растяжении, а также учет объемного напряженного состояния.
Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ) Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №5 2013
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
Критерий 'Шаш-'атке, используемый для прогнозирования разрушения бетона, в общем случае имеет вид:
1\ - первый инвариант тензора напряжений;^ - второй инвариант девиаторной части тензора напряжений/ - предел прочности при одноосном сжатии;/? - предел прочности при одноосном растяжении;/* - предел прочности при двуосном сжатии;9 - угол Лоде.
Девиаторное сечение поверхности разрушения по критерию 'Шаш-'атке, представленное на рис.2, имеет форму криволинейного треугольника, для которого установлены только два радиуса Тг ито, соответствующие значениям угла Лоде 9=0 и 9=п/3:
(1)
где
Рис. 2. Девиаторное сечение критерия разрушения ЖШат-Жатке
(2)
(3)
Функция т(9) описывает сегмент эллипса, где 0 < 9 < п/3, и может быть записана:
г (0)
2гс(г* - г2) соб 0 + гс(2г; - гс ^4(г; - г2) 0 + 5т2 - 4/;/;
4(Г2- Г2)соб2 0 + (гс -2г;)2
(4)
За предел прочности бетона при растяжении принималось расчетное сопротивление бетона растяжению для предельных состояний второй группы в соответствии с [5]. Учитывая линейное напряженное состояние бетона в исследуемом элементе, эффект объемного напряженного состояния в модель не включался. Возможность разрушения бетона при сжатии также не рассматривалась, так как рассматриваемый железобетонный элемент, в соответствии с предварительно выполненными расчетами, разрушается вследствие достижения растянутой арматурой предела текучести.
Предполагается, что арматура способна передавать только осевые усилия, так как площадь ее поперечного сечения незначительна по сравнению с площадью поперечного сечения балки в целом. Таким образом, жесткость на изгиб каждого стрежня не способствует увеличению суммарной жесткости на изгиб сечения, поэтому стержни арматуры моделируются как линейные элементы Truss. За предел прочности при растяжении и сжатие были приняты соответствующие расчетные сопротивления для предельных состояний второй группы в соответствии с [5]. Связь между КЭ, моделирующими работу бетона и арматурных стержней, была принята идеальной.
Разбивка модели осуществлялась на КЭ двух типов: продольная и поперечная арматура разбивалась на стержневые КЭ; бетон балки - на объемные КЭ в форме криволинейного параллелепипеда.
Продольная арматура разбита на 200 стержневых КЭ каждая, поперечная арматура: вертикальный участок - на 10, горизонтальный - на 5 стержневых КЭ каждый. Бетон разбит на 5000 объемных КЭ.
Геометрия модели железобетонной балки и схема разбивки ее на КЭ представлены на
рис. 3.
а б
Рис. 3. Модель железобетонной балки: а - геометрия модели; б - схема разбивка на конечные элементы
По результатам расчета в программном комплексе COMSOL Multiphysics 4.3Ь получены изополя нормальных напряжений охи деформаций в балке для каждой стадии нагружения. На рис. 4 представлен пример распределения напряжений в арматуре и бетоне для нагрузки в 20 кН.
Рис. 4. Изополя нормальных напряжений Охдля нагрузки 20 кН: а - в бетоне балки; б - в нижнем поясе продольной арматуры; в - в верхнем поясе продольной арматуры; г - в поперечной арматуре
Расчет прекращался при достижении критических пластических деформаций в арматуре или в поверхностных сжатых слоях бетона. Кроме этого, вычислительный блок прекращает вычисления, если система КЭ приобретает свойства геометрически изменяемой системы при постоянных нагрузках с появлением соответствующего сообщения.
На рис. 5 и 6 в качестве примера приведены эпюра нормальных напряжений и схемы распределения трещин в КЭ-модели балки для различных стадий нагружения. Наличие большого количества нормальных трещин на центральном участке балки, в зоне возникновения максимальных нормальных напряжений свидетельствует о том, что разрушение произошло от действия изгибающих моментов.
— 10 20
А 30 40 50 60
м 70 80 90 100
ч 5S
-20 -15 -10 -5 0 5 10
Stress tensor, х component (MPa)
Рис. 5. Эпюра нормальных напряжений в железобетонной балке
2.5 кН
т \ 5 ( *■ <] и f J 4- 4 1 f * * f + •
ЮО кН
Рис. б. Процесс возникновения трещин в железобетонных балках
График изменения прогибов под нагрузкой, полученный в результате расчета в программном комплексе COMSOL Multiphysics 4.3b, приведен на рис. 7. При нагружении 17кН имеет место характерный участок с резким скачком вертикальных перемещений, предшествующий началу трещинообразования бетона балок в растянутой зоне.
*10’
130 120 110 100 90
г 60 ъ 70
о
-1 60 50 40 30 20 10 0
0123456789 10
Total displacement (mm)
Рис. 7. График изменения прогибов под нагрузкой: а - эксперимент; б - расчет в COMSOL Multiphysics 4.3 b
Разрушение КЭ-модели балки происходило вследствие превалирующего действия изгибающего момента в середине пролета. Разрушение КЭ-модели произошло при нагрузке 130 кИ. Максимальный прогиб балки составил 7,28 мм.
2. Верификация модели железобетонной конструкции
Для оценки возможности применения объемного конечно-элементного подхода с реализацией в программном комплексе COMSOL Multiphysics 4.3Ь, проведена верификация модели железобетонной конструкции по отношению к результатам натурных экспериментальных исследований и расчетов по стандартной методике СНиП [5].
Натурные экспериментальные исследования проводились на лабораторной установке, представленной на рис.8.
И- \ ■ • " ■■' ■" . 7—1 ■ ь— у.— я V II
1лг— — * ^ Ж \ ¥> '
1^.. .. > \ \|11 ТЪш ч ' • 1'ИР с 1 ' . ' _ №
|| .3'"Ж -- ■■
-V, |" ( у —.гпт^Г9 ,1
Рис. 8. Общий вид экспериментальной лабораторной установки для оценки прочности
железобетонной балки
Прочность железобетона на растяжение при изгибе согласно требованиям [6] определяли путем испытания образцов в возрасте трех месяцев. Для определения напряженно-деформированного состояния железобетонных балок при статической нагрузке были испытаны четыре балки. Образцы в процессе испытаний нагружали ступенями с шагом 5 кН. На каждой ступени производились замеры ширины раскрытия трещин, фиксировалась нагрузка и прогиб. Критерием исчерпания прочности железобетонных образцов являлось появление текучести в арматуре. Момент начала текучести арматуры определялся по резкому приросту деформаций.
Целью статических испытаний являлось установление величины статической разрушающей нагрузки. В процессе испытания определялись напряжения в бетоне растянутой зоны до образования трещин, напряжения в арматуре, момент появления трещин, развитие трещин по длине и ширине, расстояние между трещинами.
При этом анализу подвергались три наиболее характерные (крупные) трещины. Графики изменения прогибов под нагрузкой, полученные в ходе эксперимента, представлены на рис.7, результаты установления величины разрушающей нагрузки и максимального прогиба приведены в табл. 2 и 3 соответственно.
Таблица 2
Предельные нагрузки на балку, полученные по результатам эксперимента и расчета
Номер образца Несущая способность Отклонение результатов расчета в СОМБОЬ
Расчет СОМБОЬ эксперимент СНиП эксперимент СНиП
Р, кН Р, кН Р, кН % %
1 130 106 129,44 +22,64 6,03 0,43
2 130 121 129,44 +7,44 0,43
3 130 133 129,44 -2,26 0,43
4 130 135 129,44 -3,7 0,43
Таблица 3
Прогиб под нагрузкой в момент разрушения
Номер образца Прогиб под нагрузкой в момент разрушения Отклонение результатов расчета в СОМБОЬ
Расчет СОМБОЬ эксперимент СНиП эксперимент СНиП
Д, мм Д, мм Д, мм % %
1 7,28 4,15 7 +75,42 34,98 4
2 7,28 5,32 7 +36,84 4
3 7,28 6,1 7 +19,34 4
4 7,28 6,72 7 +8,33 4
Расчет балки по стандартной методике, изложенной в [5] дал следующие результаты:
• высота сжатой зоны - х=72,9 мм;
• относительная высота сжатой зоны - ^=0,27<^д=0,55;
• предельный изгибающий момент - [М]=90,61 кН-м
• предельная нагрузка - Р=129,44 кН;
• нагрузка трещинообразования - Рсгс=17,67 кН;
• прогиб к моменту разрушения - f=7 мм.
Анализ очертания графиков нагрузка-прогиб, полученные в ходе моделирования НДС железобетонной балки в программном комплексе COMSOL, хорошо коррелируются с результатами расчета по [5] и натурного эксперимента. Сравнение результатов оценки несущей способности и величины прогиба, приведенные в табл. 2 и 3, показывают, что отклонение составляет 6,03% для несущей способности и 34,98% - для прогибов. Наблюдается достаточно удовлетворительное совпадение расчетных и опытных данных.
Выводы
1. Установлено, что программный комплекс COMSOL Multiphysics позволят производить корректное объемное моделирование изгибаемых железобетонных элементов с заданием нелинейных диаграмм деформирования бетона и арматуры, и может быть использован при их проектировании и исследовании (в том числе до стадии «разрушения»).
2. При задании диаграмм деформирования основных материалов (арматурной стали и бетона) в соответствии с действующими нормами проектирования железобетонных конструкций [5] предельная нагрузка на элемент по результатам моделирования в программном комплексе COMSOL Multiphysics вполне соответствует теоретической величине (отклонение не более 0,43%) и экспериментальным значениям (отклонение не более 6,03%).
3. Схема расположения трещин, полученная по результатам моделирования в программном комплексе COMSOL Multiphysics (в соответствии с траекториями главных напряжений в бетоне), вполне согласуется с результатами натурных испытаний.
4. В целом нелинейный анализ показал хорошее соответствие расчетной модели работы конструкции их действительной работе. Программный комплекс COMSOL может быть применен при исследовании напряженно-деформированного состояния железобетонных изгибаемых конструкций, любых типов сечений, при этом принятые расчетные допущения и гипотезы пойдут в запас прочности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике/О. Зенкевич; перевод с англ. Б. Победри. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных расчетах пространственных железобетонных конструкций / Клованич С.Ф., Безушко Д.И.
- Одесса: изд-во ОНМУ, 2009. - 89 с.
3. Егоров В.И. Применение ЭВМ для решения задач теплопроводности: учебное пособие. - СПб. : СПбГУИТМО, 2006. - 77 с.
4. Willam K.J., Warnke E.D. Constitutive model for the triaxialbehavior of concrete //Seminar of concrete structures subjected to triaxial stresses. - Bergamo, Italy. -1974.- v. 19. - P. 3-11.
5. СНиП 2.03.01-84 Бетонные и железобетонные конструкции. - М.:
ЦИТПГосстроя СССР, 1984. - 79 с.
6. ГОСТ 10180-90 Методы определения прочности по контрольным образцам. -М.: Изд-во стандартов, 1990. - 45 с.
Рецензент: Овчинников Игорь Георгиевич, профессор, доктор технических наук, заместитель руководителя Поволжского отделения Российской академии транспорта.
