Принципы генерации случайных графов для моделирования сети Интернет Текст научной статьи по специальности «Математика»

слишком малый коэффициент сжатия: 59% ребер остаются нередуцированными. А последующий расчет на основе сокращенного перебора является ЫР-сложным и невозможен уже для графов, содержащих десятки вершин.

Библиографический список

1. Соложенцев, Е. Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике / Е. Д. Соложенцев. — СПб. : Бизнес-пресса, 2004. — 432 с.

2. Цветоват, М. Каскады конфликтов и самоорганизованная критичность в динамических сетях / М. Цветоват, М. Руло // Искусственные общества, интернет-журнал. — 2008. — Т. 3. — № 1. — C. 5-15.

3. ГОСТ P 51901.14 — 2005. Метод структурной схемы надежности. — М., 2005. — 35 с.

4. Семенов Ю.А. Алгоритмы телекоммуникационных сетей. Часть 2. Протоколы и алгоритмы маршрутизации в INTERNET / Ю.А. Семенов. — М. : Изд-во Бином. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий, 2007. — 832 с.

5. Ушаков, И. А. Курс теории надежности систем / И. А. Ушаков. — М. : Дрофа, 2008. — 239 с.

6. Задорожный, В. Н. Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение / В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. — 2009. — № 3 (83). — С. 7-13.

ЮДИН Евгений Борисович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

ЮДИНА Мария Николаевна, ассистент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: forrts@mail.ru

Статья поступила в редакцию 04.07.2014 г. © Е. Б. Юдин, В. Н. Задорожный, М. Н. Юдина

УДК 0047385 В. А. БАДРЫЗЛОВ

Омский государственный технический университет

ПРИНЦИПЫ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕТИ ИНТЕРНЕТ

В статье рассмотрены возможности моделирования сети Интернет случайными графами с различными принципами их генерации.

Ключевые слова: социальная сеть, случайный граф, предпочтительное связывание.

Введение. В современном информационном пространстве возникла и активно развивается новая информационная структура — Интернет. В последнее десятилетие Интернет — основа не только для передачи информации. Через Интернет сегодня осуществляется электронный документооборот между удаленными подразделениями организаций, ведутся межбанковские расчеты, производятся платежи физических лиц, функционируют электронные магазины, аукционы, биржи, ведет свою деятельность Электронное Правительство, работают системы оказания электронных услуг различными государственными организациями, создаются социальные сети, объединяющие единомышленников и т.д. Сеть становится инструментом информационного влияния и, в перспективе, противоборства различных групп, стремящихся оказать давление на общественное мнение, сформировать ту или иную точку зрения.

Вместе с тем структура, свойства, закономерности развития Интернет остаются слабо изученными из-за крайне большого количества элементов этой сети и постоянного изменения ее структуры. Вместо реальной сети было бы удобно рассматривать и анализировать не саму сеть, а ее адекватную

модель, обладающую самыми важными свойствами Интернет, но более простую и доступную для изучения. Перспективным направлением такого моделирования является применение случайных графов в качестве модели сети. Несмотря на множество предложений по способам построения графов, на наш взгляд, есть несколько принципиально разных базовых принципов построения случайных графов. В настоящей статье предпринята попытка выделить такие базовые принципы.

Эмпирические наблюдения. В своих статьях А. М. Райгородский [1, 2] формулирует следующие три основных свойства сети Интернет.

1. Диаметр графа сети Интернет очень мал. Диаметр графа — самое большое расстояние между вершинами графа, где под расстоянием между вершинами графа понимается количество ребер в кратчайшей цепочке, соединяющей эти вершины. По результатам исследований Всемирной паутины (WWW) предложен закон, определяющий среднее количество ссылок D, необходимых для перехода с одной страницы Интернета на любую другую [3]:

D - 0,35 + 2,06log(N), где N —число узлов в WWW.

На текущий момент, согласно этому закону, диаметр сети Б можно оценить как 18—19.

2. Граф сети Интернет очень разрежен. Другими словами, число ребер, связывающих вершины, относительно мало и это число не болып е чем тп, где п — число вершин графа, ат — константа, (т > 1). На самом деле на п вершинах может быть

-1) -

по строено как минимум —- ребер и число

ребер,таким образрм.может рыоо проооецинналь-но квадрату числа вершин

3. Распределение вершин оосоенени связности подчиняется степенному закону. Как псказалиом-пирические исследования, доля вершин рк графа сети, имеющих стентнь свизносое к (кооичастро ре-бер, связанных с данной вершиной), определяется законом:

графа сети с параметрами N и р, имеющих степень связности к, определяется законом [3]:

Рк

к

с

,

я

(рщы

Ы!

где с — некотораяконстанта.

Перечисленные свойства сыоклены эмпнриче-ским путем висследованиях Барабаши иАльберти в 1999 году представлены в ролесзатсйатих дователей. С тех порпредлагаются различные модели Интернет, имеющие такивже-аповые кепй-ства, как и сама сеть. Однако попытки построения адекватной модели реальной тмтиИлтсритз пред-принималисьи раньшевремениполученияэмпири-ческих наблюдений Барабаши иАльберт,практиче-ски с момента появления самого Интернеот.

Принципы построения случайныхграфов. Одним из первых классов случайаых гноЫ ов, примг-неннымдля моделированиясети Интернет оказался графЭрдеша — Реньи, преодмжоныый еще до ор-явления Всемирной сети для описания реальных социальныхсетей(научного ците-твачия, Ынзнес-контактов, сексуальныхконтактовидр.).

Случайные графы Эрдеша — Нтньн образн—дса следующим образом:

— фиксируют N вершин зрафа;

— любую пару вершин случайно, сравной вероятностью р,связывают ребром.

Таким образом, в модели Ынлвша ыреист лаж-дое ребро независимоотдругихребер входитвслу-чайный граф с вероятностью р. Модеыь Эрдеша — Реньи на данный момент является самой изученной моделью случайных графов. Но модель Эрдеша — Реньи невоспроизводитосновныхсвойствсети Интернет. Так, например,распределение вершингра-фа по степени связности подчиняется не степенному закону, а законуПуассона — долявершин рк

Унен-ает-я, что раьпнкденздкл стсзсней впуе шин графа Эрдеша —Реньи спадает очень быстро: Як ос 1/ Ы! .

Более реалистичной выглядит модель сети Интернет, представляемая спомощью случайных графов Уотса — Строгатца. Эта модель воспроизводит первоеэмпирическоесвойство сети Интернет — ее малый диаметр (эффект«тесного мира»).

Алгоритм формирования графов Уотса —Стро-гатца следующий.

1. По кругу располагаются п вершин строяще-госяграфа.

2. Каждая вершина соединяется со всеми вершинами, находящимисянарасстояниине более чем к вершин. В результате формируется граф, содержащий п вершини пк ребер.

3. Один из концов каждого ребра полученного «регулярного»графас некоторойвероятностью р переадресовывается на случайную вершину так, чтобы параллельные ребра в графе не образовывались и не возникали замкнутые петли.

Процесс генерацииграфа Уотса — Строгатца по-казанна рис. 1. Сначаластроитсярегулярный граф (рис. 1а) — в данном примере выполнено соединение каждой вершины графа со всеми вершинами, удаленнымина расстояниенеболеечемдвеверши-ны отданной. Далее случайным образомпереадре-суется ребро графа(рис. 1б).

Большойкласс графовых моделейдля сетиИн-тернет может быть построен на основе случайно-гографаБарабаши — Альберт.Восновупостроения графа Барабаши — Альберт положен принцип пред-почтительрого связуюанит, Граф выращиваете- из графа-затравки(например,3вершины,попарно соединенные теИрамн) по следующему прнннипу: мн каждом шаге наращивания графа последовательно генеии°уедса яеушина, еоспртя фиксирюващ-ным числом ребер т > 1 соединяется суже существующими вершинами. Выбор вершин для при-соединеипн -елнасанитип сиаилНяош образам — вероятность присоединения ребра, исходящего из вновь созданноН всдио-нь- к г-а уже оищеатвизо-щей вершине пропорциональна степени к этой вершины:

Р(к) =

к

2А

] =1.....N,

где N — текущеечисловершин вграфе.

а) первоначальный «регулярный» граф б) случайная переадресация ребра

Рис.1.Процессгенерации графа Уотса—Строгатца

рн

а

12 34 5 6 78 9 10 И 12

I_,_I 1_,_> I—,_) I_,_I 1—(—J I—1—I

а, »Ч

Рис.2.Преобразованиеграфов вметоде Боллобаса—Риордана

Иными словами, чем больше вершина имеет сня-зей, тем больше вероятность ее выбора для присоединения к ней нлвьй вершоны. Стационерлая ле-роятность всго, нто стульйно аыЛранная волши-на графа Барабаши-Альберт имеет степень связности к, определена в рпОпяао 13. Н. Зяяорпжного и Е. Б. Юдина [4, 5]:

Ок =

2т(т +1) к(к +1)() + 2)'

к>т.

шинеосуществляется с хеноятностью

сСед V

На втором шаге построения графа зафиксируем натуральное число т > 2. Выберем найденный на первом этапе граф С^. Сб неголгт вершин лтп ребер. Преобразуем этот граф в граф Стп. Для гая-го разобьем последовательность вершин исходного графа на п групп по т вершин:

{1,..., т},{т +1, ...,2т}, ..., {т(п-1) + С ...,тп}.

Объявляем каждую такую группу вершиной графа v1, v2, ... V , и соединяем ребрами по правилу: для каждойвершины V. образрется столако петель, сколько было ребер внутри лтоя галчшы воршрн первоначальногографа; сохраняются ребра, связывающие вершину V. с другимивepшинaмие,.

Процесс преобразования графа (Л.В з ер^г^сП) йЬ/ представлен на рис. 2 [1].

Полученная модель имеет дялмео°, п]таевлческв

достоверно определяемый дробью

1п п

[1]. Пред-

Модель Б арабаши —Няль Серт, ттяим обаовом, имеет степенной закон распределения степеней связности:

Р--?т

где с — некотрсря нонсаанто, я распреасланае стз-пеней отличается от эмпиаилеского, еу— насорого степень равна 2,3.

Идея предпоетиттонногл сыатываояе осапатпте достаточно плодотволегой, та соооилясь весоолько модификаций этоймодели.Однойизчастоупоми-наемых моделтй яатяелпь оодепа Бенсс Ыазв ее Риор-дана.

Принцип поспроетия стой вгодесш слеруюыцип. Первоначальнн лты-литты плслтровательеосте слн-чайных графов й", л = 1, С, 3, ,и гг ттие гряфое будет по п вершин и п ребер. Предположим, граф Сп-1 с п > 2 уже носероеа. Обозыечим его тн]язпины 1, ..., п — 1, ребер у него, как и вершин, п-1. Граф С1п получается пугтов 1оо0с^1!лозяя к графу РО^м ер-ной вершины с «именам» тт го ооноге р,еГ>сз^. Эео пе-бро будет образовысатьпеолюв ттршоне с«име-нем» з,;зрео будет нссравлнео слычойным oбптсoм из вершины п в какую-то соршину из множества вершен ° а,— 1 }.Прл вы бесо осн-вравлания присездиненио применрсасс прсеило предпочтительшсгт) евязыесниа: ссылпе из ве—шсноп п на саму себя (петля) осуществляется с вероятностью _1_, а я.исоедрненео а любой другой вор-

2п -1

1п 1п п

ставляя современный Интернетэтой моделью, получаем диаметр, равный 6, и первое свойство Интернета, таким образом, предзтавлоно в модели. Второесвойство,разреженностьграфа, такжепри-сутствует — число ребер в ттчносоы та-со поз, г}в п — число вершин графа. Распределение степеней

вершин не дает точного ыствзетзтвияэяррыРчв"

б

ским даноаш, еотя и есасыавртсм ст(-п]-нным: йС (должно быть 2,3).

ЕщеОтчее ■-■очным прибпожением модели к ас-пирическим наблюдениям является модель Бак-ли — Оепсуса, в которой, яак ы в модеаи Всысобо-са —Риордана, по индукции строится система графов. е-риыырмается I! рессмоалэетто !в^(^йте, которое нолв-воротв нечаларой прыснсаееаьностью всрштс ны и которое дает дополнительный вклад в веро-аснеать пртсбодинснис тювой пе.шины р опнеп пз оyщтбраббощиx непееоссмо от] степени вершины. Принцип формирования ссратСеых арафевсстсео-ся прежним,как у БаепяОаса и Риордана. На шаге я гынеаиррррсо -аршина и то правилу предпочтительного отозыаания еллооеным оОы>соая эта гюр-шина соединяетсялибоссамой собой, либо снаи-босес поислекптельнаП вс—штной. Правило пред-пияпитее-сного ооозасваоип е этом случаевыглядит следующим образом:

— образование петли происходит с вероятностью -е-;

Ы + 1)п -1

— связывание с другим— вершинами зоортхо-

дит с звтеятнлвтчю + а - 1 ,вероятность возрас-]а + Ы)п-0

тает с увеличением степени связности вершины, реализуяправило предпочтитевьнего аыеоывтния.

На второй стадии поетротгия граЗ-св персона-чальный граф Нпа 1 (аналог Сп в модели Боллобаса — Риордана) преобразовыватссы в ^]э-1ф> Н ]3] п в мо-делиБоллобаса — Риордана).Врезультате распреде-

б

7+ а '

ление степеней вершин подчпбтесос закошу

2п -1

где degv — степень евхенпееи засйвосшнны.

При таком правиле предпочтительного связывания сумма вероятностет pтаыюeдиимрe и п-ыстс-единение новой вершины к одоойю сущеетвую-щих происходит с ырpтятнасезю, пкппарцятналр-нойстепени связн—зти

Если положить а = 0,3, то получим выполнение и третьего эмпирическогосвойства Интернета.

Реалистичность случайныхграфов идругие модели. Наиболеереалистичными моделями сети Интернет, видимо, являются модели на основе принципа предпочтительного связывания. Они,как было показано, могут в точности реализовывать основные эмпирические свойства Интернета. Однако можно отметить и существенные недостатки рас-

Рис. 3. Схема генерации графа социальной сети

смотренных принципов генерации, не учитывающие другие реалии современных сетей, а именно:

1. Модели не позволяют вносить изменения после того, как их структура сформирована — они постоянно растут, но в реальных сетях ребра и вершины могут исчезать и появляться уже после того, как они были добавлены. Есть отдельные случаи, когда на правительственном или административном уровне закрываются сайты с запрещенным содержанием, либо с нежелательным для правительства контентом. Например: борьба правительства Турции с Twitter в 2014 году, закрытие сайтов с пиратским контентом в России. Есть случаи реорганизации сайтов в связи с соответствующей перестройкой компании, владеющей этим сайтом. Пример — поглощение крупной компанией ряда других, более мелких компаний. Все реструктуризации крупнейших компаний страны, активно ведущих поглощение более мелких компаний, и постоянная оптимизация их структуры ведут к трансформации топологии сети. Есть сл^аи закрытия сайтов в связис прекращением деятельности соответствующей организации. Например, сайт интернет-магазина перестает работать, когда владелец магазина принимает решение свернуть бизнес.

2. В реальной сети могут наблюдаться случаи, когда новая WEB-страница с актуальной информацией получает значительно больше ссылок, чем давно существующая с большим количеством связей (более выгодная для присоединения по принципу «предпочтительного связывания»); если рассматривать, например, сеть научного цитирования, то новый автор может с большей вероятностью ссылаться на последние появившиеся в печати статьи, чем на давно и хорошо известные с большой частотой цитирования.

Названные примеры свидетельствуют о том, что предпосылки бесконечного роста сети не являются бесспорно верными. Опираясь на ряд литературных источников [6, 7], можно сформулировать принципы формирования случайных графов, отличные от представленных выше, однако не нашедшие пока широкого обсуждения в литературных источниках.

В своей работе Jin—Girvan—Newman предложили модель роста социальной сети, являющейся частью сети Интернет [7]. В такой сети участники сети представляются вершинами графа, а связи, устанавливающиеся между ними, являются ребрами графа. Получаемый граф является случайным графом, непрерывно растущим, однако периодически меняю-

Рис. 4. Пример генерации графа социальной сети по принципам, предложенным Лп—агуап—Ыештап

щим свою структуру. Рассмотрим базовые принципы формирования такого графа:

1. Два участника сети (две вершины графа), изначально не связанные друг с другом, но одновременно имеющие связь к какой-либо третьей вершиной сети (общий знакомый), имеют большую вероятность контакта друг с другом (образование ребра графа),чем с каким-либо другим участником сети, не имеющим общих знакомых в сети.

2. Для степени связности вершины в сети есть верхнее ограничение. Предполагается, что участник сети (человек) может поддерживать с другими людьми лишь ограниченное количество контактов, его ограниченные физические возможности не позволяют бесконечно увеличивать количество друзей.

3. «Сила связи» между вершинами со временем ослабевает, вплоть до полного исчезновения соответствующего этой связи ребра графа. Такой подход моделирует соответствующее свойство общечеловеческих взаимоотношений — если люди, даже хорошо знакомые изначально, долго не встречаются, то контакт между ними теряется.

Три сформулированных принципа генерации приводят к созданию случайного графа, имитирующего развитие социальной сети. Граф со временем перестраивается и постоянно меняет свою структуру.

Принцип случайности, предпочтительности и ограниченности степени связности вершин схематично представлен на рис. 3.

При генерации нового случайного ребра, исходящего из вершины 1, пунктирными линиями показаны некоторые из возможных связей этой вершины. Наиболее предпочтительной для присоединения оказывается вершина 2, так как 1 и 2 вершины одновременно связаны с вершиной 4 («общий знакомый»). Связь с остальными вершинами графа 3—10 менее предпочтительна. Если полагать, что максимальное число связей у одной вершины не пре-

вышает 5, то показанная штрихпунктирной линией связь 1—6 оказывается невозможной до тех пор, пока со временем не распадется какая-либо из пяти существующих связей вершины 6.

Предложенный принцип генерации случайного графа, как показывают исследования [7], действительно позволяет генерировать графы, имитирующие свойства социальных сетей с высокой степенью кластеризации и образованием некоторых изолированных сообществ. Пример графа, сгенерированного по предложенным принципам, представлен на рис. 4 [7].

Заключение. На наш взгляд, в теории моделирования больших сетей типа Интернет, сложился основной путь моделирования этих сетей — применение случайных графов предпочтительного связывания. Предлагаются все более детальные, сложные методы генерации графов предпочтительного связывания. Эти методы позволяют максимально точно отразить базовые свойства Интернета (малый диаметр, большая разреженность, степенной закон распределения связности вершин), полученные эмпирическим путем в 1999 году. Однако с момента получения этих данных прошло более 10 лет, и, возможно, свойства Интернета каким-то образом изменились.

Новым феноменом последних лет развития Интернета стало формирование социальных сетей, обладающих высокой степенью кластеризации с ярко выраженными группами и сообществами внутри сети. Именно для таких сетей существуют принципы генерации графов-моделей, отличные от принципа предпочтительного связывания. Один из таких принципов, достаточно реалистичных и требующих дальнейших исследований, представлен в настоящей статье.

Библиографический список

1. Райгородский, А. М. Математические модели Интернета [Текст] / А. М. Райгородский // Квант. — 2012. — № 4. — С. 12-16.

2. Райгородский, А. М. Модели случайных графов и их применения [Текст] / А. М. Райгородский // Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2. № 4. — С. 130-140.

3. Евин, И. А. Введение в теорию сложных сетей [Текст] / И. А. Евин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2010. — Т. 2, № 2. — С. 121-141.

4. Задорожный, В. Н. Структурные свойства безмасштабного графа Барабаши-Альберт [Текст] / В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 4. —

C. 131-150.

5. Задорожный, В. Н. Точная теория графа Барабаши-Альберт [Текст] / В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. — 2009. — № 3 (83). — С. 13-18.

6. Boccaletti S., Latora V., Moreno Y., Chavez M., Hwang

D.-U. Complex networks: Structure and dynamics // Physics Report. — 2006. — Vol. 424, N. 4-5. — P. 175-308.

7. Jin E.M., Girvan M., Newman M.E.J. The structure of growing social networks [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.santafe.edu/media/workingpapers/01-06-032. pdf. (дата обращения: 17.07.2014).

БАДРЫЗЛОВ Владимир Александрович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки v_bad@mail.ru

Статья поступила в редакцию 02.09.2014 г. © В. А. Бадрызлов

Кижная полка

004/З-12

Забуга, А. А. Теоретические основы информатики : учеб. пособие для бакалавров и специалистов вузов по дисциплине «Информатика»/ А. А. Забуга. — СПб. : Питер, 2014. — 205 c. — ISBN 978-5-496-00744-3.

В издании рассматриваются такие разделы классической математики, как комбинаторика, теория вероятностей, математическая логика, дискретная математика, а также ряд технических вопросов реализации информационных систем, ставших предпосылками к появлению информатики как отдельной самостоятельной дисциплины. Приводятся основная терминология, цели и задачи изучения дисциплины, задачи и упражнения для контроля знаний студентов, вопросы для самопроверки. Допущено Научно-методическим советом по информатике при Министерстве образования и науки РФ в качестве учебного пособия по дисциплине «Информатика» для студентов высших учебных заведений.

004.4/М21

Малявко, А. А. Формальные языки и компиляторы : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. 230100 «Информатика и вычислительная техника» / А. А. Малявко. — Новосибирск : НГТУ, 2014. — 429 c. — ISBN 978-5-7782-2318-9.

Изложены теоретические основы аппарата определения лексики (регулярные выражения) и синтаксиса (формальные грамматики) языков программирования, элементы теории конечных автоматов без памяти и методы ее практического применения для автоматизированного преобразования системы регулярных выражений в конечный автомат - лексический анализатор. Изучаются нисходящие и восходящие методы синтаксического анализа, основанные на преобразовании формальных грамматик в конечные автоматы с магазинной памятью. Рассматриваются различные способы решения задачи нейтрализации синтаксических ошибок. Изучаются наиболее типичные задачи, решаемые на этапе семантического анализа: организация памяти программы, доступ к локальным и нелокальным данным, контроль типов. Обсуждаются основные задачи генератора кода, такие как управление памятью, выбор инструкций, распределение регистров и порядок вычислений; рассматриваются методы оптимизации кода. Приводится описание учебного программного обеспечения и методические указания по выполнению лабораторных работ и курсового проектирования. Учебник рекомендуется студентам старших курсов и аспирантов, а также преподавателям смежных дисциплин, а также студентам и аспирантам ряда других технических специальностей, связанных с разработкой и использованием программного обеспечения.