Научная статья на тему 'Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей'

Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
289
57
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
РАСТУЩИЕ СЕТИ / СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ / СТАЦИОНАРНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ / GROWING NETWORKS / RANDOM GRAPHS / STATIONARY AND TRANSIENT RANDOM PROCESSES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Задорожный Владимир Николаевич, Бадрызлов Владимир Александрович

Рассматриваются модели развития растущих сетей, в том числе виртуальных социальных сетей, основанные на графах Барабаши-Альберт и графах с нелинейным правилом предпочтительного связывания. Исследуются процессы роста степени связности узлов с учетом моментов вхождения этих узлов в сеть. Предлагается модификация рассматриваемого класса моделей, позволяющая учесть процессы естественной и регулируемой убыли узлов и связей сети.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Research of dynamics of growth of connectivity degree of nodes of the random graphs in models of virtual networks

The models of growing networks, including virtual social networks based on graphs Barabashi-Albert and graphs with the nonlinear rule preferable binding are considered. The processes of growth of connectivity degree of nodes taking into account the moments of entry of these nodes into a network are investigated. The modification of this class of models considers processes of natural and adjustable losses of nodes and links in network is offered.

Текст научной работы на тему «Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

>

УДК 5192:004.421.5:004 7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

В. А. БАДРЫЗЛОВ

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ РОСТА СТЕПЕНИ СВЯЗНОСТИ ВЕРШИН СЛУЧАЙНОГО ГРАФА В МОДЕЛЯХ ВИРТУАЛЬНЫХ СЕТЕЙ

Рассматриваются модели развития растущих сетей, в том числе виртуальных социальных сетей, основанные на графах Барабаши—Альберт и графах с нелинейным правилом предпочтительного связывания. Исследуются процессы роста степени связности узлов с учетом моментов вхождения этих узлов в сеть. Предлагается модификация рассматриваемого класса моделей, позволяющая учесть процессы естественной и регулируемой убыли узлов и связей сети.

Ключевые слова: растущие сети, случайные графы, стационарные и переходные случайные процессы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-00149-а.

Введение. Для моделирования виртуальных се- ного связывания (НППС) [3 — 6]. Основным досто-

тей, создаваемых в Интернете, транспортных и ин- инством таких графов является их адекватность,

формационно-телекоммуникационных сетей при- обеспечиваемая механизмом их выращивания,

меняются большие случайные графы, состоящие сходным с механизмом роста моделируемых се-

из миллионов вершин и дуг, в частности, графы тей и принципиально отличающимся от способов

с линейным правилом предпочтительного связыва- генерации других случайных графов, в том числе

ния [1, 2], предложенные А. Барабаши и Р. Альберт, от классических случайных графов Эрдеша — Реньи

и графы с нелинейным правилом предпочтитель- [7]. Адекватность используемых графовых моделей

является одним из наиболее актуальных направлений исследования больших сетей [8]. Вместе с тем до настоящего времени недостаточно изученным остается весьма важный в плане адекватности моделей вопрос — вопрос темпов эволюции вовлекаемых в сеть узлов. Например, в графе Барабаши — Альберт (графе БА), как показывает моделирование, наиболее высокосвязными, а значит, и наиболее привлекательными для присоединения к ним новых связей, оказываются, как правило, те вершины, которые входят в граф-затравку [9]. Если интерпретировать это явление в терминах моделируемой социальной сети, то получается, что те участники сети, которые раньше всех к ней подключились, набирают в последующем наибольшее количество связей, образуя высокосвязный компонент сети. Участники же, подключающиеся к сети позднее, имеют очень мало шансов стать ее «лидерами» по числу установленных связей, а значит, и не смогут оказывать какого-либо существенного влияния на сеть. Это приводит к предположению, что темпы эволюции вершин, добавляемых в граф БА на разных стадиях его развития, не соответствуют темпам эволюции соответствующих узлов социальной сети, в которой в любой момент времени могут появляться участники, способные занимать лидирующие позиции и создавать новые «центры притяжения».

В связи со сказанным в настоящей статье исследуются темпы эволюции вершин в графах предпочтительного связывания (т.е. в графах БА и графах с НППС) и предлагаются возможности для модификации моделей этого класса, позволяющие улучшить соответствие моделей реальным сетям за счет учета процессов естественной и регулируемой убыли узлов и связей сети.

1. Принципы генерации графов предпочтительного связывания и темпы роста степени связности вершин. Граф БА выращивается из какого-нибудь небольшого графа (затравки) путем добавления к нему в каждый из моментов времени t = 1, 2, ... новой вершины с m = const инцидентными ей ребрами [1]. Вершину с пучком инцидентных ей ребер, добавляемую к графу, называют приращением графа или просто приращением [4]. При выращивании графа БА свободные концы ребер приращения связываются со случайно выбираемыми вершинами графа. Вероятность p того, что ребро приращения свяжется с некоторой вершиной i, пропорциональна ее локальной степени связности k.:

p. = k. /Ъ. k.

(1)

Qk =

быстрее, чем степень вершин, присоединяемых позднее. Очевидно, это явление обусловлено самим правилом предпочтительного связывания (1), называемым также правилом «богатые становятся богаче». Ниже будут получены математические соотношения, описывающие рост степени произвольной вершины с учетом времени ее присоединения к графу и параметров затравки.

По аналогии с графом БА в [3] предложена более общая модель растущих сетей — графы с НППС. При выращивании графа с НППС используется весовая функция (функция предпочтения, вес) f = f(k), определенная для целых k в промежутке g < k < M, (g > 1, M < В наборе весов {f(g),

f(g+1).....f(M)} = {fg, fg+i.....fM_) = {f} все fk > 0 и хотя

бы один положителен. Вероятность pi того, что для связывания свободного конца ребра приращение выберет вершину i, определяется в виде

pt = f(k)iL. f(k ).

(3)

Поэтому вершины, у которых больше ребер, с большей вероятностью обогащаются новыми ребрами. При I ^ вырастает бесконечный граф БА с распределением степени связности (РСС) вершин [1-6]

2 т( т +1)

к(к +1)(к + 2)' к = т'т + 1-" (2)

где 0к — вероятность того, что случайно выбранная вершина имеет степень связности к. Из (2) следует, что 0к ~ 2т(т + 1)к-3, и при к ^ ~ 0к ~ к-3, т.е. РСС вершин графа БА является асимптотически-степенным (безмасштабным). По построению графа средняя степень связности его вершин М(к) = 2т.

В компьютерных экспериментах с графом БА обнаруживается, что степень связности вершин, которые входят в затравку или присоединяются на первых шагах времени, растет значительно

Кроме того, у графов с НППС приращения в общем случае являются стохастическими, т.е. каждое приращение представляет собой вершину со случайным числом x инцидентных ей ребер. Случайная величина (с.в.) x имеет дискретное распределение вероятностей {rk}, где вероятность rk = P {x = = k} > 0 при g < k < h, (g > 1, h < M), rg + ... + rh = 1. Среднее число ребер в приращении m = M(x) = = Zkrk < Таким образом, алгоритм генерации (генератор) графа с НППС задается параметрами f и {rk}. При x = m = g стохастическое приращение вырождается в фиксированное, т.е. все приращения имеют одно и то же число m = g ребер. Если при этом f(k) = k, то граф с НППС вырождается в граф БА.

Методы анализа графов с НПСС при любых f и {rk} разработаны в [3]. Здесь же разработаны методы решения задачи синтеза, позволяющие по известному РСС узлов моделируемой сети найти параметры f и {rk} генератора, выращивающего граф с таким же РСС.

У графов с НППС зависимость степени вершин от времени имеет более разнообразный характер, чем у графов БА. Например, если мы выберем функцию предпочтения f(k) = 1/k («бедные становятся богаче»), то «молодые» вершины, еще не нарастившие свою степень, будут с большей вероятностью выбираться приращениями для связывания, чем «старые», и темпы роста у «молодых» вершин будут, соответственно, выше. В качестве другого примера для характеристики разнообразия графов с НППС можно привести псевдорешетки [3] — графы, в которых степени вершин с вероятностью 1 равны 2m, т.е. одинаковы (несмотря на то, что эти графы выращиваются стохастическими приращениями и ребра между их вершинами распределяются хаотически). При выращивании псевдорешеток степени присоединяемых вершин быстро «подрастают» до 2m и далее не изменяются.

2. Динамика роста степеней при линейной функции предпочтения f(k) = k. Рассмотрим случай выращивания графа при использовании линейной функции предпочтения

f(k) = k

(4)

и случайных приращений, у которых среднее число ребер М(х) = т.

Обозначим через N(1) = N Я^) = и к^) = =к, число вершин в графе, число ребер в графе

и степень выделенной вершины (ВВ) на шаге г

(г = 0, 1, 2, ...).

Пусть на шаге г >> 0 математическое ожидание (м.о.) степени ВВ к, равно к(. Найдем асимптотическое при г ^ ~ выражение для м.о. км степени ВВ на следующем шаге г + 1.

На шаге г + 1 к графу добавляется приращение, содержащее одну вершину и х++1 = х ребер. В соответствии с (3) и (4) первое ребро приращения связывается с ВВ с вероятностью р = к/Б, где б, = 2Я( — сумма степеней связности всех вершин на шаге г. Следовательно, в среднем первое ребро повышает степень ВВ на величину р1 + (1 — р)0 = р = к/Б.. Такое же среднее повышение степени ВВ дается каждым следующим ребром приращения (вероятностью того, что присоединится два или более ребер одного приращения, при больших г можно пренебречь). Таким образом, в сумме при фиксированных х, к{ и б, среднее повышение степени ВВ всеми ребрами приращения графа составляет

1п(к+1) - 1п(к) = 1п|1 +

и введем обозначение 1п(к() = ¡1. Тогда, поскольку при е^0 1п(1+е)^е, последнее полученное соотношение дает нам уравнение в конечных разностях:

(8)

От уравнения (8) можно перейти к соответствующему дифференциальному уравнению (д.у.) и решить его аналитически. Действительно, при больших г функция ¡, изменяются медленно. Поэтому в непрерывном времени г разность 1 — ¡, можно рассматривать как дифференциал ¿¡, а разность (г + 1) — г = 1 — как М и переписать уравнение (8) в виде аппроксимирующего его д.у.

т

dt Бп + 2mt

(9)

А ~ хр = хк/Б..

(5)

Переходя от этого условного среднего к безусловному и принимая во внимание независимость с.в. х, имеем:

Это д.у. решается следующим образом:

1 = I"-т-dt = 11оТ ^ + 2^ + С,

' 1 Бп + 2mt 2 Iт I

М(Д) ~ м

хк

= М(х)М

Л

= шМ

А

(6)

тк,

к,+1 = к, + М(Д) = к, +

Ш + -

тк,

^ = 1 + -

к, .

или, иначе, в виде

В выражении кг/Бг с.в. кг и Бг априори ненезависимы. Заметим, однако, что с.в. б, представляет собой сумму константы Б0 и большого числа г независимых одинаково распределенных с.в.:

1п(к,) = ¿1пГ^ + 2í |+ С,, 2 V т

к, = С\ -2- + 2 I2, где С = ес' .

б, = Б0 + 2х1 + ... + 2х,

с одинаковыми м.о. 2т и дисперсиями Б(2х.) = Б(2х) = = 4о2 и, таким образом, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, сходится по распределению к нормальной с.в. со средним Б0 + 2т и среднеквадратичным отклонением

Б, е + 2tm,2^^/í).

Нетрудно показать, что с ростом г с.в. 1/Б( сходится по вероятности к константе 1/М(Б() = = 1/(Б0 + 2гт). Учитывая это, из (6) получаем

(10)

Константу С определим из начальных условий. Полагая в (10) г = 0 и к1 = к0 = к0, находим, что С = к I т |2 . Подставив это выражение константы

С в (10) и учитывая, что Б0 = 2Я0, получаем следующее асимптотическое решение задачи об изменении степени ВВ в процессе выращивания графа:

к,

кМ + ^\2

(11)

М(Д) ~ тМ

и находим искомое асимптотическое выражение для средней степени ВВ на шаге г + 1:

(7)

Используя это асимптотическое рекурсивное решение при заданных т, к0 = к0 и Б0, можно приближенно определить средние значения к степени ВВ к, на любом шаге г выращивания графа. _ Перепишем соотношение (7) в виде т

При больших г отсюда получаем приближение к1 х а-Л, где а = ^т / Л0 .

Очевидно, при целом т решение (11) описывает динамику роста степени ВВ и в соответствующем графе БА, все приращения которого имеют одно и то же фиксированное число ребер т.

3. Проверка точности полученного решения. Разобьем проверку точности решения (11) на две части.

Вначале рассмотрим, насколько это аналитическое решение д.у. (9), аппроксимирующего рекуррентное соотношение (7), отличается от решений самого соотношения (7), которые мы можем получать в численном виде.

На рис. 1 кривая 1 (сплошная линия) — это непрерывная аппроксимация процесса кг, описываемая формулой (11), а круглыми маркерами представлен аппроксимируемый дискретный процесс, определяемый рекуррентным соотношением (7). Рассматриваемый граф С1 при г = 0 имеет Я0 = 40 ребер, степень ВВ к0 = 4 и средняя степень стохастического приращения т = 10. Как видно из рис. 1, решение (11) хорошо аппроксимирует решение

т

Б0 + 2тг

т

I,+1 - I =

Ь' + 2т,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

к

т

к

S

^ + 2mt

т

Ь0 + 2т,

Рис. 1. Математическое ожидание к1 процессов к роста степени ВВ в графе с линейным предпочтением {(к) = к и стохастическими приращениями

Рис. 2. Относительное отклонение (к1 — к) /к1 100% типичной имитационной реализации процесса к( в графе в2 от непрерывного решения (11)

уравнения (7). Относительная погрешность аппроксимации с ростом t растет и стабилизируется на уровне 3 %. В общем случае, чем больше ребер имеется в графе при t = 0, тем меньше погрешность аппроксимации (11).

Кривая (2) на рис. 1 представляет м.о. процесса роста новой ВВ, взятой в этом же графе G1 на шаге 100. Состояние графа G1 на шаге 100 принято за начальное состояние нового графа G2. Число ребер в графе G1, на шаге 100 в среднем равное 1040, принято за число ребер R0 графа G2. Начальная степень k0 новой ВВ в графе G2 вновь взята равной 4. Различие между непрерывной аппроксимацией (11) и дискретным решением (7) для графа G2 стабилизируется уже на уровне 0,116 %, поэтому дискретное решение (7) визуально не отличается от непрерывного (11) и на рис. 1 не показано.

Аналогично по той же причине на рис. 1 показано только непрерывное решение для еще одной ВВ в графе G2, начальная степень которой k0 = 20 (кривая 3). Более высокая точность непрерывной аппроксимации обусловлена в случае графа G2 достаточно большим числом ребер R0 = 1040 в начальном состоянии графа (т.е. более медленным изменением степени ВВ).

Вторая часть проверки точности решения (11) состоит в его сравнении с имитационными решениями, в которых приращения А степени kt определяются непосредственно по формуле (5), т.е. путем генерации с.в. x на каждом шаге времени. Сравнение показывает, что отклонения типичных имитационных реализаций процесса kt от решения (11) тоже достаточно невелики. Так, для рассмотренного выше графа G1 эти отличия находятся в пределах 10 %, а для графа G2 — в пределах 2 %. На рис. 2 показано отклонение типичного имитационного решения k от непрерывной аппроксимации (11).

4. Направления развития графовых моделей для исследования социальных сетей. Непосредственные имитационные эксперименты с выращиванием графов с линейной функцией предпочтения и стохастическим числом ребер в приращении подтверждают сделанные теоретические выкладки. При выращивании графов проводились наблюдения за ростом степени связности ВВ на длительном отрезке времени и выполнялся поиск аппроксимирующей функции k(t). Для ВВ, изначально входящей

в граф-затравку, функция имеет вид к( = 2,614^495 с коэффициентом достоверности аппроксимации 0,999 (как показано выше, к « а^Ц).

Дальнейшим направлением исследований динамики роста вершин случайного графа является поиск решений и формул, аналогичных (5), (7), (11) для графов с НППС, а также поиск закономерностей динамики роста вершины, вводимой в граф в произвольный момент времени с высокой степенью связности, сопоставимой со степенью связности ведущих вершин графа.

Учет фактора времени и отслеживание динамики роста вершин в графовых моделях позволит придать дополнительную реалистичность моделям социальных сетей. В частности, актуальным становится решение следующих задач:

1. Удаление пассивных участников. Учет динамики степеней вершин графа позволяет идентифицировать медленно развивающиеся вершины сети и по какому-либо критерию удалять такие вершины из графа, моделируя выбытие из социальной сети пассивных участников.

2. Добавление новых лидеров. Включение в граф на каком-либо шаге вершины с большой степенью связности имитирует появление в сети нового активного участника, более привлекательного, чем «старые» лидеры.

Знание динамики роста такой вершины позволяет прогнозировать ее развитие.

Учет фактора времени ведет к тому, что генерируемый случайный граф будет постоянно менять структуру, из которой должны периодически выпадать «слабые» вершины вместе со всеми своими связями и появляться новые лидеры, а это будет отличать такой граф от стандартных графов Бараба-ши — Альберт и графов с НППС, применяемых для моделирования сетевых структур.

Заключение. Динамика роста степени вершин случайного графа различна для вершин, включенных в граф в разные моменты времени. В статье получено реккурентное соотношение для определения степени вершины на каждом шаге времени и получено асимптотическое решение задачи об изменении степени ВВ в процессе выращивания графа. Достигнутые результаты позволяют говорить об учете фактора времени при генерации модели и открывают новые возможности для генерации графов, более адекватных реальным сетям.

Библиографический список

1. Barabasi, A.-L. Albert, R. Emergence of scaling in random networks // Science. - 1999. - V. 286. - P. 509-512.

2. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / А. В. Гасников [и др.] ; под ред. А. В. Гасникова. -М. : МФТИ, 2010. - 362 с.

3. Задорожный, В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный // Проблемы управления. - 2011. - № 6. - С. 2-11.

4. Zadorozhnyi, V., Yudin, E. Growing Network: Nonlinear Extension of the Barabasi-Albert Model // Communications in Computer and Information Science. - 2014. - V. 487. -P. 432-439.

5. Юдин, Е. Б. Моделирование устойчивости Интернет в условиях распространении вирусов и случайных отказов элементов сети / Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2010. - № 1 (87). -С. 190-194.

6. Юдин, Е. Б. Генерация случайных графов предпочтительного связывания /Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2010. -№ 2 (90). - С. 188-192.

7. Erdos, P., Renyi, A. On random graphs I // Publ. Math. Debrecen. - 1959. - V. 6. - P. 290-297.

8. Clauset, A., Shalizi C. R., Newman M. J. Power-law distributions in empirical data // SIAM Rev. - 2009. - V. 51. -P. 661-703.

9. Krapivsky, P. L., Redner, S. Organization of growing random networks [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://physics.bu.edu/~redner/pubs/pdf/organization.pdf (дата обращения: 16.12.2014).

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: e-mail zwn@yandex.ru БАДРЫЗЛОВ Владимир Александрович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: e-mail v_bad@mail.ru

Статья поступила в редакцию 17.12.2014 г. © В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов

УДК 519.6: 623.437.442 В. Н. ТАРАСОВ

И. В. БОЯРКИНА В. В. ДЕГТЯРЬ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

Омский автобронетанковый инженерный институт

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГРУЗОПОДЪЕМНОСТИ ПНЕВМОКОЛЕС

Выполнен анализ математических моделей грузоподъемности пневмоколес, выявлены их особенности и практические возможности.

Ключевые слова: математическое моделирование, пневмоколесо, коэффициент жесткости, протектор, каркас, деформация.

Колеса с пневматическими шинами получили широкое применение на автомобилях, тракторах и других наземных транспортных средствах. Основными достоинствами пневмоколесного ходового механизма являются малое сопротивление качению и, следовательно, малая мощность, потребляемая при передвижении транспортного средства; способность гашения вертикальных колебаний, а также простота конструкции и надежность эксплуатации. Изучению свойств и характеристик пневмошин посвящены работы [1—4].

Важнейшим параметром пневмоколеса является грузоподъемность, под которой понимается такая величина вертикальной нагрузки на оси колеса, при которой обеспечивается оптимальный срок службы и рациональное использование шины при заданной скорости движения с учетом эксплуатационных расходов. Превышение допустимой грузоподъемности приводит к чрезмерной деформации шины, увеличению работы внутренних сил трения в шине

и возрастанию напряжения в нитях корда. Эти факторы способствуют быстрому износу шин. Занижение грузоподъемности шины также нежелательно, т.к. связано с ростом размеров шин и удорожанием их стоимости.

Грузоподъемность является главным параметром пневмоколеса, однако достаточно надежных аналитических методов расчета грузоподъемности шин в настоящее время нет. На практике грузоподъемность шин определяют опытным путем при е помощи различных эмпирических и полуэмпириче- К ских формул. М

Основным геометрическим параметром шины | (рис. 1) является радиус го свободной окружности е шины; ширина профиля В, высота профиля Н; диа- С метр посадочного диска й; ширина диска с; шири- ! на беговой дорожки протектора Ьпр, измеряемая | по дуге, и др. е

В США и других странах для определения вертикальной нагрузки С на оси колеса используют

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.