Прецессии неуравновешенного ротора в массивных нелинейно-упругих опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:531.36

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

ПРЕЦЕССИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА В МАССИВНЫХ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ОПОРАХ

П. П. Степанова

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, polinastepanova@ya.ru

Введение. Данная работа продолжает серию работ [1—3], посвящённых исследованию прецессионного движения неуравновешенного ротора на гибком невесомом валу в массивно-податливых опорах. Учёт масс опор носит практический интерес, так как опоры могут служить показателями вибрации ротора. Рассматриваемая модель была предложена В. А. Гробовым в [4], где был применён графический метод определения критических угловых скоростей. Используемые в данной работе методы были предложены И. А. Пасынковой в [5], где рассматривался жёсткий ротор с четырьмя степенями свободы. Случай линейно-упругих опор без учёта сил сопротивления был рассмотрен в [1]. Случай нелинейных характеристик упругости опор типа Дуффинга с учётом сил внешнего трения рассмотрен в [2] для цилиндрической прецессии и в [3] для гиперболоидальной и конической прецессий. В настоящей работе изучаются прецессии гиперболоидального, конического и цилиндрического типа для случая нелинейных характеристик упругости опор типа Герца, показывается влияние статической и динамической неуравновешенностей на динамические свойства опор. Стандартным линейным анализом исследована устойчивость данных режимов.

1°. Описание модели ротора и уравнения движения. Рассмотрим ротор с четырьмя степенями свободы, который представляет собой абсолютно твёрдое динамически симметричное тело, прикреплённое к упругому валу, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой тела. Линейно-упругий вал укреплён в упругих опорах с заданными характеристиками жёсткости и массами. Пусть ротор имеет массу М, а длина вала равна Ьг. Моменты инерции ротора равны ,1р (осевой) и ^ (трансверсальный). Дисбаланс ротора характеризуется тремя величинами: е — статический эксцентриситет, 6 — динамический эксцентриситет и е — фазовый сдвиг динамического эксцентриситета. Опоры, рассматриваемые как точечные массы М\ и М2, совпадают с точками Ql и —концами вала. Иллюстрация модели может быть найдена в [4].

Ротор установлен вертикально таким образом, что точка крепления твёрдого тела к валу Q находится на расстоянии е^ Ь, от у-й опоры (у = 1, 2), где Ь — расстояние между опорами. Если точка Q расположена снаружи от у-й опоры, то е^ < 0, так что всегда выполняется условие е\ + е2 = 1. Предполагаем, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш и перемещение ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало.

Введём следующие системы координат: Охух —инерциальная система координат с осью Ох, совпадающей с направлением оси вращения ротора в его неподвижном состоянии; система координат Q£nC, жёстко связанная с ротором и с осью QZ, направленной вдоль касательной к изогнутой оси вала. Система ротор — опоры имеет восемь степеней свободы. Обобщённые координаты можно выбрать следующим образом: (х, у) —декартовы координаты точки Q; (а, в) —углы, определяющие на© П. П. Степанова, 2012

правление оси ; (ж,, у,) —декартовы координаты точки Qj (_?' = 1, 2); (жо, уо) — декартовы координаты точки Qо, которая является проекцией точки Q на на линию опор QlQ2; углы (ао, во) определяют направление прямой QlQ2 и предполагаются малыми. Величины (жо, уо, ао, во) характеризуют перемещение ротора как твёрдого тела и могут быть вычислены как функции декартовых координат xj, у, точек Qj: жо = в2 Ж1 + в1 Х2, уо = в2 У1 + в1 У2, ао = (Х2 - Х1)/Ь, во = (У2 - У1)/Ь.

Удобно перейти к комплексным переменным: Б = ж+г у, Б, = ж, + г у, (7 = 0,1, 2); 7 = а + г в, 7о = ао + г во.

Опоры предполагаются изотропными и нелинейно-упругими. Нелинейные характеристики опор задаются формулой Герца: (|Б, |) = с, |Б,|3/2 (_?' = 1, 2), с, —вещественная положительная постоянная, характеризующая упругость опоры.

Будем предполагать, что на ротор и опоры действуют силы внешнего трения Ф:

Ф=|(^2+Ь272)+ Е (!)

где Де, Д, —коэффициенты сил трения, действующих на вал и опоры соответственно.

Составим уравнения Лагранжа II рода в комплексных переменных:

МБ + ДеБ + сц(Б - Бо) + С12(7 - 7о) = Ме^2 вхр(г^), - + ДеЬ27 + С12(Б - Бо) + С22(7 - 7о) = (Л - ^р)^2 ехр(г(^£ - е)),

МЛ + + с^Б^2 = (сце2 - ^) (Б - Б0) + (с12е2 - (7 - 7о), Ма^+Да^ + са^^а!1/2 = (с11е1 + (5 - 50) + {с12ех + (7-70),

(2)

(3)

где С = { с;т| (I, т = 1, 2) — матрица жёсткости упругого вала, закреплённого в жёстких подшипниках. Введём обозначения: Ж, = М,Б, + Д,Б, + Б,|Б, |1/2, ] = 1, 2. Уравнения (3) разрешим относительно (Б, 7):

Б = Е (е3-,Б + , = С11 + ^^ С*2 А ,= 1,2

, ' (4)

7= Е(-1)'(т + ^' = С221+с*2 ,= 1,2 ^ '

где С * = {с*т} — матрица податливости. Компоненты этой матрицы с*т зависят от способа крепления вала.

После подстановки (4) в уравнения (2) получим систему дифференциальных уравнений относительно Б1, Б2.

Введём безразмерное время т и безразмерные переменные в,: т = о>о в, = Б,/Л., где /1 — некоторая малая длина. Положим и;2 = с\ л/й/М.

Нелинейные характеристики упругости опор в безразмерном виде примут вид ,(в 1) = ^|3/2, V2 = 1, V2 = С2/С1.

Запишем дифференциальные уравнения в безразмерном виде:

¿2 а

Е + + Ме ^Г + о-ц Щ) +Щ) = (Ш2 ехр(гПт),

, = 1,2

л2 Л

Е + + (А^е (1 - А) - г АП) — + ЛГ,-) +

5 = 1,2 Т Т

+ ел к (1 - Л) N) = (1 - Л) Л2 П2 ехр(г(П т - е)). Здесь:

, _ ¿р_ , _ МЬ2 _ Ме _ Дз

Л' Л(1-А)' Мшо'

2 ш Мл е Ь6 (6)

«Ту = Ху М с^о, Оу = Ьм " = -1 "Ъ' = -¡ТТ> "1 = Т' ®2 = -р, ^

Шо М п п

2

Мл = тле.,- + Мл¿л + ^ ^ 1 ¿л, у = 1, 2.

2°. Прецессионное движение. Уравнения (5) допускают точное решение, которое параметризует прямую синхронную круговую прецессию:

¿з = Ел ехр(г щ) ехр(г Пт), у = 1, 2. (7)

В зависимости от значений параметров комплексной амплитуды Ел- и щ прецессия может быть цилиндрической, конической или гиперболоидальной, при этом недефор-мированная ось вала, то есть прямая QlQ2 зачерчивает в пространстве цилиндр, конус или однополостный гиперболоид.

В результате подстановки решения (7) в систему (5) получим систему алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд Щ ехр(г щ):

У^ (Ал + г ПС л) Ел- ехр(г щ) = й1 П2,

л=1,2

(-1)л(Вл + г ПВл) Ел ехр(г щ) = Л2 П2 ехр(-ге)),

л=1,2

где коэффициенты Ал-, Вл, С л, В л имеют вид

А? = ч/^ ~~ (ез-з + тз + ^ у/Щ + Ме /■%•) + ¿ь, = /г е^- г/2 — (1 + /г е^- т^- + ау г/2 + ^ оу Ме /у)^2 + оут^- П

(8)

^ = АЬ' + Ме(ез-з + о-у - о-у (/у + Ме т^П2,

(9)

В] = + Ме(1 + О"1У2^/Щ)) ~ + к (Ле т^)С12.

Разрешим систему (8) относительно (ехр(гщч),ехр(гщ>2)), получим

, _ П2((ВЗЧ + гПДз-д)^ + (~1)Д(^з-д- + гПСз-д) ехр(-ге)Л2)

ехр^г^о^ — Д.Д ' ^ '

где Дм —определитель системы (8), Ел- =0, Дм = 0.

Рассмотрим возможность существования симметричных прецессий, когда Е1 = Е2. Предположим, что опоры обладают одинаковыми характеристиками: С1 = С2, М1 = М2 = М, т1 = т2 = т, тогда VI = ^ = 1.

Пусть ротор укреплён в середине между опорами, т.е. е1 = е2 = 1/2. Тогда матрица податливости вала имеет диагональный вид, и её ненулевые компоненты равны с*1 = L3/(48EJ), с22 = Ь/(12£^), где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения вала; тогда <ц = <712 = а, <21 = <22 = 2а. При Д1 = Д2 = Д коэффициенты системы (8) также соответственно равны А1 = А2 = А, В1 = В2 = В, С1 = С2 = С, = = д.

3°. Гиперболоидальная прецессия. В [3] показано, что симметричные прецессии гиперболоидального типа, для которых характерно у1 = -у2, возможны только в отсутствии сопротивления, т. е. д, =0, Де = 0, и при е = п/2. Примем эти условия.

Положим Н = Ь6, тогда ¿2 = 1. Из (10) получим

П2

Н ехр(^) =—(Bd1+iA), Д = 2АВ, у = у2 = -уь (И)

Условия А = 0 и В = 0 определяют скелетные, недостижимые кривые для амплитудно-частотной характеристики без учёта сил сопротивления; они показаны на рис. 1, 2 и 3 тонкой чёрной линией (на рис. 1 совпадают с левыми ветвями гипербол а8 = 0, = 0). Условие А = 0 подписано как I, В = 0 — II.

Учитывая что |ехр(гу)| = 1, получим выражение зависимости амплитуды от частоты (для удобства X = О?, У = %/Д):

А = У - + Х + атХ2,

^ / ^ \ В = -У - И + -то + 2аУ ) X + 2атХ2.

График амплитудно-частотной характеристики гиперболоидальной прецессии представлен на рис. 1 жирной линией: слева — все нелинейные резонансы, а справа — два первых в увеличенном масштабе. Из четырёх наблюдаемых нелинейных резонансов только два первых проявляются без учёта масс опор, причём второй оказывается существенно сдвинутым вправо. При уменьшении масс опор третий и четвёртый нелинейные резонансы сдвигаются в бесконечность.

4°. Коническая прецессия. Рассмотрим моментно-неуравновешенный ротор (е = 0, 6 = 0) с учётом сил сопротивления (де = 0, д = 0). Тогда ¿1 =0, ¿2 = 1, а е становится неопределённым, и его можно положить равным нулю.

Система алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд (8) перепишется в виде

(А, + гПС,) Д, ехр(г у,) = 0, ,=1,2 , 2 (13)

Е (-1), (В, + г ПД,) Д, ехр(г у,) = П2.

,=1,2

Система (13) допускает решение в2 = -в1, представляющее собой симметричную коническую прецессию. Тогда у2 = у, У1 = у + п. Первое уравнение в системе (13) обратится в тождество, а второе можно разрешить относительно ехр(гу).

Рис. 1. Гиперболоидальная прецессия.

Рассмотрим выражение зависимости амплитуды от частоты:

у2л/в2 + хв2 = \х,

к ( к \

В = -У - ( 1 + — т + 2а(У + кцец) ) X + 2атХ2,

В = к + Ме(1 + 2аУ) - 2+ кцет)) X.

(14)

График АЧХ конической прецессии показан на рис. 2 жирной линией. На правом графике первый резонанс представлен в увеличенном масштабе. Отметим, что скелетная кривая II соответствует конической прецессии, а I не сказывается на виде характеристики. В случае конической прецессии наблюдается два нелинейных резонанса (первый и третий из гиперболоидальной). Без учёта масс опор наблюдался только первый нелинейный резонанс.

5°. Цилиндрическая прецессия. Для цилиндрической прецессии характерно равенство амплитуд и фаз, т.е. справедливо в! = Так как такое решение не удовлетворяет второму уравнению системы (5), приходим к выводу, что для динамически неуравновешенного ротора (3 = 0, е = 0) режима цилиндрической прецессии не существует.

Рассмотрим моментно-уравновешенный, но статически не уравновешенный ротор, т. е. 3 = 0, е = 0, тогда ¿2 = 0.

Вернёмся к (8), где положим Н = е, тогда ¿1 = 1, а уравнения примут вид

У^ (А + г ПО¿-) Щ ехр(г щ) = П2, ¿=1,2

(-1)^'(B¿ + г ПВ^) Щ ехр(г щ) = 0.

¿=1,2

(15)

Рис. 2. Коническая прецессия.

При предположениях для симметричной прецессии второе уравнение обратится в тождество, а из первого получим выражение амплитудно-частотной характеристики

(X = П2,¥ = /К):

У2 V А2 + ХС2 = - X, (16)

У^л/А- +ЛС- = 1 А = У - ( ^ + т + о¥ + оц ) X + отX

2

С = ц + ¿4е ( ^ + СГ У ) - сг(А4 + А«е т) X. (17)

На рис. 3 жирной линией обозначен график АЧХ цилиндрической прецессии; видно, что только скелетная кривая I сказывается на виде характеристики. Так же, как и в случае конической прецессии, наблюдается только два нелинейных резонанса (второй и четвёртый из гиперболоидальной), учёт масс опор проявляется в дополнительном нелинейном резонансе.

6°. Исследование устойчивости. К исследованию устойчивости рассмотренных режимов прецессий применим стандартный линейный анализ. Составим систему линейного приближения в окрестности конкретного режима прецессии, параметризуемого решением (7) системы (5). Пусть До, уо — амплитуда и фаза одного из режимов, соответствующих частоте П. Введём малые возмущения г,, а, для каждой опоры по формулам

в, = (Д0 + г,)ехр(г (у0 + а,))ехр(г Пт), ] = 1, 2. (18)

Уравнения линейного приближения одинаковы для всех рассмотренных прецессий, они имеют довольно громоздкий вид, что не позволяет привести их в данной работе. Характеристический определитель системы линейного приближения имеет блочную структуру и распадается на два независимых полинома восьмого порядка.

Рис. 3. Цилиндрическая прецессия.

Свободные члены этих полиномов имеют вид

я<8 = АУ2 (А + - аХ)^) + СХУ2 (с + ,

Ъ8 = в У2 (в + У (^к - аХ^ ^ + ВХУ2(В + кцаУ).

(19)

Множество |я8 = 0 и&8 = 0} определяет по крайней мере один нулевой корень системы, поэтому является бифуркационным. Условия Я8 =0 и &8 =0 представляют собой гиперболы, которые представлены тонкой сплошной линией на рисунках 1, 2 и 3 для различных прецессий. Точки пересечения амплитудно-частотной характеристики и этих гипербол определяют границы устойчивости. Неустойчивые режимы отмечены на графиках штриховой линией. Стоит отметить, что скелетные кривые I и II являются асимптотами для этих гипербол. Так что несмотря на то, что только одно из условий скелетных кривых влияет на вид конической и цилиндрической прецессий, оба условия могут, в зависимости от параметров, влиять на устойчивость этих режимов.

Итак, первый и третий нелинейные резонансы гиперболоидальной прецессии соответствуют конической прецессии (рис. 1), то есть связаны с моментной неуравновешенностью, и происходят за счёт большого наклона оси вращения ротора. А второй и четвёртый (рис. 1) соответствуют цилиндрической прецессии, то есть связаны со статической неуравновешенностью, и происходят за счёт большого радиуса вращения центра тяжести. Отметим, что третий и четвёртый нелинейные резонансы связаны с динамическими свойствами опор и без учёта масс опор отсутствуют.

Литература

1. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Влияние массы и упругости опор на критические частоты неуравновешенного ротора Джеффкотта // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 141-147.

2. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Цилиндрическая прецессия неуравновешенного ротора в массивно-податливых опорах // Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. 2009. С. 101-106.

3. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Прецессии неуравновешенного ротора Джеффкотта в массивно-податливых опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 4. С. 134-141.

4. Гробов В. А. Асимптотические методы расчёта изгибных колебаний валов турбома-шин. М.: Изд-во АН СССР. 1961. 166 с.

5. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.