Прецессии неуравновешенного ротора Джеффкотта в массивно-податливых опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРЕЦЕССИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА ДЖЕФФКОТТА В МАССИВНО-ПОДАТЛИВЫХ ОПОРАХ

И. А. Пасинкова1, П. П. Степанова2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, iapasynkova@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, polinastepanova@ya.ru

Введение. При изучении динамики быстровращающихся роторов часто возникает необходимость учитывать влияние динамики тяжелых упругих опор на колебания неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу. Как отмечено в [1], связанность колебаний ротора и упругой системы опорной конструкции проявляется в сдвиге критических скоростей вращения ротора, а также в появлении дополнительных критических скоростей, зависящих от динамических свойств опор. Влияние массивно-упругих опор на критические частоты гибкого невесомого вала с диском рассматривалось в [2, 3]. Дополнительные усилия между жестким ротором и массивно-упругими опорами были определены в [4]. Прецессионное вращение неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах изучалось в работах [5-7]. Исследование цилиндрической прецессии статически неуравновешенного ротора на гибком невесомом валу проведено в работе [8]. В настоящей работе изучаются прецессии гиперболоидального и конического типов.

1°. Описание модели ротора и уравнения движения. Рассмотрим ротор Фёппля—Джеффкотта с четырьмя степенями свободы, который представляет собой абсолютно твердое динамически симметричное тело, прикрепленное к упругому валу, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой тела. Гибкий вал укреплен в упругих опорах с заданными характеристиками жесткости и массами. Примем схему ротор—опоры, предложенную В. А. Гробовым [2] (см. рис. 1). Пусть ротор имеет массу М, а длина вала равна Ьг. Моменты инерции ротора равны ,1р (осевой) и ^ (трансверсальный). Дисбаланс ротора характеризуется тремя величинами: е — статический эксцентриситет, 6 — динамический эксцентриситет и є — фазовый сдвиг динамического эксцентриситета. Опоры, рассматриваемые как точечные массы Мі и М2, совпадают с точками ^і и ^2 оси вала.

Пусть ротор установлен вертикально таким образом, что точка крепления твердого тела к валу Q находится на расстоянии е^ Ь, от і-й опоры (і = 1, 2), где Ь — расстояние между опорами. Если точка Q расположена снаружи от і-й опоры, то еу < 0, так что всегда выполняется условие еі + е2 = 1.

Предполагаем, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш и перемещение ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало.

Введем следующие системы координат: Охух —инерциальная система координат с осью Ох, совпадающей с направлением оси вращения ротора в его неподвижном состоянии; система координат QCvC, жестко связанная с ротором и с осью QZ, направленной вдоль касательной к изогнутой оси вала.

© И. А. Пасынкова, П. П. Степанова, 2011

Рис. 1. Модель ротора, укрепленного в массивно-податливых опорах.

Система ротор—опоры имеет восемь степеней свободы. Обобщенные координаты можно выбрать следующим образом: (x, у) —декартовы координаты точки Q; (а, в) —углы, определяющие направление оси QZ; (xj,yj) —декартовы координаты точки Qj (j = 1, 2).

Кинетическая энергия с точностью до линейных членов относительно параметров дисбаланса e, S и квадратичных членов относительно обобщенных координат и их производных может быть записана в виде

Т = \мг {±1 + у j) + ±М2 {±1 + yl) +

-\- — М ^х ~\~ у ~\~ cuj(ij t) — х sin(c^ t)-\- — Jp{uj — 2cи /Зсх)-\-

~\~ — Jf (Qt* ~\~ ) ~\~ (Jp — Jt) S UJ sin^Ct^ t — — j3 COS^CcJ t — . (1)

Вал предполагается линейно-упругим, так что потенциальная энергия изогнутого вала может быть записана в виде

Пв = — Сц ((ж — Жо)" + (у — УоУ) + ^ с22 ((« — сед)“ + (/? — РоУ) +

+ c12 ((x — x0)(а — а0) + (у — У0)(в — в0)) • (2)

Здесь введены следующие обозначения: C = { cim} (l, m = 1, 2) — матрица жесткости

упругого вала, закрепленного в жестких подшипниках; (xo, уо) —декартовы координаты точки Qo, которая является проекцией точки Q на на линию опор Q1Q2; углы (ао, во) определяют направление прямой Q1Q2 и предполагаются малыми. Величины (xo, уо, ао, во) характеризуют перемещение ротора как твердого тела (см. рис. 1), и могут быть вычислены как функции декартовых координат xj, yj точек Qj:

xo = e2 xi + ei x2, Уо = e2 У1 + ei У2, (3)

ао = (x2 - x1)/L, во = (У2 - y1)/L•

Введем комплексные переменные:

S = x + i у, Sj = xj + iyj (j =0,1, 2) (4)

Y = а + iв, 7о = ао + iвo•

Опоры предполагаются изотропными и нелинейно упругими. В этом случае восстанавливающие силы в опорах имеют только радиальные составляющие, и реакция

2-й опоры может быть записана в виде

^ = -^(Б|) и,-. (5)

Здесь Б, — смещение точки Qj от ее равновесного положения, и, — единичный вектор направления Б,. Функции Г, (|Б, |) являются непрерывно дифференцируемыми,

возрастающими и Г, (0) = 0.

Будем предполагать, что на ротор действуют силы внешнего трения, задаваемые диссипативной функцией

Ф = |(Б2 + Ь2 72 + Б2+Б2), (6)

где Д — коэффициент внешнего трения. Уравнения Лагранжа 11-го рода относительно комплексных переменных (4) могут быть записаны в форме

МБ + ДБ + сц(Б — Бо) + 012(7 — 7о) = Меи2 ехр(гшЬ),

+ ДЬ2л/ + 012(Б — Бо) + 022(7 — 7о) = (3 — 3р)6и2 ехр(г(шЬ — е)),

М1Б\ + ДБ\ + ^1(|51|) |^-| = (спе2 - (5 - Бо) + (с12е2 - (7 - 70),

М2Б2 + ДБ2 + ^2(|52|) |^| = (спе 1 + (Б - Б0) + (с12е1 + (7 - 70).

Введем обозначения для левых частей уравнений (8):

(7)

(8)

С.

Щ = М& + ДБ,- + ^(|Б,-|) 3 = 1,2. (9)

В силу предположения о линейной упругости вала уравнения (8) являются линейными алгебраическими относительно (Б, 7). Следовательно, можно найти точное решение

Б = (е3~,Б, + К1,, К1, = °11 + ( —^ 012 е, Ь,

,=1’2 , ,

.( Б -\ . (10) 5 ■' 1 н1з = с*22 ^3 Ь + (-1У 0*2,

7 — 53 (~г~ + Н2з ’ Н2з ~ с22 ез Ь + (“I)5 с*

о—12 V /

,—1 ,2 4 Ь

где С * = {о*т} — матрица податливости. Компоненты этой матрицы о*т зависят от способа крепления вала. Для различных видов опор эти функции можно найти во многих монографиях, например, [1].

После подстановки (10) в уравнения (7) получим систему дифференциальных уравнений относительно Б1, Б2.

Введем безразмерное время т и безразмерные переменные в, по формулам

т = ио Ь, в, = Б,/к, (11)

где к — некоторая малая длина, например, статический эксцентриситет е или величина Ь6. Выбор характерной угловой скорости ио зависит от вида нелинейности

Г (Б |).

Безразмерные дифференциальные уравнения примут вид

( сР 3 \

53 (ез-э8э + аУ Кэ) + V (ез-э8э + аУ + кз) = дл^2 ехР(*^г)>

/ з2 с \

УЗ (“I)5 ( ~т~2 (Зз+а2з ^з) + (ик (1-Л)-* Л Г2) — (в^+сгг^ Л^ + е.,- /г (1 -Л) Л^- ) =

= 1,2 ^ '

= (1 — Л) 32 О2 ехр(і(О т — є)), (12)

В уравнениях (12) использованы обозначения

Х=~, к = М1_ху И=м^0, °ц = *цМш0, ^ = ^ЬМш,

0 ,

п-.0’ м' Лі~ь: н' /і(|5іІ) _ ьмш2 (13)

й ■

Щ = тз$з + А4*? + 1](\3з\) "і Ті І = 2.

\йз \

Уравнения (12) допускают точное решение, которое параметризует прямую синхронную круговую прецессию:

й] = Щ ехр(* Фз) ехр( От), і = 1, 2. (14)

В зависимости от значений параметров комплексной амплитуды Щ и фз, прецессия может быть цилиндрической, конической или гиперболоидальной, при этом недефор-мированная ось вала, то есть прямая QlQ2, зачерчивает в пространстве цилиндр, конус или однополостный гиперболоид.

Пусть нелинейные характеристики опор задаются формулой Дуффинга:

Р(№\) = — (аоз + аіз \Бй\2) \Бй\ (3 = 1, 2), (15)

где аоз и аіз —вещественные положительные постоянные, характеризующие упругость опоры.

Положим

4 = ^, 4 = і, 4 = —, ь, = И‘^, ы = ы. (ш)

Ы а01 а0з

N3 = тзйз + рйз + (1 + \йз \ ) йз, 32 = 1. (17)

Тогда

ЛГ. - ™ .х. I ,.л. І ,.Лп I и. ^ ) йз

В результате подстановки решения (14) в систему (12) получим систему алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд Щ ехр(і фз):

5^ (Аз + ірОСз) Кз ехр(і фз) = 31 О2,

з=1,2 , ч

з , . (18) 5^ ( —1)3 (Вз + ір ОБ з) Кз ехр( іфз) = О2 ехр(—іє)), з=і,2

где коэффициенты Л у, Б у, Су, Б у имеют вид

Лу = У у — (еэ—у + 'т^ + ® 1у У у — ® 1у р2) П2 + ® 1у т>у П4,

Бу = к еу У у — (1 + к еу ту + 02у У у — к 02у р2 )П2 + ®2у ту П4,

Су = 1 + еэ—у + а1у У у — а1у (1 + ту )П2, (19)

Бу = к(1 + еу + ^2у Уу) — &2у (1 + к ту )П2,

= ^2(1 + ьу Rj2)•

Обозначим определитель этой системы через Дм. При р = 0 этот определитель принимает вид Д = А1В2 + Б1Л2. Множество Д = 0 задает в пространстве {П, Д1, Д2} множество нелинейных резонансов, которое разделяет это пространство на области, где прецессии имеют качественно различный характер.

Разрешим систему (18) относительно (ехр(*фч), ехр(*ф>2)), получим

схр(;у ) = П2^Вз-з + ^дз-л)<*1 + (~1)Д(Аз-д + г^ПСз-д) ехр(-ге)) у Щ Дм

Щ = 0, Дм = о.

Из выражения (20) получим

/ N = (-1)д (-^з-д 8Іп(е) + ціїСз-з сов(е)) + р^Ш3_дііі

соз(є) + /лПСз-з зіп(є)

Рассмотрим возможность существования симметричных прецессий, когда Кі = К2. Предположим, что опоры обладают одинаковыми характеристиками: аоі = ао2, ац = аі2, ті = т2 = т, тогда ші = о>2 = 1, Ьі = 62 = Ь. Пусть ротор укреплен в середине между опорами, т. е. еі = е2 = 1/2. Тогда матрица податливости вала имеет диагональный вид, и её ненулевые компоненты равны с*і = Ь3 / (48Е.1), =

Ь/(1‘2ЕЗ), где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения вала, и

аіі = ^і2 = а, &2і = ^22 = 2а. (22)

При Кі = К2 = К коэффициенты системы (18) также соответственно равны Аі = А2 = А, Ві = В2 = В, Сі = С2 = С, Бі = Б2 = Б.

Из (21) следует, что симметричные прецессии гиперболоидального типа, для которых характерно фі = — ф2, возможны только при отсутствии сопротивления (р = 0) и при є = п/2.

Рассмотрим этот случай. Пусть ф = ф2 = —фі, р = 0 и є = п/2. Уравнения (20) примут вид

О2

Я ехр(*ф) = — (В сії + і А), Д = 2АВ. (23)

Для дальнейшего удобно перейти к новым переменным X = О2, У = К2. Учитывая, что \ ехр(і ф) \ = 1, получаем выражение для амплитудно-частотной характери-

стики:

А = 1 + ЬУ - + т + сг(1 + ЪУ)^ X + атХ2,

к /к \

В = -{ 1 + ЬУ) - ( 1 + -т + 2сг(1 + ЬУ) І X + 2атХ2.

а)

Рис. 2. АЧХ симметричной гиперболоидальной прецессии.

Ь)

На рис. 2, а изображен график амплитудно-частотной характеристики (24) при к = 0.8, Ь = 0.3, т = 1, а = 0.1. Видны четыре нелинейных резонанса. Первые два соответствуют ротору, укрепленному в невесомых опорах, третий и четвертый появляются в результате учета динамических свойств массивных опор. Значения Хі, Х-2, Хз, Х4 совпадают с критическими частотами в случае линейно-упругих опор. На рис. 2,Ь изображены первые два резонанса в увеличенном масштабе. При уменьшении масс опор третий и четвертый резонансы смещаются к более высокому спектру частот. Еще одним отличием от случая невесомых опор является отсутствие режима самоцентрирования, предельное значение Уж = 0 при X ^ то, то есть при больших угловых скоростях наблюдается балансировка ротора.

А теперь рассмотрим только динамически неуравновешенный ротор, но с учетом сил сопротивления, т. е. е = 0, 6 = 0, р = 0. Тогда = 0,^2 = 1, а є становится неопределенным, и его можно положить равным нулю.

Система алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд (18) перепишется в виде

(А + грОСз) Яз ехр(г фз) = 0,

3 = 1,2

( — 1)3 (В3 + гр ОБз) Я3 ехр(г фз) = О2.

3 = 1,2

(25)

При предположениях для симметричной прецессии можно выделить решение в2 = —в1, представляющее собой симметричную коническую прецессию. Тогда ф2 = ф, ф1 = ф + п. Первое уравнение в системе (25) обратится в тождество, а второе

можно разрешить относительно ехр(гу>). Воспользовавшись свойством | ехр(гу>)| = 1, получим выражение зависимости амплитуды от частоты (X = О2, У = Д2):

+ М2 = - X, (26)

кк

В = -{ 1 + ЬУ) - ( 1 + т>т + 2сг(1 + ЬУ + кц2) \ X + 2атХ2,

И = к ( — 2<т(1 + ЬУ) і — 2<т(1 + кт)Х.

а)

Рис. 3. АЧХ конической прецессии для динамически вытянутого ротора.

Ь)

Исследуем случай конической прецессии на устойчивость. Применим стандартный линейный анализ. Составим систему линейного приближения в окрестности конкретного режима прецессии, параметризуемого решением (14) системы (12). Введем малые возмущения г з, аз (і = 1, 2) по формулам

Йз = (Я3 + Т'з) ехр(г (фз + аз)) ехр(г От), і = 1, 2

(27)

Характеристический определитель системы линейного приближения имеет блочную структуру:

' "‘ ' (28)

где

Рі =

Р= -2Р іР ЬО Рі '' Р2 ' = 0,

тіі т-21 ті2 т22 ' = 0, Р2 = тзі т4і тз2 т42

0.

(29)

Выражения для ту (і = 1,4, = 1,2) не приведены из-за их громоздкости. По-

лином (28) имеет шестнадцатую степень относительно характеристического числа. В силу блочного характера определителя система линейного приближения распадается

на две независимые подсистемы, поэтому характеристический полином шестнадцатого порядка может быть представлен в виде произведения двух полиномов, pi и p2, восьмого порядка.

Полином p будет гурвицевым, если будут гурвицевы оба полинома pi и p2.

Условия критерия Рауса—Гурвица нарушаются только в результате перехода через нулевые корни характеристического определителя. Приведем свободные члены полиномов pi и p2, удобно перейти к переменным X = О2, Y = Д2:

а8 = A VY(A - 2а X Y + 26 У) + ц2 X С VY{C + 2аЪ Y),

bg = (1 - Л)2 (BVY(B - 4сгЬ XY + kbY) + к2 ц2 X DVY(D + 4abY)). ^

Множество {ag = О У bg = 0} является бифуркационным для системы, оно определяет по крайней мере один нулевой корень и, тем самым, границу устойчивости системы. Каждое из условий ag = 0 и bg = 0 представляет собой гиперболу.

Прямой синхронной прецессии ротора соответствует состояние равновесия в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, которое также зависит от угловой скорости. На рис. 3 при значениях параметров к = 0.8, b = 0.6, m = 1,а = 0.1,р = 0.05 представлена амплитудно-частотная характеристика (жирная линия), причем сплошные участки соответствуют устойчивым режимам, а штриховые — неустойчивым. Нелинейные резонансы и условия ag =0 и bg =0 представлены тонкой линией. На рис. 3, а показаны обе ветви резонанса, а на рис. 3,b представлен левый резонанс в увеличенном масштабе.

Литература

1. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 248 с.

2. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибных колебаний валов турбомашин. М.: Изд-во АН СССР. 1961. 166 с.

3. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Влияние массы и упругости опор на критические частоты неуравновешенного ротора Джеффкотта // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 141-147.

4. Кельзон А. С., Циманский Ю. П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

5. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

6. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№15). С. 101-106.

7. Pasynkova I. A. Whirling Motion of an Unbalanced Rotor in Linear and Nonlinear Elastic Bearings // Magdeburger Maschinenbau-Tage. 11.-12. Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg. Tagungsband. 2005. P. 143-148.

8. Пасынкова И. А., Степанова П.П. Цилиндрическая прецессия неуравновешенного ротора в массивно-податливых опорах // Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. 2009. С. 101-106.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.