CC BY
110
ВОПРОСЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УДК 311
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа (проблемы науки «экономический анализ»)
Статья посвящена актуальным вопросам применения методов детерминированного факторного анализа (ДФА) в экономических исследованиях. Показаны возможности устранения ошибок и снижение погрешностей результатов применения традиционных и любых других методов ДФА, а также расширения сферы применения индексного и интегрального метода.
Ключевые слова: экономический анализ, детерминированный факторный анализ, индексный метод, интегральный метод.
В настоящее время наука «экономический анализ» обладает большим арсеналом различных приемов детерминированного факторного анализа (ДФА) причинно-следственных связей между экономическими явлениями. К сожалению, в большинстве современных учебников и учебных пособий по данной дисциплине в основном приводится метод цепных подстановок при построении абсолютных приростов по факторам и факторных индексов или как его еще называют, традиционный метод.
Заметим, что с пятидесятых годов прошлого века умы многих советских ученых С.М. Югенбурга [8], А. Хумала [4], А.Д. Шеремета [5], В. Федоровой [6] и других были заняты:
— описанием и обоснованием недостатков традиционного метода цепных подстановок как ведущего со времен директивной и во времена рыночной экономики при разложении абсолютных приростов и темпов роста (индексов) результативных показателей по факторам в анализе производственной и хозяйственной деятельности на всех уровнях экономики;
— поиском путей, устраняющих или хотя бы снижающих погрешности и ошибки этого метода;
— разработкой принципиально новых методов детерминированного факторного анализа.
Общее число предложений по совершенствованию методов ДФА, известных нам в отечественной научной литературе, более 50, без возможности указания его верхней границы.
В.А. Прокофьев
В.В. Носов
Т.В. Саломатина
© Прокофьев В.А., Носов В.В., Саломатина Т.В., 2014
133
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
Недавно опубликованная научная статья К.Н. Лебедева [2] содержит ряд как полезных, так и спорных предложений в разрешении проблем ДФА, чем мотивирует нас внести вклад в этом направлении.
Бесспорно мнение К.Н. Лебедева о математике как естественной науке с ее языком цифр, символов и формул, абстрагированными от языка социально-экономических явлений. Но также и бесспорна польза ее применения, а не отчуждения, в анализе закономерностей и взаимосвязей экономических явлений, хотя это неизбежно связано с огрублением в той или иной степени сложных и многообразных причинно-следственных связей в погоне за выявлением и учетом только тех, которые наиболее актуальны в условиях востребованных исследователем задач.
В этом проявляется сущность «дедуктивного» подхода — от математических моделей к моделям конкретных явлений экономики, в широком смысле, и может иметь дальнейшее продолжение в узком смысле, принятое автором опубликованной статьи.
Не будем в рамках дальнейших обсуждений проблем ДФА вдаваться в характеристику пользы и предпочтения математического анализа функциональных или стохастических связей в экономике вообще, и в том числе на микроуровне упомянутых К.Н. Лебедевым в заключение его работы со ссылкой на высказывание А.Д. Шеремета. Отметим лишь главное: с теоретической точки зрения и тот и другой подход имеет свои специфические сферы и границы применения в зависимости от постановки возлагаемых на них надежд и уверенности в достижении интересующей цели. С практической же точки зрения предпочтение должно и будет отдаваться тем методам, которые могут быть реализованы на соответствующем этапе исследования в условиях определенной доступности и полноты информации о динамике и вариации изучаемых явлений, а также и требуемой степени точности, надежности и ясности интерпретации получаемых результатов и прогнозов.
Еще до появления публикации К.Н. Лебедева было доказано, что все известные методы ДФА, за исключением интегральных, с определенной оговоркой их применения в конкретных ситуациях, изначально несут в себе погрешность, степень которой в ряде случаев может оказаться недопустимой. Погрешность возникает по причине заложенных в ее схемы изменения факторов абстрагированной от их реального поведения: либо очередность изменения факторов (в методе цепных подстановок), либо пропорциональность изменения, либо иная схема разделения их участия в формировании результативного показателя [3, с. 45—52].
В частности, так называемый «парадокс» метода цепных подстановок и факторных индексов — отсутствие аддитивности абсолютных приростов по факторам и мультипликативности факторных индексов во времени.
Попытаемся внести ясность в пользу конкурентоспособности интегральных методов ДФА, а точнее — самого подхода к их разработке с непременным соблюдением условий их использования, предусматривающих:
134
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
— устранение ошибок и снижение погрешностей результатов применения традиционных и любых других методов ДФА;
— расширение сферы применения индексного метода;
— разветвление и углубление иерархии дезагрегирования абсолютных приростов и темпов роста результативных показателей по факторам.
Главным ограничителем при конструировании методов ДФА была и осталась заложенная в бухгалтерской и статистической отчетности, в рекомендациях по проведению статистических наблюдений на микро-, мезо- и макроуровнях дискретность представления результатов социальноэкономического развития.
В общественной же жизни большинство явлений, особенно массовых, за редким исключением, изменяются непрерывно в статистической, а не строго математической трактовке категории «непрерывность изменения функции».
Правильное представление о непрерывности изменения взаимосвязанных социально-экономических явлений необходимо при изучении, характеристике и описании тенденций их развития, количественной оценке скорости и степени взаимодействия факторных и результативных признаков.
В сознании многих исследователей объективно сформировавшимся препятствием в развитии инструментария исследования непрерывных социально-экономических процессов является возможность получения информации о размерах их развития только на начало и конец соответствующих отчетных периодов, которые обязательно — календарные с исторически сложившейся и закрепленной документально продолжительностью (месяц, квартал, год), задающей определенную степень дискретности представления уровней анализируемых явлений.
Для преодоления такого препятствия предлагается на сколько возможно понижать степень дискретности представления уровней социально-экономических явлений, приближать ее к непрерывности при анализе тенденций их развития, дополнять уровни календарных периодов уровнями «астрономических» периодов той же заданной продолжительности, начинающихся и заканчивающихся в одной и той же точке (дате) смежных календарных лет.
Теоретически такие уровни могут быть определены и на любую другую дату любого месяца как для моментных, так и для интервальных первичных и производных рядов динамики, хотя на практике статистика такими возможностями обычно не располагает, а в научных изысканиях подобный подход учета уровней явлений внутри календарных интервалов времени пока не получил широкого распространения.
Характер расположения точек базисного и отчетного периодов (лет) на примере их поквартального разбиения покажем на рисунке 1.
135
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
Базисный год Отчетный год
f------------------V--------*--------S
^ I I I 1----1----1--1----Г~
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Рисунок 1. Расположение точек начала и конца поквартального разбиения базисного и отчетного года [-4, 0], [0, 4] на временной оси
Представляем следующую скользящую на графике последовательность годовых интервалов:
[—4, 0] — календарный базисный год;
[—3, 1], [—2, 2], [—1, 3] — астрономические годы;
[0, 4] — календарный отчетный год.
Аналогично можно составить более мелкие разбиения каждого года на месяцы, декады или недели и получить гораздо большее число годовых уровней анализируемых явлений между уровнями базисного и отчетного годов.
В статистическом анализе временных рядов, зачастую параллельно, используются две схемы сравнения их уровней: разностная и кратная. При этом рассчитываются цепные и базисные абсолютные приросты и темпы роста за определенные промежутки времени, характеризующие абсолютные и относительные скорости изменения явлений; исчисляются и средние абсолютные приросты, и средние темпы роста; определяются тренды уровней динамических рядов ( у — /(д)): где х — время), по формулам которых может быть вычислена в любой точке х моментная абсолютная скорость изменения «моментный абсолютный прирост» величины явления, как значение производной этой функции и, как мы ранее показали [3, с. 69—75] моментная относительная скорость ее изменения («моментный темп роста»), обозначенный у7!
Поясним содержание введенных в научный оборот терминов двух «мо-ментных» показателей и формул их расчета.
Трактовка первого из них — предел среднего абсолютного прироста непрерывно изменяющихся во времени уровней экономического явления за временной интервал их изменения, величина которого стремится к нулю (производная функция у = /(х)): ):
Трактовка второго моментного показателя — предел среднего темпа роста непрерывно изменяющихся во времени уровней экономического явления за временной интервал их изменения, величина которого стремится к нулю:
= lim j
,\v—*Л
i
/(■r + Av)
ЛЛ ■
(2)
Мы преобразовали исходную формулу определения у7 с помощью известной в математическом анализе формулы замечательного предела
136
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
в следующую, удобную в научных изысканиях и практических расчетах [2, с. 75-82]:
(3)
где е=2,71828 — натуральное число.
Данное соотношение двух моментных показателей: у? и у' позволяет по известной таблице производных элементарных функций вычислить У для любой из них.
Статья К.Н. Лебедева содержит критические замечания в адрес ряда методов ДФА, сопровожденные полезными примерами, наглядно демонстрирующими возможные грубейшие ошибки при оценке влияния факторных показателей на результативные традиционными приемами, пренебрегающими использование какой-либо дополнительной информации об изменении уровней анализируемых явлений внутри базисных, отчетных и плановых периодов.
Заметим, что подобные, хотя и менее грубые ошибки (чаще погрешности) возможны и при реализации интегральных методов, когда они заранее жестко ориентируются их авторами только на какой-то один вид тенденции изменения факторов: линейный, экспоненциальный, полиномиальный и т.д., который в одних ситуациях может оказаться хорошо аппроксимирующим реальную тенденцию, в других — удовлетворительно, а в третьих — недостаточно.
Экспериментальные и условные примеры подтверждают гипотезу, что многие методы ДФА, в том числе и метод цепных подстановок с ориентацией на последовательное (ступенчатое) изменение факторов сначала количественных, а затем качественных, при кусочно-линейном или кусочно-экспоненциальном представлении изменения факторных уровней календарных и астрономических периодов приближают свои оценки к одним и тем же величинам, адекватным реальной действительности по мере вовлечения в расчеты все большего числа уровней, соответствующих начальным временным моментам их зарождения в базисном или плановом календарном периоде, и конечным моментам их учета в последующем (отчетном) периоде в зависимости от конкретной задачи сравнительного анализа — разложения по факторам абсолютного прироста и индекса: динамики, планового задания, выполнения плана.
Наиболее быстро, то есть с небольшим числом дополнительных уровней, кроме календарных, такое приближение достигается интегральными методами, ориентированными либо на линейное, либо на экспоненциальное изменение факторов, выбираемое аналогично статистическому простому приему интерполяции и экстраполяции рядов динамики по среднему абсолютному приросту или среднему темпу роста при приблизительном равенстве цепных абсолютных приростов или цепных темпов роста.
137
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
Однако, все многообразие способов разложения темпа роста результативного показателя для различных случаев закономерностей изменения факторов можно аппроксимировать одной формулой, точность которой неуклонно возрастает по мере неограниченного дробления анализируемого периода на равные отрезки времени [3, с. 123]:
rj, Г2, Гз,...гт — число частей в совокупности (например, ri — число цехов на предприятии, г9 — число предприятий в объединении и т.д.);
п - число отрезков времени, на которые разбит анализируемый период;
х
U = П v' -аддитивные факторы;
/ = 1
v! — мультипликативные факторы (/ = 1,л);
s - число мультипликативных факторов, образующих соответствующий аддитивный фактор U\
1 - индивидуальный индекс фактора v' за промежуток
ft-, fr , fl" — средние за промежутки \j-l, j\ доли U соответствующего структурного подразделения в общей величине этого фактора во включающем это подразделение производственном формировании (например, Д — средняя доля фактооа U отдельного цеха в общей величине этого фактора на предприятии; л: — средняя доля фактора U отдельного предприятия в общей его величине по объединению; //" ..., — средняя доля фактора U структурного подразделения m-го уровня иерархии в общей величине этого фактора производственного формирования, например средняя доля фактора U отдельной группы объединений в их совокупности по региону.
Для расчета показателей степени 7й индексов ^ можно использо-
вать следующие формулы:
- в случае кусочно-линейного изменения fv:
__ т/t/, + fv, + ■■■+ /tv, + —fv,
fv ~ 2----------------
где
(5)
0, 1,..., n — равноотстоящие моменты времени рассматриваемого периода;
138
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
(6)
(7)
Покажем на простом числовом примере поведение оценок влияния факторов (Т — затрат труда, W — выработки) на динамику результативного показателя (Q — объема выпуска), двух предприятий объединения определенных разными методами ДФА, при дроблении исследуемого периода (года) хотя бы на кварталы.
Тогда формула (4) примет вид:
f‘r, iw, - индивидуальные индексы среднесписочного числа работников
и производительности труда (оценки влияния факторов Т, W на динамику результата Q г-го предприятия) за квартал [/-/,_/];
7 7 „
'т; ’ V' ~~ оценки влияния изменения среднесписочной численности работников и уровня производительности труда на г-м предприятии на индекс объема выпуска объединения за квартал [/-/,_/];
П//. и ПiyT - оценки степени воздействия изменения затрат труда и производительности труда совокупности двух предприятий на величину индекса выпуска объединения за квартал [/-/,у'];
139
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
2 4 — 2 А —
П П Г'г и П П i'Jr — оценки степени влияния изменения каждого из фак-
г,| ,=1 Т< ы}=\ w<
торов Т и W на величину индекса выпуска объединения за год.
Исходные условные значения показателей Q, T, W сведены в таблицу 1.
Таблица 1
Показатели деятельности предприятий объединения за календарный отчетный год и астрономические годы, приходящиеся на начало и конец каждого квартала отчетного года
Пред- приятие Показатели Годовые уровни на начало н конец кварталов отчстетого года
1.01 1.04 1.07 1.10 31.12
А Б 1 2 3 4 5
1 Q - объем выпуска, тыс руб. 17664 15789 14372 13991 13721
f- доля О в объединении 0,62770 0,54825 0,50005 0,50201 0,47925
Т - среднесписочная численность работающих чел. 369 366 352 340 342
IV- размер выпуска на одного работника, тыс руб. 47,87 43,14 40,83 41,15 40,12
2 в 10477 13010 14369 13879 14909
f 0,32230 0,45175 0,49995 0,49799 0,52075
Т 223 225 243 249 257
W 46,98 57,82 59,13 55,74 58,01
Всего по объедн-нению в 28141 28799 28741 28870 28630
т 592 591 595 589 599
W 47,54 48,73 48,30 47,32 47,80
Таблица 2
Оценки влияния факторов T и W предприятий на динамику выпуска продукции объединением, полученные интегральным методом
Предприятия Показатели На конец кварталов отчетного года За весь период
1 |[ 111 IV (1.01-31.12)
А Б 1 2 3 4 5=1х2хЗх4
1 Т 0,9952 0,9798 0,9828 1,0029 0,961
W 0,9407 0,9716 1,0039 0,9876 0,906
Q 0,9361 0,9519 0,9866 0,9905 0,871
2 т 1,0037 1,0373 1,0122 1,0162 1,071
IV 1,0893 1,0107 0,9710 1,0205 1,091
Q 1,0933 1,0484 0,9828 1,0371 1,168
Всего по объединению т 0,9989 1,0163 0,9948 1,0192 1,0291
W 1,0247 0,9820 0,9748 1,0079 0,9882
. Q 1,0234 0,9980 0,9697 1,0273 1,017
140
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
По данным таблицы 1 интегральным методом рассчитаны частные и общие оценки влияния изменения факторов на динамику результативного показателя и сведены в таблицу 2.
Итоговые оценки влияния факторов на динамику результативного показателя находятся на пересечении графы 5 с последними тремя ее строками.
Опуская обилие промежуточных расчетов, индексным методом по данным на начало и конец отчетного года и по данным на начало и конец каждого квартала этого года, а также интегральным методом по данным на начало и конец года сведем все полученные результаты для наглядного обозрения в таблицу 3.
Таблица 3
Оценки влияния факторов на динамику результативного показателя объединения
Поданным на начало и конец отчетного года По данным на начало и конец каждого квартала отчетного года
Индексный метод Интегральный метод Индексный метод Интегральный метод
, ""Хия 1 W , ПГРг /=1 Г=] flflv У=3 г 1 И 1 j=\ г=1 пМ )=\ Г=1
1 2 3 4 5 6 7 8
1,011 1,006 1,021 0,996 1,027 0,990 1,029 0,988
Проверка равенства индекса результативного показателя (28630/28141= 1,017) произведению мультипликативных компонент его пофакторного разложения подтвердила правильность проведенных расчетов всеми четырьмя способами, указанными в графах таблицы 3: (1, 2) — 1,011x1,006=1,017; (3, 4) - 1,021х0,996=1,017; (5, 6) - 1,027х0,990=1,017; (7, 8) - 1,029х0,988=1,017.
Исходная информация о поквартальных годовых уровнях факторных показателей, представленная в таблице 1, побуждает сделать вывод об их параллельном (одновременном) изменении, а не последовательном (ступенчатом).
В силу этого результаты, полученные интегральным методом в графах 3, 4 таблицы 3, выражающие итог разнонаправленного воздействия факторов: T — в сторону роста, а W — в сторону снижения результативного показателя Q, точнее факторных оценок по индексному методу в графах 1, 2, основываясь на которых можно составить ложное впечатление об однонаправленном воздействии факторов T и W — в сторону роста результативного показателя Q.
Результаты, полученные после привлечения в расчеты астрономических поквартальных годовых уровней как индексным методом в графах 5, 6, так и интегральным в графах 7, 8, значительно отличаются от предыдущих.
При этом оба метода, уже при дроблении отчетного периода на кварталы, дали схожие оценки мультипликативных компонент пофакторного
141
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
разложения индекса результативного показателя, которые должны быть точнее по интегральному методу, ориентированному на одновременное изменение факторов, в чем можно убедиться, привлекая далее дополнительно годовые астрономические уровни верхних границ интервалов помесячного, подекадного или понедельного (в условиях возможности получения информации) разбиения базисного и отчетного годов на более мелкие субпериоды.
Аналогичным образом, как и для кратной схемы сравнения, можно провести числовой анализ точности пофакторных оценок, достигаемых применением разных методов ДФА, разностной схемы сравнения, по мере увеличения степени дробления отчетного и базисного периодов на более мелкие субпериоды, и убедиться, что точность результатов будет существенно зависеть от правильно выбранной тенденции изменения факторов (линейной, экспоненциальной или какой-либо другой) и по возможности от полноты вовлечения в расчеты эмпирических уровней астрономических периодов равных по продолжительности базисному, плановому и отчетному.
В соответствии с интегральным методом ДФА для любого конечного числа m мультипликативных факторов (w1,w2, w'1), закономерности из-
менения которых различны или неизвестны, мы доказали, что прирост результативного показателя U по каждому из факторов «>' (; = 1,т) в каждом из субпериодов [/-1, ./] может быть вычислен следующим образом:
Суммирование одноименных факторных оценок за все субпериоды отчетного периода составит итоговую оценку влияния отдельного показателя за весь период.
Возвращаясь к началу нашей статьи с позиции вышеизложенного описания проблем ДФА и аспектов предлагаемого их разрешения, отметим ряд важных вех и обстоятельств исторического совершенствования ДФА, которые не стоит игнорировать тем, кто желает дополнять методологию ДФА.
Одним из основоположников математического обоснования методов ДФА, учитывающих тенденции линейного и экспоненциального изменения факторов, по праву считается А. Хумал.
Дальнейшее развитие одного из интегральных методов, ориентированного только на линейное изменение факторов, продолжено в трудах А.Д. Шеремета и его исследователей. Метод же А. Хумала для экспоненциального изменения факторов фактически был предан забвению и лишь позднее вновь был «открыт» в статье В. Федоровой и Ю. Егорова, где
142
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
выглядел как простой технический прием разложения логарифма произведения величин в сумму их логарифмов, скрывающий сущность интегрального метода А. Хумала, чем спровоцировал серьезную критику со стороны ряда ученых [1, 7], как в своей адрес, так и в адрес всех прочих нетрадиционных методов ДФА, в том числе и интегральных.
Это было вызвано следующим обстоятельством. Авторы нетрадиционных методов ДФА не дали ясного описания экономического смысла значений функции, предназначаемой для описания непрерывного экономического процесса, а субпериоды отчетного периода представлялись оппонентами не как интервалы для определения уровней явлений астрономических периодов, равных по продолжительности отчетному, а только как интервалы дробления уровня отчетного периода на аддитивные (например, дезагрегирования годового объема выпуска на помесячные).
В заключение нашего исследования в пользу предпочтительности интегральных методов ДФА другим, представим еще ряд их полезных качеств, не освещенных подробно в рамках данной статьи:
— ориентация на предварительное обоснование закономерностей изменения факторов позволит осуществлять интерполирование и экстраполирование (прогнозирование) оценок взаимосвязей факторов и результативных показателей;
— допускается анализ моделей любого числа аддитивных и мультипликативных показателей;
— допускается анализ моделей с иерархически-структурной соподчиненностью факторов.
Определенная математическая сложность формализованного выражения интегральных методов ДФА, значительное пополнение базы информации только о двух уровнях явлений (базисного и отчетного периодов) уровнями астрономических периодов, равных по продолжительности базисному и отчетному, техника громоздких промежуточных расчетов, ранее значительно затруднявших их внедрение в практику анализа хозяйственной деятельности на всех уровнях экономики, в настоящее время может быть нивелирована разработкой соответствующих компьютерных программ.
Литература
1. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. М.: Статистика, 1977. С. 199.
2. Лебедев К.Н. Проблемы факторного анализа, основанного на методах детерминированного факторного анализа (Проблемы науки «Экономический анализ») // ЭТАП: Экономическая теория, Анализ, Практика. 2012. № 3. С. 4-13.
3. Прокофьев В.А, Саломатина Т.В. Теория моментных темпов роста в развитии методологии экономических индексов. Саратов, 2008. С. 196.
4. Хумал А. Разделение прироста произведения // Ученые записки по статистике. 1964. Т. 8. С. 206-212.
143
Предпосылки и условия развития детерминированного факторного анализа
5. Шеремет А.Д., Дэй Г.Г., Шаповалов В.Н. Метод цепных подстановок и совершенствование факторного анализа экономических показателей // Вестник МГУ Сер. «Экономика. 1971. № 4. С. 62—69.
6. Федорова В., Егоров Ю. К вопросу о разложении прироста на факторы // Вестник статистики. 1977. № 5. С. 71—73.
7. Эдельгауз Г., Курова Л. В защиту статистических методов анализа влияния факторов // Вестник статистики. 1985. № 10. С. 62—66.
8. Югенбург С.М. К вопросу о разложении абсолютного прироста по факторам // Ученые записки по статистике. 1957. Т. 3. С. 372—376.
References
1. Adamov V.E. Faktornyj indeksnyj analiz [Factor analysis of the index]. Moscow, Statistic Publ. 1977, 199 p.
2. Lebedev K.N. Problemy faktornogo analiza, osnovannogo na metodah determinirovannogo faktornogo analiza (Problemy nauki «Jekonomicheskij analiz») [The problem of factor analysis based on deterministic methods of factor analysis (Problems of Science «Economic Analysis»]. JeTAP: Jekonomicheskaja teorija, Analiz, Praktika — ETAP: Economic Theory, Analysis, Practice, 2012, no. 3. pp. 4—13.
3. Prokof’ev V.A., Salomatina T.V. Teorija momentnyh tempov rosta v razvitii metodologii jekonomicheskih indeksov [The theory of moment of growth in the development of the methodology of economic indices]. Saratov, 2008, 196 р.
4. Humal A. Razdelenie prirosta proizvedenija [Separation of growth works]. Uchenye zapiski po statistike — Scientists note on statistics, 1964, no. 8, pp. 206-212.
5. Sheremet A.D., Djej G.G., Shapovalov V.N. Metod cepnyh podstanovok i sovershenstvovanie faktornogo analiza jekonomicheskih pokazatelej [Method of chain substitutions and improvement factor analysis of economic indicators]. Vestnik MGU. Ser. Jekonomika — Vestnik MGU. Ser. Economy, 1971, no 4, pp. 62-69.
6. Fedorova V., Egorov Ju. K voprosu o razlozhenii prirosta na faktory [On the question of the expansion of growth factors on]. Vestnik statistiki — Bulletin of Statistics, 1977, no. 5. pp. 71-73.
7. Jedel’gauz G., Kurova L. V zashhitu statisticheskih metodov analiza vlijanija faktorov [In defense of statistical methods for the analysis of the influence of factors]. Vestnik statistiki — Bulletin of Statistics, 1985, no. 10. pp. 62-66.
8. Jugenburg S.M. K voprosu o razlozhenii absoljutnogo prirosta po faktoram [On the question of the expansion of the absolute increase in factors]. Uchenye zapiski po statistike — Scientists note on statistics, 1957. no. 3, pp. 372-376.
144
