CC BY
52
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2019-62-7-610-620
ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЕ ПАРЫ ГМВ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
В. Г. Стародубцев12, Я. В. Осадчая1
1 Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: vgstarod@mail.ru 2Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия
Представлен анализ периодических взаимно корреляционных функций М-последовательностей (МП) и последовательностей Гордона—Миллса— Велча (ГМВП), обладающих двухуровневой автокорреляционной функцией. ГМВ-последовательности имеют более высокую структурную скрытность по сравнению с МП, что определяет предпочтительность их использования в системах передачи цифровой информации. Разработан алгоритм формирования предпочтительных пар ГМВП и их определения для периодов N=63 и N=255. При проведении исследований использован математический аппарат теории конечных полей, линейной алгебры и корреляционного анализа. Получены значения периодических взаимно корреляционных функций всевозможных пар Ми ГМВ-последовательностей для периодов N=63 и N=255. Показано, что ГМВП, образующие предпочтительные пары, формируются на основе базисных МП, также образующих предпочтительные пары. Полученные результаты могут найти применение при формировании сигналов с расширенным спектром в по-мехозащищенных системах передачи цифровой информации, а также при синтезе систем сигналов, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
Ключевые слова: псевдослучайные последовательности, предпочтительные пары, корреляционная функция, структурная скрытность, неприводимые и примитивные полиномы, конечные поля
В современных системах передачи цифровой информации (СПЦИ) широкое распространение получили сигналы с расширенным спектром, одним из направлений формирования которых является использование псевдослучайных последовательностей (ПСП) [1, 2]. Данные последовательности применяются в системах связи с кодовым доступом, в системах радионавигации и радиолокации для расширения спектра дискретных сигналов, а также при формировании сигналов синхронизации и скремблирования [3—6].
Среди ПСП, широко используемых в системах передачи цифровой информации, можно выделить М-последовательности (МП), последовательности Голда, последовательности малого и большого множеств Касами, последовательности бент-функций, последовательности Гордона—Миллса—Велча (ГМВП). При этом М-последовательности вследствие своих корреляционных и структурных свойств применяются как непосредственно в качестве псевдослучайных, так и в виде „кирпичиков" при формировании других ПСП и их множеств [2, 7—12].
Одна из причин широкого применения МП с периодом N=2s-1 — наличие двухуровневой периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) при произвольном сдвиге т [5, 13]:
Г N при т = kN, к = 0,1,2,...,
R(t)H , Р kN (1)
[-1 при т ^ kN.
При синтезе последовательностей Голда и Касами (малого множества) используются так называемые предпочтительные пары (1111) МП, обладающие достаточно небольшими значениями периодической взаимно корреляционной функции (ПВКФ) [5, 6].
Предпочтительной парой называются две М-последовательности с периодом N = 2s-1, модуль максимального значения ПВКФ которых не превышает
p(s) = 1+2[(s +2)/2], (2)
где [х] — целая часть вещественного числа х [5, 14, 15].
Определение, свойства и алгоритмы формирования ПП МП приведены в известных работах [2—5]. М-последовательности формируются в соответствии с примитивными проверочными полиномами h(x); здесь и далее нижний индекс соответствует минимальному показателю степени корней данного полинома в конечном расширенном поле GF(2s). Аппаратная реализация М-последовательности осуществляется на основе регистров сдвига с линейными обратными связями [2, 3].
Наряду с М-последовательностями двухуровневой ПАКФ вида (1) обладают ГМВП, при этом они имеют более высокую структурную скрытность, характеризуемую эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС), что определяет приоритетность их использования в системах передачи цифровой информации, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности [7, 16, 17].
ГМВП формируются на основе МП с аналогичным периодом путем матричного представления МП и замены столбцов матрицы, представляющих собой различные сдвиги М-последовательности с более коротким периодом, на соответствующие сдвиги другой МП с коротким периодом [8].
Так как ГМВП аналогично МП обладают двухуровневой ПАКФ и строятся на основе базисных М-последовательностей [17, 18], целесообразно определить пары ГМВП, значения ПВКФ которых удовлетворяют условию (2). При выполнении данного условия такие пары ГМВ-последовательностей также можно называть предпочтительными.
Цель настоящей статьи — разработка алгоритма формирования предпочтительных пар ГМВП и их определение для периодов N=63, N=255.
ГМВП формируются над полями с двойным расширением GF(2s) = GF[(2m)n], в которых степень расширения поля s = mn является составным числом. Символы d ГМВП с периодом N = 2mn-1 определяются выражением [5, 8]
d = trm1[(trmn,m&))Р], 1 * Р < 2m - 1, (р, 2m - 1) = 1, (3)
где trM,v(-) — след элемента, принадлежащего полю GF(2u), в поле GF(2v); а е GF(2mn) — примитивный элемент; Р — натуральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы поля GF(2m), равным 2m - 1.
Алгоритм формирования ГМВП с периодом N = 2mn-1 = 2s-1 основан на использовании МП с аналогичным периодом и проверочным полиномом ^мп(х) степени s. Такая М-последовательность называется базисной [18]. Одним из корней полинома базисной МП является примитивный элемент а, принадлежащий расширенному полю GF(2s). Проверочный полином ^гМВ(х) формируемой ГМВП может быть представлен в виде произведения двух и более неприводимых полиномов-сомножителей ^сг(х) степени s, корни которых являются фиксированными степенями корней полинома ^МП(х), т.е. степенями примитивного элемента а и его р-сопряженных элементов. Эквивалентная линейная сложность ГМВП определяется числом полиномов-сомножителей и для заданного периода зависит только от значений параметров m, n и r.
ЭЛС двоичных ГМВП определяется выражением [7, 16]
¡8 = ШП8 (р) (4)
где 8(р) — количество единиц в двоичном представлении числа р в выражении (3).
Для сравнения в табл. 1 приведены показатели ЭЛС (степеней проверочных полиномов) широко используемых ПСП с удовлетворительными периодическими корреляционными свойствами.
Таблица 1
Период ПСП ЭЛС последовательности
МП Голда Касами (малого множества) Касами (большого множества) ГМВП
31 5 10 — — —
63 6 12 9 15 12
127 7 14 — — —
255 8 16 12 20 32
511 9 18 — — 27
1023 10 20 15 25 80
2047 11 22 — — —
4095 12 24 18 30 192
Отметим, что в табл. 1 для периода #=4095 приведено максимальное значение показателя ЭЛС ГМВП 4=192, получаемое при m=6, n=2 и r=31. Для других допустимых значений данных параметров показатель ЭЛС может принимать значения 24, 48, 96, 108.
Для разработки алгоритма формирования ПП ГМВП предварительно рассмотрим значения ПВКФ ПП М-последовательностей для периодов N = 31, 63, 127, 255, 511.
Если элементы üj ¡ МП1 и ak ¿ МП2 принадлежат простому полю GF(2), то значение ПВКФ Rjk(x) определяется выражением [2, 3—5]
N -1
Rjk (т) = N - 2B(t) = N - 2 £ d{afl, ak;+т), (5)
i=0
где В(т) — число несовпадающих позиций в МП1 и МП2 при различных сдвигах т; т — циклический сдвиг, принимающий дискретные значения, сдвиг (i+т) вычисляется по mod N; d (i, j) = (i + j) mod 2 = i Ф j — расстояние между элементами i и j в метрике Хемминга.
Коэффициент корреляции jr) определяется путем нормирования функции корреляции:
j (т) = Rjk (т)/ N. (6)
Значения ПВКФ (R¿) и коэффициента корреляции (r¡) предпочтительной пары МП для рассматриваемых периодов приведены в табл. 2, где также показано количество этих значений для одного периода. В крайней правой графе приведены примитивные полиномы h(x) или их нижние индексы в соответствующих полях GF(2^), с помощью которых формируются МП, образующие предпочтительные пары с МП, полученной на основе полинома h1(x). _Таблица 2
Период МП R1 П\ R2 П2 R3 П3 R4 n4 |Rmax| Полиномы hi(x) в паре с h\(x)
Г1 Г2 Г3 Г4 |rmax|
31 -9 6 — 1 15 7 10 - - 9 h3(x), h5(x), h7(x), hn(x)
-0,29 —0,03 0,23 - 0,29
63 -17 6 -1 47 15 10 - - 17 hs(x), h:s(x)
-0,27 -0,02 0,24 - 0,27
127 -17 28 -1 63 15 36 - - 17 3, 5, 9, 11, 13, 15, 23, 27, 29, 43
-0,13 -0,01 0,12 - 0,13
255 -17 80 -1 119 15 16 31 40 31 hs:(x), h9\(x)
-0,07 -0,00 0,06 0,12 0,12
511 -33 120 -1 255 31 136 - - 33 13,17,19,27,31,59, 87,103,171
-0,06 -0,00 0,06 - 0,06
Для периодов N = 31, 63, 127, 511 ПВКФ 1111 МП является трехуровневой и принимает следующие ненормированные значения в соответствии с выражением (2):
{-p(s), -1,p(s) -2}. (7)
Для периода N = 255 ПВКФ 1111 МП является четырехуровневой и принимает следующие ненормированные значения:
{-p(s-1), -1,p(s-1) -2,p(s) -2} = {-17, -1, 15, 31}. (8)
Для каждого примитивного полинома h(x) в поле GF(2s) количество 1111 равно числу 1111 для полинома h1(x). Для их определения необходимо индекс данного полинома умножить по mod N на соответствующие индексы полиномов из табл. 2 и затем для каждого полученного индекса, являющегося степенью примитивного элемента поля GF(2s), вычислить наименьший показатель степени среди его p-сопряженных элементов.
Например, в поле GF(2 ) существует 16 примитивных полиномов. Для МЛ, задаваемой
8 4 3 2
полиномом h1(x)=x +x +x +x +1, существует всего две предпочтительные пары с М-последова-
8532 876542
тельностями, задаваемыми полиномами h31(x)=x +x +x +x +1 и h91(x)=x +x +x +x +x +x +1 (см. табл. 2). Определим полиномы, на основании которых формируются МИ, составляющие
8632
11 с МИ, задаваемой примитивным полиномом h59(x) = x +x +x +x +1. Вычислим произведения: 5931 =44 mod 255, 59 91 =14 mod 255. Шлученные числа равны показателям степени
44 14
примитивного элемента а, т.е. элементы а и а являются корнями полиномов
8 7 6 5 2 8 6 5 3
h11(x) = x +x +x +x +x +x+1 и h7(x) = x +x +x +x +1. Легко показать, что значения ЮВКФ 11 М1, задаваемых полиномами h59(x) и h11(x), а также h59(x) и h7(x), удовлетворяют выражению (8).
Рассмотрим формирование 11 ГМВ1 для периодов N = 63, 255, являющихся составными числами. Для каждой М1 с такими периодами можно сформировать только по одной
3 2 4 2
ГМВП Это определяется тем, что для полей с двойным расширением GF[(2 ) ] и GF[(2 ) ] в подполях GF(23) и GF(24) существует всего по два примитивных полинома. Заметим, что для периода N = 1023 для каждой МИ можно сформировать уже по пять ГМВ1 с различными
5 5 2
ЭЛС, так как в подполе GF(2 ) расширенного поля GF[(2 ) ] имеется шесть примитивных полиномов [19].
Сначала проведем более подробный корреляционный анализ для М- и ГМВ-последо-вательностей с периодом N = 63 в конечном поле
GF(26) = GF[(23)2]. Неприводимые полиномы степени s=6 данного поля приведены в табл. 3 [19].
_Таблица 3
Шлином Период корней Шлином Шриод корней
h1(x) = x6 + x + 1 63 h13(x) = x6 + x4 + x3 + x + 1 63
h3(x) = x6 + x4 + x2 + x + 1 21 h15(x) = x6 + x5 + x4 + x2 + 1 21
h5(x) = x6 + x5 + x2 + x + 1 63 h23(x) = x6 + x5 + x4 + x + 1 63
h7(x) = x6 + x3 + 1 9 h31(x) = x6 + x5 + 1 63
h11(x) = x6 + x5 + x3 + x2 + 1 63
Для получения 1111 ГМВП определим значения ПВКФ Я(т) и г(т) различных пар МП1 и МП2. Результаты вычислений приведены в табл. 4.
_Таблица 4
Число n значений ИВКФ МД и МИ2 при
Полиномы для Тип R(T); r(T)
МД и МЩ КФ 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9; -13; -17; -21;
0,37 0,30 0,24 0,17 0,11 0,05 -0,02 -0,08 -0,14 -0,21 -0,27 -0,33
h1(x) и h5(x) 1 10 47 6
h1(x) и h11(x) 2 2 4 12 27 18
h1(x) и h13(x) 1 10 47 6
h1(x) и h23(x) 2 2 4 12 27 18
h1(x) и h31(x) 3 3 8 9 6 12 12 7 6
Анализ результатов вычисления ПВКФ МП с периодом N=63 показал, что можно выделить три типа корреляционных функций. При этом все типы ПВКФ представлены для полинома hi(x). Для остальных пар МП значения корреляционных функций аналогичны. К первому типу относится ПВКФ пар МП, которая принимает три значения, лежащие в интервале от -17 до +15 (рис. 1):
R(t) е {-17(6), -1(47), 15(10)}, где в круглых скобках указано число значений ПВКФ на одном периоде.
ПВКФ МП первого типа: hi(x) и h5(x)
15 10 5
0
Рис. 1
Данные пары называются предпочтительными парами МП [3, 9]. Для периода N=63 существует шесть предпочтительных пар МП, проверочные полиномы которых имеют следующий вид: М(х) и И5(Х), М(х) и Мз(х), И5(Х) и Ац(х), ЬП{х) и ^(х), Мз(х) и Й23(Х), ^з(х) и Й31(Х).
Ко второму типу относится ПВКФ пар МП, которая принимает пять ненормированных значений, лежащих в интервале от -9 до +23:
ад е {-9(18), -1(27), 7(12), 15(4), 23(2)}.
К третьему типу относится ПВКФ пар МП, которая принимает восемь ненормированных значений, лежащих в интервале от -13 до +15:
Я(т) е {-13(6), -9(7), -5(12), -1(12), 3(6), 7(9), 11(8), 15(3)}.
Третий тип характеризуется большим числом уровней, но при этом все значения ПВКФ удовлетворяют выражению (2). Проверочные полиномы пар МП являются взаимно сопряженными, т.е. это пары И1(х) и ^31(х), И5(х) и ^23(х), И11(х) и ^13(х). Данные пары наряду с ПП МП могут быть использованы при формировании множеств ПСП с удовлетворительными корреляционными свойствами.
Проведем аналогичный анализ ПВКФ для всевозможных пар ГМВП. Проверочный полином ГМВП с периодом N=63 представляет собой произведение двух полиномов, корни которых являются соответственно 3-ми и 5-ми степенями корней примитивного полинома базисной МП [18].
Значения ПВКФ ГМВП сведены в табл. 5. Пары полиномов И(х) и Ц(хх), являющиеся проверочными полиномами для базисных МП, выступают в качестве полиномов для формирования ГМВП. Например, во второй строке табл. 5 базисными полиномами для ГМВП1 и ГМВП2 являются полиномы к1(х) и ^п(х), тогда проверочными полиномами для ГМВП будут Иг1(х) = И3(х)И5(х) и Иг2(х) = И33(х)И55(х) = И3(х)И31(х). Индексы „33" и „55" являются показателями степени дляр-сопряженных корней полиномов И3(х) и ^31(х).
_Таблица 5
Базисные поли- Число n значений ПВКФ ГМВП1 и ГМВП2 при
номы для Тип R(t); г(т)
ГМВП1 и КФ 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9; -13; -17; -21;
ГМВП2 0,37 0,30 0,24 0,17 0,11 0,05 -0,02 -0,08 -0,14 -0,21 -0,27 -0,33
h1(x) и h5(x) 1 3 12 3 26 6 7 6
h1(x) и h11(x) 2 2 4 12 27 18
h1(x) и h13(x) 1 3 12 3 26 6 7 6
M(x) и h23(x) 2 2 4 12 27 18
h1(x) и h31(x) 3 4 6 6 12 15 6 6 8
Анализ результатов показал, что трем типам ПВКФ МП соответствует также три типа ПВКФ ГМВП. Функция корреляции первого типа принимает семь значений в интервале от -13 до +15:
ад е {-13(6), -9(7), -5(6), -1(26), 7(3), 11(12), 15(3)}. Например, ПВКФ ГМВП с Иг1(х) = Ь3,(х)И5(х) и Иг2(х) = И15(х)И11(х) показана на рис. 2.
ПВКФ ГМВП первого типа: ИТг(х) и Ит2(х)
15 10 5
Рис. 2
В отличие от МП, у ПВКФ ГМВП отсутствует уровень „-17", что является положительным фактором при использовании данных последовательностей. Модуль максимального значения ПВКФ равен 15.
По аналогии с парами МП, которые являются предпочтительными, полученные на их основе пары ГМВП также можно назвать предпочтительными.
ПВКФ ГМВП второго типа принимает пять значений от -9 до +23:
ад е {-9(18), -1(27), +7(12), +15(4), +23(2)},
что полностью совпадает как по значениям, так и по числу этих значений с ПВКФ МП второго типа.
ПВКФ ГМВП третьего типа аналогична ПВКФ первого типа и принимает значения, лежащие в интервале от -15 до +13, но с добавлением уровня „+3":
ад е {-13(8), -9(6), -5(6), -1(15), +3(12), +7(6), +11(6), +15(4)}.
Пары ГМВП с ПВКФ третьего типа также могут быть отнесены к предпочтительным, так как максимальное значение модуля ПВКФ удовлетворяет условию (2).
В результате проведенных исследований можно сформулировать алгоритм формирования предпочтительных пар ГМВП.
Шаг 1. Выбор конечного поля с двойным расширением вида ОГ[(2™)и], для которого существуют ГМВП с периодом N=2^-1.
Шаг 2. Определение для поля ОГ[(2^п] перечня неприводимых полиномов, включающего все примитивные полиномы И(х) степени mn, на основании которых формируются базисные МП.
Шаг 3. Вычисление ПВКФ для всевозможных пар МП.
Шаг 4. Выбор пар полиномов, на основании которых формируются предпочтительные пары МП с требуемой ПВКФ.
Шаг 5. Вычисление ПВКФ ГМВП.
Шаг 6. Формирование предпочтительных пар ГМВП на основе полученных ПП М-последовательностей.
В соответствии с алгоритмом определим ПП ГМВП для периода N=255.
4 2
Шаг 1. Выбор конечного поля с двойным расширением вида ОГ[(2 ) ], для которого су-
8
ществуют ГМВП с периодом N=2 -1=255.
42
Шаг 2. Формирование перечня неприводимых полиномов в поле ОГ[(2 ) ] — приведен в табл. 6 [19], периоды корней полиномов обозначены как в.
Таблица 6
Полином e Полином e Полином e
h1 (x)=x8+x4+x3+x2+1 255 h25(x)=x8+x4+x3+x+1 51 h59(x)= x8+x6+x3+x2+1 255
h3(x)=x8+x6+x5+x4+x2+x+1 85 h27(x)=x8+x5+x4+x3+x2+ x+1 85 h61 (x)=x8+x7+x6+x3+x2+x+1 255
h5(x)=x8+x7+x6+x5+x4+x+1 51 h29(x)=x8+x7+x3+x2+1 255 h63(x)=x8+x7+x6+x4+x3+x2+1 85
h7 (x)=x8+x6+x5+x3+1 255 h31 (x)=x8+x5+x3+x2+1 255 h85(x)=x2+x+1 3
h9(x)=x8+x7+x5+x4+x3+x2+1 85 h37 (x)=x8+x6+x4+x3+x2+x+1 255 h87(x)=x8+x7+x5+x+1 85
h11 (x)=x8+x7+x6+x5+x2+x+1 255 h39(x)=x8+x7+x6+x5+x4+x3+1 85 h91(x)=x8+x7+x6+x5+x4+x2+1 255
h13(x)=x8+x5+x3+x+1 255 h43(x)= x8+x7+x6+x+1 255 h95(x)=x8+x7+x4+x3+x2+x+1 51
h15(x)=x8+x7+x6+x4+x2+x+1 17 h45(x)=x8+x5+x4+x3+1 17 h111 (x)=x8+x6+x5+x4+x3+x+1 85
h17(x)=x4+x+1 15 h47 (x)=x8+x7+x5+x3+1 255 h119(x)=x4+x3+1 15
h19(x)=x8+x6+x5+x2+1 255 h51 (x)=x4+x3+x2+x+1 5 h127 (x)=x8+x6+x5+x4+1 255
h21 (x)=x8+x7+x3+x+1 85 h53(x)=x8+x7+x2+x+1 255
h23(x)= x8+x6+x5+x+1 255 h55(x)=x8+x7+x5+x4+1 51
Шаг 3. Вычисление ПВКФ для всевозможных пар МП. Значения ПВКФ Я(т) и коэффи-
8 4 3 2
циента корреляции г(т) для МП1 с проверочным полиномом И1(х)=х +х +х +х +1 и остальных МП с примитивными полиномами И(х) приведены в табл. 7. Всего получено 15 вариантов ПВКФ МП, среди которых можно выделить 9 типов корреляционных функций. Типы ПВКФ с первого по шестой встречаются по два раза, а типы с седьмого по девятый — по одному разу.
Таблица 7
Число n значений ПВКФ МП1 и МП2 при
h(x) Тип r(t); г(т)
КФ 95; 63; 47; 31; 27; 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9; -13; -17; -21; -25; -29; -33; -65;
0,37 0,25 0,18 0,12 0,11 0,09 0,07 0,06 0,04 0,03 0,01 0,00 -0,02 -0,04 -0,05 -0,07 -0,08 -0,10 -0,11 -0,13 -0,25
1—7 5 1 14 68 104 52 16
11 2 4 10 68 100 64 8 1
13 4 1 4 84 100 48 18
19 3 8 8 64 87 88
23 6 2 20 56 89 88
29o 2 4 10 68 100 64 8 1
31 1 40 16 119 80
37 5 1 14 68 104 52 16
43 7 2 1 76 108 60 8
47 3 8 8 64 87 88
53 8 4 96 59 96
59 4 1 4 84 100 48 18
61 6 2 20 56 89 88
91 1 40 16 119 80
127 9 5 8 20 16 16 16 20 16 16 32 16 24 18 8 16 8
Шаг 4. Выбор пар полиномов, на основании которых формируются предпочтительные пары МП с требуемой ПВКФ. Условию (2) удовлетворяют только ПВКФ первого и девятого типов. Для первого типа это пары МП с проверочными полиномами h1(x)—h31(x) и h1(x)—h91(x); для девятого типа — пары МП с полиномами h1(x)—h127(x).
ПВКФ первого типа предпочтительных пар МП с периодом N=255 принимает четыре значения, лежащие в интервале от -17 до +31.
R(t) е {-17(80), -1(119), +15(16), +31(40)}.
Для каждого примитивного полинома в поле GF(28) можно сформировать по две предпочтительные пары. Для этого необходимо индекс данного полинома умножить на 31 и 91 по mod 255 и привести к наименьшему показателю. Например, МП с примитивным полиномом
И47(х) будет составлять предпочтительную пару с МП, проверочными полиномами которых являются И91(х) и ^гз(х).
Всего можно сформировать 16 ПП МП, сгруппированных в два множества по 8 МП: Их(х) - кз1(х) - Й19(х) - кб1(х) - И$з(х) - ¿2з(х) - ^(х) - ^(х) - ^(х), И7(х) - И59(х) - Ац(х) - ^4з(х) - ¿29(х) - ^1з(х) - ^(х) - ¿127^) - ¿7^).
ПВКФ МП девятого типа принимает шестнадцать значений, лежащих в интервале от -29 до +Э1:
Я(т) е {-29(8), -25(16), -21(8), -17(18), -1Э(24), -9(16), -5(Э2), -1(16), з(16), 7(20), 11(16), 15(16), 19(16), 2Э(20), 27(8), Э1(5)>.
ПВКФ девятого типа обладают пары МП, проверочными полиномами которых являются сопряженные полиномы. Например, для полинома Ь47(х) сопряженным будет полином Мз(х).
Шаг 5. Вычисление ПВКФ ГМВП. Формирование ГМВП с периодом N=255 также выполняется на основе базисных МП в соответствии с разработанным в работах [17, 18] алгоритмом. Проверочный полином ГМВП вычисляется как произведение четырех полиномов, корни которых являются соответственно 7, 11, 1з и з7-ми степенями корней исходного примитивного полинома базисной МП. ЭЛС ГМВП равна /¡=з2, т.е. в четыре раза превышает ЭЛС МП с таким же периодом. Всего в поле ОБ(2 ) существует шестнадцать примитивных полиномов 8-й степени и соответственно шестнадцать ГМВП с периодом N=255.
Значения ПВКФ ГМВП показаны в табл. 8. Функция корреляции вычисляется для ГМВП с проверочным полиномом Иг1(х)=И7(х)-И11(х)-И1з(х)-Из7(х), образованной на основе МП с полиномом Ь1(х), и ГМВП, образованных на основе МП с другими пятнадцатью примитивными полиномами ¿¿(х). Для сокращения записи в первой графе табл. 8 вместо четырех сомножителей полинома ГМВП приводится только полином базисной МП. Например, для полинома кМП(х)=к11(х) полиномом для ГМВП будет
Лг11(х) = ¿77(х) • Й121(х)-Й14з(х) • ¿152^) = ¿5з(х) ¿47^) • ^л(х) ^(х).
Индексы „77", „121", „14з", „152" являются показателями степени для ^-сопряженных корней полиномов ¿5з(х), ¿47(х), кз1(х) и ¿19(х). Выражение Ьг11(х) здесь и далее используется для обозначения проверочного полинома ГМВП, построенного на основе базисной МП с полиномом кМц(х)=к11(х).
Таблица 8
Чх) Тип КФ Число п значений ПВКФ ГМВП1 и ГМВП2 при Я(т)
95 6з 47 з9 з5 Э1 27 2з 19 15 11 7 з -1 -5 -9 -1з -17 -21 -25 -29 -зз
1—7 5 2 4 9 16 16 8 24 40 28 24 28 16 з2 8
11 2 4 8 16 8 8 40 24 4з 24 8 40 16 16
1з 4 1 4 з2 4 48 16 44 16 8 48 8 24 2
19 з 8 8 64 87 88
2з 6 2 20 56 89 88
29о 2 4 8 16 8 8 40 24 4з 24 8 40 16 16
Э1 1 40 16 119 80
з7 5 2 4 9 16 16 8 24 40 28 24 28 16 з2 8
4з 7 2 1 8 16 4 48 24 16 з6 24 з2 20 16 8
47 з 8 8 64 87 88
5з 8 4 96 59 96
59 4 1 4 з2 4 48 16 44 16 8 48 8 24 2
61 6 2 20 56 89 88
91 1 40 16 119 80
127 9 8 8 16 8 16 24 16 з2 2з 16 16 16 16 16 16 8
Шаг 6. Формирование предпочтительных пар ГМВП на основе полученных ПП М-последовательностей. Условию (2) удовлетворяют только первый и девятый типы ПВКФ
ГМВП. Для первого типа это пары ГМВП с проверочными полиномами Аг1(х)—Аг31(х) и Аг1(х)—Аг91(х); для девятого типа — пары ГМВП с полиномами Аг1(х) — Аг127(х).
ПВКФ первого типа ПП ГМВП полностью соответствует первому типу ПВКФ ПП МП и принимает четыре значения, лежащие в интервале от -17 до +31:
Я(т) е {-17(80), -1(119), +15(16), +31(40)}.
Всего в поле
можно сформировать 16 ПП ГМВП, сгруппированных в два множества по 8 ГМВП, как и в случае с ПП МП:
Иг1 (х)-^г31 (х)-^г19(х)-^г61 (х)-^г53(х)-^г23 (х)-Аг47(х)-Аг91 (х)-Аг1 (х), Иг7(х)-Иг59(х)-Иг11(х)-Иг43(х)-Иг29(х)-Иг13(х)-Иг37(х)-Иг127(х)-Иг7(х).
ПВКФ ГМВП девятого типа также принимает шестнадцать значений, лежащих в интервале от -29 до +31, но с другим распределением:
ад е {-29(8), -25(16), -21(16), -17(16), -13(16), -9(16), -5(16), -1(23), 3(32), 7(16), 11(24), 15(16), 19(8), 23(16), 27(8), 31(8)}.
ГМВП с ПВКФ девятого типа формируются на основе базисных МП с сопряженными полиномами. Данные пары ГМВП вследствие удовлетворения ПВКФ условию (2) также можно отнести к предпочтительным. Всего имеется восемь таких пар:
Лг7(х)-^г127(х), Йг7(х)-Йг31(х), Йгп(х)-Йг61(х), Аг1э(х)-Аг47(х), ¿г19(х)-^г59(х), ^г23(х)-^г29(х), Аг37(х)-Аг91(х), Аг4э(х)-Аг5э(х).
Таким образом, в результате проведенных исследований разработан алгоритм формирования предпочтительных пар ГМВП и определены ПП ГМВП для периодов N=63 и N=255.
На основании анализа корреляционных и структурных свойств М- и ГМВ-последовательностей можно сделать следующие выводы.
1. Для МП и ГМВП с периодом N=63 существует три типа ПВКФ, для последовательностей с периодом N=255 — девять типов ПВКФ.
2. Типы ПВКФ МП с проверочными полиномами Аг(х) и А(х) соответствуют типам ПВКФ ГМВП, сформированных на основе базисных МП с этими же полиномами.
3. Предпочтительными являются пары ГМВП, которые формируются на основе базисных ПП МП.
4. Для периода N=63 существует 6 ПП ГМВП с ПВКФ первого типа и 3 ПП ГМВП с ПВКФ третьего типа.
5. Для периода N=255 существует 16 ПП ГМВП с ПВКФ первого типа и 8 ПП ГМВП с ПВКФ девятого типа.
6. Структурная скрытность ГМВП с периодом N=63 в 2 раза больше, чем у МП, а с периодом N=255 — в 4 раза больше.
Результаты могут быть использованы при построении сигналов с расширенным спектром и систем сигналов с высокой структурной скрытностью для систем передачи цифровой информации.
список литературы
1. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005. 592 с.
2. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Изд. дом „Вильямс", 2003. 1104 с.
4. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения: Пер. с англ. М.: Техносфера. 2007. 488 с.
5. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge Univ. Press, 2005. 438 p.
6. Tsankov T., Trifonov T., Staneva L. An algorithm for synthesis of phase manipulated signals with high structural complexity // J. Scientific & Appl. Research. 2013. Vol. 4. P. 80—87.
7. Chung H. B., No J. S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 1999. Vol. 45, N 6. P. 2060—2065.
8. No Jong-Seon. Generalization of GMW sequences and No sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 1996. Vol. 42, N 1. Р. 260—262.
9. Coulter R. S., Mesnager S. Bent functions from involutions over F(2n) // IEEE Transact. on Information Theory. 2018. Vol. 64, N 4. P. 2979—2986.
10. Zhengchun Zhou, Tor Helleseth, Udaya Parampalli. A family of polyphase sequences with asymptotically optimal correlation // IEEE Transact. on Information Theory. 2018. Vol. 64, N 4. P. 2896—2900.
11. Popovic B. M. Optimum sets of interference-free sequences with zero autocorrelation zones // IEEE Transact. on Information Theory. 2018. Vol. 64, N 4. P. 2876—2882.
12. Min Kyu Song, Hong-Yeop Song. A construction of odd length generators for optimal families of perfect sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 2018. Vol. 64, N 4. P. 2901—2909.
13. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: Международная акад. связи, 2003. 608 с.
14. Tao Zhang, Shuxing Li, Tao Feng, Gennian Ge. Some new results on the cross correlation of m-sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 2014. Vol. 60, N 5. P. 3062—3068.
15. Liang H., Tang Y. The cross correlation distribution of a p-ary m-sequence of period pm-1 and its decimated sequences by (pk+1)(pm+1)/4 // Finite Fields and their Applications. 2015. Vol. 31. P. 137—161.
16. Rizomiliotis P., Kalouptsidis N. Results on the nonlinear span of binary sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 2005. Vol. IT-51. P. 1555—1563.
17. Стародубцев В. Г., Бородько Д. Н., Мышко В. В. Алгоритм формирования ГМВ-последовательностей с периодом N=4095 в системах передачи телеметрической информации // Авиакосмическое приборостроение. 2018. № 5. С. 3—15.
18. Стародубцев В. Г., Мышко В. В., Ткаченко В. В. Аппаратная и программная реализация алгоритма формирования последовательностей Гордона—Миллса—Велча // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2018. Т. 10, № 3. С. 13—20.
19. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Пер. с англ.; Под ред. Р. Л. Добрушина и С. И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 594 с.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; Университет ИТМО; E-mail: vgstarod@mail.ru Яна Вячеславовна Осадчая — слушатель; ВКА им. А. Ф. Можайского;
E-mail: yana_osadchaya@mail.ru
Поступила в редакцию 03.04.19 г.
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Осадчая Я. В. Предпочтительные пары ГМВ-последователь-ностей для систем передачи цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 7. С. 610—620.
PREFERRED PAIRS OF GMW-SEQUENCES FOR DIGITAL INFORMATION TRANSFER SYSTEMS
V. G. Starodubtsev1,2, Ya. V. Osadchaya1
1A. F. Mozhaysky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: vgstarod@mail.ru 2ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia
An analysis of periodic cross-correlation functions (PCCF) of M-sequences (MS) and Gordon-Mills-Welch sequences (GMWS), which have a two-level autocorrelation function, is presented. A higher structural secrecy of GMWS as compared with the MS determines the preference for the use of GMWS in digital information transmission systems (DITS) subject to increased confidentiality requirements. An algorithm for formation of preferred pairs of GMWS and their definitions for periods N = 63 and N = 255 are developed. Mathematical apparatus of the theory of finite fields, linear algebra and correlation analysis are used in the research. Values of PCCF of various pairs of MS and GMWS are obtained for periods N = 63 and N = 255. It is shown that GMWS, forming preferred pairs, are formed based on MS, also forming preferred pairs. The obtained results can be used in the formation of spread-spectrum signals in the noise-proof DITS, as well as in the synthesis of signal systems that allow an analytical representation in finite fields.
Keywords: pseudorandom sequences, preferred pairs, correlation function, structural secrecy, indivisible and primitive polynomials, finite fields
REFERENCES
1. Vishnevskiy V.M., Lyakhov A.I., Portnoy S.L., Shakhnovich I.V. Shirokopolosnye besprovodnye seti pereda-chi informatsii (Broadband Wireless Networks of Information Transfer), Moscow, 592 p. (in Russ.)
2. Ipatov V.P. Periodicheskie diskretnye signaly s optimal'nymi korrelyatsionnymi svoystvami (Periodic Discrete Signals with Optimum Correlation Properties), Moscow, 1992, 152 p. (in Russ.)
3. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications, Prentice-Hall, 2001.
4. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications, Wiley, 2005, 400 p.
5. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.
6. Tsankov T., Trifonov T., Staneva L. Journal Scientific & Applied Research, 2013, vol. 4, pp. 80-87.
7. Chung H.B., No J.S. IEEE Trans. on Information Theory, 1999, no. 6(45), pp. 2060-2065.
8. No Jong-Seon. IEEE Trans. on Information Theory, 1996, no. 1(42), pp. 260-262.
9. Coulter R.S., Mesnager S. IEEE Trans. on Information Theory, 2018, no. 4(64), pp. 2979-2986.
10. Zhengchun Zhou, Tor Helleseth, Udaya Parampalli. IEEE Trans. on Information Theory, 2018, no. 4(64), pp. 2896-2900.
11. Popovic B.M. IEEE Trans. on Information Theory, 2018, no. 4(64), pp. 2876-2882.
12. Min Kyu Song, Hong-Yeop Song. IEEE Trans. on Information Theory, 2018, no. 4(64), pp. 2901-2909.
13. Varakin L.E., Shinakov Yu.S., ed., CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee (CDMA: Last, Real, Future), Moscow, 2003, 608 p. (in Russ.)
14. Tao Zhang, Shuxing Li, Tao Feng, Gennian Ge. IEEE Trans. on Information Theory, 2014, no. 5(60), pp. 3062-3068.
15. Liang H., Tang Y. Finite Fields and Their Applications, 2015, vol. 31, pp. 137-161.
16. Rizomiliotis P., Kalouptsidis N. IEEE Trans. on Information Theory, 2005, vol. IT-51, pp. 1555-1563.
17. Starodubtsev V.G., Borodko D.N., Myshko V.V. Aerospace Instrument-Making, 2018, no. 5, pp. 3-15. (in Russ.)
18. Starodubtsev V.G., Myshko V.V., Tkachenko V.V. H&ES Research, 2018, no. 3(10), pp. 13-20. (in Russ.)
19. Peterson W.W. & Weldon E.J. Error-Correcting Codes, Second Edition, MIT Press, 1972, 560 p.
Data on authors
Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaysky Military Space Acad-
emy, Department of Technology and Means for Automation of Processing and Analysis of Space Facilities Information; ITMO University; E-mail: vgstarod@mail.ru Yana V. Osadchaya — Student; A. F. Mozhaysky Military Space Academy;
E-mail: yana_osadchaya@mail.ru
For citation: Starodubtsev V. G., Osadchaya Ya. V. Preferred pairs of GMW-sequences for digital information transfer systems. Journal of Instrument Engineering. 2019. Vol. 62, N 7. P. 610—620 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2019-62-7-610-620
