Построение Ф-функции выпуклых n-мерных политопов Текст научной статьи по специальности «Математика»

інформації. Нова квадратична форма, що базується на ознаках частота - колір, сформованих при трансформації фізичних ознак тріщини металографічної структури в параметри приросту кількості інформації, покладена в основу алгоритму селекції тріщин матеріалів та інших треків. Значення одержаних результатів дослідження носить прикладний характер. Вони можуть бути використані при побудові програмних систем аналізу кольорових зображень і, зокрема, кольорових зображень мікроструктури матеріалів, де присутні локалізовані тріщини на кольорових фазових складниках. Позитивною технологічною особливістю нової форми є її захищеність від впливу значної частини фіксованих параметрів алгоритму, що спрощує процес її використання в системі обробки інформації. Ще однією технологічною зручністю є інтегральне визначення частотних параметрів нової форми, що підвищує її захист від шкідливої флуктуації частотних параметрів, викликаних дискретизаційними змінами просторової форми тріщини.

Література: 1.МіллерК.Дж., АкідР. Застосування підходів мікроструктурної механіки руйнування до металів із різним станом поверхні // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 1997. №1. С.9-32. 2. Андрейко І.М., Волчок І.Л., Осташ О.П., Акімов І.В., Головатюк Ю. В. Вплив міді на циклічну тріщиностійкість і термотривкість графітизованих сталей. // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2004. №3. С. 109-112. 3. Myshkin N.K., Kong H., Gngoriev A.Ya., Yoon E.-S. The use of color in wear debris analysis. // Elsevior. Wear 2001 251. P. 1218-1226. 4. Szala J. Zastosovwanie metod kompputerowej analizy obrazu do ilosciowej oceny stryktury materialow. // W. Politechnika Slaska, Zeszyty naukowe, 2000. № 1518. 167р. 5. Русин Б.П., Іванюк В.Г., Лау Г., Довгуник В.М., Корній В.В. Комп’ютерна кількісна оцінка фазового складу матеріалу за кольоровим металографічним зображен-

УДК 519.859 '

ПОСТРОЕНИЕ Ф-ФУНКЦИИ ВЫПУКЛЫХ N-МЕРНЫХ ПОЛИТОПОВ

ГИЛЬ Н. И., СОФРОНОВА М. С.________________

Строятся специальные функции, позволяющие формализовать условия взаимодействия выпуклых n-мерных (n>3) политопов (n-политопов), а также n-политопа и точечного множества, являющегося замыканием дополнения некоторой многогранной области до Rn . Доказывается, что построенные функции являются Ф-функция-ми. С их помощью формализуются условия взаимного непересечения n-политопов, а также условия размещения n-политопов в n-политопе.

1. Введение

Для формализации условий взаимного непересечения геометрических объектов и условий размещения их в заданных областях, при построении математических моделей задач размещения, упаковки, покрытия широко используется математический аппарат Ф-фун-кций [1,2]. В самом общем виде Ф-функцию геометрических объектов Tj(uj) и T2(u2) можно определить следующим образом [3]:

РИ, 2006, № 1

ням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2004. №5. С.77-80. 6. Іванюк В.Г., Капшій О.В., Косаревич Р.Я., Лау Г. Інформаційна оцінка і виділення фрагментів кольорових зображень // Радіоелектроніка і інформатика. 2004. № 3. С. 122125. 7. Іванюк В.Г., Лау Г., Лобур М.В. Розробка завадостійких алгоритмів оцінки компонентів кольорових зображень // Вісник НУ “Львівська політехніка “: Комп’ютерні системи проектування. Теорія і практика,. 2005. №487. С. 22-30. 8. Базылев И.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В. П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974. 351С. 9. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 790 с. 10. Saeed V.Vaseghi Advanced Digital Signal Processing and Noise Reduction. Second Edition. Copyright © 2000 John Wiley & Sons Ltd. 2000. 466 р.

Надшшла до редколегії 14.03.2006

Рецензент: д-р техн. наук, проф.Лукш В.В.

Русин Богдан Павлович, д-р техн. наук, проф., зав. відділом методів та систем обробки, аналізу та ідентифікації зображень Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а. email: dep32@ipm.lviv.ua.

Іванюк Віталій Григорович, інженер відділу методів та систем обробки, аналізу та ідентифікації зображень Фізи-ко-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання кольорових зображень, системи контролю високовольтних трансформаторів. Адреса: 79601, Україна, м. Львів, вул. Наукова, 5а, тел:65-45-30. e-mail: dep32@ipm.lviv.ua.

Корній Валентина Василівна, канд. техн. наук, зав. відділом Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а, e-mail: valia@ipm.lviv.ua.

непрерывная, всюду определенная функция Ф^^,^): R2n ^ R1 называется Ф-функцией объектов Tj(u;) сRn, i=1,2, если она обладает следующими характеристическими свойствами:

Ф^^,^) > 0, еслиclT1(u1)n clT2(u2) = 0, Ф^^,^) = 0, еслиintT1(u1)nintT2(u2) = 0,

frT (u1) n frT2(u2) *0, (!)

Ф^^,^) <0, еслиintT1(u1)nintT2(u2) ^0,

где cl(-), int(-), fr(-) - соответственно замыкание, внутренность и граница точечного множества (•); u = (xj1,x;2,...,xjn) - параметры размещения объекта T , i=1,2, определяющие его положение в пространстве R n .

Множество точек

712 = {(u1,u2) єR2n :Ф^ь^) = 0} называется поверхностью 0-уровня Ф-функции.

2. Анализ исследований и публикаций

Известные способы построения Ф-функции для различных классов геометрических объектов про-

101

странств r2 и r3 изложены в многочисленных публикациях, в том числе в [2-5]. В [6] рассмотрен способ построения Ф-функции n-мерных (n>3) параллелепипедов (n-параллелепипедов).

Целью работы является построение Ф-функций для класса выпуклых n-мерных (n>3) многогранных объектов (выпуклых n-политопов или, коротко, n-политопов), а также для n-политопа и точечного множества, являющегося замыканием дополнения некоторой многогранной области до Rn .

Основными задачами в соответствии с поставленной целью являются:

а) разработка способов построения соответствующих Ф-функций;

б) проведение строгого доказательства достоверности того, что построенные предложенными способами функции являются Ф-функциями.

3. Построение Ф-функции n-политопов Tj и Т2

Рассмотрим в пространстве Rn выпуклые n-политопы Т і и Т2, заданные координатами вершин vi = (xii,xi2,...,xin) , i=1,2,...,p, и

Vj = (xJ1,xJ2,...,xJn), j=1,2,...,q, относительно собственных систем координат. Очевидно, что имея вершины выпуклого n-политопа, всегда можно построить опорные к нему гиперплоскости такие, что пересечение соответствующих полупространств определяет данный n-политоп. С другой стороны, имея набор полупространств (гиперплоскостей), определяющих n-политоп, всегда можно построить соответствующее множество вершин данного n-политопа.

Заметим, что граница n-политопа состоит из выпуклых m-политопов, m=1,2,.. ,,n-1. При этом 0-политопом является точка, 1-политопом - ребро, 2-политопов - двумерная грань и т.д. Число F(n,N) гиперграней ((n-1 )-мерных граней) n-политопа с N вершинами может достигать значения [7]:

F(n,N) = <

2N

n

n-і C2

N - ” -1 2

n

для четных n,

2CL 2--

N -

n

2

-1

для нечетных n.

Предлагаемый способ построения Ф-функции n-политопов Tr(ur), г=1,2, состоит в следующем. Совместим собственную систему координат n-политопа T1 с основной системой, т.е. будем считать T1 неподвижным. Обозначим через М множество точек VS = vi -vj, i=1,2,...,p, j=1,2,...,q, s=1,2,...,pq, в основной системе координат Ox1x2...xn. Заметим, что множество М образуется на основании преобразования центральной симметрии n-политопа T2 и трансляций его на векторы Vi, i=1,2,...,p, т.е. трансляций, в результате которых полюс n-политопа T2 совмещается с вершинами n-политопа T1.

Пусть

n *

fk(u) = fk(x1,x2.-,xn) = X Akh(xh - xsh) = 0,

h=1

k=1,2,.,m, - уравнения гиперплоскостей Pk, являющихся опорными относительно множества точек М и

таких, что каждая из них определяется n точками из М.

_ * * * *

Здесь vs = (xs1,xs2,...,xsn) - одна из точек множества М, такая, что fk (v s) = 0 . Будем считать, что fk (u) < 0, если u є M. Для построения таких гиперплоскостей можно воспользоваться, например, способом построения выпуклой оболочки заданного множества точек [7] или некоторой его модификацией. Очевидно, что пересечение полупространств fk(u) <0, k=1,2,.,m, представляет собой выпуклый n-политоп T 12(0), граница которого совпадает с выпуклой оболочкой множества М, т. е.

T12(0) = {u є Rn : fk(u) < 0, k = 1,2,...,m} .

Теорема 1. Пусть Vi = (xi1,xi2,...,xin), i=l,2,...,p, и Vj = (*j1,xj2,...,xjn), j=1,2,...,q, - вершины п-поли-топов Т1 и Т2 соответственно, заданные в собственных системах координат, а

n*

fk(u) = fk(xbx2v..,xn) = X Akh(xh -xsh) = 0,

h=1

k=1,2,...,m, - уравнения гиперплоскостей, образующих выпуклую оболочку множества М точек (Vi _Vj), i=1,2,...,p, j=1,2,...,q, причем fk(u) < 0, если u є M • Тогда функция

®12(u1,u2) =

= max{f1(u2 -u1),f2(u2 -u1),...,fm(u2 -u1)} (2

является Ф-функцией п-политопов Т1(и1) и Т2(и2)^

Будем считать, что полюс [1] n-политопа Tr, г=1,2, совпадает с началом Or собственной системы координат. Положение n-политопа Tr ,г=1,2, в основной (неподвижной) системе координат Ox1x2.xn характеризуется координатами его полюса (вектором параметров размещения ur = (xr1,xr2,...,xrn)). Тогда n-политоп Tr с параметрами размещения ur будем обозначать Tr(ur), r=1,2. Очевидно, что

Tr(ur) = {v є Rn :v = ur + w, w є Tr(0)} .

Доказательство. Известно [8], что функция вида F(x) = max(min){f1(x),f2(x),...,fm(x)} является непрерывной и всюду определенной, если fk(x), k=1,2,.,m, непрерывные и всюду определенные функции, x є Rn. В работе [9] доказано (теорема 2), что множество крайних точек (вершин) суммы Минковского [10] выпуклых тел есть подмножество суммы Минковского множества крайних точек этих тел. Отсюда можно сделать вывод, что точечное множество Т 12(0) (n-

102

РИ, 2006, № 1

политоп), образованное пересечением полупространств fk (u) < 0, k=1,2,... ,m, является суммой Минковского n-политопов Ті(0) и (-1)T2(0), т.е.

Ti2(0) = Ті(0) ® (-1)T2(0),

где ® - символ суммирования Минковского,(-1)Т2(0) - результат отражения n-политопа Т 2(0) относительно начала собственной системы координат.

В той же работе [9] доказано (теорема 1), что сумма Минковского Т12(0)=Т1(0) © (-1)Т2(0) совпадает с телом, ограниченным поверхностью 0-уровня Ф-фун-

кции тел Т1(и1) и Т2(и2), т.е. граница у°2 точечного

множества Т12(0) является поверхностью 0-уровня Ф-функции n-политопов Т1(и1) и Т2(и2). Для доказательства настоящей теоремы достаточно показать, что функция (2) удовлетворяет условиям (1).

Зафиксируем произвольным образом значение U1 = ЇГ1. Осуществим трансляцию неподвижной системы координат на вектор U1. Тогда в новой системе координат имеем: u) = 0, u2 = U2 -U1. Рассмотрим три случая.

1. Пусть u1 и u2, а значит u) и u 2, такие, что ТД0)nT2(u2 -йД = 0 , т.е. Т1(0) и Т2(u2-Ul) не пересекаются. Так как frT12(0) = у02, а у02 - поверхность 0-уровня Ф-функции, то с учетом свойств поверхности у02 имеем: (u2 - u1) g T12(0). Поскольку у02 определяется гиперплоскостями fk(u) = 0, k=1,2,...,m, то это означает, что относительно по крайней мере одной гиперплоскости fj(u) = 0, l є{1,2,...,m}, точка (u2-u1) имеет положительное уклонение, т.е. fi(u2 - Щ) > 0 . С учетом вида функции (2) приходим к выводу, что ®12(u1, u2 ) > 0.

2. Пусть u1 и u2 (u1 и u2) такие, что Т1(0) и T2(u2_u1) касаются. Это значит, что (u2 - u1) є frT12(0) = y02, т.е. точка (u2-u1) принадлежит по крайней мере одной гиперплоскости fl(u2 - u1) = 0 , l є {1,2,...,m}, а относительно остальных гиперплоскостей имеет неположительные уклонения: fk(u2 -u^ < 0, k = 1,2,...,m, k Ф l. С учетом вида функции (2) имеем: O^Ou!,^) = 0.

3. Пусть теперь u1, u2 (u1 ,u2) такие, что Т1(0) и Т2^2-

u1) пересекаются. Это значит, что

(u2 - u^ є intT12(0), т.е. выполняются соотношения fk(u2 -u1) < 0 , k = 1,2,...,m. Поэтому очевидно, что в данном случае O12(u1,u2) < 0.

Таким образом, при u1 = u функция O12(u1,u2) удовлетворяет условиям (1). Так как значение u выбиралось произвольным образом, то можно утверждать, что условия (1) выполняются при любом значении u1, т.е. функция (2) является Ф-функцией n-политопов Т 1(u1) и Т^Д, что и требовалось доказать.

4. Построение Ф-функции многогранного точечного множества Т и n-политопа Т2

Рассмотрим в пространстве Rn многогранную область D0(0), определяемую вершинами

Vi = (Xi1,Xi2,...,Xin), i=1,2,...,p, и n-политоп Т2(0), определяемый вершинамиvj = (Xj1,Xj2,...,Xjn),

j=1,2,.. ,,q. Не умаляя общности рассуждений, будем считать, что Т2 всегда можно разместить в D0, т.е. существует такое значение вектора u2, что T2(u2) с D0(0). Построим Ф-функцию точечного множества T1(u0) = Rn\intD0(u0) и n-политопа ТД^), где u0 - вектор параметров размещения области D0.

Обозначим через fk(u) = fk(x1,X2,...,xn) =

= ЕAkh(Xh -Xsh) = 0, k=1,2,...,m, -уравнения опор-h=1

ных к D0(0) гиперплоскостей, каждая из которых включает в себя по крайней мере n вершин области D0(0), в том числе и вершину

vs = (XS1,XS2,...,Xsn),s є {1,2,...,p} . Будем считать, что

fk(u) > 0, если u є D0(0), k=1,2,...,m. Очевидно,

что пересечение полупространств fk(u)>0, k=1,2,...,m, определяет область D0(0).

Пусть Vk = {Xk1,...,Xk1}: fk (vk) = min fk(vj) ,

j=1,2,...,q

k = 1,2,..., m, l є {1,2,...,q}, - одна из вершин n-политопа Т2(0), имеющая минимальное уклонение относительно гиперплоскости fk(u) = 0, а vs :fk(vs) = 0, s є {1,2,...,p}, - некоторая вершина области D0(0), принадлежащая гиперплоскости fk (u) = 0. Тогдаурав-нение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости fk(u) = 0 и проходящей через точку (vs - vk), имеет вид

fk(u) = fk(X1,X2,...,Xn) = Ё Akh(Xh - Xsh + Xlh) = 0.

h=1

Пересечение полупространств fj* (u) > 0 , k=1,2,. ,m, определяет некоторую выпуклую область d0 , граница frD0 = fr(Rn \intD0) которой определяется гиперплоскостями fk*(u) = 0, k = 1,2,...,m,m < m. Границу

* n *

точечного множества T02(0) = R \intD0 представим в виде:

frT02(0) = frD0 = {u є Rn : y(u) = 0},

где y(u) = minf*(u),f*(u),...,C(u)} .

Заменяя в y(u) u на (u2-u0), получаем функцию

Ф02(u0,u2) = V(u2 - u0) =

* * * (3)

= min{f1 (u2 - u0),f2(u2 - u0),...,fm(u2 - u0)}. v '

РИ, 2006, № 1

103

Покажем, что функция (3) является Ф-функцией точечного множества Rn\intD0(u0) и n-политопа Т2(и2).

Теорема 2. Пусть Vi, i=1,2,.. ,,p, - вершины n-мерной многогранной области Do(0); Vj, j=l,2,...,q, - вершины n-политопа Т2(0);

n

fk(u) = ЕAkh(xh -xsh) = 0, к=1,2,...,т, h=1

- уравнения гиперплоскостей, определяющих область D0(0) и таких, что fk(u) > 0, если u є D0(0);

* n k

fk(u) = EAkh(xh -xsh + xlh) = 0, k=1,2,_,m, h=1

- уравнения гиперплоскостей, каждая из которых параллельна соответствующей гиперплоскости fk (u) = 0 и проходит через точку (vs - vk), где

vk:fk(vlk) = .j™* qfk(vj), Vj/ (fk(vs) = 0. Тогда

функция

Ф 02 (u0,u2) =

= min{f*(u2 -u0),f*(u2 -u0),...,fim(u2 -u0)} является Ф-функцией точечного множества T1 (u0) = Rn \ intD0(u0) и n-политопа Т2^2).

Доказательство. Очевидно, как и в теореме 1, что функция (3) является непрерывной и всюду определенной. Покажем, что она удовлетворяет условиям

(1). Заметим, что полупространство fk(u) < 0 является суммой Минковского полупространстваfk(u) < 0 и n-политопа (—1 )Т2(0). Объединение полупространств fk*(u) <0, k = 1,2,_,ш, представляет собой сумму Минковского точечного множества

T1(0) = Rn\intD0(0) и n-политопа (-1)Т2(0), т.е.

T*2 (0) = T1 (0) © (-1)T2 (0) = Rn \ intD0 .

Поверхность у02 = frT*2(0) = frD0 является поверхностью 0-уровня Ф-функции Ф02(0,u2) .

Зафиксируем произвольное значение вектора параметров размещения u0 = % . Осуществим трансляцию неподвижной системы координат на вектор Й0 . Тогда в новой системе координат имеем: u0 = 0,u2 = u2 -Й0.

Рассмотрим три случая.

1. Пусть u0 и u2, а значит u0 и u2 , такие что T 1(0) и T2(u2 -П0) не пересекаются. Это значит, что (u2 -u0) єintD0, поскольку у02 = frD0 является поверхностью 0-уровня Ф-функции. Так как у 02 определяется гиперплоскостями f]*(u) = 0 , k = 1,2,...,m, то

с учетом их ориентации имеем: fk*(u2 -П0) > 0, 104

k= 1,2,_, m. Тогда, с учетом вида функции (3), име-

ем Ф 02(u0,u2)>0.

2. Пусть u0 и u2 (u0 и u2) такие, что T1(0) и

T2(u2 -П0) касаются. Это значит, что (u2 -П0) є у02 , т.е. существует по крайней мере одна гиперплоскость f*(u) = 0, lє{1,2,...,m}, такая, что f*(u2 -u0) = 0 и, кроме того, f*(u2 - u0) > 0, k=1,2,_,m, k Ф l. Очевидно, что при этом Ф 02(n0,u2) = 0.

3. Пусть теперь u0 и u2 (u0 и u2 ) такие, что T1(0) и T2(u2 -й0) пересекаются. Это значит, что (u2 -Й0) £ CID0, т.е. существует по крайней мере одна гиперплоскость f*(u) = 0 , l є {1,2,...,Ш}, такая, что f*(u2 - ^) < 0. Тогда, с учетом вида функции (3), имеем Ф 02(u0,u2) < 0.

Таким образом, при u0 = u0 функция (3) удовлетворяет условиям (1), а с учетом того, что значение u0 выбиралось произвольно, приходим к выводу, что функция Ф02(u0,u2) удовлетворяет условиям (1), т.е. является Ф-функцией, что и требовалось доказать.

Рассмотрим частный случай, когда областью D0(0) является n-параллелепипед

P(0) = {v = (x1,x2,...,xn) є Rn : 0 < x; < a;,i = 1,2,...,n}

с размерами ai, i=1,2,_ ,n. В этом случае опорными к Р(0) являются гиперплоскости

fk1(u) = xk = 0, fk2(u) = -xk + ak = 0, k=1,2,_,n,

а граница области d0 определяется гиперплоскостями

fk*1 (u) = xk - xmin = 0, fk*2 (u) = -xk + ak - xmax = 0, k=1,2,_,n,

где

xmax = max{x1k ,x2k,***,xqk}, xk““ = min{x1k,X2k,...,xqk}

- соответственно максимальное и минимальное значения соответствующих координат вершин n-полито -па T2(0). Тогда Ф-функция точечного множества

Rn \ intP(u0) и n-политопа T2(u2) имеет вид

Ф02 (u0,u2) = min{x2k - x0k -

- x2k + x0k + ak - xmax,k = 1,2,...,n},

где u0 = (x01,x02,---,x0n) , u2 = (x21,x22v,x2n) -

векторы параметров размещения n-параллелепипеда P и n-политопа T2 соответственно.

5. Выводы и направления дальнейших исследований

Впервые разработаны способы построения Ф-функ-ций для класса выпуклых n-политопов (n>3), а также n-политопов и точечных множеств, являющихся дополнениями многогранных областей до всего про-

РИ, 2006, № 1

странства Rn. Доказаної теоремы о том, что построенные функции являются Ф-функциями. С помощью построенных Ф-функций формализованы условия взаимного непересечения n-политопов и размещения их в многогранной области.

Предложенные способы построения Ф-функции n-политопов (n>3) являются новыми, не имеющими мировых аналогов.

Направлением дальнейших исследований, определяющих практическую ценность полученных результатов, является построение математических моделей оптимизационных задач размещения n-политопов и разработка эффективных методов их решения.

Литература: 1. Стоян Ю. Г. Об одном обобщении функции плотного размещения // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 8. С. 71-84. 2. Stoyan Yu. G. Ф-function of non-convex polygons with rotation // Пробл. машиностроения. 2003. Т. 6, № 1. С. 74-86. 3. Stoyan Yu. G., Scheithauer G., Pridatko D., Romanova T., Gil N. Ф-functions for primary 3D-objects. Dresden. 2002. 24 p. (Prepr. / Technical University of Dresden; MATH-NM-15-2002). 4. Stoyan Yu. G., Terno J., Gil N., Romanova T., Scheithauer G. Construction of a Ф-functions for two convex polytopes // Appplicationes Mathematicae. 2002. Т. 29, № 2. P. 199-218. 5. Stoyan Yu. G., Scheithauer G., Gil N., Romanova T. Ф-functions for complex 2D-objects. Dresden. 2002. 24 p. (Prepr. / Technical University

УДК622.691.4.052

АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ВИБРОДИАГНОСТИРОВАНИЯ ГАЗОМОТОРНЫХ КОМПРЕССОРОВ

САПРЫКИН С.А.____________________________

Рассматривается виброконтроль основных узлов ГМК типа 10ГКН, МК8, ДР12,2-330, который с помощью ряда приборов СВиК-ГМК позволяет без их остановки и разборки определить характерные дефекты шатунных подшипников, цилиндропоршневой группы и турбокомпрессора.

1. Введение

Специфические особенности газомоторных компрессоров (ГМК): возможность обеспечения высоких давлений нагнетания (до 50 МПа), эффективная работа в широком диапазоне степеней повышения давления, высокие коэффициенты полезного действия (КПД) поршневого двигателя и другие делают их применение экономически целесоо бразным на линейных компрессорных станциях (КС), подземных хранилищах газа, дожимных КС, КС для обратной закачки газа в пласт на газоконденсатных месторождениях и других объектах газовой промышленности [1,2].

В последние годы к агрегатам типа 10ГКН добавился новый тип мощных ГМК МК8. Осваивается серийный выпуск ГМК типа ДР12, имеющего единичную мощность 5520 кВт и способного составить конкуренцию газотурбинным агрегатам. В связи с этим продолжа-

ofDresden;MATH-NM-2-2002). 6. Стоян Ю.Г., Гиль Н. И., Муравьева М. С. Ф-функция n-мерных параллелепипедов // Докл. НАН Украины. 2005. № 3. С. 22-27. 7. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989. 480 с. 8. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. 552 с. 9. Винарский В. Я., Пономаренко Л. Р., Туранов И. Н. Поверхности уровня Ф-функции и сумма Минковского // Препринт ИПМаш АН УССР. Харьков.1982. № 7. 34 с. 10. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966. 416 с.

Поступила в редколлегию 30.11.2005

Рецензент: д-р техн. наук Путятин В. П.

Гиль Николай Иванович, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А. Н. Подгорного. Научные интересы: математическое моделирование размещения геометрических объектов. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 9595-89.

Софронова Марина Сергеевна, аспирантка отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Научные интересы: математическое моделирование размещения геометрических объектов. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/ 10, тел. (0572) 95-95-36.________________________

ется прирост парка ГМК и газовых двигателей, составляющих в настоящее время на предприятиях газовой промышленности Украины пятую часть общего количества всех эксплуатируемых ГПА.

Повышение долговечности и эффективности эксплуатации ГМК является одной из важнейших задач в современном компрессоростроении, так как убытки, связанные с ремонтом агрегатов, не ограничиваются стоимостью запасных частей. Необходимо учитывать также ущерб, наносимый простоями агрегатов в связи с их ремонтом, снижением эффективности КС, промышленных предприятий и т.д.

Опыт эксплуатации ГМК выявил ряд существенных недостатков, снижающих надежность агрегатов. Недостаточная надежность обуславливает значительное время простоев агрегатов в ремонте. Основными узлами, лимитирующими долговечность работы ГМК, являются сочленения кривошипно-шатунного механизма, в частности подшипники скольжения коленчатого вала, цилиндропоршневая группа, а также турбокомпрессор и др. Анализ работы ГМК показал, что имеются временные зоны от 220 до 340 часов и две зоны от 4500 до 7000 часов с максимальным выходом основных узлов. Отсутствие контроля в эти промежутки времени с помощью методов и средств диагностирования необоснованно увеличивает объемы ремонтных работ и загрузку ремонтных предприятий

[3].

Высокие темпы развития газотранспортных систем предъявляют качественно новые требования к мето-

РИ, 2006, № 1

105