Частотно-кольорова селекція тріщин металографічного зображення Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

- побудовано три математичні моделі функцій відношення правдоподібностей;

- застосовано критерії виявлення для 1-ї і 3 -ї моделей функцій відношення правдоподібностей;

- проаналізовано ймовірності помилок виявлення 1го і 2-го роду для критеріїв Неймана - Пірсона та Зігерта;

- розглянуто способи застосування критерію Вальда для 1-ї та 3-ї моделей функцій відношення правдопо-дібностей.

Практична цінність одержаних результатів. Застосування різних моделей функцій відношення правдоподібностей для трьох статистичних критеріїв виявлення дає можливість значно спростити розрахунок помилок виявлення першого та другого роду. Для третьої моделі запропоновано обчислювати ці помилки без використання відношення правдоподібностей. На основі експериментальних досліджень встановлено неінформативні з точки зору помилок виявлення фрагменти векторів ознак. Визначено кількості правильних і неправильних об’єктів у довірчому інтервалі, що важливо для оптимізації розміру цього інтервалу в системах розпізнавання. Встановлено максимально допустиме значення порога для різних наборів векторів ознак та заданих помилок виявлення, що дає можливість порівняльної оцінки потенційних можливостей систем розпізнавання.

УДК.383.8:621.396.96:621.396.6 "

ЧАСТОТНО-КОЛЬОРОВА СЕЛЕКЦІЯ ТРІЩИН МЕТАЛОГРАФІЧНОГО ЗОБРАЖЕННЯ

РУСИН Б.П., ІВАНЮК В.Г., КОРНІЙ В.В._________

Розглядається задача виділення фрагментів металографічних кольорових зображень, тріщин в частотному просторі і в просторі кольору. Пропонується алгоритм її вирішення на основі опису тріщин, запозиченого з частотного простору, з використанням критерію кількості інформації, який одночасно долучає в алгоритм опис тріщини у просторі кольору. Дається приклад практичної програмної реалізації зазначеного алгоритму Для демонстрації програми використовується тестове зображення, де проімітовані тріщини.

1. Вступ

Прогнозування тріщиностійкості обладнання металургійного виробництва і елементів конструкцій під навантаженнями було і залишається однією з актуальних проблем інженерної практики [1,2]. Таке прогнозування тріщиностійкості пов’язане з дослідженням дозованими напруженнями зазначеного устаткування. Імітація дії експуатаційних факторів, а також дослідження факторів, відбиваючих фізичну суть формування і експлуатації досліджуваного устаткування, найчастіше виконується на дослідних зразках. В процессі дослідів, які імітують дію експлуатаційних факторів,

Література: 1. Капустій Б.О., Русин Б.П., Таянов В.А. Розподіл середньоквадратичних відстаней між об’єктами в просторі R2 // Відбір і обробка інформації. 2003. Вип. 19(95). C. 110-114. 2. KapustiyB.O.,RusynB.P., Tayanov V.A. Peculiarities of Application of Statistical Detection Criteria for Problems of Pattern Recognition // Journal of Automation and Information Sciences. 2005. Vol. 37, №2. P. 30-36. 3. Middleton D. The statistical theory of signal detection // Trans. IRE. 1954. PGIT-3, №26. P. 26-51. 4. ToddK. Moon, Wynn C. Stirling Mathematical methods and algorithms for signal processing. N.J.: Prentice-Hall, Inc., 2000. 937 p.

Надійшла до редколегії 14.03.2006

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Путятин Е.П.

Капустій Борис Омелянович, канд. техн. наук, доцент кафедри теоретичної радіотехніки та радіовимірювань ІТРЕ НУ “Львівська політехніка”. Наукові інтереси: розпізнавання зображень та мовних сигналів. Адреса: Україна, 79013, Львів, вул. С. Бандери, 12, тел. 258-21-56

Русин Богдан Павлович, д-р техн. наук, професор, зав. відділом “Методів та систем аналізу, обробки та ідентифікації зображень” ФМІ НАН України ім. Г.В. Карпенка. Наукові інтереси: аналіз, обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а, тел. 229-61-09, e-mail: rusyn@ipm.lviv.ua

Таянов Віталій Анатолійович, аспірант ФМІ НАН України ім. Г.В. Карпенка. Наукові інтереси: розпізнавання образів. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а, тел. 229-65-30, e-mail: vtayanov@ipm.lviv.ua

стан поверхні металографічного зразка, що представляє елемент устаткування, змінюється. Частина поверхні дослідного зразка покривається тріщинами.

Для контролю стану тріщиностійкості дослідних зр азків і їх фазового складу застосовуються дослідження металографічних зображень, на яких зафіксований стан поверхні дослідного зразка на його окремих ділянках [1,3-5].

При дослідженні металографічних зразків за кольоровим зображенням неінформативні фрагменти виникають за рахунок компонентів металографічної структури, які не входять в коло тріщин, відбиваючих фізичну суть формування і експлуатації досліджуваного зразка, і заважають оцінити останні. На етапі класифікації по зображенню тріщини решта складників металографічної структури практично постає структурною завадою. При контролюванні стану тріщиностійкості дослідних зразків інформація про фізичні процеси інформативних фрагментів зображення і завади, що перешкоджають її отриманню, зосереджені у просторі кольору зображення і у частотному розподілі . Цю інформацію зображення доцільно залучити, зважаючи на характерні фізичні ознаки її формування, які присутні у таких інформативних фрагментах зобр аження, якими є тріщини. Для успішної класифікації параметрів металографічної структури зображення завади потрібно знешкодити.

96

РИ, 2006, № 1

2. Постановка задачі

і представимо (1) у такій формі:

Для контролю стану тріщиноутворення дослідних зразків необхідно розробити методи та алгоритми оцінювання параметрів тріщин металографічної структури за цифровим кольоровим зображенням.

Нижче пропонується метод оцінювання параметрів структури за цифровим кольоровим металографічним зображенням за комплексною ознакою координати у просторі кольору і у частотному просторі зображення, сформованою на засадах критерію кількості інформації .

3. Розробка фізичних і теоретичних засад алгоритму класифікації

Проведемо фізичне обгрунтування застосування частотної інформації та нформації простору кольору металографічного зображення для селекції із зображення інформації тріщини.

Нехай тріщину на зображенні можна описати функцією

WCR(X,y) = wm - Wcr(X,y), (1)

де w e{r,g,b}; r = r(x,y), g = g(x,y), b = b(x,y), які характеризують просторовий розподіл відповідно червоного, зеленого та синього кольорів зображення, по осях x і y ; константа wm відповідає певному фазовому складнику металографічної структури. Зміни просторового розподілу яскравості, які відповідають тріщині, зосереджені у другій складовій -Wcr(x,y). На рис. 1 штриховою лінією представлено приклад проекції функції wCR = wCR(x,yc), яка описує тріщину для випадку фіксованої координати y = yc.

*СК WCR

Рис. 1. Графік проекції моделі тріщини wCR (1); фазовий складник wm (2); графік проекції апроксимації тріщини w CR (3) .

Щоб проаналізувати функцію wcr(x,y), доцільно ап-роксимувати її відомими функціми, характеристики, яких вивчені. Для апроксимації wcr(x,y) застосуємо функції

as(h) = sinc2^Fhh, h є x,y (2)

wCR (x, y) = wm - wcras (x - x0)as(y -У0 X (3)

де h0 - координати максимумів функцій (2); wcr -амплітуда. На рис. 1 лінією 3 представлено апрокси-маційну оцінку wCR = wCR(x,yc), яка описує тріщину для випадку фіксованої координати y = yc .

Зворотне перетворення Фур ’ є другої складової функції (3) має вигляд

W(v,y) = wcras(y-Уо) J as(x-xo)exp(-2raxv)dx. (4)

Підставимо в (2) (4) і проінтегруємо

W(v,y) = wcras(y - yo)exp(2raxov)Afhw(v), (5)

де

Afxw(v)

1, |v| < 2tcFx , 0, |v| > 2nFx

(6)

- ширина частотної смуги коливань параметра w = w(x,y0). Аналогічно (5) визначається ще одне зворотне перетворення Фур ’ є другої складової функції

(3):

W(x,u) = wCTas(x - x0) exp(2^iy0u) Afyw (u), (7)

де

Afyw(u)

1, |u| < 2^Fy ,

0, |u| > 2^Fy

(8)

- ширина частотної смуги коливань параметра w = w(x0,y). З (6) і (8) видно, що просторова частотна смуга функції (3), яка описує тріщину в частотній площині, обмежена. При практичній реалізації перетворення Фур ’ є виникнуть певні спотворення функцій

Afxw(v), Afyw(u), які обумовленні кінцевістю меж інтегрування в зворотному перетворенні Фур’є (див. (4)). Але слід очікувати, що розподіл функції Afxw (v), (Afyw (u)), який описується формулами (6) і (8), буде домінувати. Таким чином функціональні залежності (6) і (8) доцільно застосувати в операціях селекції інформації тріщин як ознаку.

З рис. 1 і моделі тріщини (3) видно, що крім інформації, що закодована у частотному розподілі, тріщина окремого фазового компонента характеризується інформацією двох точок простору кольору wm - wcr, wm. В просторі кольору точки інформативного фрагмента тріщини належать відрізкам

[A,q = [wm -wCT,wmb (9)

По координатах в просторі кольору закодована інформація глибини тріщини, а також інформація її належності до фазового складника.

РИ, 2006, № 1

97

Для декодування параметрів інформаційного фрагмента тріщини із зображення потрібно розробити спеціалізоване програмне забезпечення, яке враховує специфіку представлення тріщини у частотній площині і у просторі кольору. Для цього створимо спеціальну операцію селекції, базовану на засадах кількості інформації.

Введемо індексацію u є {a,z} . Параметри монохроматичного зображення індексуватимемо a. Параметри його фрагмента, який належить класу завад зображення, індексуватимемо z (структурні завади). В тих випадкаж, коли немає необхідності визначати належність до елемента u є {a, z} , індексація з u відсутня. Розглянемо кольорове зображення, елементи якого заповнюють апертуру поля Lx ,Ly .

Користуючись результатами роботи [6], знайдемо приріст кількості інформації, який визначає кількість інформації у інформаційному фрагменті поза завадою для кольорового зображення:

ДІ = ^ AIW, (10)

wer,g,b

де кожна складова описує інформаційний фрагмент монохроматичного зображення:

AIw _ Iwa _ Iwz , (11)

тут Iwu - кількість інформації у елементі, індексованому u є a,z. За [6] приріст кількості інформації

AIw = LxLy{log(1 + -2-)*

8wa

*[ Afywa (Afxwa _ Afxwz ) +

+Afxwa(Mywa -Afywz)] + (12)

+kAfxwa Afywa 8acw } >

де k = 2 / ln 2 , Afxwu, Afywu - частотні смуги коливань параметрів wu = wu(x ,y ), u є {a,z}; x, y - координати пікселя у площині зображення, w є {r,g,b} :

5

wu

wuMIN wuMAX ’

(13)

в (13) wuMIN таwuMAX - мінімальне і максимальне

значення кольору wu ; Sacw

waMAX ~ wzMAX waMAX

Вираз (12) отриманий для випадку, коли існують зміни верхньої межі діапазону waMAX, Swu2 << 1 і коли відсутні зміни ДЬ^ = L^a - L^z = 0, h є {x, y} .

Можна стверджувати, що користуючись (11,12), отримано поріг класифікації. Представимо приріст кількості інформації у формі, що придатна для порівняння з порогом класифікації. З цією метою визначимо приріст кількісті інформації фрагмента зображення з компонентом р : wр = w(xр,yp) і довільного пікселя wk = w(xk,yk). Для цього випадку введемо індексацію параметрів приросту кількості інформації

kp. Для опису інформаційного фрагмента за [7] застосуємо відрізки

[wzMAX > waMAX], (14)

де, використовуючи опис тріщини у просторі кольору (9), маємо

wzMAX = wm _wcr, waMAX = wm-

Користуючись [7], представимо (14) у такому вигляді:

[wm - wcr,wm] = [wm “ wcr,wp] U[wp,wm], (15)

де wp - центр відрізка [wm -wcr,wm]. За (15) інформаційний фрагмент, тріщина в просторі кольору описується точкою w р розміщеною в центрі трьох пар відрізків. Точки інформаційного фрагмента належать згаданим відрізкам. Для класифікації в просторі кольору введемо

5pcw _

w р- wk wp

(16)

Тоді приріст кількості інформації фрагмента монохроматичного зображення, тріщини, з компонентом Р : wр = w(xр,yp) і довільного пікселя wk = w(xk,yk) визначається за (11), (12), де a приймає значення Р ,

а z приймає значення k :

AIw LxLy{log(1 + 2 )[AfywP (AfxwP Afxwk) +

5wP (17)

+AfxwP (AfywP _ Afywk )] + kAfxwPAfywp5pcw } • Визначення приросту кількості інформації фрагмента зображення AIw у формі (17) дозволяє почати формувати процедуру класифікації за комплексною ознакою відносні координати у просторі кольору і координати у частотному спектрі зображення. Заважає запровадженню класифікації поява від’ємних складовах в (17). Це може привести до від’ємних значень відносної кількісті інформації і ускладнення класифікації. Щоб уникнути таких ситуацій, в процедурі класифікації розглянемо варіант трансформації приросту кількості інформації з застосуванням математичного апарату квадратичних форм [8]. Білінійно змінимо складові (17) приросту кількості інформації (11) так:

gd = Е GDw, (18)

wer,g,b

де

GDw = Lx2Ly2{[{AfywP (Afxwp _Afxwk)}2 +

+{AfXwp(Afywp -Afywk)}2][log(1 ^l^)]2 +

S2wp (19)

+k2 Afxwp2 Afywp2 8Pcw2 }.

Розглянемо алгоритм з умовою класифікації пікселя wk = w(xk,yk) до інформаційного фрагмента за компонентом р в просторі кольору з порогом Рр :

98

РИ, 2006, № 1

Gd <Pp, (20)

де Gd визначене за (18)-(20).

4. Алгоритм селекції тріщин

Практичну реалізацію алгоритму виконаємо при таких умовах. Нехай має місце waMIN = 1 , тоді з (13) маємо

Swp= Vwp . (21)

Піксель дискретизованого зображення wq = w(nqAxc,mqДус) є заданим в точці відліку (nqAxc,mqAyc), де Axc - крок дискретизації для координати x; Ayc - крок дискретизації для координати у; nq - дискретна горизонтальна координата, а mq -дискретна вертикальна кооордината зображення , яке обробляється в системі обробки інформації (nq,mq -цілі );

Ahc = h є x,y, (22)

Nh

де Nx - кількість пікселів рядка апертури (ширина бітової карти); Ny - кількість пікселів стовпця апертури (висота бітової карти).

Щоб розрахувати Afxwq, Afywq - частотні смуги коливань в околі пікселя wq = w(nq,mq), де q e(P,k,e}, визначимо сегмент зображення, в якому кількість рядків і стовпців однакова:

w(nq

w(nq

N _ N 1Ч . N N

—ь 1,mq----------h 1)...w(nq н— ,mq--------h 1).

2 q 2 q 2 q 2

w(nq,mq)

n , N

— + 1,mq +—) 2 q 2

, N N w(nq + y,mq + yX

(23)

де N парне. Визначимо перетворення Фур’є рядків сегмента зображення за співвідношенням [9]

N-1

2яі

Wq(v,mq + k) = X w(n + l,mq + k)exp{—yvl}, (24)

l=0

N . , N N

тут n = nq - — +1, v = 0,...,N - 1, k = 1 -y,...,y.

Завдяки дискретизації тріщини ії просторова форма локально є змінною. Внаслідок цього Afxwq, Afywq -частотні смуги коливань (18)-(20), які визначаються на основі перетворення Фур’є Wq(v,mq) (див. (24)), флюктуюють. Для зменшення шкідливої для селекції флуктуації частотної смуги коливань Afxwq застосуємо усереднення частотних функцій (24) по параметру A = 1,...,N/2 за співвідношенням

- 1 A

Wq(v,mq) = ^Т Z Wq(v,mq +k) , (25)

2A k=1- A

де v = 0,...,N -1. На основі (25) знайдемо спектральну густину:

Wq2(v,mq) = [Re{Wq(v,mq)}]2 + [Im{Wq(v,mq)}]2(26)

Визначимо перетворення Фур’є стовпців сегмента зображення за співвідношенням [9]

Wq (nq + k,u) = X w(nq + k,m + j)exp{- — j=0 N

NN

де u = 0,...,N-1, m = mq - — +1, k = 1 -y,.

uj}, (27)

N 2 '

Для зменшення шкідливої для селекції флуктуації частотної смуги коливань Afywq застосуємо усереднення частотних функцій (27) по параметру A = 1,.",N/2 за співвідношенням

- 1 A

Wq(nq,u) = ^T Z Wq (nq +k,u) , (28)

2A k=1-A

де u = 0,.",N -1. Користуючись (28), знайдемо спектральну густину потужності:

Wq2(nq,u) = [Re{Wq(nq,u)}]2 + [Im{Wq(nq,u)}]2 . (29)

Щоб визначити частотну смугу коливань Afxwq в околі пікселя wq , яка фігурує в (18)-(20), знайдемо відстань між точкою v = 0 і точкою v = vq , де остання частотна точка визначається з умови

Wq (v? mq ) > Pf, (30)

тут pf - частотний поріг (дійсне додатнє число). За (30) шукається випадок, що виконується з найбільшим v = vq . Визначивши найбільше vq , маємо

Afxwq vq Afxc, (31)

де частотний крок (роздільча здатність між двома сусідніми відліками по частоті) [10]

Afxc

1

2AxcN ,

(32)

тут Axc крок визначений з (22). Аналогічно, щоб визначити частотну смугу коливань Afywq в околі пікселя wq , яка фігурує в (18)-(20), знайдемо відстань між точкою u = 0 і точкою u = u де остання частотна точка визначається з умови

Wq2q(nq,u) > Pf, (33)

де pf - частотний поріг (дійсне додатнє число). За (33) шукається випадок, що виконується з найбільшим u = uq . Визначивши найбільше uq, маємо

Afywq uq Afyc ,

(34)

де частотний крок [10]

Afyc =

1

2AycN ’

(35)

Ayc - крок, визначений з (22).

З врахуванням (21), (31 )-(3 5) змінимо складові квадратичної форми (20)-(21) таким чином:

РИ, 2006, № 1

99

n2n2

Gdw —N4Z{[Up2(Vp' Vk)2 + +vp2(up -Uk)2][log(1 + Wj3)]2 +

+in^Up2vp2 5pcw2}-

(36)

Звідси видно, що складові квадратичної форми (20),(21) визначаються фіксованими параметрами Nx,Ny,N. Доцільно модернізувати умову класифікації (20) шляхом накопичення згаданих фіксованих параметрів у порозі:

_ N4 ln2 2

Ppm -Рр^^ (37)

таким чином:

Z

wer,g,b

G

Dmw ^ Ppm

(38)

де складові квадратичної форми визначаються так:

GDmw - [up2(vp _ vk)2 +

+vp2(up- uk)2][ln(1 + W|3)]2 + (39)

+4up2vp2 8pCw2.

5. Застосування

Описаний вище алгоритм, побудоватий на основі виведення, був реалізований у вигляді інтерактивної програми. Програма використовується для обробки зображень мікроструктури матеріалів, отриманих з допомогою електронного мікроскопа. Розглянемо роботу програми для випадку, коли в (37)-(39) N = 8.

Для апробації алгоритму використовувалось тестове зображення t . В просторі кольору воно представляє собою дві кольорові смуги. Верхня смуга світло-зеленого кольору. Нижняя смуга золотисто-коричневого кольору. На рис. 2 представлена напівтонова проекція тестового кольорового зображення.

Рис. 2. Тестове зображення T

На зображенні т окрім інформації, закодованої у просторі кольору, присутні інформативні фрагменти, які моделюють тріщини металографічних зображень Візуально такі інформативні фрагменти представляють собою ряд відрізків. Найкраще спостерігати особливості розподілу яскравості інформативних фрагментів у збільшеному масштабі. Так, на рис. 3 у збільшеному масштабі представлена нижня частина вертикального відрізка нижьої кольорової смуги.

Рис. 3. Нижня частина вертикальної “тріщини”

Звідси видно, що розподіл яскравості такого інформативного фрагмента по горизонтальній координаті x подібний до функції wcr = wCR(x,yc), яка описує тріщину для випадку фіксованої координати y = yc (див. рис.1).

На зображенні т в околі інформативного фрагмента, представленого на рис. 3, оператор інтерактивно визначив піксель we1 = w(ne1,me1). По координатах n і m в околі цього пікселя we1 визначається мінімімум яскравості we = w(ne,me). В програмі піксель we використовується як еталон інформативного фрагмента вертикальної ” тріщини”.

Програмою на зображенні залишаються лише ті пікселі, кольори і частотна смуга коливань яких належать зонам (38), визначеним з порогом (37). Поріг (37) і частотний поріг (30), (33) задаються оператором. Решта пікселів вихідного зображення заміняються одним, наперед заданим кольором, наприклад білим. Навколо відфільтрованого зображення сформована чорна рамка. Результати роботи програми по виділенню вертикальної “тріщини” з нижньої кольорової смуги зображення т подані на рис. 4.

Рис. 4. Відфільтроване зображення вертикальної “тріщини”

Аналогічно проведено виділення інформативного фрагмента “тріщини” у правому нижньому куті зображення т (див. рис. 2). Результат селекції представлений на рис. 5.

Рис. 5. Відфільтроване зображення кутової “тріщини” 6. Висновки

Отримані результати мають науково-прикладні здобутки. Науковою новизною проведеного аналізу є встановлення зв’язку між ефективним описом тріщин металографічного зображення з допомогою апарата Фур’є та компактними параметрами приросту кількості

100

РИ, 2006, № 1

інформації. Нова квадратична форма, що базується на ознаках частота - колір, сформованих при трансформації фізичних ознак тріщини металографічної структури в параметри приросту кількості інформації, покладена в основу алгоритму селекції тріщин матеріалів та інших треків. Значення одержаних результатів дослідження носить прикладний характер. Вони можуть бути використані при побудові програмних систем аналізу кольорових зображень і, зокрема, кольорових зображень мікроструктури матеріалів, де присутні локалізовані тріщини на кольорових фазових складниках. Позитивною технологічною особливістю нової форми є її захищеність від впливу значної частини фіксованих параметрів алгоритму, що спрощує процес її використання в системі обробки інформації. Ще однією технологічною зручністю є інтегральне визначення частотних параметрів нової форми, що підвищує її захист від шкідливої флуктуації частотних параметрів, викликаних дискретизаційними змінами просторової форми тріщини.

Література: 1.МіллерК.Дж., АкідР. Застосування підходів мікроструктурної механіки руйнування до металів із різним станом поверхні // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 1997. №1. С.9-32. 2. Андрейко І.М., Волчок І.Л., Осташ О.П., Акімов І.В., Головатюк Ю. В. Вплив міді на циклічну тріщиностійкість і термотривкість графітизованих сталей. // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2004. №3. С. 109-112. 3. Myshkin N.K., Kong H., Gngoriev A.Ya., Yoon E.-S. The use of color in wear debris analysis. // Elsevior. Wear 2001 251. P. 1218-1226. 4. Szala J. Zastosovwanie metod kompputerowej analizy obrazu do ilosciowej oceny stryktury materialow. // W. Politechnika Slaska, Zeszyty naukowe, 2000. № 1518. 167р. 5. Русин Б.П., Іванюк В.Г., Лау Г., Довгуник В.М., Корній В.В. Комп’ютерна кількісна оцінка фазового складу матеріалу за кольоровим металографічним зображен-

УДК 519.859 '

ПОСТРОЕНИЕ Ф-ФУНКЦИИ ВЫПУКЛЫХ N-МЕРНЫХ ПОЛИТОПОВ

ГИЛЬ Н. И., СОФРОНОВА М. С.________________

Строятся специальные функции, позволяющие формализовать условия взаимодействия выпуклых n-мерных (n>3) политопов (n-политопов), а также n-политопа и точечного множества, являющегося замыканием дополнения некоторой многогранной области до Rn . Доказывается, что построенные функции являются Ф-функция-ми. С их помощью формализуются условия взаимного непересечения n-политопов, а также условия размещения n-политопов в n-политопе.

1. Введение

Для формализации условий взаимного непересечения геометрических объектов и условий размещения их в заданных областях, при построении математических моделей задач размещения, упаковки, покрытия широко используется математический аппарат Ф-фун-кций [1,2]. В самом общем виде Ф-функцию геометрических объектов Tj(uj) и T2(u2) можно определить следующим образом [3]:

РИ, 2006, № 1

ням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2004. №5. С.77-80. 6. Іванюк В.Г., Капшій О.В., Косаревич Р.Я., Лау Г. Інформаційна оцінка і виділення фрагментів кольорових зображень // Радіоелектроніка і інформатика. 2004. № 3. С. 122125. 7. Іванюк В.Г., Лау Г., Лобур М.В. Розробка завадостійких алгоритмів оцінки компонентів кольорових зображень // Вісник НУ “Львівська політехніка “: Комп’ютерні системи проектування. Теорія і практика,. 2005. №487. С. 22-30. 8. Базылев И.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В. П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974. 351С. 9. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 790 с. 10. Saeed V.Vaseghi Advanced Digital Signal Processing and Noise Reduction. Second Edition. Copyright © 2000 John Wiley & Sons Ltd. 2000. 466 р.

Надшшла до редколегії 14.03.2006

Рецензент: д-р техн. наук, проф.Лукш В.В.

Русин Богдан Павлович, д-р техн. наук, проф., зав. відділом методів та систем обробки, аналізу та ідентифікації зображень Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а. email: dep32@ipm.lviv.ua.

Іванюк Віталій Григорович, інженер відділу методів та систем обробки, аналізу та ідентифікації зображень Фізи-ко-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання кольорових зображень, системи контролю високовольтних трансформаторів. Адреса: 79601, Україна, м. Львів, вул. Наукова, 5а, тел:65-45-30. e-mail: dep32@ipm.lviv.ua.

Корній Валентина Василівна, канд. техн. наук, зав. відділом Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а, e-mail: valia@ipm.lviv.ua.

непрерывная, всюду определенная функция Ф^^,^): R2n ^ R1 называется Ф-функцией объектов Tj(u;) сRn, i=1,2, если она обладает следующими характеристическими свойствами:

Ф^^,^) > 0, еслиclT1(u1)n clT2(u2) = 0, Ф^^,^) = 0, еслиintT1(u1)nintT2(u2) = 0,

frT (u1) n frT2(u2) *0, (!)

Ф^^,^) <0, еслиintT1(u1)nintT2(u2) ^0,

где cl(-), int(-), fr(-) - соответственно замыкание, внутренность и граница точечного множества (•); u = (xj1,x;2,...,xjn) - параметры размещения объекта T , i=1,2, определяющие его положение в пространстве R n .

Множество точек

712 = {(u1,u2) єR2n :Ф^ь^) = 0} называется поверхностью 0-уровня Ф-функции.

2. Анализ исследований и публикаций

Известные способы построения Ф-функции для различных классов геометрических объектов про-

101