CC BY
26
I------------1 :::::: : :•
-□ □-
Причиною появи неоднорiдностi в елементi конструкций може бути термiчна i мехашчна обробка, неоднорiднiсть складу матерiалу, тех-нологiя виготовлення та ряд тших причин. В роботi розглядаеться задача про власне коли-вання прямог дЫянки безперервно неоднородного пружного трубопроводу, що лежить на дво-константнш основi типу П. Л. Пастернака. Рiвняння виршуеться комбтованим способом. Результаты розрахунтв показують Ототний вплив неоднорiдностi на значення круговог часто-ти, i залежать вiд закону розподЫу неоднорид-ностi
Ключовi слова: неодноридшсть, труба, безпе-рервтсть, основа, частота, модуль пружностi,
щтьтсть, рiвняння руху
□-□
Причиной появления неоднородности в элементе конструкций может быть термическая и механическая обработка, неоднородность состава материала, технология изготовления и ряд других причин. В работе рассматривается задача о собственном колебании прямого участка непрерывно неоднородного упругого трубопровода, лежащего на двухконстантном основании типа П. Л. Пастернака. Уравнение решается комбинированным способом. Результаты расчетов показывают существенное влияние неоднородности на значение круговой частоты и зависят от закона распределения неоднородности
Ключевые слова: неоднородность, труба, непрерывность, основание, частота, модуль
упругости, плотность, уравнение движения -□ □-
i------------
УДК 539
|DOI: 10.15587/1729-4061.2014.31195|
ПОПЕРЕЧНОЕ КОЛЕБАНИЕ ПРЯМОГО УЧАСТКА НЕОДНОРОДНОГО ТРУБОПРОВОДА, ЛЕЖАЩЕГО НА ДВУХКОНСТАНТНОМ ОСНОВАНИИ
В. Д. Гаджиев
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий отделом Отдел "Теория упругости и пластичности" Института Математики и Механики Национальная Академия Наук Азербайджана ул. Б. Вахабзаде, 9, г. Баку, Азербайджан, AZ 1143
E-mail: [email protected] Х. Г. Джафаров Аспирант Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет ул. А. Султанова, 5, г. Баку, Азербайджан, AZ 1073
E-mail: [email protected]
1. Введение
В настоящее время магистральные трубопроводы различного назначения, эксплуатируемые в сложных климатических условиях, представляют сложные инженерные конструкции [1, 2].
При проектировании и сооружении трубопроводов от инженера-расчетчика требуется максимально правильно оценивать реальные свойства материала трубы (неоднородность составов, технология изготовления, сварочные напряжения и другие факторы)
[3-5].
Отметим, что вопросы прочности, устойчивости, долговечности и анализа частотно амплитудных характеристик с учетом вышеуказанных специфических особенностей существенным образом усложняют решение задач, а не учет может привести к большим погрешностям.
Известно, что в результате взрыва, сильного ветра, землетрясения и ряда других причин в трубопроводе может появиться колебательный процесс. В связи с
тем, что в инженерной практике широко применяются трубы из неоднородных материалов, в данной работе исследуется свободное колебание неоднородной по длине трубы с учетом сопротивления внешней среды.
2. Анализ литературных данных и постановка проблемы
Существуют работы [3, 6], где показано, что модуль упругости и плотность материала могут зависеть от пространственных координат. В данном случае, исходя из работы [3], предполагается, что модуль упругости и плотность зависят только от координаты длины. В [3] изложены основные теоретические и экспериментальные исследования по механике трубопроводов. Результаты исследований, посвященные вопросам долговечности магистральных трубопроводов различного назначения, приведены в [4]. В [5] проводятся экспериментально теоретические исследования, посвященные неоднородным конструкциям.
©
Было указано, что в результате определенного технологического изготовления длинной балки, модуль упругости и плотность могут являться непрерывной функцией координаты длины.
Немаловажным является учет сопротивление внешней среды, который существенным образом зависит от природно-климатических условий [6-9].
Предполагается, что материал трубы является непрерывно неоднородным, модуль упругости Е и плотность р является непрерывными функциями координата длины:
Е=ВДх) Р=Р <Жх), (1)
влияния неоднородности консольной балки, находящейся под равномерно распределенной нагрузкой с учетом большого перемещения, излагается в [7]. В [8] исследуется задача колебания однородной балки с учетом вязкоупругого сопротивления. Применяются приближенно аналитические способы решения. Работа [9] посвящена теории экспериментальных исследований расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. Необходимость проведения этих исследований связано с тем, что гидростатическая модель Винклера не учитывает сдвиговое сопротивление основания.
здесь Ео, ро соответствуют однородному случаю, а функция ^х) со своими производными до второго порядка является непрерывной функцией.
Реакция грунта описывается математической моделью П. Л. Пастернака [2].
1 ™ 1 Э
q=- ,
3. Цель и задачи исследования
(2)
Целью работы являлось исследование влияния одновременного учета непрерывно неоднородного по длине двухконстантного основания Пастернака.
Для достижения данной цели решалась задача свободного поперечного колебания прямого участка трубы с учетом вышеуказанных эффектов.
где к1 и к2 - постоянные величины и характеризуют свойства внешней среды; W - прогиб.
Уравнение движения с учетом (1) в (2) записывается в следующем виде [10]:
Е Т ^ Ео-)о Эх2
^х)
Эх2
- 2А1 —— + А^ + р0= о ,
Эх2
Э12
здесь приняты следующие обозначения:
А1 = к2■d
1+ -
М.
; а2 = к1 ■ d
1+-
м
; в V 2к, ,
(3)
(4)
4. Методы исследований уравнения движения
Уравнение (3) является сложным и при произвольном ^х) и у(х) получение точного решения невозможно или же затруднительно.
Поэтому уравнение движения (3) будет решено комбинированно приближенно-аналитическими методами.
В первом этапе будем применять метод разделения переменных, причем W(x, выбираем в виде:
(5)
где d - диаметр трубы; Е^о - жесткость однородной трубы при изгибе.
В [1] рассмотрены распространенные способы и системы сооружения трубопроводов, их особенности и недостатки. Исследован расчет трубопроводов из однородно упругих материалов, здесь решены задачи колебания и не учтено сопротивление внешней среды. В работе [2] излагаются теоретические основы долговечности магистральных и технологических трубопроводов из упруго неоднородных материалов. Вопросы колебаний и сопротивления внешней среды не учитываются. Впервые решена задача [5] устойчивости прямого участка трубопровода из непрерывного по длине материала, лежащей на основании типа Пастернака. Показано, что учет неоднородности и сопротивления среды существенным образом влияет на величины критической нагрузки, и это зависит от краевых условий. Также в [6] впервые были решены задачи колебания неоднородно циклических и конических оболочек с учетом внешнего анизотропного сопротивления. Для случая п(х) = ^Ь осесимметричного колебания i 1
для цилиндрической оболочки проведен подробный численный анализ. Результаты вычислительного эксперимента по определению
Функция V(x) должна+ удовлетворять соответствующим краевым условиям; ю - круговая частота; t - время.
Подставляя (5) в (3), получим:
^ d3v ач а^ а^ .. п (6)
где
а1=2Л1(Ео1с)-1; а2=Л2(Ло1о)-1; аз=ро(Ео1о)-1.
Решение (6) будем строить с помощью метода ортогонализации Бубнова-Галеркина, причем функцию V(x) будем искать в следующем виде [1]:
V« =^Ь;6;(х) , (7)
i=1
здесь Ь; - неизвестные постоянные, а каждый 0; - удовлетворяет соответсвующим краевым условиям. В данном случае функция ошибки имеет вид:
*0. (8)
В общем случае ю2 определяется из системы однородных алгебраических уравнений, составленных из
а4е а3а а£ а2е;
а2е;
£(х)_ах4"+2ах +ах2 -а2 "ах2"+alеi-ю (аЖх))е
коэффициентов Ь Для существования нетривиального решения главный определитель системы должен равняться нулю
Н = о.
(9)
Однако для инженерного расчета обычно пренебрегают первым приближением, хотя определение ю2 в произвольном приближении не вызывает особой трудности.
Учитывая вышесказанное, на основании метода ортогонализации можно записать:
}n,(x)e4(x)dx = 0 q=1, 2, 3.
(10)
Для первого приближения, (10) принимает следующий вид:
jn1(x)e1(x)dx=о,
(11)
(1+0,5в)( ^4 + 0,5a2 ( М]2 + ai
a3 (1 + 0,5ц)
(15)
В случае однородной трубы ( £ =0, ц =0) из (15) получим:
4 / \ 2
0,5a21 —;— | + a,
I mn
X J
(16)
Если труба неоднородная, только по удельной плотности, частота определяется следующим соотношением:
mnl4 _ - Imn42
— + 0,5a21 — | + a.
з (1 + 0,5ц)
(17)
основной тон частоты определяются следующем соотношением:
Из (15) при ц =0, е ^0, получим значения круговой частоты для случая неоднородной трубы по модулю упругости:
J
4d4e1 „df d3e1 d2f d2e1 d2e1 „
f (x) ddxe1+^dx1 + dx^ ■ #- ^+a1e1
e1dx
a3 Jy(x)-e2(x)dx
Задавая функцию аппроксимации 91(х) функцией, характеризующей неоднородность характеристики основания а1, а2, можно установить значение основного тона частоты.
В качества примера рассмотрим шарнирно закрепленный на двух концах стержень. Пусть
e1 = sinmnx ; f(x) = 1+£x ; y = 1 + цх , здесь £ e [0,1], ц e [0,1]; x = x ■ 1-1. С учетом (12) в (13) получим:
J
(1 + £х)|тП sinmnx-2d 11 mn I cosmnx
sinmnxdx
a3 J(1 + цx)■sin2 mnxdx
1 I mnY - 1 -
J a21 —- sin2mnxdx + a1 J sin2mnxdx
0 У 1 J_0_
1 _ _ •
a3 J(1 + цx) ■ sin2 mnxdx
(14)
Учитывая что,
1 -11- - 1 1 -J sin2 mnxdx = —; J xsin2 mnxdx = —; J sin 2mn xdx = 0 ,
из (12) получим:
(12) <2 =-
(1+0,5£)imn)4+a, I m^l2+a
1
1
(18)
Из вышеуказанных соотношений получим важное соотношение:
/ V ю
/ \2 ю,
1
1 + 0,5ц
Вводим обозначение
(13) ^^
—2 = ю .
(19)
(20)
Из формулы (18) можно получить решение аналогичной задачи без учета внешнего сопротивления среды:
-2 1+0,5£
юз =-
1+0,5ц
(21)
5. Результаты исследований определения значения
круговой частоты с учетом переменности модуля упругости и плотности, а также сопротивления двухконстантного основания
Результаты численного расчета показаны в табл. 1 и на рис. 1.
Отметим, что аналогичные расчеты можно провести для других аппроксимаций и функций, характеризующий материал. Результаты численного анализа показывают, что значения ю существенным образом зависит от вида аппроксимации, функций f(x) и y(x) и от характеристики внешней среды kj, k2.
Из рис. 1, а видно, что при постоянной плотности ц=1 значение круговой частоты ю42 возрастает, а из
a
a
a
рис. 1, б видно, что при различных значениях е (при £ =0 и £=0,3) значения круговой частоты резко отличаются друг от друга.
Таблица 1
Значение круговой частоты ю42, ю2, ю2 от параметров упругости £ и плотности Ц
- 2 - з Ш2 ,<D3
1.4 г
1.2
0.4 -
0,2
О -'-'-1-1-'-1 Ц
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
а
- 1
б
Рис. 1. График зависимости квадрата круговой частоты
ю42, ю 2, ю2) от параметров неоднородности: а — модуля упругости; б — плотности трубы
5. Выводы
Показано, что на значение круговой частоты существенным образом влияют учет:
- переменности модуля упругости;
- плотности;
- сопротивление внешней среды.
В работе рассмотрена задача о собственном колебании прямого участка непрерывно неоднородной по длине трубы, лежащей на двухконстантном основании типа Пастернака, и показано существенное влияние неоднородности трубы и внешней среды на величины круговой частоты.
Литература
1. Тартаковский, С. А. Строительная механика трубопроводов [Текст] / С. А. Тартаковский. - М.: Недра, 1967. - 312 с.
2. Завойчинский, Б. И. Долговечность магистральных и технологических трубопроводов. Теория, методы расчета проектирование [Текст] / Б. И. Завойчинский. - М.: Недра, 1992. - 271 с.
3. Кравчук, А. С. Механика полимерных и композитных материалов [Текст] / А. С. Кравчук, В. П. Майборода, Ю. С. Уржумцев. - М.: Наука, 1985. - 305 с.
4. Маткаримов, А. Исследования колебаний подземных трубопроводов при сейсмических воздействиях [Текст] / А. Маткаримов // Изв. Ан УзССР, серия тех. наук. - 1986. - № 3. - С. 40-44.
5. Gadjiev, V. D. On non-homogeneous underground pipelines stability [Text] / V. D. Gadjiev, Kh. G. Jafarov // Transactions issue mathematics and mechanics, series of physical-technical and mathematical science. Baku. -2013. - Vol. XXXIII, Issue 1. -P. 85-89.
6. Sofiyev, A. H. Effect of the two-parameter elastic foundation on the critical parameters of non-homogeneous orthotropic shells [Text] / A. H. Sofiyev, E. Schack, V. D. Haciyev, N. Kuruoglu //International Journal of Structural stability and Dynamics. - 2012. -Vol. 12, Issue 5. - P. 120048-120065. doi: 10.1142/ s0219455412500411
7. Шамровский, А. Д. Влияние неоднородностей на жесткость консольной балки [Текст] / А. Д. Шамровский, Д. Н. Колесник, Е. Н. Михайлуца // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2013. - Т. 6, № 7 (66). - С. 4-7. - Режим доступа: http://journals. uran.ua/eejet/article/view/18729/17050
8. Carnet, H. Free vibrations of Reinforced elastic shells [Text] / H. Carnet, L. Lieyy // Conference of ASME. Los Angeles, California, 1969. - P. 16-20.
9. Пастернак, П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели [Текст] / П. Л. Пастернак. - М.: Стройиздат, 1954. - 56 с.
10. Бабаков, И. М. Теория колебаний [Текст] / И. М. Бабаков. - М.: Наука, 1968. - 559 с.
м=1 Е=0 £=0,3
м м ю2 м ю2
0 0,6666 0 1 0 1,1500
0,2 0,7333 0,2 0,9090 0,2 1,0454
0,4 0,8000 0,4 0,8333 0,4 0,9583
0,6 0,8666 0,6 0,7692 0,6 0,8846
0,8 0,9333 0,8 0,7142 0,8 0,8214
1,0 1 1,0 0,6666 1,0 0,7666
