О свободном колебании непрерывно неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О СВОБОДНОМ КОЛЕБАНИИ НЕПРЕРЫВНО НЕОДНОРОДНО ОРТОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА НЕОДНОРОДНО ВЯЗКОУПРУГОМ ОСНОВАНИИ

В.ДЖ. ГАДЖИЕВ, доктор физико-математических наук, профессор; Г.Р. МИРЗОЕВА, доктор философии по механике, ст. научный сотрудник; А.И. ШИРИЕВ

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана, ул. Б. Вахабзаде 9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

В работе с применением приближенно аналитических методов исследуется задача свободного колебания неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки, лежащей на вязко упругом основании, причем краевые условия являются однородными. Предполагается, что модули упругости и плотность пластинки являются непрерывными функциями трех пространственных координат и коэффициенты Пуассона принимаются постоянными. При конкретных значениях характерных функций, характеризующих свойства пластинки и основания, проведен численный расчет, и результаты представлены в виде таблиц и графиками зависимостей.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пластинка, непрерывность, ортотропность, плотность, основания, частота, модули упругости, уравнение движения.

В последние годы при сооружении крупных инженерных комплексов и многих отраслей машиностроении широко используются пластинки различных конфигураций, изготовленные из естественных и искусственных непрерывно неоднородных материалов. Среди них наиболее распространенными является прямоугольные пластинки. Как известно, причиной появления неоднородности материала может являться технология изготовления, термическая и механическая обработка, неоднородности составов, облучения и.т.п. В результате вышеуказанных причин упругие характеристики и плотность пластинки одновременно может, является функциями трех пространственных координат [1-4].

В настоящее время, от инженеров проектировщиков и расчетчиков требуется учет реального свойства материала элемента конструкции, режима эксплуатации и влияние внешней среды с которыми они находится в контакте [5-8].

Очевидно, что учет указанных специфических свойств гораздо осложняет математическое ращение задач и анализа полученных результатов, а неучет может привести к существенных погрешностям.

В данной работе с применением приближенно аналитических методов исследуется задача свободного колебания неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки (краевые условия являются однородными), лежащей на вязко-упругом основании. Реакция основания и прогиб W связаны следующим соотношением [4,7,8,9]:

д ^

q = КДх, уЖ + K2(x, У)— . (1)

дt

Здесь К1(х,у) и К2(х,у) - характеристики основания, которые определяются с помощью экспериментов, t - время.

Координатная система выбрана следующим образом. Оси X и У находятся в срединной плоскости, а ось Z - перпендикулярна к ним.

Предполагается, что модули упругости (Е1, Е2), сдвига О и плотность р зависят от пространственных координат х, у, 2, а коэффициенты Пуассона являются постоянными величинами [1,3]:

Е = E10 М х, у ) f2( 2); E2 = E20 f (х, у ) f2( 2); G = G0 f0( х, у) /2( 2) р = ГоУ(х,У)У2(2); П = овтГ, п2 = евтХ

(2)

Здесь / (х, у) со своими производными до второго порядка является непрерывной функцией.

Связь между напряжениями и деформацией в произвольном слое пластинки записывается в следующем виде [1,9]:

Е0 f (х, у К,,, ч Е 20 f1( х, у).../ ч

<11 = У f2( 2){еи + ^2 ), <22 = ' " f2( 2)^22 + ^11 ),

1 -ПП2 1 -П1П2 (3)

<12 = Gо f (х, у)^12.

Здесь Е10, Е°, G0, р0, п1, п2 соответствуют однородной ортотропной пластинке.

Принимается, что и для непрерывно неоднородно ортотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остаются в силе и имеет место:

е11 = е11 — 2Х11, е 22 = е22 — С22, е12 = е12 — 2Х12 , (4)

где еп,е22,е12 - малые деформации %и,С22, С12 - кривизны и кручение срединной поверхности, компоненты вектора перемещений (и, V, w) связаны следующим образом:

Эи Эv (Эи Эv ^

е,, =-

Эх Э2 ™

еоо — _ ; ем —

Эу

■+— Эх Эу

С11 = 2 , X22

Э2 ^

-, с12 ■

Эх 2 ' '"22 Эу2 ЭхЭу

Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, то естественно предположить, что результирующие силы Т11, Т22, Т12 всюду равны нулю:

Э2 w

(5)

= 0; ёг = 0; d2 = 0.

(6)

Подставляя значение <11, <<22, <г12 в (6) с учетом (4) находим:

(е11 + П1е 22 )= ^Т (С11 +ПС22 ), (е22 + П2 е11 ) = А С22 + ^11 ),

=А

е12 = , С12.

(7)

Здесь

/2 /2 41 = | Л(2)ё2, А = 12 f2 (2)ё2.

(8)

Нетрудно установить, что изгибающие моменты с прогибом связаны следующими соотношениями:

М11 = А /Д х, у)

( Э2 w Э2 w л

+ п

Эх2

1 Эу2

М12 = Ак/ (х, у)

М22 = А2 /1( х, у)

Э2 w

( Э2 w

+ П

Э2 w ^

Эу2 2 Эх2

ЭхЭу

И

И

И

И

И

И

И

И

И

И

2

Здесь

A =D d2 =mD\,

Dk =mD0; m=

- A А A

A

/2

= J Z 2 f2 (

Д0, Д20, соответствуют однородному ортотропному случаю. Уравнение движения в данном случае записывается в следующем виде: 12" д 2М

+ 2-

д2 М11 дх2 дхду Здесь принято:

Л

42, + Э 2M22

/ — \Э2 w

2 + Kx(x, y)w + (K 2 (x, у) + Р0У1 (x, У)Ьт" = 0. (10) Эу2 dt

Го = Po h J У2 (z)dz; D10, D20, D,

жесткости однородной ортотропной пластинки при изгибе.

Подставляя значения Мп, М 22 и М12 из (9) в уравнение (10) получим следующее уравнение:

— , .1д2-

Г — 1Э2 w

L(w) + Ki (x, y)w + [K 2 (x, y) + py( x, y)J—— = 0,

dt

(11)

где

L(w) = f1(x, y)

— Э4^ — Э4w (— — —\ Э4w D1—T +D2—T+1АП +D2V2 +Dk )

dx

Эу

Эс2Эу2

,77 Э1 Г Э3w

+2Ц —

Эx

Э3w ^

V

+v1—2

Эx Эу dx

+

/

+D 32f

dx

d2w^

22 4 Э w

-T+n1—г vdx 1 Эу2

+2D2 f

2 Эу

d3w ^

Г Э3w —

Эу Эx Эу

тгЭ2/1

+D

^ ГЭ2

Эу2 I ЭУ

w

dV

dx2

+

+D

df1 d3w df1 d3w Э2 f1 d2w

+

+

2 ■ 2 ■ • (12) дх дхду дУ дудх дхду дхду

Как видно, уравнение движения (12) является сложным и нахождение точного решения затруднительно или же при произвольных значениях функции /1(х, у), К1(х, у), К2(х, у) и у(х, у) не возможен. Поэтому учитывая, что уравнение (10) является линейным, можно использовать комбинированный способ приближенно аналитического метода решения:

в первом этапе метод разделения переменных, во втором этапе метод орто-гонализации Бубнов Галеркина.

В первом этапе решение (10) будем искать в виде:

Ж = V (х, у)вш. (13)

Здесь V(х, у) должно удовлетворять однородным краевым условиям, (-частота. Поставляя (13) в уравнение (12) получим:

Щ) + К (х, уГ - ( К (х, у) + Гу(х, у)У = 0. (14)

Уравнение (14) будем решать с использованием метода Бубнова - Галеркина [10], причем V (х, у) представим в виде:

V (x, У) = ZZ Aj (x)hj (У),

¿=1 j=1

h

-h

h

2

2

где А.. - неизвестные постоянные и каждый ^ (х), Т. (у) должны удовлетворять соответствующим краевым условиям.

Функция ошибки записывается в следующим образом.

Т(х, у) = £ £ (А. Ця, т. )+ К (и, т. ))-! (К2 (х, у) + х, у)). )ф 0. (16)

¿=1 .=1

Условия ортогонализации имеют следующий вид:

а Ь

Цт( х, у)) (х)тч (у)ёхёу = 0 р, 9 = 1,2,.... (17)

0 0

Значения (2 определяется из системы линейных однородных алгебраических уравнений (17). Для существования нетривиального решения главный определитель системы, составленный из коэффициентов А. должен равняться нулю:

||(2|| = 0. (18) Уравнения (18) является нелинейным алгебраическим уравнением и нахождение ( не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике ограничиваются

первым приближением. В этом случае ( определяется из следующего уравнения:

а Ь

\\л(х, у))( х)щ(у)йхйу = 0, (19)

0 0

ь а

11 Ц ), Т) + К (х, у) ) Т ) (х)т (у)ёхёу

( = Ч-. (20)

Ь а 4 '

11 (к 2 (х, у) + ру у( х, у))2 (х)т 12 (у)^х^у

0 0

Для простаты анализа рассмотрим случай цилиндрической формы колебания, который возможен в случае длинной пластинки (а >> Ь). В этом случае имеет место:

а

| [)) + К)( х)])( х^х

(2 = -. (21)

а

| (к2 (х) + Р0У(х))2(х^х

0

В качестве примера рассмотрим случай шарнирного закрепления и функцию аппроксимации примем в виде:

) = 8ШЮС.

Анализ приведем для следующих значений характерных функций: 1) / = 1 + ех; у = 1 + тх; К2 = К0 (1 + ах) К1 = К" (1 + ах)

Ь)/ = 1 + еех, у = 1 + тех, К1 = К° (1 + аех ) К2 = К20 (1 + аех ) (22)

ее [0,1]; те [0,1]; ае [0,1], х = х • а-1. Для первого случая, после элементарных преобразований получим:

w=

D1 (p/ a )4 c1 + K°

K20 + C2 p

(23)

где с

1 + 0.5e ; 1 + 0.5a'

1 + 0.5m 1 + 0.5a'

Здесь К10 и К° - характеристики однородного вязко - упругого основания. Результаты расчета для случаев 1 и 2 представлены в виде графиков зависимостей между частотами и характерными параметрами.

Таблица 1

a —2 —2 (1,1 (1,2

0 1 1

0.3 0.87 0.665

0.5 0.8 0.544

0.7 0.741 0.46

0.9 0.69 0.399

Таблица 3

Таблица 2

e —2 (2,1 —2 (2,2

0 1 1

0.2 0.909 0.749

0.4 0.833 0.599

0.6 0.76 0.499

0.8 0.714 0.427

m — 2 —2 (3,1 (3,2

0 1 1

0.25 0.889 0.705

0.5 0.8 0.544

0.75 0.727 0.443

1 0.667 0.374

Г w' l®0 У 2 ▲ 1,2

0,2 0,4

1 1,2

m

1 £

Рис 1. (( соответствует случаю К2 = 0 Рис 2. ( соответствует случаю К1 = 0

a

Рис 3. (W, соответствует случаю m = 0

c 2 =

Как видно из таблиц и рисунков 1-3, неоднородность, ортотропность пластинки и основания существенно влияет на величину частоты.

© Гаджиев В.Д., Мирзоева Г.З., Шириев А.И., 2017

С п и с о к л и т е р а т у р ы

1. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. - Изд-во. МГУ, 1977, 376 с.

2. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. - Москва, 1985. - 303 с.

3. Колчин А.С. Фаварион Э.А. Теория упругости неоднородных тел. - Кишинев 1977. - 146 с.

4. Gadjiev V.C., Agamalyev N.C., Mirzoeva B.D. Stability of continuously nonhomoge-neous orthotopic rectangular plate under in plane compressions// International Simposium on Engineering and Architectural Sciences of Balkan, Caucasus and Turk Republics, 2009 Turkey. - Р. 74—78.

5. Carnet H., Lielly A. Free vibrations of reinforced elastic shells// Journal of Applied Mechanics. 1969, vol. 36, № 4, pp. 835—844, doi: 101115/ 1.3564.779.

6. Sofiyev A.H., Schack E., Haciyev V.C., Kurdoglu N. Effect of the two-parameter elastic foundation on the critical parameters of nonhomogeneous orthotropic shells// International Journal of Structural Stability and Dynamics, Vol.12, №5 (2012), 1250041 (24 p.)

7. Bajenov V.A. The benching of the cylindrical shells in elastic medium. Kiev. - Visha shkola, 1975. - Р. 168.

8. Ржаныцин А.Р. Строительная механика. - Москва, 1982. - 399 с.

9. Лехницкий С. Г. Теория анизотропных пластин. - М., 1977. - 445 с.

10. Свирский И.В. Методы типа Бубнова - Галеркина и последовательных приближений. - Москва: Наука, 1966. - 199с.

Поступила в редакцию 25 мая 2017 г. Прошла рецензирование 30 мая 2017 г.

Принята к публикации 4 июня 2017 г.

Об авторах:

ГАДЖИЕВ ВАГИФ ДЖАМАЛ ОГЛЫ - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом, Отдел теории упругости и пластичности, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана. Научные интересы: теория упругости и пластичности. Адрес НАН Азербайджана: 9, ул. Б. Вахабзаде 9, г. Баку, Азербайджан, А21143. E-mail: vagif.haciyev.imm@gmail.com; конт. тел.: (050) 465-60-88

МИРЗОЕВА ГЛЮНАР РОВШАН КЫЗЫ - доктор философии по механике, старший научный сотрудник, Отдел теории упругости и пластичности, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана. Научные интересы: теория упругости и пластичности. Адрес НАН Азербайджана: 9, ул. Б. Вахабзаде 9, г. Баку, Азербайджан, А21143.

E-mail: gulnar.mirzayeva@gmail.com; конт. тел.: (055) 877-38-55

ШИРИЕВ АЗИЗ ИНТИЗАР ОГЛЫ - Институт математики и механики, Национальная Академия Наук Азербайджан. Научные интересы: теория упругости и пластичности. Адрес НАН Азербайджана: 9, ул. Б. Вахабзаде 9, г. Баку, Азербайджан, А21143

E-mail: shiriyev. aziz@mail.ru

Для цитирования: Гаджиев В.Дж., Мирзоева Г.Р., Шириев А.И. О свободном колебании непрерывно неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки, лежащей на неоднородно вяз-коупругом основании// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2017. -№ 5. - С. 27—33 (DOI: 10.22363/1815-5235-2017-5-27-33).

References

1. Lomakin, V.A. (1977). Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Moscow: MSU. 376 (in Russian).

2. Kravchuk, A.S., Mayboroda,, V.P., Urjumtzev, Yu.S. (1985). Mechanics of Polymer and Composite Materials. Moscow: MSU. 303 (in Russian).

3. Kolchin, A.S., Favarion, E.A. (1977). Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Chisinau. 146 (in Russian).

4. Gadjiev, V.C., Agamalyev, N.C., Mirzoeva, B.D. (2009). Stability of continuously nonhomoge-neous orthotropic rectangular plate under in plane compressions. International Simposium on Engineering and Architectural Sciences of Balkan, Caucasus and Turk Republics, 2009, Turkey. 74—78.

5. Carnet, H., Lielly, A. (1969). Free vibrations of reinforced elastic shells. Journal of Applied Mechanics, vol. 36, № 4, pp. 835-844, doi: 101115/ 1.3564.779.

6. Sofiyev, A.H., Schack, E., Haciyev, V.C., Kurdoglu, N. Effect of the two-parameter elastic foundation on the critical parameters of nonhomogeneous orthotropic shells. International Journal of Structural Stability and Dynamics, Vol.12, №5 (2012), 1250041 (24 p.)

7. Bajenov V.A. (1975). The benching of the Cylindrical Shells in Elastic Medium. Kiev, Visha shkola, 168 p. (in Russian).

8. Rzhanitsyn, A.R. (1982). Structural Mechanics [Stroitel'naya Mehanika]. Moscow. 399 (in Russian).

9. Lekhnitsky, S.G. (1977). The Theory of Anisotropic Plates [Teoriya Anizotropnyh Plastin]. Moscow, 445 p. (in Russian).

10. Svirskiy I.V. (1966). Methods of Bubnov - Galerkin Type and Successive Approximations. Moscow: Nauka, 199 p. (in Russian).

ON FREE VIBRATION OF A NONHOMOGENEOUS ORTHOTROPIC RECTANGULAR PLATE ON A NONHOMOGENEOUS VISCO-ELASTIC

FOUNDATION

HACIYEV V.C., MIRZAYEVA G.R., SHIRIEV A.I. Institute Mathematics and Mechanics of NASA, Baku, Azerbaijan

In the paper, by using approximate analytic methods, the study a problem of vibrations of a nonhomogeneous rectilinear plate and a visco - elastic foundation, the boundary conditions are homogeneous.

It is assumed that the modules of elasticity and density of the plate are characteristic functions of three space coordinates, the Poisson ratios are accepted to be constant [1].

The numerical calculation is carried out under specific values of characteristic functions, characterizing the properties of the plate and foundation, and the results are represented in the form of tables and dependence graphs.

Key words: plate, continuity, orthotropic, density, foundation, frequency, elastic module, motion equation.

Article history: Received: May 25, 2017. Revised: May 30, 2017. Accepted: June 4, 2017. About the authors:

HACIYEV VAGIF, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department,

Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics, National

Academy of Sciences of Azerbaijan.

Str. B. Vahabzadeh 9, Baku, Azerbaijan, AZ 1143.

Е-mail: vagif.haciyev.imm@gmail.

Contact tel.: (050) 465-60-88

Scientific interests: The theory of elasticity and plasticity.

MIRZAYEVA GULNAR ROVSHAN, PhD of mechanic, Senior Researcher, Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan .Str. B. Vahabzadeh 9, Baku, Azerbaijan, AZ 1143. Scientific interests: The theory of elasticity and plasticity. Е-mail: gulnar.mirzayeva@gmail.com; mob.: (055) 877-38-55

SHIRIEV AZIZ INTIZAR, Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan.

Str. B. Vahabzadeh 9, Baku, Azerbaijan, AZ 1143 Е-mail: shiriyev. aziz@mail. ru

Scientific interests: The theory of elasticity and plasticity. For citation:

Haciyev V.C., Mirzayeva G.R., Shiriev A.I.(2017) On free vibration of a nonhomogeneous ortho-tropic rectangular plate on a nonhomogeneous visco-elastic foundation. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. No 5. 27—33 (DOI: 10.22363/1815-5235-2017-5-27-33).