CC BY
26
Известия Тульского государственного университета Серия Естественные науки 2008. Выпуск 1. С. 66-71
---- МЕХАНИКА =
УДК 539.3
В.А. Кадымов, И.А. Михайлова
Московский государственный технический университет «МАМИ»
ПОЛУОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ТОНКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПО УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Аннотация. Рассматривается нестационарная задача растекания пластического слоя на плоскости между двумя сближающимися упруго-деформируемыми поверхностями. Предлагается способ, позволяющий интегрировать уравнения задачи и определять тем самым истинную толщину слоя, контактное давление, а также общее усилие штамповки. На основе указанного выше способа дается постановка и решение полуобратной задачи течения пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям. Последнее дает возможность получать конечные детали с наперед заданной толщиной.
§1. Винклеровская модель упругого основания. Постановка нестационарной задачи растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям.
Постановка задачи:
Требуется найти скорости течения </. и. контактное давление р в области
S. занятой пластическим слоем, из решения следующих уравнений:
др 2 ts и 2 ts , .
COS и j (1)
дх ho + Хр ^Ju1 + v2 ho + Хр
др _ 2 ts_______________________________у _ 2 ts
ду h0 + Хр у/ и2 + v2 h0 + Хр
sin в, (2)
ди dv 1 dh . .
дх + ду + h dt = ’ ^
p\as=kas (к = 1,2), (4)
© Кадымов В.А., Михайлова И.А., 2008
2
і
где ¡г о = /го(£) — заданный закон сближения тел инструмента; А/г = Хр изменение толщины слоя, вызванное упругими деформациями тел инструмента; в — угол наклона линии тока с осью ОХ.
Как известно [2], линиями тока в этом случае служат прямые, ортогональные к линиям контура. Если область течения симметрична относительно оси ОХ, так что линия ветвления течения совпадает с отрезком оси ОХ, то оказывается возможным интегрировать уравнения (3), (2) вдоль уже известных линий тока
<к = 2т« т
(¿5 /го + Ар ’
где 5 = «(.'Го. у о) — длина дуги линии тока, отсчитываемая от соответствующей точки (хо,уо) контура области:
(/го + Хр) сI (/го + Хр) = 2г5б?5,
/г(ж, у) =/?,) + Хр = у^4Аг55 + (/г0 + ХкаБ)
л/4Аг^5 + (/г0 + А/гсг^)2 - /г0 Я5) =----------------д--------------, (6)
а для «истинной» толщины растекающегося пластического слоя имеем
Ь,ист(з) = Но + Хр(з) = \! 4Аг^5 + (Но + ХкаБ)2 ■ (7)
При этом общее потребное усилие для осуществления пластической обработки
Р = IIр ^хд,у = IIжо, (8)
§2. Определение механических характеристик.
Рассмотрим примеры задач растекания пластического слоя в области, имеющей форму прямоугольника, а также эллипса.
2.1. Область течения представляет прямоугольник со сторонами
а, Ъ (а ^ 6).
В области 5] (рис. 1) согласно (6), (7) имеем в(х, у, хо, у о) = Ь — у — длина дуги, отсчитываемая от точки контура,
а/4Атб (Ь-у) + (Ио + А/гсг^)2 - /г0
р = р(у) = -----------------х----------------; (9)
}Ъист _ _|_ РД _ Цу} _ ^4ДТ5 (6 _ у) + (/г0 + ХкаБ)2■
Рис. 1. Прямоугольная область течения
Отметим, что для случая течения пластического слоя по недеформируе-мым поверхностям (А = 0) формулы (9) принимают вид:
2тб
Ро = Ро{у) = {Ь - у) + ка8; И ист = Ь
(9)'
В области вц имеем
р = р(х)
з{х,у,х0,у0) = а-х, у/4Ат8 (а - х) + (/го + Хка3)2 - /го
А
(10)
Ьист = /го + РА = Цх) = ^4Аг6- (а - х) + (/го + Хк(т8)‘
причем
Ро =Ро{х)
2г5-
/го
(а - х) + ка з; Ьист = Ь0.
(10)'
Найдем общее усилие, требуемое для пластической обработки:
— (а — Ь) у=Ь а — Ъ У=Ь
I р{у)Лу+ I (1x1 р{у)(1у,
о у=_ж_(0_ 5) у=о
Р1 = Рх(3) + Рх(2) + Рх(3) =2 (іх
а у=х-(а-Ь)
Р\1 = р}р + Рп ) = 2 У Р{х)^х ! ¿У,
а — Ь у=0
Робщ = 2 (Рі + Рп) ■
При ЭТОМ МЫ учли, ЧТО р[ 1 ' = Р^\ р[1 = Рір ■
(11)
(12)
Отметим, что для случая течения пластического слоя по недеформируе-мым поверхностям для общего усилия имеют место формулы
— (а — Ь) у=Ь а — Ь у=Ь
по = 2 I dx j Po{y)dy+ j dx j Po{y)dy,
— о у=_ж_(0_ 5) y=0
a y=x — (a — b)
Pilo = 2 j p0{x)dx j dy,
a — b y=0
Р(ЭБЩ(0) = 2 (Pío + Pilo) • (13)'
2.2. Область пластического слоя ограничена эллипсом (рис. 2)
X2 у2
^ 1.
а"
ъ2
(14)
Рис. 2. Эллиптическая область течения
Уравнение линии тока, совпадающей с нормалью к контуру в точке Мо (хо,Уо), имеет вид
«=- *0+г°){х-хо) • (15)
Величины истинной толщины слоя /го + Ар = Нист{з) и контактного давления р(в) определяются по формулам (6),(7) в виде функций от длины дуги нормали, отсчитываемой от точки контура Мо до рассматриваемой точки М(х,у). В дальнейшем целесообразно сделать замену переменных. Выберем в качестве независимых переменных хд и 5, где 5 — длина отрезка
М{)М нормали к контуру в точке А/(). При этом область 5] (ж ^ 0. у ^ 0) в новых переменных задается в следующем виде:
(х,у) = і (х,у)
0 < х < а 0 < у < %л/а/
Xа
5і (ж(ж0,з),у(ж0,з))
¿>1 < (ж0, 5)
0 < хо < а 1
0 < 5 < 51 (хо) } ’
где 51 = М()М\: М\ (#1,0) — точка пересечения нормали к контуру эллипса в точке Мо (хо) с осью ОХ:
а
Х\
ах
х0.
Следовательно,
5і = Л /о Л/і = — 4 / а* — х
Ь
а
2 ____ г/Л
О
а
2 _Ъ2
Теперь нетрудно найти искомые зависимости
X = X (жо, з) У = у(хо,з)
Очевидно, что (рис.4)
(16)
(17)
(18)
х = хо — з сое а о, у = Уо - 5 8ІП «о,
(18)'
1 а а/а2 - х\ .
— = ——-------------- > 0, 8іпа0
У о Ьхо
СОБ «о
ал. а* — Хс
\Аё2 «о + 1 “ Х1 (°2 “ &2)
Ъх о
у^?~а(Г-К1 л/°4 _ жо (°2 ^2)
Подставив последние соотношения в (18)', получаем
X = X (жд, в) = Жо — 5
Ьх Г
л/а4 — (а2 — Ь2)
У = У (®о,в)
а
а^ — Жг
ал/а" — ж
о
2 (а2 - Ь2)
А значит, можем найти общее усилие
Р
р(в)йхйу
411 р(х,у,х0,у0)(1х(1у
где 7 (х0,з)
дх
дх0
ду_
дхо
дх
~д~з
ду
дз
(19)
якобиан преобразования [4], который нахо
дится из зависимостей (18)
//
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
1. Знание нормальных упругих перемещений рабочих поверхностей тел инструмента в процессе пластической обработки давлением тонкостенных изделий позволяет задать исходную форму контактных поверхностей, что обеспечивает получение конечной детали постоянной (либо заданной ) толщины.
2. Предлагаемая методика позволяет для области, ограниченной выпуклой кривой, находить уточненные силовые характеристики (поле контактных давлений, общее усилие пластической обработки ) с учетом влияния упругих деформаций тел инструмента, их абсолютные и относительные изменения. При этом общее усилие с помощью перехода к новым независимым переменным находится в квадратурах в виде двукратного интеграла по области течения.
Библиографический список
1. Кийко И.А. Теория пластического течения / И.А. Кийко. - М.:МГУ, 1978. - 75 с.
2. Соловьев Г.Х. К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями / Г.Х. Соловьев // Рук. деп. в ВИНИТИ РАН № 1574-В2004 - 18 с.
3. Кадымов В.А. Некоторые новые решения нестационарных задач растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям / В.А. Кадымов, С.К. Быстриков // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика - Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. -Т. 12. -Вып. 2. - С. 54-60.
4. Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Ч. 2 / А.Ф. Бермант. - М-Л: Изд. Тех л ит, 1951.
Поступило 16.12.2007
