CC BY
23
УДК 517.98
Полиномиальное квантование для плоскости
Лобачевского 1
Ключевые, слова: представления групп Ли; эрмитовы симметрические пространства; плоскость Лобачевского; многочлены; исчисления символов.
Строится квантование (исчисление символов) в духе Березина в многочленах на плоскости Лобачевского.
Березин построил свое квантование на эрмитовых симметрических пространствах С/К в работах [1], [2]. Эти пространства, римановы. Квантование в духе Березина на пара-эрмитовых симметрических пространствах С/Я было построено в [3]. Эти пространства псевдо-римановы. Один из вариантов квантования (наиболее алгебраическая его версия) - это так называемое полиномиальное квантование, здесь в качестве исходной алгебры операторов берется алгебра операторов из представления универсальной обертывающей алгебры. Концепция полиномиального квантования на пара-эрмитовых симметрических пространствах С/Н была предложена в [5]. В настоящей работе мы "возвращаемся" к эрмитовым симметрическим пространствам и строим полиномиальное квантование для простейшего, но ключевого, примера эрмитова симметрического пространства, а именно, для плоскости Лобачевского. Здесь появляются некоторые новые обстоятельства по сравнению с теорией Березина.
Реализуем плоскость Лобачевского как единичный круг Б : гг<1 па комплексной плоскости С. Группа С = 811(1,1) состоит из матриц
Она действует транзитивпо на И дробно-линейными преобразованиями
(так что группа (7 действует справа). Стационарная подгруппа К точки г = 0 состоит из диагональных матриц, она является максимальной компактной подгруппой в (7, так что В есть однородное пространство С/К и это пространство риманово.
'Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952 и Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011.
© Л. И. Грошева
аг + Ь
Обозначим
N = 1 — гг
Инвариантная относительно С мера с^^(г) на И и оператор Лапласа-Бельтрами Д на П даются формулами (здесь г — х + гу):
д2
(1и(г) = М~2с1хс1у, А = -/V2 ——— .
дгог
Комплексификация группы С есть группа Сс = ЭЬ(2, С), она состоит из матриц
0=(“ <*5-01 = 1.
Симметрия матрицы д относительно ее центра дает инволюцию в группе С?с:
!)■ (1)
Для матрицы д из С эта инволюция означает переход к комплексно сопряженной матрице д. Представление II группы С (квазирегулярное представление) действует в функциях <р(г,г) на П сдвигами:
(и(д)(р)(г,г) = (р{г-д,г-д).
В алгебре Ли д группы С возьмем следующий базис Ь0, Ь2:
-("-«)■ -(А’*')' ‘■-(А?)- 18
Алгебра Ли дс группы 0е состоит из комплексных матриц второго порядка со следом 0. Возьмем в ней базис М_ = Ь2 — гЬ^, М\ = — гЬ0, М+ = —Ь2 — гЬ\, а именно,
М-={\ о)- М'=(Х02 —1/2 ) ’ —(о ‘о1)' (3)
Инволюция (1) для этого базиса дает: М± М± = — Мт, М1 Мх = — Мь Обозначим через Епу (д) универсальную обертывающую алгебру для алгебры Ли д.
Пространство Фока а < —1/2, состоит из функций /(г), аналитических в замкнутом круге И (каждая функция аналитична в некоторой окрестности круга Г), каждая в своей). В этом пространстве действует представление Та группы С:
(Та(д) /) (*) = }{г • д) (Ъг + а)2<т
(берется какая-нибудь фиксированная ветвь степени). Оно порождает представление Та алгебры Ли д. Для базисных элементов (2) из д имеем
Та(Ь0) = -га + гг-^ ,
Та(Ь\) = — гаг + - (г2 + 1)^ >
Та(Ь2) = аг+±(-г2 + 1)^.
Это представление Та алгебры Ли д распространяется до представления Та (сохраняем символ) алгебры Ли дс. Для базисных элементов (3) из дс имеем
им.) = ±
Т,т= г о,
Т„(М. ) = 22 - 2<тг.
аг
Введем в Та скалярное произведение
(/, К)а = с(а) [ /(г) Ь{г) N~2a~2 йх(1у, г = х + 1у,
JD
где
, ч -2^-! с(а) =---------.
7Г
Представление Тст группы С* унитарно относительно этого скалярного произведения
Функция (переполненная система в смысле Березина)
ФГТ{г,ий) = (1 - гю)2а обладает воспроизводящим свойством (играет роль дельта-функции):
(/»Ф<г(-,гй))<7 = /Ы, или, подробно (меняя ролями г и го),
/(г) = с(ст) / (1 — гТй)2а(I — гиъй)~2<т~2/(и)) с1и(1у, и] = и + гу. (4)
Аналитическое конечномерное неприводимое представление пі группы (7е задается числом I (старшим весом), таким, что 21 Є N = {0,1,2,...}. Оно действует в пространстве V; многочленов ір(г) от г степени ^ 21 (размерность V/ равна 21 + 1) по формуле
Мя) Ч>) (г) = <Р(г-д) {/Зг + 5)21.
Минимальный вектор в У;, т. е. аннулируемый элементом М_, есть тождествен-
странстве V/ многочленов уз (г) от г степени ^ 21 по формуле тг^д) = 7Г/(р). Минимальный вектор в У; есть г21. Тензорное произведение Д/ = 7Г/ ® 7Г/ группы <7С действует в^ = У,®У| по формуле
представлений 7Г*., к Є {0,1,2/}, действующих в неприводимых инвариантных
Плоскость Лобачевского можно реализовать также как С-орбит}' в алгебре Ли д = М3. Для этого сопоставим точке г Е И следующую точку х из К3:
Тогда круг Б перейдет в поверхность X: х\ — х\ — х\ = 1, х\ ^ 1 ("верхняя" пола двуполостного гиперболоида), а группа (7 перейдет в группу 80о(1,2). Многочлен / на М3 называется гармоническим относительно этой группы, если он обращается в нуль оператором — д\ — д\. где д3 = д/дх3. Обозначим через 'Н(Х) и 'Нь(Х) ограничения на X пространства гармонических многочленов и однородных гармонических многочленов степени к, соответственно. Это отображение ограничения взаимно однозначно. Пространство 'Н(Х) совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов на М3.
Разделим все многочлены г) из на А1'21. После перехода на М3, см. (5), мы получим гармонические многочлены на М3, причем подпространство переходит как раз в 'Нк(Х), а минимальный многочлен №1~к гк из переходит в многочлен
Лапласа-Бельтрами Д с собственным значением к (к + 1).
Ковариантные и контравариантные символы мы определяем по той же схеме, что и в квантовании Березина на, эрмитовых пространствах и в квантовании на пара-эрмитовых пространствах. В качестве алгебры операторов мы
пая единица. Контраградиентное представление л і группы (7е действует в про-
(Я/(#)у>) (г, г) = (р{г • д , 2 • д) (@г + 5)21 (72 + а)21.
Оно распадается в прямую сумму:
Я-1 — ТГо + 7Гі + ... + 7Г21
(6)
Пространство N 21является собственным пространством для оператора
берем алгебру операторов Т„(Х). X е Епу(д), с параметром а, действующих в пространстве Фока Т„.
Ковариантным символом оператора А = Та(Х), X £ Епу (д), назовем функцию
^(г,г) = ,[ , Та{Х)Фа(г,й)
Ъи) ги=г
Эти функции являются линейными комбинациями функций И(г,г)~к, к € М, с коэффициентами, полиномиальными по а и по г, г. Поэтому пространство А2а ко вариантных символов входит в 'Н(Х). В частности, ковариантный символ тождественного оператора есть тождественная единица на X.
Дальше мы будем использовать следующие обозначения для "обобщенных степеней" (здесь а - число, 5 € М):
= а (а — 1)... (а — я + 1), = а (а + 1)... (а + в — 1).
Следующие две леммы доказываются прямым вычислением.
Лемма 1 Ковариаптные символы операторов Та(М_), Та(М-1), ТС{М+) - это, соответственно, функции
(~2°) дР = (-<*■) (х3-гх2),
( \ 1 + / л
(-^) —= {-(Г) XI,
(~2сг)^ = (~^) (х3 + гх2).
Лемма 2 Ковариантный символ ^(ж) оператора Та(Мк) = (с1,/с1г)к есть минимальный многочлен из У.к{Х), а именно,
ВД = (2<т)«(-1)ЬЛМ, (7)
где /к(х) дается формулой (6).
Вообще, для элемента X € Епу (д) степени к ковариантный символ оператора Та(Х) есть гармонический многочлен степени к с коэффициентами, зависящими от а полиномиально.
Основные формулы для ковариантных символов повторяют аналогичные формулы для квантования Березина. Оператор А = Та(Х) восстанавливается по своему ковариантному символу Р(г,г) (предварительно этот символ надо аналитически продолжить по второму аргументу):
(А/Хг) = с{а) [ Р{г,й>) 2,Ъ_/И йи{ьз), (8)
]и Ф о-(гу, ги;
Умножение операторов порождает умножение ковариантных символов. Именно, пусть Р2 - ковариантные символы операторов А\, А2, соответственно. Тогда ковариантный символ F1 * Р2 произведения А\А2 дается формулой
(-^1 * Р2){г, г) = [ Р1(г,11])Р2(ю,г)Ба(г,г-,и},и])с11'(ю),
^ и
с ядром Березина
Ф„(г,1Б)Ф^,г)
Фа(г,г)Фа(уо,ю) '
Для оператора А контравариантный символ ^(г, г) определяется формулой, отличающейся от (8) только первым аргументом функции -Р:
(А/)(г) = с(а) ^ ^ /И М™),
или (здесь ги = и + гу)
А/(г) = с(а) [ ^(гу,їй) (1 - гш)2ст(1 - ьпВ)~2а~2 /(гу) (Іисіу .
JD
Лемма 3 Коптравариаптные символы операторов Та(М_), ТС(М\), Та(М+) -это, соответственно, функции
(-2<т - 2) = (-а - 1) (х3 - іх2),
1 +гг
~ !) —~ !) *1,
(-2а - 2) = ( а - 1) (ж3 + гх2).
Доказательство. Напишем формулу (4) с заменой а на а + 1/2:
f(z) = с(а + 1/2) [ (1 — ггу)2ст+1(1 — и)т)~2сТ~3/(и>) сіисіу, (9)
/о
и применим оператор Та(М_) = сі/сіг, мы получим
/'(г) = (—2а — 2) • с(а) J ^ Ю _ (1 — гй})2<т(1 — ит)~2(Т~2 /(гу) сіисіу.
Это означает, что для ТСТ(М_) контравариантный символ есть (—2а — 2)(г/Ы).
Выделим под интегралом в (9) дробь (1 — гъй)/(1 — уоуо) и используем преды-дущий результат, мы получим, что для оператора г(сі/(1г) — (2а + 1) контравариантный символ есть (—2а — 2)(1/ІУ), так что для Та(М\) контравариантный символ есть (—а — 1)(1 + гг)/М.
Заменяя в предыдущем рассуждении /(г) на г/(г), получим, что для оператора Та(М+) контравариантный символ есть (—2а — 2)(г/Ы). □
Лемма 4 Контравариантный символ і^(х) оператора Та(Мк) = ((1/с1г)к, как и его ковариантный сим,вол, есть минимальный многочлен из 'Нк(Х), а именно,
^(х) = (-2а-2)(*>Л(х), (10)
см. (6), так что два символа (7) и (10) отличаются только множителем.
Доказательство. Напишем формулу (4) с заменой а на а + к/2:
/(г) = с(а + к/2) ( (1 - гъи)2сг+к(1 - гию) 2<т 2 к/(и))(1и<1г;,
JD
и применим оператор (с1/с1г)к, мы получим
/<*)(г) = Хк(а) ■ с(а) [ ( ™ (1-гги)2а(1 - и>и)) 2а 2 / (из) (1и(1ь,
I п \ 1 — гиги /
где
\к(а) = (~1)к(2а + к)Ю ■ <а + к/21 = (-2а - 2)«.
с(а)
Это и означает, что искомый символ есть (—2а — 2)^ (г/Ы)к.
□
Теорема 5 Коптравариантный символ Р^(г,г) оператора Та(Х), где X - эле-
Теорема вытекает из лемм 1 и 3.
Эта теорема дает возможность определить умножение контравариантных символов (по образцу умножения ковариантных символов). Такое умножение отсутствовало в схеме Березина.
Дальнейшая теория повторяет в основном полиномиальное квантование для однополостного гиперболоида, см. [5].
Пусть Р^ и Р - это, соответственно, контра- и ковариантный символы одного и того же оператора А. Тогда Р получается из с помощью интегрального оператора Ва с ядром Березина (преобразования Березина):
На всяком 'Ні-(Х) преобразование Березина Ва есть умножение на число
для доказательства достаточно сравнить (7) и (10). Последнюю формулу можно переписать с использованием гамма-функций:
мент из Епу(д), являет,ся многочленом из 'Н(Х), так что Р^(г,г) = Р^(х), он вычисляется по формуле
Г(—2сг + к) Т(—2а — к — 1) Г(—2<т) Г(—2сг — 1)
(П)
Это позволяет выразить преобразование Березина Ва через оператор Лапласа-Бел ьтрами Д:
Г(—2сг + т) Г(—2(т — т — 1)
Ва =
Г(—2(т) Г(—2ст — 1)
т(г+1)=А
Из формулы (11) вытекает полное асимптотическое разложение преобразования Березина Ва при а —)> —оо:
Д (Д - 1 ■ 2) (Д - 2 • 3) • • • (Д - (m - 1 )т)
1
ш=О
т\
(-2а-2)М
Точно такая же формула была получена в [4] для преобразования Березина, действующего на "произвольные" функции.
Литература
1. Ф. А. Березин. Квантование. Изв. Акад. наук СССР, сер. мат., 1974, 38, № 5, 1116-1175.
2. Ф. А. Березин. Квантование в комплексных симметрических пространствах. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1975, том 39, № 2, 363-402.
3. V. F. Molchanov. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces. Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 1996, vol. 175 (Adv. in Math. Sci.-31), 81-95.
4. V. F. Molchanov, L. I. Grosheva. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, Nos. 1&2, 59-77.
5. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite-dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические пауки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.
Поступила в редакцию 16 ноября 2013 года
L. I. Grosheva. Polynomial quantization on the Lobachevsky plane
Quantization (symbol calculus) in the spirit of Berezin in polynomials on the Lobachevsky plane is constructed.
Keywords: representations of Lie groups; Hermitian symmetric spaces; Lobachevsky plane; polynomials; symbol calculi.
Грошева Лариса Игоревна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа, e-mail: gligli@mail.ru
Grosheva Larisa Igorevna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of physics and mathematics, Associate Professor of the mathematical analysis chair, e-mail: gligli@mail.ru
