Об умножении символов в полиномиальном квантовании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1341-1345

ОБ УМНОЖЕНИИ СИМВОЛОВ В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ КВАНТОВАНИИ

© С. В. Цыкина

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: tsykinasv@yandex.ru

В настоящей статье рассматривается умножение ковариантных и контравариантных символов в полиномиальном квантовании на параэрмитовых симметрических пространствах.

Ключевые слова: группы Ли и алгебры Ли; псевдо-ортогональные группы; представления групп Ли; параэрмитовы симметрические пространства; ковариантные и контра-вариантные символы; полиномиальное квантование

В своей конструкции квантования на эрмитовых симметрических пространствах G/K Бе-резин вводит два сорта символов операторов: ковариантные и контравариантные символы. Ковариантные символы образуют алгебру с умножением, порождаемым умножением операторов. Для пара-эрмитовых симметрических пространств оказывается возможным определить умножение как ковариантных, так и контравариантных символов. В [1] был рассмотрен простейший случай - однополостный гиперболоид в R3 .В настоящей статье мы делаем это для полиномиального квантования на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдо-ортогональной группой движений G = SO0(p,q) .

Группа G сохраняет форму [x,y\ = ^2 Xixiyi, где Xi = — 1 для i = l,...,p и Xi = 1 для i = p + 1,... ,n . Мы будем считать, что G действует в Mn справа: x ^ xg , так что векторы x из Mn будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай p> 1,q> 1.

Базис в алгебре Ли g группы G образован матрицами Lij = Eij — XiXj Eji, i<j , где Eij - матричная единица. Подгруппа H является стационарной подгруппой матрицы Zo = L\,n , так что G/H есть как раз G -орбита точки Zo .

Пусть C - конус [x, x\ = 0, x = 0 в Rn. Группа G действует на нем транзитивно. Рассмотрим два сечения конуса: Г" = {xi — xn = 2} , Г+ = {xi + xn = 2} .

Напомним необходимый нам материал из [2], [3] о представлениях группы G = SOo(p, q) , связанных с конусом C . Мы будем использовать следующие обозначения для "обобщенных степеней":

a[m] = a(a + 1)... (a + m — 1), a(m) = a(a — 1)... (a — m + 1),

где a - число, а также обозначение ta'£ = \t\asgn£t.

Пусть a € C , e = 0,1. Обозначим через Va,s(C) пространство функций f на конусе класса C^ и однородных "степени a,e " , т. е.

f (tx)= ta'£f (x), x € C, t € M* = R \{0}. Представление Ta,e группы G действует в этом пространстве сдвигами:

(Ta,e(g)f ) (x) = f (xg).

Введем следующую билинейную форму в функциях на Rn 2 (т. е. в функциях на Г и на Г+ ):

((f, h}} = J f (£) h(£) d£ = j f (n) h(n) dn,

интеграл берется по Rn-2 . В дальнейшем подразумевается, что все интегралы по d£ и по dn берутся по Rn-2 .

Сечения Г± пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса C . Поэтому линейное действие группы G на конусе дает "дробно-линейные" действия на Г" и Г+ , определенные почти всюду на . Это позволяет ввести координаты (глобальные) на Г и Г+ с помощью векторов £ = (£2, ■ ■ ■, £n-i) и n = (n2 ,---,Пп~\) из Rn-2 , а именно, векторам £ и n отвечают следующие точки из Г- и Г+ , соответственно:

x(£) = (1 + (£,£}, 2£, -1 + (£,£}), y(n) = С1 + (n,n}, 2n 1 - (n,n}) ■

Пространство G/H можно отождествить с прямым произведением многообразия образующих конуса на себя, следовательно, можно отождествить (с точностью до многообразия меньшей размерности) с прямым произведением Г- х Г+ . Тем самым мы вводим в G/H координаты £,n € Rn-2 , назовем их орисферическими координатами. Для этих координат должно выполняться условие N(£, n) = 0 , где

N (£, n) = 1 - 2(£,n} + (£,£}(n,n},

со стандартным скалярным произведением (£, n} в Rn-2 . Оператор

(A.,ef )(£) = j n(£, n)2-n-a'£f (n)dn,

сплетает представления Ta,s и T2-n-a,s , действующие в функциях на разных сечениях. Для оператора Äa,£ справедливо соотношение:

Ä2-n-a,eAa,£ = c-1(a,e)E,

где с(а, e) - некоторая функция, аналитическая по а .

Представление Ta,s , а € C , e = 0,1, группы G порождает представление Ta алгебры

Ли g группы G (зависимость от e исчезает), а также представление Ta универсальной

обертывающей алгебры Env(g) для алгебры Ли g . В качестве исходной алгебры E операторов

мы возьмем алгебру ( )

= Ta (Env(g)),

образованную операторами D = Ta(X) , X € Env(g) . В качестве аналога пространства Фока мы берем пространство Dст,е(Г-) функций ф(£) на сечении Г- конуса C. Оно содержится в пространстве Cœ(Rn-2) функций ф(£) на Rn-2 и содержит пространство D(Rn-2) . В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора Ä2-n-a,e , а именно, функцию

Ф(£,п) = ФСТ;£(£,п) = N (£,n)a'£■

Мы будем также обозначать

Ф*(£, n) = Ф**,е(£, n) = N(£, n)a*'£, а* = 2 - n - а■

Отображению g ^ g-i в группе G отвечает следующее отображение X ^ Xv в алгебре Env(g) (главный анти-автоморфизм): элементу X = L1L2 ■ ■ ■ Lk , где Li € g , отвечает элемент

Xv = (-1)k Lk ...L2L1.

Отображение X ^ Xу является анти-инволюцией:

(ХУ]у = У уху.

Условие сплетаемости дает следующую формулу для X € Епу(д) :

«!> (X ^М» = {{¡,Та (X )Н)).

Таким образом, для оператора О = Та(X) сопряженным относительно формы {{■, ■)) , или относительно меры , является оператор О* = Та* (X:

« )) = )).

Оператор Аа,£ сплетает представления Та и Та* :

Та* (X) Аст>£ = Аст>£ Та (X).

Функция Ф(£, п) обладает следующим свойством, назовем его "инвариантностью" :

(Та(X") 0 1)Ф= (1 0 Та(X)) Ф .

Для оператора О = Та (X) определим ковариантный и контравариантный символы Г и р И , соответственно, с помощью формул:

Г(*'П) = щЬ) ((О 0 1)Ф)(Ьп), (!)

Г*(Ьп) = ЩГП) {О* 0 1)ф*) &п). (2)

Считая орисферическими координатами точки x из G/H, мы можем рассматривать символы как функции F (x) и F*(x) на G/H. Для а общего положения пространство символов обоих сортов есть пространство S(G/H) всех многочленов на G/H.

Обозначим ковариантный и контравариантный символы F = coaD и F * = contra^D , соответственно. Сравнивая (1) и (2), мы видим, что

contra^ D = coa* D*,

или

contra^ Ta (X ) = coa* Ta* (X v). Оператор D восстанавливается по своим символам с помощью равенств

(Dp)(£) = с J F(£,у)Ф(£,у)Ф*(п,у) ф(и) dudv,

(Dp)(£) = с J F\и,и)Ф(£,и)Ф*(и,и) ф(и) dudv.

Следовательно, отображения coa и contra^ являются взаимно однозначными.

Умножение операторов порождает умножение ковариантных символов, обозначим последнее звездочкой * (оно зависит от а ):

coaDi * coaD2 = coa(DiD2).

То же самое можно записать так: пусть Xi,X2 € Env(g) , тогда

FXi * Fx2 = fxx .

Пусть Fi , F2 - ковариантные символы операторов Di , D2 , соответственно. Так как D\D2 ® 1 = (Di ® 1)(D2 ® 1) , то в орисферических координатах имеем:

(Fi * F2)(C, п) = (Di ® 1) Ш, п)}-

В интегральном виде умножение ковариантных символов дается следующей формулой:

(Fi * F2)(£,n)= / Fi(C,v)F2(u,m)B(C,n; u,v) d»(u,v), Jg/h

где d^(u,v) - инвариантная мера на G/H ,

®(Ç,v)®(u,n)

u,v) = с

Функция B есть ядро Березина, подробнее см. [3].

Умножение операторов также дает умножение контравариантных символов, мы обозначим его * . Это умножение обращает порядок сомножителей:

FXx = Fk *Fk или d — 2 ! .

В самом деле, отображение X ^ Xv является анти-инволюцией, то же верно для отображения D ^ D* .

В интегральном виде умножение контравариантных символов дается следующей формулой:

^ * F— I FF

Ig/h

где

Ф*(£,у)Ф*(п,ц)

(F *FÏ)&V)= [ F%&v) F\(u,n) B*(H,m u,v) d»(u,v) Jg/h

B*(Î,m u,v) = с

Ф*(£,ц)Ф*(и^)'

г*

заметим, что с не изменяется при замене а на а

Мы видим, что ядро В* получается из ядра Березина В из [3] заменой а на а* :

В* = В

а само умножение контравариантных символов получается из умножения этих функций как ковариантных символов перестановкой множителей и заменой а на а* :

F1 *F2 = ^2 * ^1)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Молчанов В.Ф., Волотова Н.Б. Об умножении контравариантных символов // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 92-98.

2. Цыкина С.В. Символы в полиномиальном квантовании // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2093-2097.

3. Tsykina S.V. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations // International workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics" , Moscow, Aug. 25-30, 2007. V. II. P. 63-71.

Поступила в редакцию 6 сентября 2017 г.

Цыкина Светлана Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры функционального анализа, е-mail: tsykinasv@yandex.ru

UDC 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1341-1345

ON MULTIPLICATION OF SYMBOLS IN POLYNOMIAL QUANTIZATION

© S.V. Tsykina

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: tsykinasv@yandex.ru

We consider a multiplication of covariant and contravariant symbols in polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces.

Keywords: Lie groups and Lie algebras; pseudo-orthogonal groups; representations of Lie groups; para-Hermitian symmetric spaces; covariant and contravariant symbols; polynomial quantization

REFERENCES

1. Molchanov V.F., Volotova N.B. On multiplication of contravariant symbols // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2012. V. 17. Iss. 1. P. 92-98.

2. Tsykina S.V. Symbols in polynomial quantization // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2016. V. 21. Iss. 6. P. 2093-2097.

3. Tsykina S.V. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations // International workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics" , Moscow, Aug. 25-30. 2007. V. II. P. 63-71.

Received 6 September 2017

Tsykina Svetlana Viktorovna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Functional Analysis Department, е-mail: tsykinasv@yandex.ru

Для цитирования: Цыкина, С.В. Об умножении символов в полиномиальном квантовании // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1341—1345. DOI: 10.20310/18100198-2017-22-6-1341-1345.

For citation: Tsykina S.V. Ob umnozhenii simvolov v polinomial'nom kvantovanii [On multiplication of symbols in polynomial quantization]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1341-1345. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-13411345 (In Russian, Abstr. in Engl.).