Полевая теория дефектов. Часть II Текст научной статьи по специальности «Физика»

Полевая теория дефектов. Часть II

Ю.В. Гриняев, Н.В. Чертова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Показано, что 4-мерная формулировка теории дефектов приводит к описанию жидкокристаллических сред. Получены динамические уравнения, описывающие поведение дефектов, характерных для жидкокристаллических сред. Установлено, что вихрь является динамическим дефектом жидкости, подобно дислокации в твердом теле.

Field theory of defects. Part II

Yu.V. Grinyaev and N.V Chertova Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

It is shown that a four-dimensional formulation of the defect theory is possible only for liquid-crystalline media. Dynamic equations describing behavior of defects typical of liquid-crystalline media are derived. The vortex is found to be a dynamic defect of a fluid similarly to the dislocation in a solid.

1. 4-мерная формулировка полевой теории дефектов

При введении тензора деформации в механике сплошных сред рассматривают начальное положение деформируемого тела в момент времени t = ^ и конечное (текущее) положение в некоторый момент t. Разность квадратов расстояний между бесконечно близкими точками в начальном й?2 при t0 и конечном положении &■2 при t определится тензором деформации .

В случае малых деформаций разность квадратов запишется как

Эма

+

dxP дха

*

где ЄаР =

2

в

dx„

а, в = 1, 2, 3

^а^р > (1)

(2)

есть тензор малых деформаций; иа — компоненты вектора смещений.

Такое рассмотрение учитывает бесконечно малые изменения в пространстве (градиенты вектора смещений полагаются значительно меньше единицы), в то же время, промежуток времени перехода деформируемого тела из начального положения в конечное ( -10) может

быть совершенно произвольным. Это означает, что процесс перехода из начального положения в конечное выпадает из рассмотрения. Чтобы учесть процесс перехода во времени, необходимо наряду с бесконечно малыми пространственными изменениями рассматривать бесконечно малые изменения, происходящие во времени.

Для учета бесконечно малых изменений во времени рассмотрим правую часть выражения (1) и преобразуем ее следующим образом:

Эи„

+

Эхр дха

J

Эи

^а dxP = ^ ^а dxP = Эхв

= du • dr = |dU|dr|cos а, (3)

где а — угол между векторами du и dr. Поскольку наибольшее и наименьшее значение cos а = ± 1, то правую часть выражения (3) можно оценить как

|dw|dr| cos >|dw||dr|. (4)

Запишем приращение скаляра вектора смещений и скаляра радиус-вектора:

|Am| = |u2 -u^ >|

|Ar| = Г - r^ > |r2 - |ri |.

© Гриняев Ю.В., Чертова H.B., 2005

В этом случае можно записать |Ли|

т—р= Пт ^—р = tg в,

|^| |лг|^о |Лг|

где в — угол между касательной к кривой зависимости модуля смещений от модуля радиус-вектора |и| = |и| (г|). С учетом выше изложенного можно записать неравенство

du • dr > 2tg р. (5)

Поскольку |ёг| — расстояние между фиксированными точками в начальном положении, то изменение правой части (5) во времени может происходить только за счет изменения угла р. В начальном положении угол в = 0, поскольку смещения отсутствуют. За бесконечно малый промежуток времени угол в получит бесконечно малое приращение

аР = й а.

й

Тогда правую часть выражения (5), если отсчет идет от начального положения в пространстве и во времени, можно представить как

|dr |2 tg dP = |dr 12 tg d- dt.

(6)

Поскольку угол dP — малая величина, то имеет место следующая аппроксимация

tg dP ~ sindP = dP.

Используя эту аппроксимацию, можно записать следующее соотношение

|dr|2 tgdP = |dr|2 sin dP = |dr|2 dP.

Выражение |dr|2sindP = |dr|2dP представляет собой скалярную величину векторного произведения двух одинаковых векторов, повернутых друг относительно друга на угол р. Следовательно, изменение за бесконечно малый промежуток времени определяется удвоенной площадью, которую заметает вектор dr при повороте на угол dP. Введем обозначение для приращения площади за единицу времени

dф = Idrl2 ,

dt

что позволит записать выражение следующим образом:

2

|dr| tg dP = dф dt

Тогда с учетом всего выше изложенного будет иметь место неравенство

йи • йг - йф dt Ф 0.

Введем некоторую скорость С и перепишем верхнее выражение как

du • dr-—dфc dt ф 0.

с ^

Выражение (7) представляет собой скалярное произведение двух 4-векторов в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 [1]. Один 4-вектор имеет компоненты

dU1 = (— dф,du) и dUj- = (-—dф,du),

(8)

второй 4-вектор — компоненты

<Ш1 = (cdt,dr) и <Ш1 = (-сй^йг). (9)

В дальнейшем индексы, обозначенные буквами латинского алфавита, принимают значения i, j = 0, 1, 2, 3.

Выясним, что физически означает введение 4-вектора смешений и \ Для этого рассмотрим сплошную среду, которой свойственны черты как обычной идеальной жидкости, так и черты упругого тела. Состояние такой среды должно описываться заданием переменных, характерных как для упругого тела, так и для жидкости. Хорошо известно, что для описания упругого тела без дефектов вводится вектор упругих смещений [2]. Вектор смещений определяется с точностью до смещений и поворотов тела как целого, т.е. он не определяет состояние упругого тела и является своего рода векторным потенциалом. Состояние упругого тела определяется градиентами вектора смещений. Для жидкости в качестве кинематического параметра берется вектор скорости V [3]. В случае потенциального течения вектор скорости определяется как градиент некоторого потенциала V = ^ф, который имеет размерность площади, заметаемой в единицу времени. Для жидкости скалярный потенциал также определен не однозначно, а с точностью до временной функции. Из изложенного выше следует, что для описания сплошной среды со свойствами упругого тела и жидкости следует ввести 4-потенциал (4-вектор смещений)

U1 =(— Ф, uX

(10)

объединяющий векторный и скалярный потенциалы. Множитель 1/с введен для того, чтобы компоненты 4-вектора имели одинаковую размерность смещений.

Таким образом, в бесконечно малых временных процессах деформируемое тело проявляет жидкоподобные свойства, а процесс деформирования следует рассматривать в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. В качестве вектора смещений возьмем 4-вектор (10), а в качестве радиус-вектора — 4-вектор Я1 = = (с^ г). 4-мерный тензор деформации введем таким же образом, как и в трехмерном случае. Только теперь вместо квадрата расстояний в пространстве возьмем квадрат расстояний в пространственно-временном континууме.

Выражение (1) для 4-мерного случая запишется следующим образом:

ds - ds0 = є-dxidxj =

ЭП, ЭЦ,-"

—- +--------

Эх- Эхi

dxi dx - =

(7)

= dU j dx1,

(11)

и подобные выражения справед- Добавочная квадратичная форма е^1 дх 1 мала ввиду

Э

где индексы i,j пробегают значения 0, 1, 2, 3, —0

__э_ А-А-А

cдt ’ Эх1 Эх! Эх ливы для двух других пространственных координат, поскольку имеет место функциональная зависимость и1 - и (х 0, х1, х 2, х3).

В этом случае 4-тензор дисторсии можно записать в виде таблицы

ную форму, записанную в координатах, близких по своим свойствам к галилеевым координатам, поскольку

ди j

Р,, = - J

дХ

1 дф 1 д«1 1 ди2 1 диз

с 2 дt - 1 дф с дt ди1 ^ я1 Сд с дt диз

1 х ф дд С1 1 дх1 ди1 ІЗ и дд дх1 диз

С дх2 - 1 дф дд дд ГЧ сл| хи дд

с дх3 дх3 дх3 дх3

~Г V ~у1 С С -vl Р11 С _ v2 Р21 С — ^ Р31 С ~Уз С

Р12 Р13

Р22 Р23

Р32 Р33

(12)

Из сопоставления приведенных таблиц легко понять, какие обозначения введены. Из верхней таблицы следует, что пространственные компоненты 4-тензора дис-

торсии — это компоненты трехмерного тензора дис-„ = Эму

торсии Рау - (а, У -1, 2, 3), для которых оставле-

ны обычные обозначения. Смешанными (пространственно-временными) компонентами 4-тензора являются два 3-мерных вектора: вектор упругих скоростей Эи

— = V(Vl,V2 V),

и вектор скорости V - -Уф (у1 , у2 , V3), характерный для жидкости. Чисто временной компонентой 1 Эф 1

с~ дt с

является скаляр. Симметричная часть 4-тензора дис-торсии определит 4-тензор деформации

(13)

В этом случае выражение (1) можно записать следующим образом:

2 = + є, йх1йх] = -(йх0 )2 + (йх1 )д +

(14)

+ (ах )0 + (ах )0 +ег>.ахгах

С точки зрения общей теории относительности [1] выражение (14) представляет метрическую квадратич-

малости компонент 4-тензора деформации.

2. 4-тензоры поля

Хорошо известно, что при наличии дефектов в упругой среде вектор смещений не определен и трехмерный тензор дисторсии не является градиентом вектора смещений в Ф Уи. Подобная ситуация имеет место и для жидкости, если течение жидкости непотенциально, то вектор скорости не определяется как V Ф -Уф. Это значит, что при наличии дефектов в жидкокр1исталли-ческой среде 4-векторный потенциал и1 - (-^с ф, и) не определен. При описании такой среды следует использовать 4-тензор дисторсии, компоненты которого определяются нижней таблицей (12).

Для того чтобы 4-тензор дисторсии был полным дифференциалом, т.е. существовал 4-потенциал, необходимо выполнение следующих условий:

ЭВи ЭВ ■

ЛЛ. —_]_и^ - 0. (15)

--\ п -Л 1 4 '

Эх Эх^

Если условие (15) не выполняется, то это означает наличие дефектов в сплошной среде. Тензор, описывающий дефектность среды, выбирается как мера отклонения от условия (15):

а ЭвП Эвю

ап/'1' Э п Э 1 . (

Эх Эх

Если исходить из терминологии теории поля, то антисимметричный по двум первым индексам тензор (16) следует назвать тензором поля дефектов. Рассмотрим компоненты тензора (16), когда индексы п, j, i _ 1, 2, 3 принимают пространственные значения. В этом случае индексы обозначаются латинскими буквами. Введем дуальный тензор (обозначение для него оставим прежним) согласно

1Е - Е ЭВРТ

2 ЕаРуаРут - ЕаРу Эха

Здесь Еару — трехмерный полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты. Введенный таким образом дуальный тензор а - У х В — это хорошо известный в континуальной теории дефектов тензор плотности дислокаций [2]. Тензор (16) выражается через дуальный тензор следующим образом:

(18)

Рассмотрим компоненты тензора (16), для которых индексы j, i _ 1, 2, 3, а п _ 0:

аат ЕаРуаРут ЕаРу а или а УхР. (17)

ааРт ЕаРуаут •

а0аР =

дРаР дР0, = 1 дх0 дх] = С

дР

аР

дt дха

(19)

Здесь компоненты 4-тензора дисторсии взяты из верхней таблицы (12). Из континуальной теории дефектов

известно, что выражение в круглых скобках (19) есть тензор плотности потока дефектов

эр,

аР

ді

V.

з а • дх

(20)

Теперь рассмотрим компоненты тензора (16), когда индекс i = 0, индексы п, j = 1, 2, 3:

ЭРВо ЭРа0 1 * Эуг "

ааР0 = '

_________эр

дха дхР

_Р.

дха

_д^О_

дхР

Введем тензор, дуальный тензору (21):

ю„ = — Е

аРуаРу

(21)

Теперь для тензоров поля (25) и (26) можно записать геометрические полевые уравнения исходя из условия, которому удовлетворяет тензор поля:

дап/і да

- + -

/кі

+ -

да

кпі

= 0.

(28)

дхк дхп дх ^

Рассмотрим случай, когда все три индекса принимают пространственные значения, т.е. п, і, j = 1, 2, 3. Подставляя значение координат тензора из таблицы (25) в уравнение (28), получим

да3а да

дх 3

+

1а

да

2а

дх1 дх 2

=0

Ю = Ух V. (22)

В выражениях (22) опустили последний временной индекс. Тогда будет иметь место

ааР ~ ЕаРу®у• (23)

Наконец, рассмотрим компоненты тензора (16), когда индексы i, п = 0, а j = 1, 2, 3:

ЭР«с ЭРоо 1 * дуа Эу

= ^І • (24)

а0а0 ‘дх0 3*“ с2) ді дх°

Все рассмотренные выше компоненты тензора поля можно представить в виде двух таблиц. Первая таблица для компонент тензора поля, индексы которых принимают значения і = 1, 2, 3, а п, j = 0, 1, 2, 3. Учитывая выражения (17)-(20), получим

(25)

а учитывая выражения (21)-(24), таблица для компонент тензора поля с индексами i = 0 и п, j = 0, 1, 2, 3 примет вид:

1 1 1

б 1 ~31а С 2а С 3а С

= а а 0 а3а -а2а

3 2а С 33а С -а3а 0 а1а

а2а -а1а 0

0 1 1 1

_2 /1 2 / 2 2 /3

С С С

1 0 1 1

2 /1 — Юз ю2

ап/0 = С -1 1 С С 1

- 2 / 2 —Ю 0 —ю1

С С С

1 1 1 0

- 2 / 3 -Ю2 Ю>1

С С С

(26)

Здесь вектор

• Зу ^ і=17-V*

имеет смысл вектора ускорений.

(27)

У-а = 0. (29)

Здесь а — тензор плотности дислокаций, используемый в континуальной теории дефектов, а уравнение (29) является одним из геометрических уравнений континуальной теории дефектов.

Если один из индексов п или j принимает нулевое значение, то из уравнения (28) с учетом таблицы (25) для случая п = 0, получим

1 дJ1

1а

1 д^2а_ +1 да3а = о С дt

с дх2 с дх1

Меняя индексы j, к при п = 0, получим два других уравнения, подобных уравнению выше. Эти три уравнения можно записать в виде одного соотношения:

да

Vx 3 =—. ді

(30)

Соотношение (30) представляет собой второе геометрическое уравнение континуальной теории дефектов, где J — тензор плотности потока дефектов.

Теперь рассмотрим геометрические соотношения, когда i = 0. Подставляя в уравнение (28) значение коэффициентов тензора поля из таблицы (26), получим в случае п, j, k = 1, 2, 3

*Эю

Эх1 дх2

і Эю2

1 +-----2 +

Эх3

1 д

= 0

или

V -Ю = 0, (31)

где Ю — вектор завихренности (22), используемый в гидродинамике при описании турбулентного поведения жидкости.

Таким образом, при четырехмерном описании поля дефектов вихрь следует рассматривать как дефект. При п = 0 получим три уравнения, одно из которых имеет вид:

дЛ д/2 + дю3

дх 2

- + • дх1 ді

= 0.

Все три уравнения в векторном виде запишутся как

V х і =

дю

"37'

(32)

с дха

Вектор j имеет смысл вектора ускорений и, в то же время, его можно истолковать как вектор потока вихрей.

3. 4-тензор источников поля дефектов

Чтобы получить динамические уравнения теории дефектов, необходимо определить источники поля, которые должны удовлетворять уравнению неразрывности. Из уравнения непрерывности для 4-тензора плотности источников поля должны следовать хорошо известные соотношения теории деформируемого твердого тела и гидродинамики. Кроме того, при использовании данного 4-тензора плотности источников поля должны получаться динамические уравнения, содержащие уравнения работы [4], в которых в качестве источников выступают тензор напряжений и вектор импульса.

Исходя из этих соображений, симметричный 4-мерный тензор источников поля дефектов запишем в следующем виде:

рс 2

рс^1

рс^2

рсм^1 -(ап -р^12) -(021 -р^2^1)

рС^2

-(о12-Р^1^2) -(о22 "

-Р^22)

рс^з - (о13 -р^1^3) -(о23-Р^2^3)

рс^з -(Оз1 -р^з^1) -(Оз2-р^з^2) -(ст33 “Р^з)

(33)

Здесь р — плотность сплошной среды, а w = V + V. Из условия непрерывности для 4-тензора плотности источников

доі/

дхі

=0

при / = 0 следует условие сохранения массы: др

ді

+ V•рw = 0.

(34)

(35)

При j = 1, 2, 3 условие непрерывности для 4-тензора тока запишется как

дрw

~дГ

= V•(o-рww).

(36)

В случае чисто упругого тела w = V и уравнение (36) примет вид:

ЭрV

ді

■^•(ст-рУ1).

Скорость V является компонентой 4-тензора деформации, а компоненты изначально предполагаются малыми по сравнению с единицей. Следовательно, произведением скоростей можно пренебречь и верхнее выражение перейдет в динамическое уравнение теории упругости.

Для идеальной жидкости w = V, ст = -Р8, где Р — давление, 8 — единичный тензор, уравнение непрерывности примет вид:

Эрv

ді

■ = -V • (Р8 + руу).

Динамические уравнения дефектов получим из условия

дап/і

п

дх

= - - о

(37)

Здесь введен коэффициент 5, имеющий размерность силы, для того чтобы размерности левой и правой частей (37) были одинаковы.

Вначале рассмотрим уравнение (37), когда j, i = 1, 2, 3, например, для j = 1:

да

01а

да

21а

да

31а

, , = 1 ст1а

-----п ,-------т ,-------5— =-------СТ .

Эх Эх Эх 5

Подставляя значение компонент тензора поля из таблицы (25), а компонент 4-тензора тока из таблицы (33), получим

1а

да

3а

с2 ді дх2

да2а 1

-ЛГ = - (о1а-р^і). дх о

Для других значений / = 2, 3 получим еще два подобных уравнения. Эти три уравнения в тензорном виде примут вид:

1 дJ 1( \

Vxа = —-—(ст-рww ).

с2 ді £

(38)

Второе динамическое уравнение получается при / = 0

V- 3 =-------рw.

о

(39)

Динамические уравнения (38) и (39) совпадают с динамическими уравнениями континуальной теории дефектов, полученными в работе [4], где был использован совершенно другой подход.

Рассмотрим вторую пару уравнений для жидкоподобного поведения деформируемого тела. Используя уравнение (37), а также таблицы (26) и (33), получим два уравнения:

V- і = С^с 2р,

VXЮ=-------13 —1С 2р-№.

с ді S

Сведем уравнения (31), (32), (39) и (40) воедино: да

(40)

(41)

V•a = 0,

ді

Т7 1 Ш 1 I \

Vxa = —-------------(cy-рww),

с2 ді О

2

V• 3 =---рw,

О

V• і=Ос ъ

^Ю = 0,

. зрю 1 Зі 1 2

Vxі = ——, Vxю=—~- — с рw.

ді с2 ді О

+

и

о =

4. Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля дефектов определяется как

ГЛ = аУ" ак + 1 гЛат1п а

1 =-а а ]п + — Я а ат]п,

где я л — дважды контравариантный метрический тензор псевдоевклидова пространства индекса 1. В качестве примера рассмотрим тензор энергии-импульса для жидкости, определяемый тензором поля дефектов (26).

Пространственные компоненты тензора энергии-импульса в этом случае примут вид:

ТаР =-аа/ 0ар/ 0 +-/0

т/0.

Подставляя значение компонент тензора поля из таблицы (26), получим пространственные компоненты тензора энергии-импульса, которые представляют трехмерный тензор максвелловских напряжений. Он будет иметь смысл обычных напряжений, если умножить его на ранее введенный коэффициент О. В итоге получим _________ОТ аР _

аР

О

2

1 • • 1 в * 1 ■ ■

----2/а/Р -ЮаЮР + Т°аРІ ~/іу + ЮуЮу

с 2 I с

Пространственно-временные компоненты тензора энергии-импульса имеют смысл вектора потока импульса и определяются следующим образом:

0а = -а0у0аа

Т0а = -а

а

/0.

Используя таблицу (26), выражение для вектора потока импульса р запишется как

5 .

Р = ~т ,1х«>-

с

Чисто временная компонента тензора энергии-импульса представляет плотность энергии Е поля дефектов, определенных тензором поля (26):

Е=£1 •1+

Подобные выражения можно записать и для твердотельной составляющей жидкокристаллической среды.

Таким образом, получена динамическая система уравнений для дефектов в жидкокристаллических средах, из которой можно получить уравнения для дефектов в твердом теле, рассмотренные в первой части статьи [4]. Из этой же системы можно получить уравнения для дефектов в жидкости, которые ранее в гидродинамике не рассматривались.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №05-01-00303.

Литература

1. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория поля. - Т. 2. - М.: Наука, 1967. -

460 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - Т. 7. - М.: Наука,

1987. - 248 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - Т. 6. - М.: Наука, 1986. - 733 с.

4. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.