Переходные процессы в растущих сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья на тему 'Переходные процессы в растущих сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания' по специальности 'Математика' Читать статью
Pdf скачать pdf Quote цитировать Review рецензии ВАК
Авторы
Журнал
Выпуск № 1 (145) /
Коды
  • ГРНТИ: 27 — Математика
  • ВАК РФ: 01.01.00
  • УДK: 51
  • Указанные автором: УДК:519.2:004.421.5:004.7

Статистика по статье
  • 23
    читатели
  • 10
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц.сети

Ключевые слова
  • РАСТУЩИЕ СЕТИ
  • СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
  • СТАЦИОНАРНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
  • GROWING NETWORKS
  • RANDOM GRAPHS
  • STATIONARY AND TRANSIENT RANDOM PROCESSES

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы — ЗАДОРОЖНЫЙ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, БАДРЫЗЛОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

Выполняется анализ переходных процессов в растущих стохастических сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания. Выводятся уравнения динамики развития сетей. Разрабатываются численные методы расчета переходных процессов в сетях и выделенных узлах сетей.

Abstract 2016 year, VAK speciality — 01.01.00, author — ZADOROZHNYY VLADIMIR NIKOLAEVICH, BADRYZLOV VLADIMIR ALEKSANDROVICH

Transition processes in stochastic growing networks with nonlinear preferential binding rule analyzing. We derive the equations of the dynamics of networks. Numerical methods for calculation of transients in networks and network nodes developed.

Научная статья по специальности "Математика" из научного журнала "Омский научный вестник", ЗАДОРОЖНЫЙ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, БАДРЫЗЛОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

 
close Похожие темы научных работ
Читайте также
Читайте также
Читайте также
Рецензии [0]

Похожие темы
научных работ
по математике , автор научной работы — ЗАДОРОЖНЫЙ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, БАДРЫЗЛОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

Текст
научной работы
на тему "Переходные процессы в растущих сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания". Научная статья по специальности "Математика"

УДК 519.2:004.421.5:004.7
В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ В. А. БАДРЫЗЛОВ
Омский государственный технический университет
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСТУЩИХ СЕТЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПРАВИЛОМ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО СВЯЗЫВАНИЯ
Выполняется анализ переходных процессов в растущих стохастических сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания. Выводятся уравнения динамики развития сетей. Разрабатываются численные методы расчета переходных процессов в сетях и выделенных узлах сетей.
Ключевые слова: растущие сети, случайные графы, стационарные и переходные случайные процессы.
1. Введение. В работах [1—3] показано, что для больших сетей (таких как WWW, сеть сотрудничества ученых, сеть передачи электроэнергии и др.) классический случайный граф Эрдеша —Реньи [4] не является адекватной моделью. Поэтому в современной теории сетей (Network Science) [5, 6] разрабатываются новые математические модели — новые виды случайных графов, описывающих и объясняющих свойства реальных больших сетей, такие как их малый диаметр, степенное распределение степеней связности узлов и т.д. Многие структурные свойства реальных больших сетей удалось объяснить их развитием по простому общему правилу — правилу предпочтительного связывания [7]. Согласно этому правилу сеть растет в результате добавления новых узлов, которые связываются с имеющимися узлами, предпочитая те, у которых степень связности k выше (правило «богатый становится богаче» [8]).
В настоящее время при исследовании больших сетей широко распространена модель, называемая случайным графом Барабаши —Альберт (граф БА) [7, 8]. Граф БА выращивается из произвольного небольшого связного графа (затравки) путем добавления к нему в моменты t = t, t2,... приращения графа — очередной новой вершины с m инцидентными ей ребрами.
Свободные концы ребер добавляемого приращения связываются со случайно выбираемыми вершинами графа. В графе БА вероятность p. того, что ребро выберет для связи вершину i, пропорциональна ее локальной степени связности k.:
k
s k
(1)
Тем не менее подход, предложенный А. Барабаши и Р. Альберт, позволяет улучшить согласование РСС графов и РСС моделируемых сетей путем перехода от линейного правила (1), в котором р{ ^ к, к нелинейному правилу предпочтительного связывания (НППС), в котором р. ^/(к):
Pi =
f (k) 2 f (к,)'
(2)
Бесконечное добавление приращений приводит к выращиванию бесконечного графа БА, который называется безмасштабным, потому что распределение степеней связности (РСС) его вершин является асимптотически степенным, т.е. безмасштабным распределением. Такое РСС вершин графа БА согласуется с РСС узлов многих, хотя и далеко не всех реальных сетей [9, 10].
где /(к) = / — произвольная неотрицательная весовая функция степени к вершины. В начале 2000-х годов изучались графы, выращиваемые при использовании конкретных классов нелинейной функции /(к). Выдающиеся результаты в этом направлении были получены Л. Крапивским и С. Реднером [11], которые, применяя уравнения статистической механики, описали и всесторонне исследовали графы с НППС при т = 1 и ¡(к) = ку, 0 < у < 1.
Основы общей теории графов с НППС, не накладывающей ограничения на вид весовой функции /(к) = /, были разработаны в статье [12]. Здесь обобщен также вид возможных приращений графа и всесторонне исследованы графы с НППС, выращиваемые добавлением стохастических приращений со случайным целым числом х > 1 ребер, имеющим произвольное распределение вероятностей гк = Р{х = к}. Решена задача анализа моделей — определения РСС графа, выращиваемого при заданных /(к) и г = {гк}, и задача синтеза моделей — нахождения /(к) и г, обеспечивающих заданное РСС выращиваемого графа (например, такое же, как в моделируемой большой сети). В [13] рассмотрен пример применения теории графов с НППС к исследованию транспортных сетей. В [14] методы и результаты теории графов с НППС существенно расширены и систематизированы, в частности, решена задача определения совместного РСС пары вершин, связанных случайно выбранным ребром.
Актуальность теории графов с НППС обусловлена широкими возможностями ее практического применения для решения глобальных задач современности, включая задачи инфокоммуникационных технологий, энергетики, транспорта, а также задачи
мониторинга и регулирования социальных сетей, в том числе задачи информационного противоборства.
Для успешного решения этих задач необходимо не только уметь правильно рассчитывать стационарные характеристики уже сформированной большой сети, но и выполнять анализ переходных процессов в сети (ПП), характеризующих динамику начальных стадий ее развития. Такой анализ позволит предсказывать темпы развития сети и определять своевременные оптимальные воздействия, обеспечивающие приемлемую траекторию ее развития и гарантирующие достижение требуемого управленческого эффекта при надежном решении проблем безопасности.
В общем случае анализ ПП в сетях с НППС можно выполнять методами имитационного моделирования (ИМ). Однако высокая цена точности ИМ больших сетей, определяемая вычислительными затратами (часто непомерными), существенно ограничивает не только возможности его практического применения, но и самые постановки решаемых задач (например, если речь идет о задачах управления ростом сетей). В данной статье разрабатываются численные методы анализа ПП в графах с НППС, радикально повышающие скорость и точность выполняемого анализа.
2. Задача расчета сетевых переходных процессов. Распределением степеней связности (РСС) вершин графа будем называть ряд (последовательность) q = {qk} = {q, q2, ...} вероятностей qk того, что случайно (равновероятно) выбранная вершина графа имеет степень связности k. Например, граф из трех вершин, связанных двумя ребрами, имеет РСС q = {q, q2} = {2/3, 1/3}, а полный граф из 4 вершин — РСС q = {0, 0, 0, 1}. Графы с изолированными вершинами мы не рассматриваем.
Сетевым ПП будем называть изменение РСС во времени: q(t) = {qk(t)}, t = 0, 1, 2, ..., начинающееся с некоторого момента t = tg. Далее будем считать, что tg = Ng, где Ng — число вершин в затравке. Тогда в ходе ПП число N вершин в растущем графе всегда равно текущему времени: N(t) = t, и вершины, добавляемые к графу, можно нумеровать моментами их добавления.
Итак, пусть в момент времени t граф содержит N(t) = t вершин и имеет РСС q(t). В момент t + 1 поступает новая вершина с x е {rk} ребрами, которые связываются с имеющимися вершинами графа, выбирая их случайно по правилу (2). В результате РСС q(t) преобразуется в РСС q(t + 1).
Задачу расчета сетевых ПП в графах с НППС поставим как задачу определения q(t + 1) при заданных f(k), {rk} и q(t).
3. Решение задачи расчета сетевых ПП. Задачу расчета сетевых ПП можно решить путем незначительной модификации метода рассуждений, разработанного в [12] для вывода финальных (стационарных) РСС Q = lim q(t) при t ^
Следуя работе [12], обозначим через Ak множество вершин графа (слой), имеющих степень k, k > g (где g > 1 — минимальный номер слоя), со-гласуя введение параметра g с условиями равенства нулю вероятностей rk и весов f(k) при k < g, а также с отсутствием в затравке вершин со степенью, меньшей g.
В соответствии с НППС (2) вероятность Pk(t) того, что при добавлении приращения к графу с N = t вершинами новое ребро выберет вершину
слоя A , составляет
k
Pk (t) = 2 Р, =
2 f л)
itAk _ f(k)\Ak\
im lmA j=i
fk\ Ak \/N qk (t) fk qk (t) fk
2 f At\N 2 q< (t) f f (t)
l ¿g l ¿g
где |Ак| — число вершин в слое Ак, у ) — средний вес верши н графа в момент t.
При добавлении к срафу с N сершинами приращения, приходящего в момент t +1 и содержащего в среднем М(х) = т ребер, происходят следующие изменения:
— новая вершина приращения попадает с вероятностью гк в слой Ау, в результате чего среднее число Мк вершин в нем возрастает на гк (т.е. с вероятностью гк возрастает на 1 и с вероятностью 0 возрастает на 0), к > g;
— вместе с тем каядлыу елой Ак теряет в среднем mPk(t) вершин, переходящих в сллдующий слой вследствие того, что какие-ди будь из х новых ребер присоединяются к вершинам этого слоя.
Действительно, пер (¡од новое ребро связывается с вершиной слоя Лк с вероятностью Pk(t), степень вершины лодышаетуя, она уходит в следующий слой Ак+1, и, следовательно, за счет одного нового ребра слой Ак теряет в среднем Pk(t) вершин. А за счет всех х ребер приращения — в среднем М[хРк(т о тОк0) в ерш ин.
Считая N достаточно большим, мы пренебрегаем здесь вероятностью того, что одна вершина может быть выбрана более чем одним ребром приращения 1, а также изменением вероятности Pk(t) до завершения привязывания всех ребер приращения;
— кроме того, каждый слой Ак, исключая слой Ао приобретает в среднем mPk_í(t) новых вершин, приходящих из предыдущего слоя А .
Учитывая все эти изменения среднего числа Nk вершин в слоях, получаем:
+ з ас N^1 О г - тР((1о к =8,
^^ + 1) = N0 + тк НО тРк_^) - шРк()
к >ё. (4)
Подставляя N¿1) = N(^^1 = tqkt) и Nk(t+ 1) = = N(t + 1^к(Л + 1) = 1)дкС + 1) )паи всех к > о) и деля оба оолт/ч енные рав енст в а на ^ + 1), находим:
ч (а) Д го у еро (а)
у (а д 1) о_°-0-,
t+1
qk (t +1) =
= tqk (t) + rk + tnPk_1 +t) - mPk (t)m k> g. t +1
Наконец, использутздесь последнее в (3) выражение для Pk(t), получаем искомое решение задачи расчета сетевqIX ПП:
qg (t +1) = -
, , qg(t)fg
tq (t) + r - m -S-
g g f (t)
t +1
I 3 5 7 9 II 13 15 17 19
ОД
9k
O.OOl
0.00001
0,0000001
Рис. 1. Изменение во времени РСС q = {qk} графа БА при m = 1(дерева БА)
Рис. 2. Динамика РСС графа с весовой функцией /(к) = кЛи(к), 2 < к < 20 (/(к) = 0 для других к), при г = {г,, т2, т3, г, т5} = {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4}
qt(t + 1) =
m
tqk(,)+^- qk, k > g, t+i
(5)
где f (t) = X qk (t)fk •
к > j
4. Примеры расчета сетевых ПП. Соотношения (5) позволяют легко рассчитывать РСС вершин графов с НППС для времени t > t0, начиная с РСС, известного для t = t0. Их удобно использовать для расчета сетевых ПП в Excel, поскольку строка РСС q(t + 1) рассчитывается непосредственно через предыдущую строку q(t). Не зависящие от времени ряды значений {k}, {rk} и {fk} фиксируются в строках «шапки» таблицы. Скалярные показатели,
определяемые через РСС q(t), в частности, средняя
степень вершин к(t) = ^kqk (t) и их средний вес
f (t) = ^ fkqk (t) , вычисляются в столбцах, выделяе-
к ь g _
мых в левой части таблицы.
Правильность соотношений (5), выведенных для расчетасетевых ПП, подтверждается результатами ИМ различных графов с НППС. Кроме того, при расчете в Excel сетевых ПП в различных графах с НППС, q(t) всегда очевидным образом сходится к финальному РСС Q, которое рассчитывается по формулам, найденным в работах [12—14] (а для случая fk = k1 — и в работе [11]).
На рис. 1 показаны графики РСС q(t), рассчитанного по формулам (5) при f(k) = k (линейное правило предпочтительного связывания) и rt = 1 (т.е. при фиксированном приращении с числом ребер x = m = g = 1). Для наглядности дискретные ряды {gk} (k = 1, ..., N) представлены непрерывными линиями.
На рис. 2 показаны графики РСС q(t), рассчитанного по формулам (5) при использовании весовой функции f(k), равной kln(k) при 2 < k < 20 и равной нулю при прочих k. При этом для выращивания графа используются стохастические приращения с распределением вероятностей числа ребер r2 = 0,1, r3 = 0,2, r4 = 0,3, r5 = 0,4, а затравка состоит из 5 вершин, связанных 5 ребрами в кольцо.
На шаге t = 10 000 (черные столбики на рис. 2) РСС совпадает с точностью до 4 значащих цифр
с финальным РСС, рассчитанным по формулам статьи [12].
5. Расчет локальных переходных процессов.
Выделим произвольную вершину, присоединенную к растущему графу. Момент присоединения выделенной вершины (ВВ) назовем временем ее рождения и обозначим через Время tВВ одновременно является номером ВВ. С возрастом Т = t — tВВ состояние (степень к) ВВ случайным образом возрастает. Локальным ПП будем называть изменение распределения вероятностей состояний ВВ (РСВВ) и(Т) = = {ик(Т)} = {иДТ), и2(Т), ...} с ее возрастом Т.
Пусть в момент Т времени жизни ВВ ее степень к = к(Т). Тогда добавляемая к графу в момент Т + 1 новао вершиоа при условии, что она имеет х инцидентных ей ребер, присоединится к ВВ одним из них с вероерностью
xf(k) xf(k) xf(k)
Tf(kj) Nf(t) tf(t)
(6)
Безусльрна= по x ве()о:к^тность увеличения на 1 CTfпени к ВВ равна математическому хжкданию условной вf роятнооти (6) it сост=вляет
! = pk ,k+1 '
mf)k )
tfV '
(7)
где t = Т + — текущее в°емя.
/(В) у Щ /(0)до (В) — средний вес вершин графа в момент времени t, определяемый при расчете сетевого ПП графа.
Вероятность (7) перехода ВВ на шаге Т + 1 из состояния к в состояние к + 1 является основной переходной вероятностью, определяющей неоднородную марковскую цепь с дискретным временем. По начальному РСВВ и(0) можно вычислять РСВВ в последующие моменты времени Т, используя формулу полной вероятности. С учетом того, что ВВ на каждом шаге времени может либо сохранить текущее состояние (степень) либо увеличить на 1, вероятности ик(Т + 1) вычисляются через вероятности ик(Т) следующим образом:
^ГТ+1)=1 сВ)[1-вь ^1], к =g,
ио (Т +1р Т «0-1(Т)Во-1,0 «и о ГТ)[1 - Во,о«-]в « > g■
|x
Рис. 3. Лист Excel с результатами расчета РСВВ u(400) и ПП kср (T) (локальный ПП k (T) при f(k) = k изучен в [15] аналитическими методами)
С учетом (7) от с юда находим: mf у g с
ае уд н 1С = ае учс|1
а к (T н 1С = а к_м(ДС
ак{ T С1
1Чн tBB С f (Ч н tM С mfTk_ 1С
k = g. (8)
(Ч н tвв С f (Ч н tВВ С тЧ(к С I, k > g.
(ччн t ввСчЧ (ЧнtвkС
расчет лг ропчного Пк ВВ по фоумулам (8) легко реализуется в к хсек
Р. ГЧримиры расчета оокольных ПП. Ни рис. 3 показано распределчние и(Т) = и(400) вероятностей состояний ВВ, «рлдиву ейся» в момент времени t = рв (Ы 1 (00 в г^с^еэе с НППС, выращиваемом при фиксированнчк прорчща ниях с числом ребер m = 2 и с весовой функцией
f (к С =
к с1п к лрн к с С, есьн к некратно 10, 1 лрн к с С, есьн к кратно 10,
0 лрн к < С
из затравки, содержащей 5 вершин, соединенных в кольцо.
Здесь же показан ПП изменения средней степени связности ВВ к(Т).
Расчет подтверждается результатами ИМ. Выполненный предложенным в статье методом расчет выполняется компьютером за малую долю секунды. Расчет методом ИМ (с приемлемой погрешностью оценок вероятностей qk порядка 10-20 %) требует выполнения 5000 прогонов модели и занимает около 1,5 часа. Таким образом, разработанный метод
позволяет по сравнению с ИМ при несоизмеримом повышении точности результатов сократить затраты времени более чем на пять порядков. Затраты компьютерной памяти при использовании разработанного метода растут как O(N), а при ИМ — как O(N2).
7. Заключение. Полученные в статье уравнения динамики (5) и (8) позволяют эффективно выполнять численными методами анализ сетевых и локальных переходных процессов в графах с НППС, являющихся обобщением графов БА и охватывающих в качестве частных случаев другие обобщения специального вида, в том числе графы с фиксированным приращением и степенной весовой функцией [11].
Достигнутые быстрота и точность расчета переходных процессов позволяют в рамках теории сетей (Network Science) ставить и решать задачи анализа и синтеза широкого класса больших стохастических сетей, ранее недоступные для решения точными математическими методами. К таким задачам относятся, в частности, задачи динамической идентификации растущих сетей (включая социальные сети, транспортные, торговые, террористические сети и т.д.) и задачи выбора и оптимизации управленческих решений, актуальные в отношении широкого класса таких сетей.
Примечание
1 Соотношение (3) не исключает существования таких весовых функций f(k), которые обеспечивают лидирующей вершине (первою оказавшейся в слое Ak с максимальным из непустых слоев номером k) вероятность последующего выбора ее для связывания, сколь угодно близкую к единице. Такая вершина (назовем ее «кадавром» [16]) будет присоединять к себе все или почти все x ребер приращения и перемещаться
за один шаг из слоя Ak сразу в слой A+ в результате чего на следующем шаге вероятность выбора ее для связывания станет еще более высокой. В таких случаях выращивается большой граф, все или почти все вершины которого оказываются связанными с «кадавром». В статьях [11, 14] показано, что к таким сингулярным (особым) случаям относится, например, случай весовой функции f(k) = k2. Сингулярные случаи выращивания графов мы в данной статье не рассматриваем.
Библиографический список
1. Watts D. J., Strogatz S. H. Collective dynamics of small-world networks, Nature 393, 440-442 (1998).
2. Albert R., Jeong H., Barabasi A. L. Diameter of the worldwide web, Nature 401, 130-131( 1998).
3. Newman M., The structure of scientific collaboration networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 98, 404-409 (2001).
4. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5, 17-61 (1960).
5. Barabasi A. L. Scale-free networks: A decade and beyond, Science 325, 412-413 (2009).
6. Barabasi A. L. Network science, Philosophical Transactions of The Royal Society 731, 1-3 (2013).
7. Barabasi A. L., Albert R. Emergence of scaling in random networks, Science 286, 509-512 (1999).
8. Barabasi A. L., Albert R. Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys 74, 47-97 (2002).
9. Clauset A., Shalizi C. R., Newman M. Power-law distributions in empirical data, Rev. Mod. Phys 51, 661-703 (2009).
10. Amaral L. A. N., Scala A., Barthelemy M., Stanley H. E., Classes of small-world networks, in: Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97, 2000, p. 11149.
11. Krapivsky P. L., Redner S. Organization of growing random networks, Phys. Rev. E 63, 066123 (2001).
12. Задорожный, В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный / Проблемы управления. - 2011. - № 6. - C. 2-11.
13. Zadorozhnyi V., Yudin E. Growing Network: Nonlinear Extension of the Barabasi-Albert Model // Communications in Computer and Information Science, 2014. - Т. 487. - С. 432439.
14. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v. 428, pp. 111-132, 2015. - DOI: 10.1016/j.physa.2015.01.052.
15. Задорожный, В. Н. Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей / В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. -2015. - № 1 (137). - С. 215-219.
16. Стругацкие, А. Н. и Б. Н. Понедельник начинается в субботу. Повесть-сказка для научных работников младшего возраста / А. Н. и Б. Н. Стругацкие. - М. : ДЛ, 1965. - 135 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: zwn2015@yandex.ru БАДРЫЗЛОВ Владимир Александрович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: v_bad@mail.ru
Статья поступила в редакцию 18.12.15 © В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов
УДК 167/168.0001.8+510:514.8:515.1:519.1/2/6/7+ В П СИЗИКОВ +53+550.36+577.31
Омский государственный университет путей сообщения
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ТЕЛ НА БАЗЕ ДИС-ТЕХНОЛОГИИ
С привлечением системной методологии в ранге ДИС-технологии осуществлен системный анализ взаимодействия двух тел. На примере модели в ранге триады выявлены особенности в проявлении такого взаимодействия. Ключевые слова: гравитация, ДИС-технология, процесс-система, режим, электромагнетизм.
1. Введение. Данная работа является продолже-
нием исследований [1 — 6]. Ключевыми моментами здесь выступают определённость с математическим эквивалентом понятия системы [2] и представление о процессе-системе как круговороте ресурса [56]. Именно эти моменты сыграли решающую роль в разработке на базе теории динамических информационных систем (ДИС, ТДИС) [7] инструментария ДИС-технологии, которому присущи одновременно качества и системной методологии, и языка программирования на уровне оболочки экспертных
систем, и аппарата имитационного моделирования [3-5].
Одним из главных недостатков современной науки, включая физику, является отсутствие проработок на системном уровне. Продолжаются тенденции полного сведения сущности системы к её проявлениям на внешнем уровне. Внутренним атрибутам системы внимание практически не уделяется, её продолжают считать чёрным ящиком. Потому не системны и традиционные представления о движении. В них принято равномерное прямолинейное

читать описание
Star side в избранное
скачать
цитировать
наверх