Параметры потока за стабилизированной детонационной волной при сбалансированном теплои массоподводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 5

УДК 533.6.011.5:55.536.46

ПАРАМЕТРЫ ПОТОКА ЗА СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНОЙ ПРИ СБАЛАНСИРОВАННОМ ТЕПЛО- И МАССОПОДВОДЕ

И. Н. Моишеев

Для плоскопараллельного гиперзвукового потока невязкого идеального газа выводится обобщенное на случай сбалансированного дискретного тепло- и массоподвода уравнение детонационной поляры и рассматривается методика определения газодинамических параметров за фронтом детонации Чепмена — Жуге.

Уравнение адиабатической ударной поляры Буземанна [1, 2] обобщено Рутковским и Николисом на случай мгновенного подогрева в плоскости ударного фронта [3, 4]. Полученные формулы широко использовались в зарубежной и отечественной литературе [5 — 7 и др.], хотя теория не учитывала подвода массы топлива, при горении которого выделяется тепло. Ниже рассматривается уравнение неадиабатической ударной поляры при сбалансированном и одновременном дискретном тепло- и массоподводе, а также метод определения газодинамических параметров потока при детонации Чепмена — Жуге [2, 8].

Уравнение детонационной поляры. Получим это уравнение в предположении дискретного сбалансированного изменения потоков массы, импульса и энергии в плоскости ударной волны, используя законы сохранения в следующей форме:

Рг-^г = Рот Р1 ^1! (1)

92 + р2 = ру (р1 + рх в); (2)

■л—1 *+1

NI +

X—1 х-|-1

*1КР-

(3)

Таким образом, используются исходные предпосылки, принятые при выводе уравнений ударных поляр без учета [1, 2] и с учетом [3, 4] мгновенного выделения тепла в ударной волне. Учет дискретного изменения потоков массы и импульса в плоскости детонационной волны производится в форме, аналогичной учету подвода тепла в уравнении энергии.

Коэффициенты, характеризующие изменение потоков массы, импульса и энергии определяем по формулам:

Р<я —• 1 + ~ т~~;

“в. г о

я _ Р1 К Рот — 1) Л^т + М)] р1 в Ч~ Рг т

Ру- лЪЪ+Лв :

*02

*01

2 8А

= ! + ■

*-1

%+1

I „2 • ''О “кр 1

Р т

* = ТГ'

где “в.г> ¥сг — коэффициенты избытка воздуха и полноты сгорания;

На, £о — высшая теплотворная способность и стехиометрическое

число топлива;

£ = 9,81 .м/сек2 — ускорение силы тяжести;

Л = 427 кгс-м/ккал — механический эквивалент тепла;

5Т — коэффициент гидравлических потерь;

Н?! — скорость „вдува" топлива;

,Рп> Р\ в — парциальные давления топлива и воздуха в плоскости

■ детонационной волны;

р, р — соответственно плотность и давление;

№ — модуль скорости;

и, V — компоненты вектора скорости № потока, соответственно касательная и нормальная к направлению движения (№ =

=Уй*+«г);

N. Ь — компоненты вектора скорости ИР потока, соответственно нормальная и касательная к детонационной волне (№'=а}^Л''г+£2);

йкр — критическая скорость звука, акр = а0 ^/"—-

X = И?/якр — приведенная скорость;

яКр

»0 — энтальпия торможения, /0 =------ ^ -;

Мт— нормальная к плоскости детонации скорость вдува топлива. Параметры до и после ударной волны обозначаются соответственно индексами .1* и ,2* (или „д“ в неадиабатическом случае).

Схема сил, приложенных к плоскости ударной волны, и график детонационной поляры приведены на фиг. I и 2.

2 .

4-1 ’

\

/у

Фиг. 1

Направим скоростную ось х по вектору скорости Н/ набегающего потока. Определим соотношение касательных и нормальных составляющих скоростей до и после ударной волны. Так как скольжение газа в плоскости детонации отсутствует, то касательные составляющие /.1 = /.2 = /..

Решая уравнения (1)—(3) совместно, получаем для нормальных составляющих скоростей:

4* у) —2

Л^2 =

2<р

кр 1

(4)

где

Ф (&. ?) =

ЛК

(у3 а

кр 1 '

*кр

т).

7—Ученые записки № 5

97

<р

<р

При 9=1 уравнение (4) вырождается в известное соотношение Прандтля на адиабатической ударной волне ^!^2 = акр1 [2].

Заметим, что из выражения (4) определяется также предельный подогрев

®пред —

N1

4<у2 а:

кр 1

кр 1

+ ■

(<р2— 1)

*+1

+ 1

кр 1

Теперь, используя кинематические соотношения

(5)

= 1^! в1П од, I = А71 сое од, Ид = Ь сое Од -|- 81п Од, ад =

и уравнение (4), получаем уравнение детонационной поляры при сбалансированном дискретном тепло- и массоподводе

где

_ V с\— 4с3с3 -г с, ^ = (1_Ид)2 —

сх = 1 —2<рид -

У— Ид 1 -йд

2с»

+ ТГ 1

(6)

Сз ■■

с2 = у (1 — Ыд) — 1*2 + -у;

Л1

1 - ?Цд . 1 «д-

1 — Ил

1 — Ид

Нд = -“*

И!

Од = .£* ; и, = 1^; * -^р|-

И1

од — угол наклона детонационной волны к набегающему потоку).

При <р = 1 уравнение (6) превращается в уравнение детонационной

поляры [3, 4], справедливое для случая, когда не учитывается подвод массы:

— Ид 1

0*=з(1-Вд)»

(6а)

*+1

■Ид + ‘

Исследование функции (6) показывает, что она обладает основными геометрическими свойствами поляры Буземанна, графиком которой является декартов лист, так как график функции (6) имеет двойную точку с координатами

4<р8

1+Х?+УГ(1 + Х2

1

^-72-

2<р

и,= 0 и асимптоту и = 1 —

Это обстоятельство позволяет использовать детонационную поляру для геометрической интерпретации определения параметров за детонационной волной.

Газодинамические параметры за детонационной волной Чепмена — Жуге.

Исключив компоненты скоростей из уравнения энергии (3), получим выражение

ДСОН.ЦИО.НО» по.ярь, (6) . плоскости ,, 1/р . „иде функции Л-Р.(£, ».),

график которой аналогичен кривой Гюгонио. Далее методами теории ударных

/ 1

волн можно показать, что точка касания (рж с , 1/рд с) к кривой рл = рА , лд^

прямой, проходящей через точку с начальными параметрами (р, 1/р), соответствует детонационной стабилизированной относительно профиля волне, за которой

мы сохраним название детонационной волны Чепмена — Жуге [2].

В связи с этим на плоскости годографа скоростей и, V параметры стабилизированной детонационной волны определяются точкой касания (ыКс. икс) прямой, проходящей через начало вектора скорости набегающего потока №=£/! к детонационной поляре (см. фиг. 2).

По предложению В. Г. Буковшина, компоненты вектора скорости за стабилизированной детонационной волной определяются нами из совместного решения уравнений детонационной поляры (6) и касательной, проходящей через начало вектора

д/ - д/ --^=—(.ul^c-l)+-ф-vкc = 0, (7)

оикс ОН кс

где

Ударная пал яра Детонационная поляра.

Хд — постоянные термодинамические параметры

Фиг. 2

/«5*+(l-aj* А

Cl — Vci — 4с2с3 2с,

Выполняя дифференцирование, из совместного решения уравнений (6) и (7) получаем иррациональное уравнение для определения компонента икс в точке касания детонационной поляры

cf — 4с2 с3 — С]) с2

дсх

О 1 Г о дСч

• (cf — 2с2 с3 - С! у Cj — 4с2с3) —=■

где

ди,.

dct

дик

+ 2 с2,

дс3

1г^ = 0'

ОМп

(8)

диа

■ —2т-

(J.S (ср — 1) - (<р& — 1)

.______________________________________________________

(1 — йд)2 X—1

дс3

дйд

диЛ «д (<Р ~ О +

(ср»

- х+1 1)-(1

•<р«д) (1 —Ид)

(1-Ид)2

Без учета подвода массы (<р=1) уравнение (8) сводится к квадратному уравнению. При этом первый компонент вектора потока за стабилизированной детонационной волной равен

хг

Х+1 1

*-н

>+1

х+1

>+1

х+1

х+1

(»-1)

Второй компонент г/кс, определится из уравнения (6а).

Зная компоненты скорости икс, г/кс, определим углы отклонения потока и наклона стабилизированной детонационной волны:

‘8 "д. с =

1 — цк

икс ®кс

и газодинамические параметры за фронтом детонации Чепмена — Жуге:

Р л- с _

Рл. с

_[

Р\

2х

2*.

Х+1 Х+2 Рх Х+1

.*-1 Р11

*~1 Ф )

х+1 2 /

СОв2 а.

*1'

х+1

Р] в р\

Рд.

_ ГД. с

х+1 Ч Рт 18®д.сс18(°д.с— Рд.с);

^д. с =У «д. с + с : А#д. с = Гд. с ЛІ, = -г

з1п ("д.,

а. с)

(9)

При <р = 1 первая формула (9) вырождается в тривиальное уравнение для определения относительного давления за косым скачком уплотнения.

Описанная методика позволяет проследить влияние сбалансированного подвода топлива на газодинамические параметры.

В качестве примера рассмотрим симметричное обтекание клина с полууг-лом вершины акл =10° гиперзвуковым потоком идеального невязкого газа. Предельный подвод массы топлива определяется с помощью формулы (5). Кроме того, рассматриваем случай изменения импульса потока р,, вследствие существенно реактивного вдува топлива по потоку. При этом начальные данные

для М„ = 10+20 могут быть сведены в такую таблицу:

Водород; ос 10

0751

9 Рк

1,029 1,7 1,000 1,029

1,000 1,35 1.000 1,000

0,922 1,2 1,116 1,029

Результаты графо-аналитического расчета давления модуля вектора скоро-

сти за детонационной волной №.

угла

025

Фиг. 3

наклона детонационной волны ид с> отнесенных к собственным значениям при 9=1, а также модуль вектора скорости за детонационной волной, отнесенного к скорости потока за косым скачком V?!, приведены на фиг. 3.

Из рассмотренного примера следует, что вопрос о пренебрежении изменением массы и импульса потока в приближенных расчетах требует специального анализа. При использовании ЭВЦМ эта альтернатива отпадает, так как полученные формулы обеспечивают необходимую точность без существенного усложнения расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Busemann A. Hodographenmethode der Gasdynamik. Zelt-schrlft angewandte Mathematik und Mechanik, 17, 73—79, 1937.

2. Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. М., Изд. иностр. лит., 1950.

3. Siestrunck R., Fabri J. and Le Q rives E. Some properties of stationary detonation waves. Fourth Syinp. on Combustion, William and Wilkins Co, Baltimore, 1953.

4. R u t k о w s k i J., N i с h о 1 i s J. A. A consideration for the attainment of a stading detonation wave. Cas Dynamics Symp. Proceedings Ae-rothermochemistry, Evanston, 1956.

5. Черный Г. Г. и др. Движение газовых смесей с экзотермическими реакциями. М., Изд. МГУ, 1969.

6. Буковшин В. Г. Некоторые задачи движения газа с подводом тепла. Труды ЦАГИ, выц. 834, 1961.

7. Буковшин Б. Г., Т а г а н о в Г. И. К вопросу о внешнем подводе тепла в волне детонации. „Ученые записки ЦАГИ", т. I, № 5, 1970.

8. Щетин ков Е. С. Физика горения. М., .Наука", 1965.

Рукопись поступила 20,'Х 1971