CC BY
54
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЖАРОВ
Доцент кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ
Ю. Д. Моторыгин
Профессор кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ
В. А. Ловчиков
Начальник кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ
С. В. Шарапов
Адъюнкт кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ
А. И. Иванов
УДК 614.841
ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ГОРЕНИЯ ЛЕГКОВОГО АВТОМОБИЛЯ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Рассмотрены особенности классических математических моделей для расчета развития пожара в легковых автомобилях, отмечены их достоинства и недостатки. Кроме исследования классических математических моделей, показано, что существует альтернативный подход — стохастические или вероятностные методы описания развития пожаров автомобилей. Приведен пример, иллюстрирующий возможности оценки времени горения легкового автомобиля с помощью конечных цепей Маркова.
При проведении пожарно-технической экспертизы основной задачей эксперта является определение очага пожара и источника зажигания. Как правило, эксперту приходится работать с остатками автомобиля, кино-, фото- материалами и показаниями свидетелей и очевидцев. Возникновение и развитие пожаров на автотранспорте имеют ряд особенностей, определяющих специфику их по-жарно-технических исследований. Это проявляется при доказательстве поджогов, так как высокая пожарная нагрузка автомобиля, включающая большое количество горючих и легковоспламеняющихся жидкостей, затрудняет установление причины возгорания. Практика показывает, что время горения легкового автомобиля среднего класса очень мало и не превышает 30 мин [1]. Поэтому время развития пожара связано с показателями пожарной опасности веществ и материалов, составляющих пожарную нагрузку автомобиля.
Для оценки времени горения легкового автомобиля можно использовать математическое моделирование. В настоящее время применяются различные методы модельных описаний [2].
Традиционно используются математические модели, описывающие в самом общем виде изменение характеристик среды объекта в течение определенного времени [3, 4]. В них, как правило, рас-
сматриваются изменения параметров состояния кузова автомобиля и пожарной нагрузки. Такой подход не всегда корректен, а в ряде случаев, в частности при значительной неоднородности газовой среды, может давать большие погрешности. Физический смысл протекающих процессов, описываемых упомянутыми моделями, не всегда может быть однозначно проанализирован в силу большого количества учитываемых параметров. Кроме того, невозможно предусмотреть множество случайных событий, происходящих до и после начала горения.
Помимо традиционных методов расчета опасных факторов пожара, существует альтернативный подход—стохастические или вероятностные модели описания процессов. Они успешно применяются в самых разнообразных областях науки и технической деятельности. Причем, чем больше случайных явлений мы наблюдаем, тем более взаимно уравновешивается влияние второстепенных причин и более отчетливо проявляется действие главных, постоянных закономерностей. Закономерности такого ряда могут быть выявлены с помощью вероятностных или стохастических моделей. Среди них простотой и ясностью физического смысла выделяются модели, основанные на теории конечных цепей Маркова.
Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или бесконечным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого, которое сформировало данное настоящее.
Конечной цепью Маркова [5] называется процесс, который переходит из состояния в состояние с определенной вероятностью, так называемой вероятностью перехода. Число этих состояний конечно, а значение вероятности перехода полностью определено состоянием, в котором процесс находится в данный момент времени.
Для примера рассмотрим вариант поджога легкового автомобиля через разбитое стекло салона. Развитие пожара в салоне современного автомобиля связано с наличием большого количества полимерных материалов, используемых в его отделке. При термическом воздействии в условиях ограниченного количества окислителя (салон автомобиля представляет собой достаточно герметичное пространство) полимерные материалы образуют большое количество продуктов неполного окисления. Механизм распространения пожара в салоне автомобиля может определяться многими факторами. Наиболее важными среди них являются величина пожарной нагрузки и горючесть продуктов термического разложения. Скорость выгорания материалов и условия газообмена определяются конкретной маркой автомобиля. Общую зависимость можно выявить следующим образом: чем более представительный автомобиль и чем более высока степень насыщенности его опциями, определяющими комфортабельность данной марки, тем более интенсивное горение происходит в салоне данного автомобиля.
В пожарную нагрузку в основном входят конструктивные горючие и трудногорючие элементы салона автомобиля. Скорость выгорания жидких и твердых веществ и материалов характеризуется потерей массы в единицу времени с единицы площади горения. Условия газообмена определяются степенью раскрытия и взаимным расположением проемов и вентиляционных люков, а также объемом салона.
Для формулировки конкретной марковской модели горения условно разделим салон легкового автомобиля на четыре зоны:
• пол под передними сидениями (1-я зона);
• передние сидения (2-я зона);
• пол под сидениями пассажиров (3-я зона);
• пассажирские сидения (4-я зона).
Предположим, что в одной из зон начинается пожар. Тогда возможны следующие ситуации или исходы процесса:
1) пожар в одной из зон прекратится из-за выгорания пожарной нагрузки или отсутствия окислителя (воздуха);
2) горение будет продолжаться в данной зоне;
3) пожар перейдет в следующую зону.
Вероятность первого события обозначим р, вероятность того, что пожар будет продолжаться в г-й зоне, — д и вероятность третьей ситуации — г. Поскольку других исходов процесса нет, то р + д + + г = 1. Такая конечная цепь Маркова имеет следующие состояния:
5 — пожар прекратился в одной из зон;
52 — выгорел весь объект;
53 — горит 4-я зона;
54 — горит 3-я зона;
55 — горит 2-я зона;
56 — горит 1-я зона.
Соответствующая матрица переходных вероятностей процесса имеет вид:
Р =
Г1 0 0 0 0 о 1
0 1 0 0 0 0
р г д 0 0 0
р 0 г д 0 0
р 0 0 г д 0
1 р 0 0 0 г д)
где номер строки обозначает состояние, из которого происходит переход, номер столбца — состояние, в которое процесс переходит.
Будем считать, что пожар, перейдя из г-й в у'-ю зону, назад не возвращается, т.е. состояния 51 - 56 принадлежат эргодическому множеству, в котором из любого состояния можно попасть в любое и из которого, попав в него, нельзя уйти [5]. Рассмотрим поглощающие цепи Маркова — цепи, все эргодиче-ские состояния которых являются поглощающими, т.е. такими, попав в которые, нельзя из них выйти.
В любой поглощающей конечной цепи Маркова, независимо от того, где начался процесс, вероятность после п шагов оказаться в невозвратном эрго-дическом состоянии стремится к 1 при п ^ да. Под невозвратными состояниями в теории цепей Маркова следует понимать такое множество состояний, в котором можно из любого состояния попасть в любое и из которого можно выйти.
Удобно придать матрице Р несколько иной — канонический — вид объединив все эргодические
состояния в одну группу, все невозвратные — в другую. Тогда каноническая форма будет иметь вид:
Г \
5 : 0
Р = .........
л : я
V у
Подматрица 5 размерности 2 х 2
Л 0^
Тогда
5 =
0 1
относится к процессу после достижения пожаром поглощающего состояния, подматрица 0 размерностью 4 х 2 составлена целиком из нулей, подматрица Я размерности 2 х 4
(р г\
Я =
р0 р0 р0
Я= (I — Я)—1 =
Г 1
р + г г
(р + г )2 р + г
2
(р + г )3 (р + г )2 р + г
( р + г )4 ( р + г )3 (р + г )2 р + г
когда вероятность того, что пожар в одной из зон прекратится, р = 0,2, вероятность продолжения пожара в данной зоне д = 0,1 и вероятность перехода горения в следующую зону г = 0,7.
Тогда
N =
Г 1,11 0 0 0 ^
0,86 1,11 0 0
0,67 0,86 1,11 0
0,52 0,67 0,86 1,11
отвечает переходам из невозвратных в эргодиче-ские состояния, подматрица < размерности 4 х 4
Г д 0 0 0 ^
г д 0 0 0 г д 0 ч 0 0 г д у
<=
описывает поведение процесса до выхода из множества невозвратных состояний.
Поведение процесса описывается возведением переходной матрицы в следующую степень. При возведении матрицы Р во все более высокие степени все элементы подматриц < стремятся к 0. Подматрица 5 = I, т.е. представляет собой единичную матрицу. Из определения произведения матриц следует, что при возведении матрицы Р в степень, подматрица I не меняется.
Из теории марковских цепей следует, что среднее время, которое проводит процесс в данном невозвратном состоянии, всегда конечно и что эти средние времена определяются матрицей N N =(1 - Я )-1).
Учитывая, что р + д + г = 1, получаем
I - Я = Р =
Г р + г 0 0 0 ^
-г р + г 0 0
0 —г р + г 0
0 0 —г р + г у
Вероятность того, что объект выгорит полностью, т.е. выгорят все четыре зоны, зависит только от отношения г/(р + г). Это выражение представляет собой вероятность того, что пожар перейдет в следующую зону (а не прекратит горение в данной зоне) при условии, что пожарная нагрузка в этой зоне выгорит полностью (горение в данной зоне не возобновится). При этом не накладывается никаких ограничений на время горения в каждой зоне. Нули матрицы N показывают, что в выгоревших зонах пожар не возобновится. В соответствии с нижней строкой фундаментальной матрицы N следует, что если пожар начался в 1-й зоне и в этой же зоне прекратился, то среднее время пожара будет составлять 1,11 единиц времени. Если пожар перешел во 2-ю зону и в этой зоне прекратился, то получаем среднее время пожара во 1-й зоне, равное 1,11 единиц времени (вторая строка снизу матрицы N). При переходе горения в 3-ю зону (нижняя строка матрицы N) среднее время горения во 2-й зоне будет 0,86 единиц времени. Таким образом, при полном выгорании объекта, начавшего гореть из 1-й зоны, 1-я зона будет гореть 1,11, 2-я — 0,86, 3-я — 0,67 и 4-я — 0,52 единиц времени.
Выводы
Стохастическое моделирование процессов горения позволяет получить следующие важные результаты:
1. Определить относительное время достижения полного выгорания объекта или его зон в зави-
3
2
г
г
г
симости от пожарной нагрузки и условия воздухообмена.
2. Рассчитать вероятность прекращения горения на определенных стадиях в каждой зоне горения.
3. Оценить относительную вероятность повреждения или утраты материальных ценностей в рассматриваемых зонах в случае возникновения пожара.
Интерактивное учебное пособие "ПОЖАРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ОБЪЕКТОВ"
Представляет курс, построенный на основе методических материалов, разработанных ведущими специалистами кафедры пожарной безопасности Московского государственного строительного университета, и включает 16 уроков (лекции и тестовые вопросы), объединенные в электронный учебник.
Учебно-методическое пособие содержит сборник нормативных актов по организации и обеспечению пожарной безопасности объектов.
Поурочная структура курса позволяет изучать материал в удобное время ивудобном темпе.
Данное интерактивное учебное пособие рекомендуется для проведения дистанционного обучения.
Курс рассчитан на самостоятельное изучение и консультационной помощью не поддерживается.
Освоив предлагаемый материал, вы можете сдать квалификационный экзамен в виде контрольного тестирования по всем пройденным темам.
Успешно сдавшим квалификационный экзамен предоставляется скидка 30% от базовой стоимости курса и выдается удостоверение государственного образца, подтверждающее прохождение слушателем курса повышения квалификации руководителей и специалистов в объеме 72-часовой программы.
Удостоверение высылается на почтовый адрес слушателя или вручается лично в УВЦ ИИБС Московского государственного строительного университета.
Заявку на приобретение компакт-диска присылать по e-mail: firepress@gmail.com
ЛИТЕРАТУРА
1. Расследование пожаров: Учебник/ Под ред. Г. Н. Кирилова, М. А. Галишева, С. А. Кондратьева. — СПб.: Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России, 2007.
2. Драйздейл, Д. Введение в динамику пожаров / Д. Драйздейл. — М.: Стройиздат, 1990. — 424 с.
3. Применение полевого метода математического моделирования пожаров в помещениях: Методические рекомендации. — М.: ВНИИПО, 2003. — 35 с.
4. Welch, S. SOFIA. Simulations of Fires in Enclosures: User Guide / S. Welch, P. Rubini. — UK, Cran-field University, 1996.
5. Кемени, Д. Конечные цепи Маркова /Д. Кемени, Д. Снелл. — М.: Наука, 1970. — 271 с.
Поступила в редакцию 26.03.08.
