Оценка кинетической энергии торнадо по его визуальным геометрическим характеристикам Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 1. С. 18-21.

УДК 532.528 Д.Н. Горелов

ОЦЕНКА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОРНАДО ПО ЕГО ВИЗУАЛЬНЫМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ*

Предложена модель торнадо, которая позволяет определять кинетическую энергию, толщину жидкой оболочки и скорость ее вращения для выбранного элемента торнадо по его визуальным геометрическим параметрам.

Ключевые слова: торнадо; кинетическая энергия торнадо; толщина оболочки торнадо; скорость вращения оболочки торнадо.

Под торнадо (смерчем) понимают гигантский вихрь, который возникает в недрах дождевых туч. Верхняя часть торнадо имеет вид огромной вращающейся воронки, которая затем сужается и в виде хобота свисает до земли (рис. 1). Торнадо обладает огромной разрушительной мощью, сметая практически все на своем пути.

Наблюдения и исследования торнадо ведутся давно. К настоящему времени опубликовано много статей и книг, в которых обсуждаются причины возникновения торнадо, особенности его развития, строения, поведения и многие другие аспекты этого сложного физического явления. Обширный материал содержится, в частности, в монографиях [1; 2]. Однако проблемы, связанные с торнадо, остаются актуальными до сих пор.

Рис. 1. Торнадо

Важное значение имеют рассказы свидетелей, случайно оказавшихся внутри торнадо и чудом оставшихся в живых. По этим рассказам (их можно найти в Интернете) торнадо в нижней своей части представляет собой пустотелую полость, окруженную двумя цилиндрическими оболочками: внешней воздушной и внутренней водной. Эти оболочки вращаются с большой скоростью. Толщина водной оболочки значительно меньше диаметра торнадо. Во внутренней полости торнадо наблюдается чрезвычайно низкое давление и практическое отсутствие вихревого движения среды.

Явление торнадо чрезвычайно сложно и многообразно. Для исследования этого явления предложено много различных физических и математических моделей. Но любая модель ограничена и способна описать лишь некоторые аспекты строения и поведения торнадо. Не является исключением и предлагаемая модель.

* Работа выполнена при поддержке проекта РАН «Современные методы аппроксимируемости моделей, алгоритмов и теорий» № 0314-2015-0009.

© Д.Н. Горелов, 2016

Наблюдения метеорологов показывают, что торнадо возникает в дождевом (материнском) облаке, несущем огромную массу дискретных капель воды. Для вращения этой капельной среды необходимо иметь мощный источник энергии. Таким источником могут быть другие дождевые облака, которые движутся с разными скоростями в разных направлениях и высотах. При встрече этих облаков с материнским облаком на их общих границах возникают огромные силы трения, которые способны закрутить капельную среду внутри материнского облака. Центробежные силы, действующие на капли, уплотняют капельную среду. Это приводит к увеличению центробежных сил и дальнейшему уплотнению капельной среды. В результате внутри материнского облака образуется замкнутая полость - каверна, окруженная жидкой оболочкой. Давление и плотность среды внутри каверны могут быть существенно меньше, чем вне ее. Форма каверны определяется в основном центробежными силами, действующими на ее оболочку. При определенных условиях, когда к оболочке каверны поступает извне кинетическая энергия, каверна принимает форму воронки, диаметр которой может достигать нескольких километров. При подходе к нижнему краю материнского облака каверна сужается и вместе с жидкой оболочкой частично выходит из материнского облака. Типичный вид торнадо на этой стадии развития приведен на рис. 2 [1]. При дальнейшем поступлении кинетической энергии торнадо достигает земли (или водной поверхности) и начинает свое движение вслед за материнским облаком. После выхода из материнского облака вокруг торнадо возникает вращающаяся воздушная оболочка.

Разрушительная сила торнадо определяется тремя основными факторами: высокой плотностью жидкой оболочки (плотность воды в 800 раз выше плотности воздуха), скоростью вращения водной оболочки и толщиной этой оболочки. Сочетание этих факторов порождает огромную кинетическую энергию, которую несет в себе торнадо.

Моделирование торнадо каверной, окруженной жидкой оболочкой, позволяет определить кинетическую энергию кольцевого элемента оболочки, ее толщину и скорость вращения. Исходными данными для этого являются диаметр и угол сужения кольцевого элемента, которые могут быть определены визуально (рис. 3).

ьс ja-"" А —i

1

Рис. 2. Выход торнадо из материнского облака

Рис. 3. Элемент торнадо с вертикальной осью вращения

Форма торнадо и его физические характеристики зависят от многих факторов и могут существенно меняться по высоте. Разрушительная сила торнадо связана с той его частью, которая проносится вблизи поверхности земли. Поэтому целесообразно ограничиться построением и исследованием модели нижней части торнадо. Будем моделировать эту часть торнадо конической поверхностью 8 с переменным по высоте радиусом К. Поверхность 8 является внешней границей жидкой оболочки торнадо, толщина которой Ь<<К Оболочка вращается вокруг вертикальной оси с круговой частотой СО. Частота вращения оболочки и ее толщина могут быть различными в каждом поперечном сечении торнадо.

Предположим, что на оболочку торнадо действуют сила тяжести, центробежная сила и атмосферное давление. Сила тяжести направлена по вертикали, а центробежные силы - по нормали к оси вращения. Вектор сил атмосферного давления действует по нормали к поверхности оболочки. Для всех сил, действующих на оболочку торнадо, должно выполняться условие динамического равновесия. Рассмотрим это условие более подробно.

Пусть векторы Ь§,Ьс,Ьр,Ьа являются соответственно единичными векторами (ортами) векторов силы тяжести, центробежной

20

Д.Н. Горелов

силы и атмосферного давления в точках А, О, В (рис. 3). По определению,

| Ь§ |=| Ьс |=| Ьр |=| Ьа |= 1, Ь§ • Ьс = 0, Ь§ • Ьр = ¿ту, Ь§ • Ьа = 1,

Ьс • Ьр = С0У Ьс • Ьа = 0 Ьр • Ьа = (1)

где у - угол сужения торнадо (угол между нормалями к оси вращения и поверхности торнадо).

Рис. 4. Элемент оболочки торнадо

Выделим на поверхности торнадо элемент с центром в точке А (рис. 4). Объем жидкой оболочки для такого элемента Д¥ = кДБ . Масса жидкости в объеме ДУ равна Дт = ршДУ , где рш - плотность жидкости .

На объем ДУ действуют сила тяжести Р, центробежная сила Рс и сила атмосферного давления ^, равная перепаду давления вне (ра ) и внутри (рс) торнадо.

Величина этих сил должна быть согласована с геометрическими параметрами оболочки торнадо таким образом, чтобы выполнялось условие динамического равновесия для любого элемента торнадо. Таким условием является выполнение векторного равенства

Для рассматриваемого элемента оболочки торнадо

Р = gДтЬ g , Рс = о2 ЯАтЬс,

Рр =-(Ра - Рс )Д^Ьр. (3)

Подставляя (3) в (2), получим: gДтЬg + о2ЯДтЬс - (ра - рс )ДУЬр = 0. (4) Здесь g - ускорение силы тяжести. Умножим теперь векторное равенство (4) скалярно сначала на вектор Ьg, а затем на Ь с. С учетом (1) имеем:

gДт - (ра - рс )ДЗ= 0,

о2ЯДт - (ра - рс )ДБсоъу = 0. (5)

Выражения (5) позволяют определить частоту вращения и толщину жидкой оболочки торнадо в поперечном сечении радиуса Я. Действительно, Дт = крюДБ и выражения (5) принимают вид линейных алгебраических уравнений относительно к и оо1: gкРш = (ра - рс ^шу ,

0^МРо = (ра - рс ) С0У . (б)

В результате получаем формулы

Р + Р + Р = 0

% с р

(2)

о2 = ^ctgу, к = р—— БШу, (7) Я gРо

определяющие частоту вращения и толщину жидкой оболочки в рассматриваемом поперечном сечении торнадо.

Формулы (7) позволяют провести вычисление кинетической энергии Т кольцевого элемента торнадо со средним радиусом Я и высотой I. Объем жидкой оболочки в таком кольцевом элементе ДУ = 2пЯМ1, а масса жидкости Дт = роД V . Скорость вращения

жидкой оболочки V = Яш. Кинетическая энергия рассматриваемой кольцевой оболочки

Т = 2V2Дт = жрткШ3ю2. (8)

Здесь толщина оболочки торнадо к и частота ее вращения О определяются формулами (7).

В качестве примера определим кинетическую энергию кольцевого отсека торнадо, радиус которого Я = 50 м, угол сужения

у = 0,2 рад, плотность жидкости Рш = 103 кг/ м3, перепад атмосферного давления вне и внутри торнадо ра - рс = 0,75 • 105 н/ м, а высота кольцевого элемента I = 10 м. В этом случае к = 1,5 м, ш= 1 рад/с, т = п 106 кг, V = 50 м/с, Т = 4 • 109 кг• м2/с2.

Такой кинетической энергией обладает кольцевой элемент торнадо высотой 10 м. Но

на препятствие обрушивается лишь часть этого элемента. Поэтому представляет интерес выяснение уровня кинетической энергии, которую несет элемент с площадью 1 м2. Кинетическая энергия такого элемента в 3000 раз меньше, чем у кольцевого элемента того же радиуса, и равна 106 джоулей (1 дж =1 Вт • ф Такая огромная энергия способна осуществить катастрофические разрушения.

Полученные результаты могут быть обобщены на общий случай произвольного угла наклона оси вращения рассматриваемого элемента торнадо.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Наливкин Д. В. Ураганы, бури и смерчи. Л. : Наука, 1969. 487 с.

[2] Вараскин А. Ю., Ромаш М. Э., Копейцев В. Н. Торнадо. М. : Физматгиз, 2011. 344 с.