CC BY
43Теорема 1. Пусть G = (V, Е) — произвольное дерево, т.е. связный ацикличный граф, ш — весовая функция, (1Ш — функция, измеряющая вес пути между вершинами дерева. Тогда кривизна Ринни между любыми вершинами дерева G вычисляется по следующей формуле:
Ф' = + d¿) g k' ' У)) '
где kz = 1 , если ребро zx входит, в путь ху, и kz = — 1, если не входит,.
Определение. Бинарным деревом назовем дерево, все вершины которого степени 1 или 3. Следствие. Рассмотрим бинарное дерево G = (V, Е), в котором вес каждого ребра равен 1. Тогда
1) кривизна Риччи между вершинами х и у степени 1, для которых d(x, у)=п, равна к(х, у)=^',
2) кривизна Риччи между вершинами х и у степени 1 « 3 соответственно, для, которых d(x,y) = п, равна к(х,у) =
3) кривизна Риччи между вершинами х и у степени 3, для которых d(x, у) = п, равна к(х, у) =
__2_
Зга '
Определение. Рассмотрим бинарное дерево G, весовая функция которого равна 1. Это расстояние измеряет количество ребер в пути, соединяющего две вершины дерева. Матрицей кривизн риччи [{ = (kij) для этого дерева G назовем матрицу, элементами которой являются кривизны Риччи kij между вершинами дерева G с номерами г и j.
Еще одним важным следствием из формулы кривизны Риччи для взвешенных деревьев является следующая теорема.
Теорема 2. Бинарные деревья, изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы кривизн Риччи сопряжены, т.е. равны при подходящей нумерации вершин.
Автор приносит благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задач и помощь в работе.
Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-581.2014.1, и РФФИ, грант № 13-01-00664а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2т. Т. 1, 2. М.: Мир, 1990.
2. Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications // arXiv: math.DG/0211159vl.
3. Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds // arXiv: math.DG/0303109vl.
4. Bakry D., Emery M. Diffusions hypercontractives // Lect. Notes Math. 1985. 1123. 177-206.
5. Ollivier Y. Ricci curvature of Markov chains on metric spaces //J. Funct. Anal. 2009. 256, N 3. 810-864.
6. Chung F., Yau S.-T. Logarithmic Harnack inequalities // Math. Res. Lett. 1996. 3. 793-812.
7. Lin Y, Lu L.Y., Yau S.T. Ricci curvature of graphs // Tohoku Math. J. 2011. 63. 605-627.
8. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.
Поступила в редакцию 28. 11". 2014
УДК 532.5+537.8+551.5
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ УСИЛЕНИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ
В ВОРОНКЕ ТОРНАДО
С. А. Мае лов1
Рассмотрено влияние трипольной структуры заряда грозового облака и возмущений атмосферного электрического поля под облаком на закрутку потока в формирующейся воронке торнадо. Получено теоретическое обоснование сильной локализации завихренности воронки на малых пространственных масштабах.
1 Маслов Сергей Алексеевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergm90Qmail.ru.
Ключевые слова: торнадо, грозовое облако, трипольная структура заряда, атмосферное электрическое поле.
The influence of a tripole thundercloud charge and an atmospheric electric field perturbation under the cloud on the flow vorticity in the forming tornado funnel is considered. The strong vorticity localization in the funnel at small spatial scales is theoretically substantiated.
Key words: tornado, thundercloud, tripole charge structure, atmospheric electric field.
1. Введение. Торнадо (смерч) — интенсивный атмосферный вихрь, спускающийся из материнского грозового облака в виде воронки радиуса 50-300 м, реже до 1 км и даже более [1]. Основными гидродинамическими чертами смерча являются большая скорость закрученного потока и огромная концентрация кинетической энергии в небольшом объеме воронки. Источником энергии торнадо обычно считают локальную неустойчивость атмосферы [2, 3] или генерацию спиральности [4] во влажной атмосфере. Но в рамках этих термогидродинамических моделей отсутствует объяснение физических механизмов неразрывной связи торнадо с материнским грозовым облаком, разнообразных и достаточно мощных проявлений электрической активности, а также сильной локализации закрутки именно в стенках воронки [1], поэтому для обоснования различных закономерностей поведения торнадо на разных стадиях его существования привлекаются электромагнитные механизмы смерчеобразования [5-10].
В настоящей работе анализируется электрический механизм формирования завихренных потоков в развивающейся воронке смерча (до ее касания с поверхностью Земли), учитывающий сильные вариации атмосферного электрического поля (АЭП) и трипольную структуру заряда облака. Показано, что механизм генерации завихренности, связанный с электрическими факторами, может оказывать более сильное влияние, чем сила плавучести, и создавать большую концентрацию кинетической энергии в стенках воронки торнадо.
2. Образование трипольной структуры электрического заряда облака. Грозовое облако в развитой стадии обычно имеет трипольную структуру заряда [11-14]: его верхняя часть в виде слоя соответствует "основному" положительному, нижняя — "основному" отрицательному, а центральная нижняя — "дополнительному" положительному заряду, роль и механизмы образования которого вызывали вопросы и у Р. Фейнмана [11]. Возмущения вертикальной компоненты АЭП на поверхности Земли соответственно под "дипольным" [15] и "трипольным" [6] грозовым облаком качественно можно описать формулами
E*(r*) = ^ = NeM-rî)-l, = ^ = (1)
где Ez — вертикальная составляющая напряженности АЭП, Eq ~ 100 В/м — величина поля "хорошей погоды", г* = г/а — радиус-вектор цилиндрической системы координат с осью z (направленной от Земли к центру облака), отнесенный к характерному размеру а, возможно, различному для "дипольного" и "трипольного" облаков. Для сравнения значение а в зависимости от N может подбираться так, чтобы наибольшее значение г*, при котором второе выражение (1) обращается в нуль, совпадало с корнем первого, т.е. чтобы обе формулы в (1) давали одинаковое положение границы зоны реверса АЭП [6, 15].
Важно отметить, что под центром "дипольного" облака электрическое поле за счет больших N 1 в первом выражении (1) может достигать величины Е ~ 103Ео, а градиент напряженности поля принимает большие отрицательные значения [6, 15]. Это приводит к сбору кластерных ионов, пыли, микрокапель к оси z во всем объеме между грозовым облаком и подстилающей поверхностью при участии электрической силы, пропорциональной VE2 (формула (2) в [6] и [15]), и подъему положительных кластерных ионов под действием силы Кулона Fc = qEz. В результате формируется "дополнительный" положительный заряд в центральной нижней части облака. В работе [15] описанный механизм сравнивается с действием природного электрогидродинамического "пылесоса".
3. Влияние электрических сил на завихренность в воронке смерча. Трипольная структура заряда грозового облака задает своеобразное распределение зарядов в опускающейся из него воронке смерча. В ее средней, квазицилиндрической, части (вдали от торца и основания) внутренняя часть (ядро) заряжена положительно, внешняя — отрицательно. Запишем уравнения движения воздушных масс в воронке в приближении Обербека-Буссинеска [3, 16] с учетом электрической
силы [17, 18], для наглядности пренебрегая вязкостью среды и считая диэлектрическую проницаемость е постоянной:
dt р V гг ) р
div и = 0, div Е = ——, divB = 0, (2)
ее0
9В „ {дЕ Д
^ rot Е = —, rotB = №^+jj,
где р — атмосферное давление вблизи поверхности Земли; ре = р — pgz — £о(е — 1 )Е2 — полное электрогидродинамическое давление [17, 18]; q — зарядовая плотность; £о и ßo — электрическая и магнитная постоянные; В — магнитное поле; j — плотность электрического тока; р — массовая плотность среды; —ßT'(g + -u2r/r2) — сила плавучести; uv — азимутальная скорость потока; Т' = Т — То, То — температура в воронке, Т — температура воздуха, окружающего воронку; /3 ~ 1/^Г — температурный коэффициент расширения жидкости.
Оценим влияние плавучести и вариаций АЭП под "трипольным" облаком на вертикальную скорость потока в (2); анализ горизонтальных членов уравнения выходит за рамки данной статьи. Считаем, что Ez ~ 105 В/м [6]; р ~ 1,3 кг/м3; Т ~ 300 К; Т' = 5 К [19]. Предполагая, что зарядовая плотность составляет q ~10 нКл/м3 [12], и учитывая, что она может быть на 2-3 порядка больше [10], получаем, что сила плавучести ßgT' ~ 1,3 • Ю-1 м/с2, а вертикальная электрическая сила qEz/р ~ 6,7-Ю-4 4-6,7-Ю-1
м/с . Следовательно, вклад атмосферного электрического поля в вертикальное ускорение потока может быть сравним с влиянием плавучести или даже превышать его.
Возмущения АЭП также сильно влияют на завихренность в относительно тонком тройном электромагнитном слое [6] на границе разноименно заряженных областей воронки; далее этот слой будем называть переходным. Чтобы показать это, рассмотрим уравнение вихря с учетом АЭП, предполагая движение осесимметричным. Взяв ротор от обеих частей (2), приходим к уравнению завихренности
^ = (u,V)u-/^g + ^ г) х VT'-ßT'rot^r^j +iv<?xE, (3)
где ш = rot и. Мы пренебрегаем членом q • rot Е/р в силу его малости по сравнению с (Vq х Е)/р. Действительно, последнее слагаемое в (3) имеет порядок величины (qEz)/(pö), а из уравнений Максвелла имеем q ■ rot Е/р ~ (qBV)/(pL), где ö ~ 3 см — толщина переходного слоя, V ш L — скорость и размер грозового облака. Если считать В ~ 3,2- Ю-5 Тл [9], V ~ 10 м/с, L ~ 104 м [1], то отношение
Vq х^ Е" ~ /У чт0 и обусловливает пренебрежение слагаемым q ■ rot Е/р.
В [7] исследовано влияние вариаций АЭП на азимутальную (вторичную) составляющую завихренности; мы же обратим внимание на то, какое воздействие оказывает электрическое поле на ее вертикальную (первичную) компоненту. Поскольку движение осесимметрично, то проекции всех слагаемых правой части (3) на ось z, кроме первого, обращаются в нуль, и данное выражение для ujz с учетом (2) переписывается следующим образом:
du)z duz , duz и^т f ßgT' qEA и^т / ßgT' qE_z
где г — характерное время процесса формирования смерча, К и /г — радиус и высота воронки, d —
толщина ее стенок. В данном выражении учтено, что термодинамическая сила изменяется в стенках
смерча, где наиболее заметен радиальный перепад температуры среды [3, 7], а электрическая — в
д д переходном слое. Поскольку 5 ^ с? ^ Е [1], член шх мал по сравнению с шг и формула (4)
упрощается:
<'ко£ и^т / /ЗдТ' дЕЛ
dt ~ к V й р8 )' и
где первое слагаемое в скобках описывает рост завихренности потока за счет силы плавучести, а второе — по причине электрических эффектов. Предполагая (1~5м [1], получим, что отношение
соответствующих членов выражения (5) имеет порядок (qEzd)/(pößgT') ~ 1 и может увеличиваться вследствие роста Ez, и особенно q, на несколько порядков [10].
Достаточно большой порядок величины электрической силы позволяет объяснить наблюдаемое локальное увеличение завихренности именно в стенках воронки [1]. Из (4), (5) с учетом приведенных оценок следует, что электрический и термодинамический механизмы усиливают первоначальную закрутку. Поскольку на границе положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной периферии воронки вертикальная составляющая АЭП направлена к Земле, проекция электрической силы на ось z меняет знак с минуса на плюс, т.е. производная duz/dr > 0. На границе воронки и внешнего воздуха вертикальная компонента электрического поля положительна, плотность заряда отрицательна, следовательно, duz/dr также больше нуля. Кроме того, убывает по мере удаления от торца воронки и приближения к ее основанию, поэтому радиальная компонента завихренности шг = —dutp/dz положительна при циклонической закрутке и отрицательна при антициклонической, что означает рост со временем величины \ujz\ и как следствие азимутальной скорости. Увеличение завихренности в растущей воронке обеспечивают электромагнитные силы (формула (8) в работе [6]) и гидродинамические механизмы [20, §7.5] при растяжении вихревых линий из-за уменьшения радиуса воронки с удалением ее торца от основания грозового облака.
Заключение. Исследована модель, учитывающая важную роль электрических эффектов (наличие АЭП и трипольной структуры заряда материнского грозового облака) в формировании смерча. Перепад плотности заряда в совокупности с сильными вариациями АЭП создает механизм генерации завихренности в воронке, эффективность которого может значительно превышать вклад конвекции; последняя в большинстве работ считается ведущим механизмом формирования торнадо. Этот подход также позволяет обосновать ярко выраженную локализацию кинетической энергии в стенках воронки смерча, которую не удается объяснить без учета электрических взаимодействий.
Автор выражает признательность В.Л. Натяганову за постановку задачи и полезные обсуждения полученных результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (контракт № 14.577.21.0109).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Географические особенности и геологическая деятельность. Л.: Наука, Ленингр. отд-е, 1969.
2. Писниченко Е.А. Роль фазовых переходов влаги в процессе образования смерчей // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1993. 29, № 6. 793-798.
3. Юсупалиев У., Маслов А.К., Шутеев С.А., Анисимова Е.П. К вопросу о формировании и геометрических характеристиках смерча. I, II // Прикладная физика. 2001. № 1. 56-68.
4. Курганский М.В. Генерация спиральности во влажной атмосфере // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1993. 29, № 4. 464-469.
5. Vonnegut В. Electrical theory of tornadoes //J. Geophys. Res. 1960. 65, N 1. 203-212.
6. Натяганов В.Л., Маслов С.А. Ломоносов и загадки природного электричества. Часть 4. Электромагнитные механизмы формирования торнадоподобного смерча // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 32-38.
7. Maslov S.A. The influence of tripole structure of thundercloud charge on secondary circulation in tornadoes / / Fluxes and Structures in Fluids: Proc. Int. Conf. Saint-Petersburg. Moscow: Макс Пресс, 2013. 206-209.
8. Электровихревые течения / Под ред. Э.В. Щербинина. Рига: Зинатне, 1985.
9. Артеха С.Н., Гольбрайх Е., Ерохин Н.С. О роли электромагнитных взаимодействий в динамике мощных атмосферных вихрей // Вопросы атомной науки и техники. 2003. № 4. 94-99.
10. Боев А.Г. Плазменная модель смерча // Вопросы атомной науки и техники. 2008. № 4. 133-138.
11. Фейнман Р., Лейтон Р. Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. Электричество и магнетизм. M.: URSS, 2011.
12. Евтушенко A.A., Мареев Е.А. О генерации слоев электрического заряда в мезомасштабных конвективных системах // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 2009. 45, № 2. 255-265.
13. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. Л.; М.: ГИТТЛ, 1949.
14. Williams E.R. The tripole structure of thunderstorms //J. Geophys. Res. D. 1989. 94, N 11. 13.151-13.167.
15. Натяганов В.Л., Сытое В.Э. Возможные механизмы перезарядки нижней части грозовых облаков // X Междунар. науч. конф. "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей": сб. докл. СПб.: СОЛО, 2012. 120-122.
16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. T. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.
18. Сорокин В.А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009.
19. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. М.: Изд-во МГУ, 1986.
20. Бэтчелор Дне. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.
Поступила в редакцию 27.10.2014
УДК 532.594
ВЛИЯНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ И НОРМАЛЬНЫХ СИЛ НА ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ ВОЛН
ПРИ СОВМЕСТНОМ ТЕЧЕНИИ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ И ПОТОКА ГАЗА
А. Н. Белоглазкин1, В. Я. Шкадов2
Изучается влияние поверхностных сил на нелинейные волны, возбуждаемые гидродинамической неустойчивостью в течениях капиллярных пленок вязкой жидкости по внутренней поверхности трубки, продуваемой потоком газа.
Ключевые слова: касательные напряжения, вязкий газ, капиллярность, пленка, неустойчивость, нелинейные волны.
We study the effect of surface forces on nonlinear waves excited by hydrodynamic instability in the flow of a viscous fluid capillary film on the inner surface of the tube blown by a gas.
Key words: shear stresses, viscous gas, capillarity, film, instability, nonlinear waves.
1. Задача о совместном течении вязкой жидкости и газа в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса является довольно сложной. Однако в случае течения тонкой пленки жидкости в поле силы тяжести и взаимодействующей с потоком газа общую задачу можно разделить и рассматривать две совместно решаемые задачи — задачу о течении тонкой пленки жидкости под действием касательных и нормальных составляющих сил, действующих на ее поверхности, и задачу обтекания потоком вязкого газа слабоволнистой поверхности.
Моделирование нелинейных волн в пленке, текущей по внутренней поверхности цилиндра и взаимодействующей с потоком газа, основывается на использовании обобщенной однопараметрической системы эволюционных уравнений для формы поверхности пленки и локального расхода жидкости [1]. Данная система, в отличие от двухпараметрической [2], является менее сложной и вполне пригодна для описания течения в пленке слабовязкой жидкости.
Результаты расчетов нелинейных волновых структур в широком диапазоне внешних управляющих параметров, основанные на модели [1], представлены в [3]. Данные исследования показали, что внешние поверхностные силы оказывают существенное влияние на формирование и устойчивость нелинейных волновых структур, а при достаточно сильном воздействии приводят к их разрушению.
В работе [4] предложены асимптотические соотношения для распределения давления и касательного напряжения на поверхности раздела. Вывод формул проведен в предположении, что длина волны много больше амплитуды, число Рейнольдса для газа велико, а вязкость газа проявляется лишь в тонком пристеночном слое, где невозмущенный профиль скорости близок к линейному. В [5] при использовании линейной модели взаимодействия пленки жидкости и газа асимптотические формулы для напряжений представлены в конечном виде; предполагалось, что на значения напряжений в окрестности поверхности раздела влияет лишь линейная часть невозмущенного профиля скорости.
2. Рассмотрим отдельно задачу о движении вязкого газа. Исследуем влияние характеристик слабоволнистой внутренней поверхности и аэродинамических параметров потока газа на значения
1 Белоглазкин Александр Николаевич — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: belQmech.math.msu.su.
2 Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadovQmech.math.msu.su.
