Ломоносов и загадки природного электричества. Часть 4. Электромагнитные механизмы формирования торнадоподобного смерча Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Механика

УДК 532.5+533.9+537.3+538.4+551.5

ЛОМОНОСОВ И ЗАГАДКИ ПРИРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА. ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ФОРМИРОВАНИЯ

ТОРНАДОПОДОБНОГО СМЕРЧА

В. Л. Натяганов1, С. А. Маслов2

На уровне модельных подходов развивается гипотеза о важной роли электромагнитных явлений в формировании смерча, торнадо, или тифона, по определению Ломоносова. Получено теоретическое обоснование образования холма на водной поверхности под опускающейся из грозового облака воронкой торнадо. Рассмотрен ряд других эффектов, сопутствующих формированию торнадо и требующих учета сильных возмущений атмосферного электрического поля под грозовым облаком.

Ключевые слова: атмосферный вихрь, смерч, воронка, грозовое облако, атмосферное электрическое поле, электровихревые течения.

By the means of model approaches, the hypothesis of an important role of electromagnetic phenomena in the formation of tornado, or typhon according to Lomonosov's definition, is developed. A theoretical substantiation of forming the foamed liquid hill on the water surface under the tornado funnel sinking from the thundercloud is derived. A number of other effects accompanying the tornado formation and requiring the consideration of strong atmospheric electric field variations under the thundercloud are discussed.

Key words: atmospheric vortex, tornado, funnel, thundercloud, atmospheric electric field, electro-vortex flows.

1. Введение в проблему. Физические теории и модели торнадо можно условно разделить на три основных типа — гидродинамические, термогидродинамические и гидроэлектромагнитные. Задолго до появления моделей первых двух типов электрическая гипотеза о природе торнадо, или тифона (от древнегреческого typhon), впервые была высказана М.В. Ломоносовым в 1753 г. [1], а затем ее развивали Р. Хейр (R. Hare, 1837) в США и Ж.Ш. Пельтье (J.Ch. Peltier, 1840) во Франции. Потом эту гипотезу (фактически до работы [2]) забыли, а начиная с А. Пуанкаре (H. Poincare) [3] пытались объяснить это катастрофическое явление и сопутствующие эффекты исходя из уравнений классической гидродинамики [4].

Однако многие вопросы формирования, странного поведения, энергетики и электрической активности торнадо в разных стадиях существования так и остались необъяснимыми в рамках моделей первых двух типов. В частности, это касается прыгающих торнадо, когда воронка отрывается от земной поверхности и зависает на некоторой высоте, а потом опять ее касается; почти горизонтальных торнадо, соединяющих два грозовых облака [5, 6], а также особой разновидности престер-торнадо [1], определяемой в [2] как "огненный смерч, который спускается в форме столба из огня". В [2] для характерных случаев приведены количественные оценки некоторых физических величин, которые свидетельствуют о том, что без учета важной роли электромагнитных эффектов объяснить интенсивную и сильнолокализованную закрутку в воронке смерча, а также огромную энергетику торнадо крайне проблематично.

На основе теории электровихревых течений (ЭВТ) в монографии [5, § 4.7] предложена магнитогид-родинамическая (МГД) модель торнадо в зрелой стадии существования, когда воронка смерча в виде соосных круговых конусов соединяет грозовое облако и земную поверхность. Эта МГД-модель позволяет объяснить более широкий спектр натурных фактов, касающихся торнадо [2, 6], чем традиционные модели первых двух типов [7]. Хотя начальная стадия роста воронки смерча из материнского грозового облака в монографии [5] не рассматривалась, однако там и в работе [2] подчеркивалось, что любая модель формирования торнадо должна учитывать эту связь. Вслед за монографией [6] о наличии подобной связи упоминается почти во всех обзорах по исследованию торнадо, но авторы настоящей статьи не встречали работ, где бы эта связь анализировалась с учетом экспериментально открытых еще М.В. Ломоносовым сильных возмущений атмосферного электричества под грозовым облаком.

1 Натяганов Владимир Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tenzor@bks-mgu.ru.

2 Маслов Сергей Алексеевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergm90@mail.ru.

2. Строение атмосферного электрического поля под грозовым облаком.

Ломоносов [1] к загадочным явлениям природного электричества отнес кроме тифона (смерча, или торнадо) северные сияния и шаровые молнии [8, 9], которыми часто сопровождаются мощные торнадо [2], а также заявил об открытии сильных вариаций атмосферного электрического поля (АЭП) под грозовыми облаками и о существовании АЭП даже в ясную погоду. Физические механизмы квазистационарности АЭП ясной погоды (или сохранения отрицательного заряда Рис. 1. Схема структуры грш°в°ш облака и возмущений Земли) до сих пор не получили адекватно-АЭП: 1 - перифершная зона я™ погоды; 2 - зона го теоретического обоснования, а тонкая реверса АЭП; 3 — зона повторного реверса АЭП структура строения грозовых облаков и силь-

ных вариаций АЭП под ними (рис. 1) была выяснена лишь в середине ХХ в. [10, 11].

В качестве модельной функции, описывающей явление двойного реверса [9, 10] направления АЭП под грозовым облаком с трипольной структурой, возьмем зависимость

Е* = — =

Ео

Е 2(г4 - 16)(г3 - 8)

г7 + 64

- 1,

(1)

где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат с осью г, направленной от земли к центру грозового облака; Ео ~ -100 В/м — средняя напряженность АЭП ясной погоды. Зависимость (1) на качественном уровне описывает сбор микрокапель к оси г вдоль морской поверхности под действием электрической силы [12]

(2)

¥е = 2жа3е1(е2 - £1)£ + 2£1 )-1УЕ2

где £1, £2

диэлектрические проницаемости воздуха и микрокапель радиуса а.

Наглядное представление о трипольном строении грозового облака дают рис. 9.11 в монографии [11] и рис. 1 настоящей работы (без изображения верхней положительно заряженной части облака), где пунктирная кривая соответствует зависимости (1) и структуре АЭП под облаком с учетом отрицательного знака Ео; график величины УЕ"2(г) приведен на рис. 2.

При формировании торнадо по типу низового прорыва [13] из нижней центральной положительно заряженной части [9-11] грозового облака приближающийся к водной поверхности торец воронки играет роль своеобразного концентратора АЭП [10], что приводит к уве-Рис. 2. График зависимости градиента квад- личению поля в центральной зоне 3 двойного реверса рата напряженности АЭП от расстояния до (рис. 1) до значений Е ~ 103Ео и выше, усилению неод-оси воронки нородности АЭП и росту величины УЕ2 в формуле (2).

Под центром грозовых облаков иногда наблюдаются [6] возвышения в виде холма на водной поверхности или четко локализованная даже в штиль так называемая толчея волн (сулой) и свечения по типу огней Эльма на гребнях этих волн [14], а также длительное время следующие за грозовым облаком столбы брызг или пыли на суше (так называемые [6, 15] каскады) без визуально наблюдаемой воронки торнадо. Эти и ряд других явлений, подобных перечисленным во введении, трудно объяснить, не учитывая сильных электрических взаимодействий.

Анализы модельных подходов (без учета важной роли электромагнитных сил) представлены в приложении "Теория торнадо и смерчей: критический обзор" к монографии [7] и в [15], где также приведена обширная библиография по проблеме торнадо.

3. Обратные задачи при формировании воронки торнадо.

Задача 1. Образование холма на водной поверхности под растущей воронкой торнадо. Подчеркнем, что факт образования холма навстречу опускающейся из грозового облака воронке торнадо был известен

еще М.В. Ломоносову, который в "Изъяснениях ..." к работе [1] для наглядности привел и поясняющий рисунок.

Это явление на качественном уровне обосновано авторами в [16], где приведено выражение для безразмерной функции тока ф, которая описывает центростремительный сбор массы приповерхностного слоя вблизи плоскости г = 0:

ф(ц) =

ф

v*R

= 2 Re (1 - ц)< y ctg

7 ln(l + /х) 2

- 1

-1

(3)

где 7 = \/2 11е —1, 11е = (¿/и* — число Рейнольдса, — обильность стока, V* — эффективная кине-

матическая вязкость приповерхностного слоя с микрокаплями разного размера. Решение (3) аналогично решению для пристеночного течения Сквайра [17] в затопленной струе, бьющей из точечного источника в плоском экране, и может быть получено в сферических координатах Я, в, ф для автомодельных течений из класса Слёзкина-Ландау [5] с полем скоростей общего вида

v *

VR

дф

R sin в дв

v* дф R дц'

ve

v *ф(ц)

V *Г(ц)

R sintf' ^ R sintf'

(4)

где ф и Г = Ti/v* — безразмерные функция тока и циркуляция, ц = cos в. Решение (3) получено при условиях Г' = 0, ф(0) = 0 ^^ ve = 0 и в = п/2 ^^ vr = vr из известной системы уравнений [5] для класса автомодельности (4):

(1 - ц2)2ф<4> - 4/х(1 - ц2)ф^ = - /х2)(^2)(3) + 2ГГ', (1 - /х2)Г" = фТ>,

(5)

где штрихи и показатели в скобках обозначают производные по ц. Из (5) следует, что решение (3) допускает закрутку с Г = const, но тогда микрокапли будут стягиваться в плоскости z = 0 к центру не радиально, а по спиралевидным траекториям.

Физической причиной подобного центростремительного сбора микрокапель в некоторой окрестности оси oz, где величина VE2 (см. рис. 2) отрицательна, но с неоднородной закруткой и генерацией завихренности фактически является электрическая сила (2). Однако решение соответствующей задачи уже не будет автомодельным, и вместо системы (5) следует рассматривать систему уравнений Навье-Стокса, основная сложность решения которой заключается в необходимости знать точную структуру АЭП под грозовым облаком с растущей из него воронкой торнадо. Близким аналогом полученного течения в приповерхностном слое с Г = const является частный случай нового семейства решений для вихрестока [18] с приосевой струей и vz = 0, используемый в [15] для обоснования торцевого эффекта в зрелой стадии существования торнадо.

Задача 2. Зависание воронки торнадо. Отметим, что два родственных явления [6, 15] и соответствующие им обратные задачи — устойчивость торнадо-циклона (т.е. длительное существование вращающегося материнского облака с трипольной электрической структурой) и редко наблюдаемая "посадка" на земную поверхность всего торнадо-циклона без образования воронки — до сих пор не решены. Более сложной задачей с определением неизвестной границы является теоретический анализ случаев квазистационарного зависания на некоторой высоте воронки вазоподобной (см. [6, рис. 185; 19, рис. 3.29]) или конической формы, когда воронка потом втягивается обратно в торнадо-циклон (около трети всех случаев), так и не коснувшись подстилающей поверхности. Для зависшей воронки конической формы сильное вращение обычно не наблюдается, а для вазоподобной оно характерно. Аналогией последнего случая в известных прямых задачах для вязкой жидкости служит вихрь Бюргерса, а для идеальной — вихрь Гаусса, Q-вихрь [20] или обобщение решения [21] для комбинированного вихря Ренкина

vr = vz = 0,

vv = и

( го\(

rh(ro — r) + roh(r — ro) ^—J

ш = и

2h(r0 -r) + (l-d)

1+d

(6)

где й> 1, Н — ступенчатая функция Хевисайда.

Формулы (6) при с! =1 соответствуют классическому потенциальному вихрю Ренкина, а при с! = 3 + 5, 5 > 0 все пять инвариантов течения (для завихренности и, импульса, момента, энергии и спиральности) становятся ограниченными величинами, что больше соответствует физике торнадо.

Перечисленные три обратные задачи о торнадо-циклоне невозможно решить без учета важной роли дальнодействия электрических сил между различными частями грозового облака, а также всего облака

z

с противоположно заряженной подстилающей поверхностью. Это служит дополнительным аргументом в пользу общего вывода [19]: чисто газодинамические модели торнадо заведомо неполноценны, поскольку не принимают во внимание электрических сил, действующих в грозовых облаках.

4. Электромагнитные механизмы усиления закрутки в воронке торнадо. Если в грозовом облаке и не было сильной начальной закрутки, а формирование торнадо происходило по типу низового прорыва [13], то по мере вытягивания воронки в квазицилиндрическую струю в ней должна генерироваться завихренность под действием электромагнитных механизмов. В частности, из трехслойной структуры [9-11] строения грозового облака следует, что в средней цилиндрической части струи (вдали от торца воронки и ее расширенного основания у нижней границы облака) центральное ядро воронки, сформированное из центральной нижней части облака, и ее боковые стенки, образованные уже стекающим в расширяющееся основание воронки периферийным потоком, будут заряжены разноименно: ядро — положительно, а стенки — отрицательно. Таким образом, вдоль внешней границы воронки возникает некоторый аналог поверхностного двойного электрического слоя.

При движении вниз эта часть воронки с двойным электрическим слоем является цилиндрическим аналогом сферического тройного электромагнитного слоя (ТЭМС), по электрокапиллярно-вихревой модели [8, 9] существующего на поверхности шаровых молний. По определению ТЭМС представляет собой двойной токовый слой с зажатым внутри простым азимутальным магнитным слоем. Однако цилиндрический ТЭМС в воронке торнадо является скорее толстым, т.е. с развитой диффузной частью, а не тонким, как принято в [8, 9, 22], и между обкладками двойного слоя (ядром и боковыми стенками) проходит радиальный электрический ток пробоя Jn с плотностью jn, взаимодействие которого с вертикальной составляющей Bx геомагнитного поля дает азимутальную электромагнитную силу Лоренца

Fm = [jn X В_|_] = — ev, (7)

г 2п

обеспечивающую рост закрутки в воронке по мере ее вытягивания вниз. Это следует из уравнения Навье-Стокса для азимутальной составляющей скорости, которую выберем в привычной форме vv = u(r,t)r. Тогда это уравнение сводится к простому виду и легко интегрируется:

t

du ß 1 ¡'f , , <ß>t

dt г2 рг2 J рг2

о

где < ß > означает среднюю величину. Дополнительный анализ показывает, что решению (8) не противоречит наличие вертикальной скорости в воронке вида vz = vo + at. Таким образом, в зоне цилиндрического ТЭМС может реализоваться суперпозиция из вертикального равноускоренного (или равнозамедленного) движения вниз и кольцевой закрутки от вихревого жгута, которая возрастает со временем. Подобное растяжение спиралевидных линий тока обычно приводит к увеличению завихренности.

Сравнительный анализ относительного вклада основных гидродинамических и электромагнитных механизмов в усиление закрутки затруднен из-за неопределенности многих параметров, влияющих на процесс вытягивания воронки из грозового облака. Однако с увеличением времени формирования медленно растущей вниз воронки торнадо роль электромагнитных механизмов в усилении завихренности возрастает в соответствии с решением (8), а гидродинамических уменьшается из-за тормозящего момента за счет сил трения.

Кроме этого спиралевидный поток в проводящей среде вида (8) с полем скоростей vr = 0, vv = u(r,t)r, vz = vo + at может по типу нестационарного динамо [23] эффективно генерировать магнитное поле достаточно сложного строения с независимым распространением Bz, право- и левополяризованными волнами вида B± = Br±iBv, что за счет дополнительного действия электромагнитных сил, определяемых формулой (7), будет увеличивать завихренность потока.

При выводе (8) было учтено влияние электромагнитных сил на гидродинамический поток, но часто оказывается важным и обратный эффект — влияние течения проводящей жидкости на электромагнитное поле. Для учета этого влияния рассмотрим уравнение индукции магнитного поля [5]

dB/dt = rot [v x B]+ vm AB (div B = 0), (9)

которое имеет явную аналогию [24] с уравнением для завихренности ш = rot v при баротропном течении однородной вязкой жидкости

дш/bt = rot [v x ш] + утАш (div ш = 0). (10)

Однако эта аналогия имеет односторонний характер: общие решения, полученные из линейного по B (при известной скорости) уравнения (9), обычно имеют "дубликат" в более частном и нелинейном уравнении (10), тогда как обратное, как правило, неверно [24]. Об этом "одностороннем движении выводов" часто забывают и в научных публикациях.

Рассмотрим влияние на магнитное поле деформационного течения проводящей несжимаемой жидкости с полем скоростей

v = {ax; ву; Yz}, а + в + Y = 0, (11)

записанным в декартовых координатах. Пусть y > 0, а а < 0 и в < 0; тогда жидкие элементы будут вытягиваться вдоль оси oz. Аналогично будут растягиваться и силовые линии магнитного поля [24], а если принять, что B = {0; 0; Bz(x,y,t)}, то из (9) можно получить стационарное решение вида

Bz = Bo exp [(ax2 + ву2) /2vm] = Bq exp [(—yt2) /4vm] , (12)

где правая часть соответствует осесимметричному случаю магнитного жгута кругового сечения с гауссовым профилем при 2а = 2в = —Y в поле скоростей (11). Этот случай может быть обусловлен электрическим ветром, возникающим за счет увлечения нейтральных молекул внутри токовых обкладок ТЭМС ионным током пробоя Jn и большей подвижностью отрицательных ионов. А из-за явления выталкивания на периферию силовых линий магнитного поля [24] дифференциальным вращением среды типа закрутки (8) гауссов профиль магнитного жгута (12) может стать двугорбым с впадиной в центре. Подобное строение может приобрести и поле завихренности. Для доказательства этого рассмотрим модификацию уравнения (10) в виде

д П

— = rot (sil) + vtMl, s и ((V • rot V))t/3, (13)

где П = rot V — средняя завихренность крупномасштабного поля скоростей V, s — средняя спираль-ность, т — время корреляции, vt — турбулентная вязкость. Уравнение для П в форме (13) применимо к сжимаемой многокомпонентной среде [25], что как раз и характерно для воронки торнадо. По аналогии с решением задачи для магнитного динамо [26] можно при осесимметричном распределении s(r) с экстремумом s = so при т = 0 получить следующее поле скоростей:

V = Vq{0; sin At; cos At} exp (Yot - A2t2/Rs) , (14)

где A = Rs/2Ls, Rs = soLs/vt — параметр и Ls — характерный масштаб средней спиральности, а инкремент Yo ~ so(1 — 4/Rs)/4vt. Поле скоростей (14) наиболее быстро растет при т ^ Ls, а соответствующая ему компонента Qr достигает максимума не при т = 0, а на некотором удалении от оси. Подобное распределение завихренности характерно для "глаза" торнадо — центральной области внутри воронки в зрелой стадии, где тангенциальные движения обычно бывают слабыми [5—7, 15].

Закрутка может генерироваться и у нижней части грозового облака, в основании воронки, имеющей, по натурным наблюдениям [5-7], форму усеченного конуса или однополостного гиперболоида. Для конической формы могут быть полезны формулы теории ЭВТ [5] для компонент магнитного поля Br,

Bq, В,р с зависимостью типа (4), но с заменой ф и Г соответственно на магнитную фт = —— RL(9) и

электрическую фе = G{9) функции тока, последняя из которых дает лишь радиальную плотность тока и азимутальное собственное магнитное поле:

Jo dG ¡iQjQg

JR = г, P2 • а~яа' Bv= n p • a' G = C0 - Сicostf, (15)

2nR2 sin 9 дО 2nR sin 9

где fio — магнитная проницаемость; Co, C\ — некоторые константы.

В теории ЭВТ [5] для автомодельных решений аналог системы (5) состоит из четырех уравнений для определения функций ф, Г, L, G и его полный анализ даже при упрощающих предположениях крайне трудоемок. А решение задачи о расчете завихренности в коническом основании воронки (в отсутствие автомодельности и даже в простейшем электродинамическом приближении, когда учитываются только компоненты (15) в электромагнитных силах) можно получить лишь численно. Поэтому целесообразнее на уровне физических оценок учесть этот вклад (как и исходную закрутку в грозовом облаке) через начальное значение Uo в формуле (8).

В настоящей работе фактически не рассматривались вопросы энергетики торнадо, для чего требуется отдельный анализ, однако в качестве заключения кратко остановимся на трех моментах.

1. С учетом зависимости типа (l) и уравнения Максвелла rot E = —dB/dt можно показать, что электрическая сила, задаваемая формулой (2), пропорциональна производной по времени от вектора Умова-Пойнтинга, поток которого в конечном итоге характеризует изменение электромагнитной энергии поля в зоне торнадо и его излучение.

2. Спиральные потоки из класса Громеки-Бельтрами [20] с коллинеарностью завихренности и поля скоростей типа vr = 0, vv = CJi(kr), vz = CJo(kr) (где Jo и Ji — функции Бесселя) обладают в суперпозиции с потенциальными полями интересными свойствами минимизации важных энергетических функционалов [27], что делает вероятным появление таких потоков в торнадоподобных течениях.

3. Эффективный энергетический канал земля-грозовое облако с возможной маятникообразной перекачкой энергии электромагнитного поля и вихревого движения среды реализуется после касания воронки смерча земной или водной поверхности, когда начинает работать в соответствии с теорией ЭВТ [Б] квазистационарная МГД-модель в виде вложенных соосных конусов.

б. Заключение. В данной работе предпринята попытка обоснования необходимости учета важной роли электромагнитных факторов на стадии формирования и роста из грозового облака воронки торнадо до ее касания с подстилающей поверхностью, а также сопутствующих этому процессу явлений. При этом возникла необходимость совместно проанализировать на современном уровне научных представлений три достижения М.В. Ломоносова — его открытие АЭП даже при ясной погоде, строение и тонкую структуру возмущений АЭП под грозовым облаком и саму электрическую гипотезу о природе смерча-торнадо-тифона.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № П-08-0079Б).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломоносов М.В. Слово о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих // Ломоносов M^. Избранные произведения. Т. 1: Естественные науки и философия. M.: Наука, 1986. 163-191.

2. Vonnegut B. Electrical theory of tornadoes // J. Geophys. Res. 196g. О5, N 1. 203-212.

3. Пуанкаре А. Теория вихрей. M.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2GGG.

4. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ РХД, 2000.

5. Электровихревые течения / Под ред. Э.В. Щербинина. Рига: Зинатне, 19S5.

6. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Географические особенности и геологическая деятельность. Л.: Наука, 19TG.

T. Арсеньев С.А., Бабкин В.А., Губарь А.Ю., Николаевский В.Н. Теория мезомасштабной турбулентности. Вихри атмосферы и океана. M.; Ижевск: НИЦ РХД, 2G1G.

S. Натяганов В.Л. Ломоносов и загадки природного электричества. Часть 1. Парадоксы шаровой молнии // Вестн. Mоск. ун-та. Mатем. Mехан. 2005. № 6. 42-49.

9. Натяганов В.Л. Ломоносов и парадоксальный феномен атмосферного электричества — шаровая молния //

Газовая и волновая динамика. M.: Айрис-Пресс, 2005. 215-231. 1G. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. M.; Л.: ГИТТЛ, 1949.

11. Фейнман Р., Лейтон З, Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. V: Электричество и магнетизм. M.: Mир, 1966.

12. Маслов А.К., Натяганов В.Л, Чайка А.А. Плавучие дегазационные струи и световые предвестники землетрясений // Докл. РАН. 2011. 439, № 4. 534-538.

13. Гендугов В.М., Натяганов В.Л., Чайка А.А. Косой удар цилиндрической струи о плоскость // Докл. РАН. 2010. 433, № 4. 481-484.

14. Войцеховский Б.Б. Огни Эльма и свечение на предметах в облаке электрически заряженных капель воды // Докл. АН СССР. 1982. 2О2, № 1. 84-88.

15. Вараксин А.Ю., Ромаш М.Э., Копейцев В.Н. Торнадо. M.: Физматлит, 2011.

16. Натяганов В.Л, Маслов С.А., Маслов А.К. Электрическая гипотеза Ломоносова о природе торнадо и восходящие смерч-вихри // Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. СПб.: СОЛО, 2012. T3-T5.

1T. Squire H.B. Jet emerging from a hole in plane wall // Phil. Mag. Ser. T. 1952. 43, N 343. 942-945.

18. Shtern V., Borissov A., Hussain F. Vortex-sinks with axial flows: solution and applications // Phys. Fluids. 199T. 9, N 10. 2941-2959.

19. Тарасов Л.В. Атмосфера нашей планеты. M.: ФИЗMАТЛИТ, 2012.

20. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. M.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2GG5.

21. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Вихревые и спиральные структуры в однородной идеальной жидкости. Препринт № 627 Ин-та проблем механики РАН. M., 1998.

22. Натяганов В.Л. Электрокапиллярно-вихревая модель сферического вихря Хилла-Тейлора // Докл. РАН. 2001. 381, № 1. 50-52.

23. Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо // Прикл. механ. и техн. физ. 1973. № 6. 47-51.

24. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.

25. Belyan A. V., Moiseev S.S., Petrosyan A.S. Large-scale structures in turbulent multiphase flows //J. Phys. Condens. Matter. 1990. 2. 469-475.

26. Sokolov D.D., Shukurov A.M., Ruzmaikin A.A. Asymptotic solution of the a2-dynamo problem // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1983. 25. 293-307.

27. Чефранов А.С., Чефранов С.Г. Экстремумы кинетической энергии и скорости ее диссипации в гидромеханике закрученных потоков // Докл. РАН. 2003. 393, № 5. 624-628.

Поступила в редакцию 05.09.2011 После доработки 12.02.13

УДК 539.3

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ОДНООСНОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

А. Б. Киселев1, А. В. Мищенко2

В работе представлено подробное исследование ударной волны и волны разгрузки для упругопластических задач в приближении одноосного деформированного состояния. Также дано краткое описание численного алгоритма и проведена верификация на одномерных плоских задачах разработанного вычислительного комплекса ТИС, основанного на методах разделения по физическим процессам и конечного объема и использующего подвижные эйлеровы сетки.

Ключевые слова: модель упругопластической среды, аналитические и численные решения, метод разделения по физическим процессам, метод конечного объема, подвижные эйлеровы сетки.

A detailed study of a shock-wave structure and an unloading wave for elastoplastic problems in the one-dimensional deformed state approximation is given. A brief description of a numerical algorithm is also given. The verification of the TIS software complex is discussed for one-dimensional plane problems. This complex is based on the method of separation into physical processes and on the finite volume method using moving Eulerian grids.

Key words: elastoplastic model, analytical and numerical solutions, method of separation into physical processes, finite volume method, moving Eulerian grids.

Для численного моделирования двумерных задач механики сплошной среды (вязкоупругопластиче-ских, неоднородных, многофазных и др.) при высокоинтенсивных динамических нагрузках на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова и во ВНИИ автоматики им. Н.Л. Духова разрабатывается вычислительный комплекс ТИС [1-3]. Основу комплекса составляют метод разделения по физическим процессам [4] и метод конечного объема [5], использующие подвижные эйлеровы сетки.

С целью отладки комплекса ТИС и его верификации на одномерных задачах создана вспомогательная версия ТИС-Ш [1]. Она обладает такими преимуществами, как быстродействие, простота в реализации подвижных сеток и возможность внедрения реологически сложных моделей сред (в том числе моделей разрушения).

1 Киселёв Алексей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis2006@yandex.ru.

Мищенко Александр Васильевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 7sanches@rambler.ru.