CC BY
52
Учитывая значение жесткости (3), массы на один метр длины, получим:
G-d4-к2
G d2
2D4 o-n2
(9)
Расчетные значения собственной частоты по формуле (9) представлены в таблице выше.
Расхождение между расчетом и экспериментом составит 1с —с
S =
х100%;
(10)
291 - 20
;
E2=J
83 =
29,1
|45,7-47,8|
45,7 159,8-44,81
59,8
х 100% = 4,6%; х 100% = 25,1%.
Наименьшая погрешность около 5 %, что в пределах допускаемого у пружины с числом витков 72.
Список литературы
1. Барановский А. М. Уравновешивание и виброзащита механизмов. — Новосибирск: НГАВТ,
2006.
2. Барановский А. М., Зуев А. К. Расчет винтовых пружин в опорах судовых двигателей // Энергетика, экология, энергосбережение, транспорт. Часть 1: Труды 2-й МНТК 8-11 сентября 2004, Тобольск.
3. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980.
4. Романченко М. К. Исследование собственных частот пружины // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. — 2008. — № 2.
УДК 539.384 М. В. Сухотерин,
д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;
К. О. Ломтева,
аспирант, СПГУВК
ОЦЕНКА ДЕЙСТВИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ НА ОБШИВКУ СУДНА
ESTIMATION OF ACTION OF COCENTRATED FORCE ON A SHELL
В статье для решения задачи изгиба прямоугольной защемленной пластины предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций. Сосредоточенная сила разлагается в двойной ряд Фурье. Частное решение и исправляющие функции в виде гиперболо-тригонометрических рядов дают в пределе точное решение.
The paper proposes an iteration method of correction function superposition for solution problem of bending rectangular clamped plate. Concentratedforce develops as double Fourier series. Quotient solution and correction function in the form of hyperbolic-trigonometric series bring exact solution.
Ключевые слова: сосредоточенная сила, защемленная пластина, обшивка судна, изгиб, итерационный метод, ряды Фурье, точное решение.
Key words: concentrated force, clamped plate, shell, bending, iteration method, Fourier series, exact solution.
л ей
ИЛОВОЙ набор корпуса судна, плоских затворов ГТС и других гидросооружений разделяет обшивку на прямоугольные элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по контуру. Наряду с гидростатической нагрузкой на обшивку могут действовать и сосредоточенные силы, например при швартовке, ударах бревен, навале льдин и других предметов. Наиболее опасен с точки зрения прочности случай, когда сила действует в середине пластины.
Рассмотрим прямоугольную пластину (панель обшивки) с размерами а х Ь в плане и постоянной толщиной к (см. рисунок).
А
/ V
V \ V / X
<-> и
<-1-»
Защемленная пластина под действием сосредоточенной силы
Поместим начало системы координат ХОУ в центр пластины. Будем считать, что сила Р приложена в центре в виде равномерно распределенной нагрузки на малом прямоугольном участке с размерами и х V.
Изогнутая срединная поверхность пластины, защемленной по всем граням, определяется [1] дифференциальным уравнением изгиба
ВУ2У2ЩХ, У)= -д(Х, Г)
и граничными условиями:
(1)
^ = 0
дх
dW 8Y
= 0
при ;
при .
2
(2) (3)
Здесь: Ж — прогиб срединной поверхности п
пластины; — цилиндрическая
12(1-у )
жесткость; Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; V2 — двумерный оператор
Лапласа; ^(Х, У) — поперечная нагрузка.
Поперечную симметричную нагрузку, следуя Навье [1], представим двойным рядом Фурье:
, (4)
¿=1,3,... «=1,3,...
где
а Ъ
а
4 ft rvv\ nsX nkY
Чь = "T J J q(X>7) cos-cos
abJJ n h
dXdY.
a
2 2
Так как нагрузка интенсивностью в
МУ
нашем случае задана на малом прямоугольном участке в центре пластины, то предыдущая формула дает:
Чь
4 Р
abuv
и V
cos-cos-dXdY =
Я
и V ~2~2 . 7ISU . nkv
. п sin-sin-
4P 2 a 2b
a
(5)
аЪ пяи кку 2 а 2 Ъ Для сосредоточенной силы и, V —> 0, АР
тогда , и формула (4) примет вид:
ао "
7zsX nkY
. (6)
А Р
аЬ ¿=1,з,... ,=1,з,... а Ь
Отметим, что двойной ряд в правой части является расходящимся, моделируя сосредоточенную силу. В центре пластины поэтому будут бесконечны изгибающие моменты, перерезывающие силы и напряжения.
Перейдем к безразмерным величинам
X У IV
, ,
Яо b ID
(7)
Здесь q0 =
Тогда относительные размеры пластины будут такими:
у у 1 1
; ,
2 2 2 2 а
где параметр .
Ъ
Уравнения задачи (1)-(3) примут вид:
00 X
; (8)
к=l,3,...i=l,3,...
л Dw _ , у
, при ;
дх 2
л ^ л ,1
, при ,
ду 2
где = тс^/у, Хк-кк.
Частное решени
00 00
(10)
ж
Частное решение уравнения (8) сое ц^совА,^
(11)
удовлетворяет условиям отсутствия прогибов на контуре пластины, но нарушает условия отсутствия углов поворота заделанных сечений, т. е. порождает невязки во вторых граничных условиях (9), (10):
0
хО
е
у О
ч
здесь
Х' 2/
лк О
= 41
дц>0
дх 2
дн>0
ду 1
Н)Ч
; (12)
*=1,3,... 00
= (13) 5=1,3,...
5+1 ~ к+1 к -
. (14)
2 2
Заметим, что при х = -у /2, у = —1/2 правые части (12), (13) меняют знак.
Далее задачу будем решать методом суперпозиции исправляющих функций [2]. Суть метода состоит в том, что бигармонические исправляющие функции, компенсируя невязки на двух параллельных кромках, в свою очередь, сами порождают невязки в граничных условиях на двух смежных кромках. Бесконечный итерационный процесс взаимного исправления невязок дает точное решение. Решение с заданной точностью позволяет ограничиться конечным числом итераций.
Для компенсирования невязки (12) привлечем первую исправляющую функцию 1-го вида
00
(15)
*=1,3,...
с неопределенными коэффициентами А В которые определяются при удовлетворении условиям (9). Это дает систему уравнений:
к1 2 2 2
= а
ко
из которой находим:
22 , Кч
2 Ку
Вк1 =
*к о
т\кск
г) ксЬ
КУ
(16)
где
2 ск
гКч'
(17)
Коэффициенты Ак1 можно выразить из этих формул через Вк1:
4н = -\^ — -вкг
(18)
Первая исправляющая функция (15) нарушает условие (10) по углу поворота сечения, т. е. дает невязку, которую мы разложим в ряд Фурье:
( 1Л 00 -
= Е )кК{Ак1ск\х + Вк1х8кХкх) =
V к=1,3,...
;
5 = 1,3,...
8 ^ (-ОЧЧ1 МУ
.
У 4=1,3,... (Л* + ) I
(19)
Здесь использовались формула (18) и формулы разложения в ряд Фурье:
4 ,Я,4у
скХ^х = —с/г
I (-0
5 = 1,3,...
совц^;
хзк\х Л £ (-1)
г.ХьУ л
-у я/г-+ 4
Хкск
К У
совц^х.
(20)
Заметим, что из этих формул при х = 0 получаются известные суммы числовых рядов:
Н)Ч
1
Д1Л2 + ц,2 Ь сЬКУ
л1^
16, ,Лу
\с1х
ж
X
х
л са
акО =
Тогда первая формула (14) примет вид
(22)
аМ
4 Кск^
Сложим невязки выполнения граничных условий на кромках у = ±1/2 по углу поворота 0у от компонентов w0 и w11:
Будем компенсировать эти невязки первой исправляющей функцией 2-го вида, которую возьмем в виде ряда, аналогичного (15):
00
™2ЛХ>У) = Е (СегС^У + РцУ^^СОЬ^Х, (23)
5=1,3,...
коэффициенты которого найдутся при удовлетворении условиям (10), что дает
;
11 22 , ,
где
6,0+(-1)4,
(24)
2 с/г
2
(25)
Коэффициенты С можно выразить через коэффициенты
(26)
Аналогично невязки от w в свою очередь, разлагаются в ряд Фурье по косинусам:
/ 5 = 1,3,... » *
=- Е С-1)®« 008***;
4=1,3,...
«41 = Е
. (27)
2
Здесь использовались формула (26) и формулы разложения:
1 К
скм.у = -Аск±- X (-1)
-¿4=1,3,...
;>®йц,.у=2 ^ (-1)
4=1.3,.
И,
Л
-¿А — + 4—-
2 Л*2+|1,2
СОвА,^.
При у = 0 получаем формулы, аналогичные (21):
£ 1
у (-1)4
4=1,3,... Л*
4сЛ
^ (-1)%
__2_
16 , ц* ^ 2
(29)
Тогда вторая формула (14) примет вид
1
I_2_
4 .
(30)
Невязки (27) компенсируются следующей исправляющей функцией w12.
Далее описанный выше процесс повторяется. Вторая пара исправляющих функций будет иметь вид:
щ
12
(х,у)= Е Н)£(42СЛМ+
4=1,3,...
+ Вк2х81г'ккх)соъ'ккУ; (31)
оо
5=1,3,...
(32)
'у2
Невязки от (31):
х,~ = Е К(Ак2^Кх+Вк2хзкХкх) =
V 1) 4=1,3,...
;
5 = 1,3,...
8
Ь*2=~ -ц, Е
сп-
(33)
Невязки от (32):
'У '
V ^ У
00
5 = 1,3,...
X
X
;
¿=1,3,...
(34)
+ ^ 2
Последующие формулы аналогичны. Приведем сводку формул для организации итерационного вычислительного процесса:
М.х,у) = ^0(х,у)+ £ ™и(х>У)+Щ»(х>УУ;
и=1,2,...
/ ч ^ ^ совц.хсовХ,,.;;
;
¿=1,3,... 5=1,3,... (Л* + )
00
¿=1,3,...
Ж
щ
~ , . чСОв^У
;
2
оо
~ , \COSUX
+П5Пуя?Ц15у)- 5
ей
I, j = 1 при и = 1; г = (—1)*, 7 = (—I)15 при п > 2;
Ц, =Л5/у; \ = Ы;
£ = 0 + 1)/2; * = (* + 1)/2; Ау
у2
-'¿о _ ~~
2 Л
;
4
к 2
1
;
4 7
аъ.
. . Л* 22
2
8 ^ ЩВкп
4« = —^ X
2 2 ^
' 2 ~ ,2 Н,
2 с/г2
, (п = 2, 3,...), ;
Л72 £ ^ 2
Зная функцию прогибов, нетрудно найти изгибающие моменты, перерезывающие силы, и вычислить напряжения в любой точке пластины.
Список литературы
1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М., 1963.
2. Сухотерин М. В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС // Гидротехническое строительство. — 2009. — № 7. — С. 47-49.
3
ж
