CC BY
88
II университета
[ЖУРНАЛ водных /_/ коммуникации
М. В. Сухотерин,
канд. физ.-мат. наук, доц., СПГУВК
ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ КОТОРОЙ ЗАЩЕМЛЕНЫ, А ДВА ДРУГИХ СВОБОДНЫ
BENDING OF RECTANGULAR PLATE TWO OPPOSITE EDGE CLAMPED
AND TWO OTHER FREE
В статье для решения задачи предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций. Начальный многочлен и исправляющие функции в виде гиперболо-тригонометрических рядов дают в пределе точное решение. Приведены результаты расчетов прогибов и моментов.
The paper proposes an iteration method of correction function superposition for solution problem of bending rectangular plate. Initial polynomial and correction function in the form of hyperbolic-trigonometric series bring exact solution. Numerical results of calculating deflections and bending moments are given.
Ключевые слова: прямоугольная пластина, две стороны защемлены, две свободны, изгиб, итерационный метод, ряды Фурье, точное решение, численные результаты.
Key word: rectangular plate, two opposite edge clamped, two free, bending, iteration method, Fourier series, exact solution, numerical results.
АССМОТРИМ пластину, у которой грани х = ± у / 2 жестко защемлены, а грани у = ± 1 / 2 свободны (рис. 1), нагруженную равномерным давлением. Подобная пластина является расчетной моделью перекрытия мостового типа.
Рис. 1. Пластина с двумя защемленными и двумя свободными краями
Эта задача не имеет точного решения в замкнутой форме.
Искомая функция прогибов должна удовлетворять дифференциальному уравнению [1]
v2V2W(jc,;;) = -I,
и граничным условиям
[Ч=±У/2
м
= 0, Юх=±уп =
dw дх
= 0;
(1) (2)
\у=±\12
d2w , d2w
ду2
-+V
дх2
х= ± у/2 = 0;
М
у=.±1/2
э3-
э3
у=±№ W
ду дх ду
= 0, (3)
где: координаты точек пластины отнесены к размеру Ь пластины;
прогиб ^(х, у) отнесен к величине ^Ь4 / В;
В = ЕНЪ / [12 (1 - V2) ] — цилиндрическая жесткость;
у = а / и;
а — размер пластины по оси ох;
у2 — двумерный оператор Лапласа;
Му , Уу — изгибающий момент и перерезывающая сила вдоль оси оу, отнесенные к и величине qЬ2; ^
V — коэффициент Пуассона.
Для решения данной задачи будем использовать метод суперпозиции исправляющих функций [2].
Начальный компонент выберем в виде í . 2 \2
w0 =-
J_ 24
4
v у
(4)
Этот многочлен удовлетворяет уравнению изгиба (1), геометрическим условиям защемленных краев (2) и второму условию (3) отсутствия перерезывающих сил на свободных гранях. Не удовлетворенным остается лишь первое условие (3), то есть здесь имеет место невязка, которую мы разложим в ряд Фурье по cos ц x, где ц = п 5 / у:
где
у=±-г 6
,2 Л
Зх — —
= £ (-lAoCos^*, (5)
Ь«=У6
2у 24
— + —
И, Ж
S + 1
s -
(6)
Для устранения этой невязки добавим к начальному компоненту исправляющую функцию первого вида
£ {-Уу^ск^у + В^И^у)совщх, (7)
«=1,3,...
коэффициенты которой находятся при удовлетворении граничным условиям (3) и имеют вид
_ 1+У -(1
А ~ /1 41- 2 т * '
Вл =
где:
(l-v^n^cAn;
sO
(8)
ц;=М-,/2, Ъ, = 3 +v -(1 -vlsh)L,. (9)
Функция w11 на гранях x = ± у / 2 в свою очередь порождает невязку по углу поворота, которую мы разложим в ряд Фурье по cos Хк у, где Хк = 2п к:
оо
5=1,3,...
= G1+X(-l)tatl cosA^,
(10)
¿=i
ш
190J
где:
1-V Н-,
8
V д м
3,1 = 3,1^,*.
(11)
Заметим, что при x = -у / 2 выражение (10) изменит знак.
Для устранения невязки (10) привлечем исправляющую функцию второго вида
Г Л
ЩЛх,У) =--
2 ^
(12)
+ ^(-1)* (CklchXkx + DklxshXkx)cosХку,
к=1
коэффициенты которой находятся при удовлетворении граничным условиям (2) и имеют вид
Си =
где
Y «и
^ = /2, Л* =1 + Ky/shlky.
(13)
(14)
Функция w на гранях у = ±1/2 порождает невязку по изгибающим моментам (так же как и w0), которую мы разложим в ряд Фурье по cos ц5 x:
Kil^i = -Gl+±Xk{Ckl(l-v)XkchXkx +
У "2 Y *=1
+ Z>H chXkx + (1 -v )X,txsAA,tJcJ}-= (15) = X H)4l cos^x,
j=l,3,...
где:
(16)
у
Затем вновь добавляется исправляющая функция первого вида
щ2(х,у)= X {-УУ^ск^у + В^к^у)созц,* (17)
и далее процесс повторяется.
Окончательно, имея в виду линейность задачи, решение можно записать в виде
,2 Y'
\2
„2 Y
2 Л
+ X (-!)' + ^J«^)COS |ISX
(18)
+
5=1,3,...
+Х (ckzchKx+Dkzxshhx)cos ^
ir=l
где Ge, AsE, ..., — суммарные значения коэффициентов по окончании итерационного процесса.
Так как в ходе итерационного процесса все невязки выполнения граничных условий должны убывать по абсолютной величине, то
(в силу линейности задачи) условие сходимости метода можно записать так: Ит Ьт = 0, (19)
п—»<*>
где п — номер итерации.
Согласно формулам (16), (11), (8) при п > 2 коэффициенты Ьп линейно зависят от совокупности коэффициентов Ь^п Г) предыдущей итерации, то есть имеет место однородная бесконечная система алгебраических уравнений, которая для сходимости итерационных решений к точному решению должна быть регулярной: Ьт=--64ц, £
х Ь„,
32у
(20)
Здесь, чтобы не путать индексы во внутренней сумме, индекс 5 заменен на т:
Критерий сходимости (сумма модулей коэффициентов при неизвестных) должен быть меньше единицы.
Анализ показывает, что порядок коэффициентов Ьп по индексу 5 при п > 2, определяется выражением Ьп = О (1п ц / ц ). С учетом этого критерий регулярности бесконечной системы (20) можно записать в виде 64ц, ^ (Хгк +УЦ,2)\ ^. ^ XI
_ у (К +уц. с1Ю- у
—&\1т +
32у
£
^ . . (21)
Опуская анализ выражения в правой части, приведем окончательную оценку критерия регулярности системы (20):
_(ЪИ0!_. (22)
1 (3+у)(1-У)
Для широкого диапазона значений коэффициента Пуассона г< 1. В частности для V = 0,3 критерий сходимости будет г< 0,732, и процесс сходится к точному решению задачи по геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим 0,732.
Помимо аналитического исследования сходимости итерационного решения, проводились вычисления критерия сходимости г5 (21) с помощью ЭВМ по программе, составленной и реализованной в системе Мар1е-10.
В табл. 1 приведены значения критерия сходимости при удержании в рядах 199 членов и у = 1/4; 1/2; 1; 2; 4 для V = 0,3.
Вычисления показали, что наибольшие значения этого критерия для пластин с отношением сторон у = 1/4; 1/2; 1; 2; 4 равны соответственно 0,624; 0,649; 0,654; 0,618; 0,572. Это значит, что невязки убывают по геометрической прогрессии со знаменателем не больше 0,7 и процесс быстро сходится.
Ряды, входящие в выражения для изгибающих моментов Мх, Му обладают удовлетворительной сходимостью всюду, за исключением заделанных сечений, в которых, например, моменты Мх имеют вид
[М,Ц = + ^ "2Хсов\у, (23) где Да =
Таблица 1 Значения критерия сходимости итерационного процесса
^Ч У 0,25 0,5 1 2 4
1 0,542 0,550 0,491 0,328 0,233
3 0,624 0,643 0,640 0,537 0,362
5 0,617 0,649 0,654 0,595 0,469
7 0,597 0,641 0,653 0,611 0,522
9 0,574 0,630 0,649 0,616 0,548
11 0,549 0,603 0,642 0,618 0,561
13 0,526 0,590 0,634 0,616 0,567
15 0,502 0,576 0,626 0,614 0,571
17 0,479 0,563 0,618 0,610 0,572
19 0,457 0,549 0,610 0,606 0,572
197 0,053 0,108 0,203 0,297 0,338
199 0,053 0,107 0,201 0,295 0,336
Тригонометрический ряд в выражении (23) является медленно сходящимся: его общий член оценивается выражением О (1п Хк / Хк ). При у = ±1/2 он расходится, то есть его сумма дает -<», следовательно, бесконечны и напряжения в точках перехода от заделки к свободному краю. Концентрация напряжений в этих точках объясняется резкой сменой граничных условий. В остальных точках грани х = ±у / 2 ряд можно приближен-
Гш|
II университета
'ЖУРНАЛ водных / / коммуникации
но суммировать с помощью ЭВМ и оценить погрешность остатка.
В качестве примеров приведем результаты вычисления прогибов и изгибающих моментов пластин с отношением сторон 1/2; 1 и 2 при V = 0,3.
В рядах удерживалось до 700 членов; число итераций — 12. На рис. 2 изображены прогибы пластины с отношением сторон 1/2, отнесенные к величине да4 / О. На рис. 3 представлены изгибающие моменты Мх для этой пластины, отнесенные к величине да2. Эпюра Мх в заделанном сечении представлена отдельно на рис. 3. На рис. 3, 4 изображены соответственно изогнутые поверхности пластин с отношением сторон у = 1 и 2.
В табл. 2 приведены относительные прогибы пластин с различным отношением сторон в двух параллельных сечениях: на оси симметрии и на свободном крае. В табл. 3 приведены значения изгибающих моментов Мх в заделанном сечении пластин, отнесенные к величине да2.
Рис. 2-4, а также табл. 2 показывают, что при у ^ 0 и при у ^ ^ изогнутая поверхность пластины будет приближаться к цилиндрической с наибольшими прогибами —= 0,0026042 (длинная пластина) и 384
1
-(балка-полоска). При V = 0,3 последнее выражение ~ 0,0028617.
0
-0.001 -0.002
Рис. 2. Изогнутая поверхность пластины при у = 1/2
ш
196]
0-
--
0.4 0.4
Рис. 3. Изогнутая поверхность квадратной пластины
Рис. 4. Изогнутая поверхность пластины при у = 2
0.08 0.06 0.04 0.02 0
-
-0.04-3
Рис. 5. Эпюра изгибающих моментов М пластины при у = 1/2
Таблица 2
Прогибы пластины в сечениях у = 0 и у = 0,5, отнесенные к величине - да4 / Б
X 1 1 0, 5 У = 1 У = 2
У = 0 У = 0,5 У = 0 У = 0,5 У = 0 У = 0,5
0 0,0025901 0,0029200 0,0025598 0,0029088 0,0026204 0,0028335
0,05 0,0025386 0,0028604 0,0025088 0,0028495 0,0025683 0,0027756
0,10 0,0023871 0,0026852 0,0023588 0,0026751 0,0024151 0,0026054
0,15 0,0021451 0,0024056 0,0021191 0,0023968 0,0021703 0,0023336
0,20 0,0018279 0,0020400 0,0018052 0,0020327 0,0018496 0,0019783
0,25 0,0014574 0,0016142 0,0014386 0,0016087 0,0014749 0,0015646
0,30 0,0010614 0,0011616 0,0010471 0,0011579 0,0010743 0,0011251
0,35 0,0006741 0,0007229 0,0006645 0,0007207 0,0006824 0,0006994
0,40 0,0003359 0,0003462 0,0003309 0,0003453 0,0003400 0,0003344
0,45 0,0000936 0,0000867 0,0000921 0,0000865 0,0000946 0,0000834
0,5 0 0 0 0 0 0
Таблица 3
Изгибающие моменты М в заделанном
сечении пластины, отнесенные к величине да2
У у = 0,5 у = 1 у = 2
0 0,082943 0,081505 0,083594
0,1 0,082825 0,081702 0,084004
0,2 0,082527 0,082487 0,085272
0,3 0,082489 0,084549 0,087390
0,4 0,085024 0,089179 0,089106
0,45 0,089610 0,091650 0,085828
0,5 — — —
Вычисления для у = 16 дают наибольшие прогибы 0,00282 сечения х = 0. Для у = 1/16 прогиб в середине пластины составил 0,0026042; вблизи свободной кромки прогибы увеличиваются, что объясняется краевым эффектом (в середине свободной кромки прогиб составил 0,0029205).
Список литературы
1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М., 1963.
2. Сухотерин М. В. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины // Прикл. механика / АН УССР. — 1982. — Т. 18, № 5. — С. 121-125.
