CC BY
63
УДК 681.518.3
Б. В. Чувыкин, И. А. Долгова, И. А. Сидорова
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА АВТОКОРРЕЛЯЦИИ БИНАРНЫХ СИГНАЛОВ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ КВАНТОВАНИЯ
В. V. Chuvykin, I. A. Dolgova, I. A. Sidorova
FEATURES OF CALCULATION THE AUTOCORRELATION COEFFICIENT OF BINARY SIGNALS IN PROBLEMS OF ANALYSIS OF THE FLUCTUATION QUANTIZATION NOISES
Аннотация. Для анализа периодичности флуктуационных шумов квантования интегрирующих измерительных преобразователей (ИИП) с однобитным квантованием, относящихся к классу систем детерминированного хаоса, предложено использовать автокорреляционную функцию, особенностью расчета коэффициентов которой является представление флуктуационного шума квантования в виде бинарного сигнала. Предложена формула расчета коэффициента автокорреляции бинарного сигнала, в которой учтены статистические свойства выходных однобитных сигналов ИИП в режиме преобразования входных сигналов постоянного уровня. Приведены расчеты коэффициента автокорреляции бинарного сигнала для варианта ИИП с трехкратным интегрированием замкнутой структуры, представленной в виде Simulink-модели.
Abstract. For the analysis of periodicity of fluctuation quantization noises of the integrating measuring transducers (IMT) with one-bit quantization belonging to the class of systems of the determined chaos it is offered to use an autocorrelation function, feature of which calculation of coefficient is representation of a fluctuation quantization noise in the form of a binary signal. The calculation formula of autocorrelation coefficient of a binary signal in which statistical properties of output one-bit signals of IMT in the mode of conversion of input signals of constant level are considered is offered. Calculations of autocorrelation coefficient of a binary signal for IIP option with three-fold integration of the closed structure presented in the Sim-ulink-model form are given.
Ключевые слова: ИИП замкнутой структуры, однобитный квантователь, периодические колебания, хаотические колебания, корреляционный коэффициент, Simulink-модель.
Key words: IMT closed structure, one-bit quantizer, periodic oscillations, chaotic oscillations, the correlation coefficient, Simulink-model.
Введение
Исследование наличия периодических колебаний в ИИП проводилось в работах [1-4]. Флуктуационный шум квантования [5], возникающий в ИИП замкнутой структуры многократного интегрирования, имеет смешанный характер: сам процесс детерминирован и не является случайным, но в силу того, что есть высокая чувствительность к начальным условиям [6], он непредсказуем на больших интервалах. Для хаотических систем существует так называемый барьер неопределенности [7].
Для анализа периодичности флуктуационных шумов квантования ИИП с однобитным квантованием, относящихся к классу систем детерминированного хаоса, предлагается найти
60
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
коэффициент автокорреляции знаковой функции и определить количественное соотношение периодических и случайных сигналов.
Расчет коэффициента автокорреляции
Рассмотрим ИИП замкнутого типа с однобитным квантованием. Выходной бинарный сигнал представлен в ИИП в виде знаковой функции xn, математическое ожидание которого равно входной величине Ux (1):
x
n
Ux
Ux
(1)
Как известно [8], автокорреляционная функция r(e) для дискретного сигнала xn находится по формуле (2), где e = 0, 1, ... - смещение:
r(e) = (x - x )\xn-e - x); (2)
- і
x =-
N
I
n=1
N
Для знаковой функции xn введем обозначение вероятности событий (4):
x
n
1 с вероятностью р+;
-1 с вероятностью р- = 1 - р+.
(3)
(4)
Введем функцию среднего значения произведения R(e) (5):
1 N
R(e) = NI xn ‘ xn-e, N ^“. (5)
n=1
С помощью графа состояний (рис. 1) определим вероятности событий появления положительных и отрицательных значений сигнала xn-e с учетом формулы (4). Введем коэффициент автокорреляции a(e) для знаковой функции, который определим как вероятность события появления положительного импульса через интервал е, при условии, что предыдущий импульс, смещенный на е тактов, был также положительным и появился с вероятностью р+. Аналогично определим коэффициент а для отрицательного импульса. Для некоррелированной составляющей сигнала с весом 1 - а вероятности р+ и р_ сохраняются. Введем событие «А», которое соответствует совпадению знаков. Следовательно, несовпадение знаков означает, что произошло событие «В».
Рис. 1. Граф состояний вероятности событий значений сигнала xn-e
61
Проведем вывод формулы для расчета коэффициента автокорреляции а(е) для знаковой функции как функцию амплитуды входного сигнала Ux и R(e).
Вероятность появления положительного импульса р+ рассчитывается по формуле (6), а вероятность появления отрицательного импульса р- будет рассчитываться исходя из (7) по формуле (8). Для упрощения введем нормированное значение Ux: -1< =Ux<=1:
1 1 1 + Ux
Р+ =- + - Ux =----:
2 2 2
Р+ + Р- = 1;
1 - Ux
Р- =-
2
(6)
(7)
(8)
Событие «А» рассчитываем по (9). Применив подстановку в (9) формулы (7), получим (10):
A = р+ (а + (1 - а)р+) + р- (а + (1 - а)р-) = а(р+ + р-) + (1 - а)(р+ + р-); (9)
A = а + (1 -а)( р+ + р-).
Событие «В» рассчитываем по формуле (11):
B = (1 - а)р+р- + (1 - а)р+р- = 2(1 - а)р+р-. Определим R как разность вероятностей событий «А» и «В» (12):
A - B = а + (1 -а) (р+ + р_)2 = R.
Согласно формулам (6)-(8) получаем (13):
р++ Р-
1 + Ux 2
1 - Ux 2
= Ux
(10)
(11)
(12)
(13)
Тогда, подставляя в (12) формулу (13), получаем (14):
R = а+ (1 -а)Ц2.
Таким образом, коэффициент автокорреляции а можно рассчитать по формуле (15):
а = -
R - U2 1 - u2
(14)
(15)
Анализ периодичности флуктуационных шумов квантования
Построим имитационную модель (рис. 2) для анализа флуктуационных шумов квантования и приведем пример результата расчета коэффициента автокорреляции а(е) знаковой функции для следующих исходных данных: амплитуда входного сигнала Ux = 1/4, относительные постоянные времени интеграторов Tint1 = 1, Tint2 = 2, Tint3 = 4, N = 10000.
Рис. 2. Simulink-модель для расчета коэффициента автокорреляции а(е) знаковой функции
62
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Блок «R» производит расчет функции среднего значения произведения R(e) за период, равный значению скользящего окна xm ... xm+N, которое также исключает из расчета время переходного процесса (рис. 3).
Рис. 3. Simulink-модель блока «R»
Ниже на рис. 4 представлена Simulink-модель блока «М3», имитирующего работу ИИП с трехкратным интегрированием замкнутой структуры, где элементы Inti, Int2, Int3 имитируют работу интеграторов; h = 1 - дискретизатор (задает шаг дискретизации); Tinti, Tint2, Tint3 -постоянные времени интеграторов. Сигналы X1, X2, X3 - сигналы с выходов интеграторов. В данной Simulink-модели процедуру определения знака (математическая функция sign) выполняет однобитный квантователь.
Блок-анализатор «Analizator» выполняет функцию определения наличия периодических колебаний в выходном сигнале ИИП путем их режекторной фильтрации. Функцию режектор-ной фильтрации выполняет набор из ^-цифровых фильтров (ЦФ), каждый из которых подавляет колебание с заданным периодом, кратным /Т. В качестве примера ниже на рис. 5 приведена Simulink-модель ЦФ для анализа шести гармоник с периодом T, кратным 8, на рис. 6 -результат моделирования поиска периодичности.
Рис. 5. Simulink-модель блока-анализатора «Analizator»
2014,. № 4(10)
Рис. 6. Результат моделирования поиска периодичности при Ux = 1/4, а = 0,4667
Наличие нулевой реакции 7-го фильтра (отображается как сплошная линия на экране виртуального осциллографа) говорит о присутствии в сигнале периодического колебания с периодом 7Т. Нумерация гармоник - сверху вниз. Из рис. 6 видно, что на втором, четвертом и шестом выходах ЦФ имеет место отсутствие сигнала, что говорит о наличии низкочастотных периодических колебаний с периодом Т = 8 • 2 = 16.
При добавлении к входному сигналу Ux небольшого смещения 10-9 периодичность нарушается, и на осциллограмме (рис. 7) видно, как периодические колебания сменяются хаотическими и обратно, что еще раз подтверждает высокую чувствительность к начальным условиям ИИП, относящихся к классу систем детерминированного хаоса.
Рис. 7. Результат моделирования поиска периодичности при Ux = 1/4 + 10 9, а = 0,2171
Выводы
Понятие автокорреляционной функции, которое применимо к линейным процессам, мы использовали для описания системы с нелинейной динамикой. Но в отличие от известной теории используем автокорреляционную функцию, учитывающую специфику знакового представления. Таким образом, находятся как качественная, так и количественная оценки периодичности.
В отличие от прямого алгоритма реализации автокорреляционной функции используется только однобитная форма представления информации в виде логической функции, что позволяет реализовать алгоритм расчета в реальном масштабе времени с минимальными аппа-
63
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
ратными затратами. Численное значение автокорреляционной функции дает возможность оптимально решить задачу оптимальной фильтрации флуктуационных шумов квантования и в конечном итоге повысить точность аналого-цифрового преобразования.
Список литературы
1. Чувыкин, Б. В. Методика определения низкочастотных периодических колебаний в однобитных сигналах сигма-дельта модуляторов / Б. В. Чувыкин, И. А. Долгова, И. А. Сидорова // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. Астраханский ГУ. - 2014. - № 2 (26). - С. 174-181.
2. Сидорова, И. А. Исследование условий возникновения хаотических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах, использующих методы сигма-дельта модуляции / И. А. Сидорова // Датчики и системы: методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : сб. ст. междунар. науч.-техн. конф. с элементами научной школы для молодых ученых. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. - С. 286-290.
3. Политанский, Р. Л. Исследование зависимости корреляции между несущим и информационным сигналом в системах с динамическим хаосом / Р. Л. Политанский, Л. Ф. Политанский, С. Д. Галюк, Н. Я. Кушнир // Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2011. - № 3 (50), т. 2. - С. 58-63.
4. Nonlinear dynamical analysis of a bandpass sigma-delta modulator in ideal, imperfect and chaotic regimes. Ina Taralova-Roux, Orla Feely. Electronics, Circuits and Systems, 1999. Proceedings of ICECS '99 // The 6th IEEE International Conference. - 1999. - Vol. 3. -P. 1239-1242.
5. Чувыкин, Б. В. Анализ флуктуационных шумов нелинейных динамических систем с однобитным квантованием / Б. В. Чувыкин, А. В. Селезнев, И. А. Сидорова // Научнотехнический вестник Поволжья. - 2012. - № 3. - С. 151-154.
6. Долгова, И. А. Анализ устойчивости периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах / И. А. Долгова, Б. В. Чувыкин, А. В. Ерёменко // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. Астраханский ГУ. - 2013. -№ 1 (21). - С. 26-30.
7. Мун, Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун ; пер. с англ. Ю. А. Данилова, A. M. Шукуро-ва. - М. : Мир, 1990. - 311 с.
8. Харченко, М. А. Корреляционный анализ : учеб. пособие для вузов / М. А. Харченко. -Воронеж : Изд-во вГу, 2008. - 31 с.
Чувыкин Борис Викторович
доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: chuvykin_bv@mail.ru
Долгова Ирина Анатольевна
кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: Dolgova_IA@mail.ru
Сидорова Ирина Александровна
программист,
кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: irina-penza@mail.ru
Chuvykin Boris Viktorovich
doctor oftechnical sciences, professor, sub-department of information computer systems, Penza State University
Dolgova Irina Anatol'evna
candidate oftechnical sciences, associate professor, sub-department of information computer systems, Penza State University
Sidorova Irina Aleksandrovna
programmer,
sub-department of information computer systems, Penza State University
УДК 681.518.3 Чувыкин, Б. В.
Особенности расчета коэффициента автокорреляции бинарных сигналов в задачах анализа флуктуационных шумов квантования / Б. В. Чувыкин, И. А Долгова, И. А. Сидорова // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 4 (10). - С. 59-64.
