CC BY
193
2013,№3(5)
9
УДК 621.3.087.92
А. В. Селезнев, Б. В. Чувыкин
ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПОГРЕШНОСТИ КВАНТОВАНИЯ СИГМА-ДЕЛЬТА АЦП
A. V. Seleznev, B. V. Chuvykin
SPECIFICITY OF APPLICATION OF LINEARIZATION METHOD FOR DESCRIBING SIGMA-DELTA ADC QUANTIZATION ERROR
Аннотация. Рассмотрен метод линеаризации, широко используемый для проектирования сигма-дельта модуляторов. Проведено имитационное моделирование линеаризованного сигма-дельта модулятора и сигма-дельта модулятора с однобитным квантователем. Проведены результаты моделирования погрешности квантования. Сопоставлены значения СКО погрешности квантования модели линеаризованного сигма-дельта модулятора и модели сигма-дельта модулятора с квантователем. Приведены область применения и особенности метода линеаризации для описания погрешности квантования сигма-дельта АЦП.
Abstract. Linearization method widely used for sigma-delta modulator designing are considering. Modeling linearized sigma-delta modulator and sigma-delta modulator with 1-bit quantizer is carrying out. Modeling results are representing. Quantization error RMS values for linearized model and model with 1-bit quantizer are comparing. Range of application and specificity of linearization method for describing sigma-delta ADC quantization error is given.
Ключевые слова: метод линеаризации, погрешность квантования, сигма-дельта модулятор, сигма-дельта АЦП.
Key words: linearization method, quantization error, sigma-delta modulator, sigma-delta ADC.
В области аналого-цифрового преобразования высокой разрядности (более 18 разрядов) применяются исключительно методы преобразования на основе сигма-дельта модуляции. Основной частью сигма-дельта АЦП является сигма-дельта модулятор, который относится к классу нелинейных непрерывно-дискретных систем. Сигма-дельта модулятор представляет собой непрерывно-дискретную систему замкнутой структуры с нелинейным элементом (квантователь) в цепи обратной связи.
Анализ погрешности квантования сигма-дельта АЦП традиционно начинается с анализа сигма-дельта модулятора и рассмотрения его свойств в частотной области. Для этого рассматривается линеаризованная модель сигма-дельта модулятора, в которой нелинейный элемент (квантователь) заменяется на источник шума квантования £,(p). Шум квантования полагается некоррелированным со входным сигналом и с равномерной спектральной плотностью мощности [1].
Передаточные функции (ПФ) линеаризованной модели сигма-дельта модулятора для полезного сигнала Hx(p) и для шума квантования H^(p) имеют следующий вид [2]:
н х (p) =
н a (p) =
l
наф (p) ___________
1 + Наф (p) 1 + pT^
І
pT
І + Наф (p) 1 + pT
(1)
(2)
Переходя в частотную область с помощью замены р = /О, получим амплитудно-фазовые частотные характеристики для полезного сигнала и шума квантования:
НX ( j«)| =
|н а (jQ)[
і
л/l + П2 т2
Пт
л/l + П2 т2
(З)
(4)
Из выражений (3), (4) следует, что при Q^-0 коэффициент передачи полезного сигнала стремится к 1, а коэффициент передачи шума квантования - к 0. И наоборот, при коэф-
фициент передачи полезного сигнала стремится к 0, а коэффициент передачи шума квантования - к 1. Таким образом, сигма-дельта модулятор реализует функцию фильтра нижних частот для полезного сигнала и фильтра верхних частот для шума квантования. При Q^-0 передаточная функция линеаризованной модели сигма-дельта модулятора стремится к ПФ идеального дифференциатора.
На рис. 1,о показана структура линеаризованного сигма-дельта модулятора 1-го порядка с учетом процесса дискретизации, где АФ - аналоговый фильтр; i(p) - источник шума квантования, на рис. 1,6 - линейная Simulink-модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка, на рис. 1,в - результат моделирования - спектр шума квантования. Входной сигнал задается равным нулю. Блок Integrator - идеальный интегратор с передаточной функцией 1/p. Блок Uniform Random Number - генератор случайных чисел в диапазоне [1; -1] с равномерным законом распределения - реализует источник шума квантования. Блок Zero-Order Hold - интерполятор нулевого порядка - реализует дискретизацию входного сигнала, интервал дискретизации равен 1 с. Блок Spectrum Scope реализует анализатор спектральной плотности мощности, длина блока анализа 1024 отсчета, перекрытие блоков 512 отсчетов, используется весовое окно Хэннинга, усреднение по 100 результатам анализа.
а)
б)
в)
Рис. 1. Линеаризованная модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка (а); линеаризованная 8іти1іпк-модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка (б); спектр шума квантования (в)
2013,№3(5).
График спектральной плотности мощности отображается в полосе частот [0; 0,5] Гц, что соответствует периоду дискретизации 1 с.
В линеаризованной модели (см. рис. 1,а) не учитывается процесс дискретизации выходного сигнала АФ. Введем в модель элемент дискретизации и формирователь прямоугольных импульсов обратной связи с передаточной функцией
1 - е—рт
Н ос (р) =---------------------------------------------• (5)
Р
На рис. 2,а показана структура линеаризованного сигма-дельта модулятора 1-го порядка с учетом процесса дискретизации. Передаточные функции для полезного сигнала Нх(р) и шума квантования Н(р) линеаризованной модели сигма-дельта модулятора с учетом процесса дискретизации имеют следующий вид [3]:
Н (р) = -—; (6)
1 + р 2т — е р
2
Н (р)=;—р-1-—рт • (7)
1 + р2т — е рт
11
в)
Рис. 2. Модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка с дискретизацией (а); 8іти1іпк-модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка с дискретизацией (б); спектральная плотность мощности шума квантования (в)
Получим амплитудно-фазовые частотные характеристики для полезного сигнала и шума квантования:
\нх (М\ =
О2 т2
2 — 2О2 т2 — 2ео8(От) + О4 т4 + 2О2 т2 со8(От):
(8)
(м\
О4 т4
2 — 2О2 т2 — 2ео8(От) + О4 т4 + 2О2 т2 ео8(От)'
(9)
Из выражений (8), (9) следует, что при П^-0 коэффициент передачи полезного сигнала стремится к 1, а коэффициент передачи шума квантования - к 0. И наоборот, при коэф-
фициент передачи полезного сигнала стремится к 0, а коэффициент передачи шума квантования - к 1.
Имитационное моделирование в среде МЛТЬЛБ 8тиПпк показывает, что свойства сигма-дельта модулятора по вытеснению шума квантования из области частот полезного сигнала сохраняются в модели с учетом процесса дискретизации. На рис. 2,б показана 8тиИпк-модель сигма-дельта модулятора 1-го порядка с дискретизацией, а на рис. 2,в - спектр шума квантования. Из сопоставления рис. 1,в и 2,в видно, что обе модели демонстрируют свойства вытеснения шума квантования из области частот полезного сигнала.
Для выявления особенностей использования метода линеаризации для описания погрешности квантования сигма-дельта АЦП сопоставлялись результаты моделирования линеаризованной модели и модели сигма-дельта модулятора с квантователем. Для исследования погрешности сигма-дельта АЦП использовалась схема эксперимента [4], в соответствии с которой погрешность квантования определяется как разность выходного сигнала модели сигма-дельта АЦП с модулятором с квантователем и выходного сигнала модели сигма-дельта АЦП с линеаризованным модулятором.
В соответствии с данной методикой была построена 8тиПпк-модель для исследования погрешности квантования, показанная на рис. 3. В качестве тестового сигнала использовался синусоидальный сигнал с амплитудой 0,5 и 10240 отсчетов на период.
Рис. 3. 81тиИпк-модель исследования погрешности квантования
Масштабный коэффициент К = 0,408 подбирался эмпирически по критерию совпадения СКО погрешности квантования сигма-дельта АЦП с линеаризованной моделью модулятора 1-го порядка и модели сигма-дельта АЦП с модулятором 1-го порядка с квантователем. В качестве цифрового фильтра-дециматора использовался фильтр трехкратного скользящего среднего с длиной весового окна 32 отсчета.
Исследуем зависимость погрешности квантования от уровня входного сигнала. В табл. 1 показаны результаты моделирования при разных уровнях входного сигнала. Дисперсия и СКО погрешности квантования модели с дискретизацией совпадают с таковыми для линейной модели с точностью до масштабного коэффициента К, задающего уровень сигнала источника шума квантования, который для линеаризованной модели равен 0,408, а для модели с дискретизацией равен 0,643 при условии равенства значений СКО погрешности квантования при амплитуде входного сигнала, равной 0,5. При использовании модели, учитывающей процесс дискретизации, масштабный коэффициент должен быть увеличен, из чего следует, что влияние шума квантования на результат преобразования отличается для модели сигма-дельта модулятора, учитывающей дискретизацию. Из табл. 1 видно, что линейные модели не описывают процессы в сигма-дельта модуляторе 1-го порядка, что выражается в отсутствии зависимо-
2 013 , № 3 (5^
13
сти значения СКО погрешности квантования от амплитуды входного сигнала в отличие от модели с квантователем, где такая зависимость наблюдается.
Таблица 1
Результаты моделирования погрешности квантования сигма-дельта АЦП с модулятором 1-го порядка
Амплитуда входного сигнала Линейная модель К = 0,408 Линейная модель с дискретизацией К = 0,643 Модель с квантователем
СКО Дисперсия СКО Дисперсия СКО Дисперсия
0,5 2,05 ■ 10-3 4,24 ■ 10-6 2,05 ■ 10-3 4,24 ■ 10-6 2,05 ■ 10-3 4,24 ■ 10-6
0,4 1,94 ■ 10-3 3,75 ■ 10-6
0,3 1,7 ■ 10-3 2,9 ■ 10-6
0,2 2,0 ■ 10-3 4,01 ■ 10-6
0,1 2,25 ■ 10-3 5,08 ■ 10-6
Проведем моделирование погрешности квантования сигма-дельта АЦП с модулятором 3-го порядка в соответствии с методикой эксперимента, описанной выше. В табл. 2 показаны результаты моделирования погрешности квантования сигма-дельта АЦП с модулятором 3-го порядка при разных уровнях входного сигнала.
Таблица 2
Результаты моделирования погрешности квантования сигма-дельта АЦП с модулятором 3-го порядка
Амплитуда Линейная модель Линейная модель Модель с квантователем
входного К = 0,113 с дискретизацией К = 0,751
сигнала СКО Дисперсия СКО Дисперсия СКО Дисперсия
0,5 Модулятор неустойчив
0,4 2,14 ■ 10-4 4,6 ■ 10-8
0,3 2,15 ■ 10-4 4,61 ■ 10-8 2,15 ■ 10-4 4,61 ■ 10-8 2 ■ 10-4 4 ■ 10-8
0,2 1,88 ■ 10-4 3,52 ■ 10-8
0,1 1,87 ■ 10-4 3,51 ■ 10-8
При амплитуде входного сигнала, равной 0,5, наблюдается резкий рост погрешности. Это связано с тем, что сигма-дельта модулятор 3-го порядка находится в области неустойчивой работы, чего не наблюдается в линейной модели. Также в рамках линейной модели нельзя объяснить существенное изменение погрешности квантования при изменении амплитуды и вида входного сигнала, которое наблюдается в нелинейной модели с квантователем. Например, при подаче на вход на модели сигма-дельта АЦП с модулятором 3-го порядка с квантователем постоянного сигнала с амплитудой, равной 0,4, значение СКО погрешности квантования в этом случае составляет 3,1 • 10-4, дисперсия 9,5 • 10-8. При увеличении амплитуды входного сигнала на 1 • 10-5 значение СКО погрешности квантования в этом случае составляет 2,5 • 10-4, дисперсия 6,23 • 10-8.
Таким образом, учет процесса дискретизации в линеаризованной модели приводит к тому, что масштабный коэффициент источника шума квантования необходимо увеличить в 1,58 раза для модели сигма-дельта модулятора 1-го порядка и в 6,65 раза для модели сигма-дельта модулятора 3-го порядка. Это говорит о том, что влияние шума квантования в модели с учетом процесса дискретизации проявляется в меньшей степени по сравнению с линеаризованной моделью.
Линеаризованная модель инвариантна к уровню входного сигнала в отличие от модели с квантователем, где изменение уровня входного сигнала приводит к существенному изменению погрешности квантования. Поэтому для уточнения результатов необходимо проведение дополнительного моделирования с различными видами тестовых сигналов.
Метод линеаризации позволяет оценить средние значения погрешности квантования для всего ансамбля входных сигналов, но в то же время не описывает изменения погрешности квантования при изменении уровня входного сигнала. Данный метод допустимо применять при оценке погрешности квантования при преобразовании сигналов с равномерным законом распределения амплитуд и непрерывном (следящем) режиме преобразования. При ограничении диапазона преобразуемого сигнала или времени преобразования оценки погрешности, полученные с использованием метода линеаризации, могут значительно отличаться от реальных значений.
Список литературы
1. Data Conversion Handbook / Walt Kester, Editor. - Newnes, 2004. - 976 p.
2. Шахов, Э. К. ХЛ"АЦП: понятие о передискретизации, шейпинге шума квантования и децимации / Э. К. Шахов // Датчики и системы. - 2006. - № 11. - С. 50-57.
3. Чувыкин, Б. В. ЕД-АЦП: синтез одноконтурных структур / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 1. - С. 91-106.
4. Чувыкин, Б. В. ЕД-АЦП - анализ погрешности от краевых эффектов / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3. - С. 80-90.
Селезнев Антон Владимирович
аспирант,
Пензенский государственный университет E-mail: seleznev_a_v@mail.ru
Seleznev Anton Vladimirovich
graduate student,
Penza State University
Чувыкин Борис Викторович
доктор технических наук, профессор кафедры информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: chuvykin_bv@mail.ru
Chuvykin Boris Viktorovich
doctor of technical sciences, professor of sub-department of information computer systems, Penza State University
УДК 621.3.087.92 Селезнев, А. В.
Особенности использования метода линеаризации для описания погрешности квантования сигма-дельта АЦП / А. В. Селезнев, Б. В. Чувыкин // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2013. - № 3 (5). - С. 9-14.
