CC BY
105
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 138
УДК 629.735.07
ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА НА ВНЕШНЕЙ ПОДВЕСКЕ
ВЕРТОЛЕТА
В.В. ЕФИМОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
Рассмотрены особенности численного интегрирования дифференциальных уравнений динамики груза на внешней подвеске вертолета при условии, что груз и трос рассматриваются как отдельные взаимодействующие тела.
В работах [1 - 6] представлена математическая модель динамики вертолета с грузом на внешней подвеске. Эта модель описывает силовое взаимодействие вертолета и груза на его внешней подвеске. В отличие от большинства подобных моделей данная модель -трехмерная, учитывающая силовое воздействие как вертолета на груз, так и груза на вертолет, причем на динамику груза при этом влияют не только его сила тяжести и аэродинамические силы, но и силы инерции, обусловленные ускоренным перемещением точки подвеса груза на вертолете.
К настоящему моменту данная математическая модель была доработана в части учета упругости троса, а также введения еще одного звена в систему "вертолет - груз", собственно троса. Дело в том, что часто подвеска груза к вертолету выполняется с использованием достаточно длинного (30 м 40 м) центрального троса, к которому груз крепится с помощью нескольких коротких боковых строп (так называемый "паук"). В месте крепления боковых строп к центральному тросу, как правило, устанавливается замок. Такая подвеска при действии на груз моментов вокруг его центра масс позволяет грузу отклоняться от продольной оси центрального троса (рис. 1).
1руз
Рис. 1. Вертолет с внешней подвеской, имеющей центральный трос и "паук"
При такой схеме подвески движущаяся система состоит уже из трех тел: вертолет, трос и груз. В соответствии с этими изменениями были доработаны основные допущения, сделанные ранее при математическом моделировании динамики системы "вертолет - груз":
- груз и центральный трос подвески рассматриваются как два тела, связанные друг с другом с помощью идеального сферического шарнира;
- груз является абсолютно твердым телом, а трос обладает упругостью при растяжении, при этом в поперечном отношении трос считается абсолютно неупругим;
- система "груз - трос" закреплена на вертолете с помощью идеального сферического шарнира в точке, не совпадающей с центром масс вертолета;
- взаимное силовое воздействие вертолета и системы "груз - трос" выражается силой реакции в шарнире, которая определяется только силой натяжения центрального троса;
- действие груза на центральный трос также определяется реакцией в шарнире, соединяющем трос и груз;
- аэродинамическая интерференция вертолета и груза не учитывается;
- нестационарность аэродинамических характеристик вертолета и груза не учитывается.
Учет упругости троса особенно актуален, если трос изготовлен из синтетического
высокомолекулярного материала, т.к. при этом возникают достаточно большие деформации.
Колебания груза вдоль упругого троса на данном этапе исследований рассматриваются как вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы, которые описываются следующим уравнением [7]:
где кд - коэффициент демпфирования колебаний вдоль троса; кж - коэффициент жесткости троса; Агт - приращение длины троса; Ятр - сила, действующая на груз вдоль продольной оси троса.
Сила реакции в шарнире крепления троса к вертолету равна:
Однако при этом для вычисления силы инерции пришлось бы использовать значения ускорения гт с предыдущего шага интегрирования, что не только снижает точность расчетов, но и может привести к неустойчивому решению, при котором возникают паразитные колебания, не имеющие физической природы. Эти паразитные колебания приводят к существенному искажению картины описываемого явления.
Решить эту проблему можно, применяя при вычислении членов уравнения (1), содержащих скорости и ускорения, методы численного интегрирования, основанные на так называемых неявных разностных схемах [8], предполагающих использование итерационного процесса. Подобный подход разработан М.С. Кублановым для исследования динамики шасси самолета [9, 10].
В данном же конкретном случае реализовать неявную схему можно следующим образом. На каждом шаге интегрирования, задаваясь приращением длины троса Агт, и зная шаг интегрирования А1:, можно вычислить скорость гт и ускорение гт, а значит, и силы натяжения троса, демпфирования и инерции. Сумма этих сил должна быть равна силе, действующей на груз вдоль продольной оси троса - К^. Если это условие не выполняется, то необходимо добиваться его выполнения с заданной точностью, изменяя тем или иным образом приращение длины троса Агт. В результате будут получены: искомая сила натяжения троса, т.е. сила реакции в шарнире Яш, а также длина троса гт.
(1)
К ш = к д ^ + к ж Агт.
Для ее вычисления достаточно на первый взгляд, учитывая уравнение (1), записать:
(2)
(3)
Что касается рассмотрения центрального троса как еще одного звена колебательной системы, то здесь возникают дополнительные вычислительные трудности.
Чтобы описать движение системы из нескольких последовательно соединенных тел, можно взять за основу метод, описанный в работах [1 - 6], и рассматривать взаимодействие пар тел, начиная с какого-либо конца этой системы. При этом, однако, при применении обычных методов численного интегрирования, в том числе неявных, будет наблюдаться запаздывание в вычислении сил взаимодействия между телами на данном шаге интегрирования. Данное запаздывание приводит не только к снижению точности расчетов, но и к значительным искажениям движения рассматриваемой системы из-за появления паразитных ускорений. Так, например, в случае рассматриваемой системы "вертолет - трос -груз" возникали ее колебания с нарастающей амплитудой, причину появления которых нельзя объяснить с физической точки зрения (рис. 2).
б) раскачивание груза
Рис. 2. Углы отклонения троса и нормальной оси груза от вертикали при появлении
паразитных ускорений
Запаздывание в вычислении сил наблюдается даже при обычном численном интегрировании уравнений движения одного тела. Любой численный метод основан на допущении, что в течение шага интегрирования силы, зависящие от кинематических параметров движения тела, не изменяются. Так, например, изменение тяги силовой установки летательного аппарата на текущем шаге интегрирования приведет к изменению аэродинамических сил только на следующем шаге. При моделировании полетных случаев, т.е. когда рассматриваемое тело движется в пространстве без непосредственного контакта с другими телами (силы упругости отсутствуют), такое допущение приводит в итоге к ошибкам определения положения тела относительно стартовой системы координат, его скорости и ускорения. Если точность при этом удовлетворительная, то никаких дополнительных проблем не возникает. Повысить точность можно, выбрав более совершенный метод интегрирования и рациональный шаг интегрирования.
Но если рассматриваемое тело упруго взаимодействует с другим телом, то допущение о неизменности сил упругости в течение шага интегрирования, может оказаться слишком грубым. Силы упругости сильно зависят от перемещений, поэтому даже сравнительно небольшие ошибки в определении перемещений могут привести к таким ошибкам в определении сил на последующих шагах интегрирования, что появятся значительные паразитные ускорения. Из-за этих паразитных ускорений движение тела может стать таким, которое нельзя объяснить с физической точки зрения. Например, тело начнет подпрыгивать или раскачиваться, хотя этого происходить не должно.
Здесь, конечно, можно попытаться использовать описанный выше неявный метод, подбирая перемещения тела, которые будут удовлетворять его уравнениям движения. Однако в случае системы тел тяжело разработать логическую схему такого подбора, т. к. система имеет большое число степеней свободы. В связи с эти наиболее рациональным представляется использование предлагаемого ниже итерационного метода.
Все силы, действующие на тело, можно разделить на зависящие от кинематических параметров движения тела и не зависящие (или слабо зависящие) от этих параметров. В случае летательных аппаратов к первым силам можно отнести аэродинамические силы, силы инерции, силы реакции при взаимодействии с другими телами (сила реакции опоры при соприкосновении летательного аппарата с землей, силы в шарнире крепления груза на внешней подвеске и т.п.). Ко вторым силам можно отнести силу тяжести и, при определенных допущениях, тягу силовой установки.
Таким образом, в общем случае уравнение движения можно представить в следующем виде:
О = Р(с)+ )+ тС , (4)
где О - силы, не зависящие от кинематических параметров; Р(с) - силы, зависящие от перемещения; Б(С) - силы, зависящие от скорости; тС - сила инерции.
Найдем из уравнения (4) ускорение С на текущем шаге интегрирования по наиболее распространенной схеме, беря скорость С и перемещение С с предыдущего шага:
С п =—[0-Р(Сп-1 )-Р(С п-1 )]. (5)
т
Для того, чтобы вычислить скорость и перемещение в конце текущего шага, часто бывает достаточно проинтегрировать полученное ускорение с помощью простого метода Эйлера по следующей схеме:
С п = С п-1 +С п А^ (6)
. . .. А12
Сп = Сп-1 + С п-1А+с п—, (7)
где А1 - шаг интегрирования.
Однако эти скорость и перемещение вычислялись в предположении, что силы Р(С) и р(С) в течение шага интегрирования не изменялись. Но это может быть только в том случае, если скорость С и перемещение С оставались постоянными. В общем случае это условие не выполняется. Поэтому полученные в конце шага значения скорости С п и перемещения Сп могут быть завышенными или заниженными. Завышенным или заниженным будет и ускорение в конце шага С п, вычисленное по формуле (5).
Здесь, как уже упоминалось выше, можно было бы использовать более точные известные методы интегрирования или уменьшить шаг интегрирования. Но, как показывает практика
расчетов, проблема появления паразитных ускорений этими путями не решается, что
убедительно показал М.С. Кубланов в своих исследованиях динамики шасси [9, 10].
Решить задачу можно следующим образом. Очевидно, что величина ускорения в конце рассматриваемого шага интегрирования должна иметь промежуточное значение между ¿¡п _1 и д п. В связи с этим организуем итерационный процесс, как это показано на рис. 3.
Рис. 3. Алгоритм итерационного процесса
Таким образом, будут найдены сбалансированные значения ускорения, скорости и перемещения в конце рассматриваемого шага интегрирования, удовлетворяющие уравнению движения тела (4), что позволяет избавиться от возникновения паразитных ускорений и необъяснимых физически перемещений тела.
Здесь возникает вопрос сходимости данного итерационного процесса. Практика вычислительных экспериментов, проведенных с системой "вертолет - трос - груз" показывает, что этот процесс обладает хорошей сходимостью. Обычно требуется не более 5 итераций, чтобы обеспечить достаточную точность 5 вычисления ускорений (рис. 3). В результате "нефизичные" раскачивания троса и груза устраняются. Тем не менее, нельзя утверждать, что данный метод будет сходиться при любых условиях. Для определения условий сходимости необходимы дополнительные исследования.
На рис. 4 представлены зависимости углов отклонения троса и нормальной оси связанной системы координат груза от времени. В данном вычислительном эксперименте внешняя подвеска имела следующие характеристики:
- длина центрального троса 30 м;
- расстояние от центра масс груза до замка паука 5 м;
- масса груза 2500 кг.
Груз представлял собой емкость для тушения пожаров - водосливное устройство (ВСУ). Таким образом, общий вид внешней подвески соответствует показанному на рис. 1. Аэродинамические характеристики ВСУ взяты из работы [11].
Программа полета вертолета была следующей. Вертолет набирал высоту 4 м и зависал над грузом. Затем производился вертикальный набор высоты 50 м (с 25-й по 60-ю секунды полета), после чего происходил разгон до скорости 135 км/ч с набором высоты 150 м и последующим горизонтальным полетом. Начало разгона отмечено на графиках значительным ростом угла отклонения троса от вертикали. Через некоторое время после достижения установившейся скорости горизонтального полета угол отклонения троса от вертикали также стал практически установившимся. Незначительные колебания можно объяснить слабым демпфированием.
б) движение груза
Рис. 4. Углы отклонения троса и нормальной оси груза от вертикали при условии
применения метода итераций
Движение груза в горизонтальной плоскости характеризовалось очень незначительными отклонениями в поперечной плоскости (рис. 5). При анализе рис. 5 следует обратить внимание на различный масштаб по осям абсцисс и ординат.
Существенный недостаток данного метода состоит в сравнительно большом объеме вычислений, хотя производительность современных компьютеров уже сейчас позволяет производить расчеты движения достаточно сложных систем в реальном масштабе времени.
0.246 0 225 О 205 0.184 0.164 0.143 0.123 3. 0.102 га о 082 5 0.061 = 0.041 ® 0 02 § О
3 -0 02
| -0.041 | -0.061 | -0.082 5 -0.102 -0.123 -0.143 -0.164 -0.184 -0.205 -0.225 -0,246
-16 -14 -12 -10 -8 -6 4-2 0
Отклонение вдоль оси 01 Хд 1. м
Рис. 5. Траектория движения центра масс груза в горизонтальной плоскости
ЛИТЕРАТУРА
1. Ефимов В.В. Математическое описание движения груза на внешней подвеске вертолета // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 111, 2007.
2. Ефимов В.В., Кубланов М.С., Ципенко В.Г. К вопросу о создании математической модели движения вертолета и груза на его внешней подвеске // Материалы XVIII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов". ЦАГИ, 2007.
3. Исследование проблемы обеспечения безопасности полетов при выполнении авиационных работ с применением специальных технических средств: Отчет о НИР (заключительный) / Руководитель Кубланов М.С., Ответственный исполнитель В.В. Ефимов. № ГР 01200607252. Инв. № 02200704155 - М.: МГТУ ГА, 2007.
4. Ефимов В.В., Паршенцев С.А. О результатах вычислительных экспериментов по исследованию динамики некоторых типов грузов на внешней тросовой подвеске вертолета // Материалы XIX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов". ЦАГИ, 2008.
5. Ефимов В.В., Паршенцев С.А. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию динамики вертолета и груза на его внешней тросовой подвеске при полете в неспокойном воздухе. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 125, 2008.
6. Козловский В.Б. и др. Вертолет с грузом на внешней подвеске / В.Б. Козловский, С.А. Паршенцев, В.В. Ефимов; Под ред. В.Б. Козловского. - М.: Машиностроение / Машиностроение-Полет, 2008.
7. Строительная механика летательных аппаратов: Учеб. Для авиационных специальностей вузов / И.Ф. Образцов, Л.А. Булычев, В.В. Васильев и др.; Под ред. И.Ф. Образцова. - М.: Машиностроение, 1986.
8. Зализняк В.Г. Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков: Учебное пособие. - М.: Едиториал УРСС, 2002.
9. Кубланов М.С. Устойчивый алгоритм моделирования работы шасси // Обеспечение безопасности полетов при эксплуатации гражданских воздушных судов: Сб. научных трудов МИИГА. 1991.
10. Кубланов М.С. Разработка теории и методов повышения уровня адекватности математических моделей на основе идентификации параметров движения для обеспечения летной эксплуатации самолетов гражданской авиации: Дисс. д-ра техн. наук. - М., 2000.
11. Исследование поведения водосливного устройства ВСУ-15 на тросовой подвеске под воздействием ветровых нагрузок: Отчет о НИР / Руководитель С.В. Гувернюк. № 4648 - М.: Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003.
FEATURES OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS INTEGRATION OF THE CARGO MOVEMENT ON THE HELICOPTER EXTERNAL SLING
Efimov V.V.
Features of numerical integration of the differential equations of dynamics of cargo on an external sling of the helicopter are considered provided that cargo and a cable are considered as separate co-operating bodies.
Сведения об авторе
Ефимов Вадим Викторович, 1965 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1988), кандидат технических наук, доцент кафедры аэродинамики, конструкции и прочности ЛА МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование, системотехника, эффективность летательных аппаратов.
