CC BY
40
УДК 681.513
М.Е. Прокофьев, инж., (4872) 33-23-34, eeo@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО ТОЧНОСТИ УПРАВЛЕНИЕ ПРОМЫШЛЕННО ВЫПУСКАЕМЫМ ЧАСТОТНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ АСИНХРОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ
Рассматривается решение задачи получения оптимального по точности управления скоростью вращения вала асинхронного частотно-регулируемого электропривода на основе функций переключения. Учитывается критерий устойчивости системы.
Ключевые слова: оптимальное по точности управление, функция переключения.
В настоящее время происходит бурное развитие систем управления электроприводом переменного тока, свидетельством чего является большой ассортимент промышленно-выпускаемых преобразователей частоты для управления электроприводом переменного тока, который, в большинстве случаев, базируется на асинхронном двигателе с короткозамкнутым ротором. Эти устройства обеспечивают энергосбережение путем одновременного снижения частоты и амплитуды питающего напряжения, а также хорошие динамические свойства путем применения современных систем управления. В связи с этим рассматривается возможность применения таких систем в следящих электроприводах, поскольку применение электродвигателя переменного тока позволит повысить их надежность, безопасность и экономичность.
Ключевой проблемой, влияющей на использование преобразователей частоты в следящих или позиционных системах, является достаточно низкая точность поддержания регулируемого сигнала. Ошибка в установившемся режиме указывается в паспортных данных. Как правило, такая ошибка возникает при регулировании частоты вращения вала привода, электромагнитного момента и угла поворота вала электропривода, т.е. основных регулируемых координат, что приводит к снижению качества выходного сигнала и к ухудшению характеристик процесса, в котором участвует регулируемый электропривод. Поэтому применение таких устройств в следящих системах затруднительно. Следствием этого является актуальность проблемы создания требуемой точности регулируемого сигнала.
Для решения указанной проблемы предлагается применить теорию получения оптимального по точности управления [2], основанную на скользящих режимах работы релейного элемента.
221
Система уравнений, описывающая в самом простом случае промышленно выпускаемый преобразователь частоты с векторным управлением - асинхронный двигатель с коротко замкнутым ротором, согласно [1] и [3] имеет вид
disd
1 ТТ
У г:
usd lsd
dt Ь
ss
Т
+ р- ©■lsq +
К
ss
• у г + Rr ■ Кг
I2
^^sq У г
dlsq _ usq
dt Ь
^sq
ss
Т
Кг
ss
Ь
■ р ■ Ю ■ у г — Rr ■ Кг
ss
lsd ■ lsq
У г
(1)
dw 13
— _---------------Кг
dt 3 2
■ р ■ lsq ■у г Мс
dusd
dt
К1Р~+ (иу-У г)+ К1Т (иУ—У г )>
К1и(
du
dt
d
У
Т1
К 2u
У
dt dt Т 2
где Rr - активное сопротивление фазы обмотки ротора, соотнесенное с сопротивлением обмотки статора; ЬТ - индуктивность фазы обмотки ротора, соотнесенное с индуктивностью обмотки статора; КТ - коэффициент ротора двигателя; Тг - постоянная времени ротора двигателя; Т^ - постоянная времени статора двигателя; р - число пар полюсов; 3 - момент инерции; Ь^ - индуктивность рассеяния статорной обмотки; Мс - постоянный момент сопротивления; К1 р - пропорциональный коэффициент ПИ-регулятора потокосцепления ротора; КЫ - интегральный коэффициент ПИ-регулятора потокосцепления ротора; Т1 - постоянная времени ПИ-регулятора потокосцепления ротора; К2 р - пропорциональный коэффициент ПИ-регулятора частоты вращения вала; К2u - интегральный коэффициент ПИ-регулятора частоты вращения вала; Т 2 - постоянная времени ПИ-регулятора частоты вращения вала; уг _ zad -
задание по потокосцеплению ротора; Ю_ zad - задание по частоте вращения вала; уТ - потокосцепление ротора; і^ - проекция обобщенного вектора тока на ось d (преобразования и система координат Парка - Горева); іщ - проекция обобщенного вектора тока на ось q (преобразования и
система координат Парка - Горева); ю - частота вращения вала электропривода; usd - проекция обобщенного вектора напряжения на ось d (преобразования и система координат Парка - Горева); usq - проекция обобщенного вектора напряжения на ось q (преобразования и система
222
координат Парка - Горева); иу ° уг _ zad - управляющее воздействие контура регулирование потокосцепления ротора; ии°№_zad - управляющее воздействие контура регулирования частоты вращения вала двигателя. Преобразуем уравнения (1), введя новые переменные:
usd
и
sq
К1 р- уг _ zad = и8^ - К 2 р- ю _ zad = ищ *
У г = *0, = *1,
isq = *2, ю = *3, и^* = *4, ищ* = *5.
В результате получим
d*o = ^ 1
(2)
dt
= Кг - Кг - *1
Тг
d*l _ *4 + К1 р- уг _ zad *1 dt
и
Т
о
+ р - *з - *2 +
Кг
3*2 _ *5 + К 2 р - ю _ zad dt Ь
и - Т
±г
лад
*2 Т
Кг - Кг
р *3 *1
*1 *2
К
Ь
*0 + Кг ' Кг —2 *0
р *3 *0
*0
(3)
3*з
dt
3*4
dt
-К1 р
1 з ^
-• 2-Кг ' р - *2 -*0
1
Кг • Кг • *1------------------*о
V
Т
-Ы,
К1и
У
.Л
з*
5
13
= -К2р- -- —- Кг ■ р- *2 - *0 -Ы,
Ш у и 2 у
К2и
Т2
(ию *3 )•
Полученные уравнения (3) представляют собой систему, записанную в форме Коши. Для определения оптимального по точности управления частотой вращения вала привода применим к системе (3) теорию оптимального управления, основанную на скользящих режимах работы релейного элемента [2]. Для облегчения применения указанной теории к системе (3) линеаризуем её в окрестности установившегося режима работы. Линеаризуем нелинейные слагаемые системы уравнений (3) с помощью рядов Тейлора (с точностью разложения до линейных членов в окрестности установившегося режима с координатами х0, х1, х2, х3, х4, х5 с учетом введения обозначений (по Ляпунову):
Дхо = хо - х0, Ах1 = х - х1, Дх2 = Х2 - х2, Дх3 = Х3 - х3, ДХ4 = Х4 - х4,
Дх5 = х5 - х5, ^ Диу = иу - иу0, Дию + ию0 = ию ^ Дию = ию - ио>0.
+
dДх0 1
------ = Яг -Кг ■ Дх1--------------Дх0,
dt Г Г 1 Тг 0'
Дх
dДх1 Дх4 Дх1 х л „
-----1 = —4-1 + р • (Дх3 • х2 + Дх2 • х3) +
Кг
dt
Ь
ss
Ь Т
±г
• х0 +
+ Яг • Кг
х22 Дх0 2 х2 Дх2
х0А
х0
dДх2 _ Дх5 dt
Ь
Дх-2- р • (Дх3 • х1 + Дх1 • х3)-КГ • р • (Дх3 • х0 + Дх0 • х3) ■
Т
55
- Яг • Кг
dДх3
Ь<
х1 х 2 Дх0 х1 Дх2 х2 Дх1
0 +-----------------2 + 1
(5)
х0
2
х0
х0
dt
Кг • р • (х2 • х0 + х0 • х2),
dДх,
dt
1
Яг-Кг ■ Дх1-----Дх,
Т
К1и
Т1
(Диу-Дх0 )1
dДх5
dt
13
= -^2р--Кг-р • (х2 х + х0 •х2)
У 2
К2и
Т2
(Дию-Дх3),
где значения х0, х1, х2, х3, х4, х5 вычисляются из (1) с учетом (2) путем приравнивания всех уравнений к 0.
Поскольку система (5) имеет в качестве управлений «отклонения» от реальных сигналов управления (Диу, Дию), а эти отклонения равны 0, то
при определении оптимального управления (управлений) можно воспользоваться теорией оптимального управления, основанной на скользящих режимах работы управляющего релейного элемента [2], поскольку при таких режимах среднее значение сигнала управления на входе релейного элемента, работающего в скользящем режиме, равно 0, причем поскольку в реальном преобразователе частоты доступен для подачи сигнала управления только вход задания скорости, а задание по потокосцеплению ротора задается самой системой управления преобразователем частоты (и является постоянной величиной в окрестности точки установившегося режима работы привода). Таким образом, «отклонение» от реального сигнала управления потокосцеплением ротора равно 0 (Диу = 0), а «отклонение»
от реального сигнала управления частотой вращения вала как раз и будем определять согласно вышеуказанной теории.
В соответствии с этой теорией сначала записываем уравнение для функции переключения:
у (ДХ) = / (ДХ) + ф(ДХ )• Дию, (6)
где у(ДХ) - функция переключения;
0
АХ =
- вектор координат объекта, записанного «в отклонениях»;
опт(Х) ию тах ' $І§п(у(Х)) , (7 )
А Ахо Л Лх1
Ах2
Лх3 Лх4
чЛх5/
у (АХ) - производная функции переключения; / (АХ) - слагаемые, независящие от Аию; ф(ЛХ)• Аию - слагаемые, зависящие от Аию; Аию = мю опт - искомое управляющее воздействие.
В соответствии с вышеуказанной теорией оптимальное по точности управление соответствующей координатой объекта будет определяться в виде:
_ опт (АХ ) = -^(¥(ЛХ )). (7)
Оптимальное по точности управление реальным значением координаты объекта будет определяться в виде
% _ опт ( Х ) = —ию _тах
где ию тах - максимальное значение сигнала задания скорости, X - вектор
реальных координат объекта.
Объект будет устойчивым, если выполняется условие
/(ЛХ)\ < Ф(ЛХ) > 0 или|/(Х)\ < ф(Х) • _тах > 0. (8)
Отметим также, что все вышеуказанные управления являются ещё и оптимальными по точности.
На основании системы (8) запишем выражение для функции переключения для канала регулирования скорости:
у (АХ) = ЭУЛХ) • Лх0 + ЭУ(АХ) • Лх, + ЭУ(ЛХ) • Лх2 + ЭУ(ЛХ) • Лх3 + ЭЛхо ЭЛх, ЭЛх2 ЭЛхз
+ Эу(АХ) • Лх4 + Эу(АХ) • Лх5. (9)
ЭЛх4 ЭЛХ5
Введем обозначения:
А = Эу(АХ) В = Эу(АХ) С = Эу(АХ)
ЭЛхо ЭЛх, ЭЛх2
О = Эу(АХ) р = Эу(АХ) н = Эу(ЛХ)
ЭЛхз ЭЛХ4 ЭЛХ5
Подставим (7), (12) и (13) в (10):
ию _опт (Х) = _тах • ^§п( А • (х0 — х0) + В •(х1 — х1) +
+ С • (х2 — Х2) + О • (хЗ — хз) + ^ • (х4 — Х4) + Н • (х5 — Х5)). (11)
225
(10)
Для лучшей последующей интеграции производной функции переключения будем определять коэффициенты А, В, С, О, Р, Н как постоянные значения, при этом согласно [5] одну из этих констант можно принять равной 1. Отметим также, что из условия положительности сигнала задания коэффициент при управляемой координате должен быть больше 0 (т.е. в данном случае коэффициент Б должен быть больше 0).
Приведем систему (5) к виду (6) с учетом (9) и (10). При этом полу-
чим:
Ф(АХ) =
ГС-К 2 р Н-К2иЛ
V Lss
Т 2
(12)
/ (АХ) = Л-
— Ах, Тг
0
+в-
Ах4 Ах1 0
—-1 + р - (А*з - х2 +
Ь
'ss
Т
ss
А*2 - х3) + Ку
Ь -Т ±г
■ - А*0 +
+ Яу - К у -
х22 - (Ах0) 2 - х2 - (Ах2)
х02
х0
+
/У
+ С-
—к - Кг
Ах5
Ах2 - р- (Ахз -х1 + Ах1 -х3)- Кг
Ь Т
V ss 1 55
г х1 - х2 - Ах0 + х1 - Ах2 + х2 - Ах1
Ь
- р - (Ахз - х0 + Ах0 - х3) ■
х0
г
2
х0
х0
+ О-
--3-Кг-р-3 2 г
Ах2-х0 + + Ах0 - х2
+
/У
+ Р-
К1 р
1
Яг-Кг ■ Ах1-----Ах,
+ Н-
V V
с
Т
К1и
Т1
1 3
— К 2 р--Кг ■ р- (Ах2 - х0 + Ах0 - х2)
(—Лх0)
К 2и
+
Т2 (-Ах, )| (13)
Определим коэффициенты А, В, С, О, Р, Н таким образом, чтобы выполнялось условие (8). Для этого будем сокращать подобные слагаемые функции (13) путем соответствующего выбора коэффициентов А, В, С, О, Р, Н. Для этого необходимо свести подобные слагаемые в уравнения, а затем каждое уравнение приравнять к нулю.
Введем коэффициенты
1 К х22 - х2 К
а1 = ——, а2 =---г— — Яг-Кг—-а3 = Яг-Кг-------- ----г--р-х3,
х02
Тг
Ь - Т 1Г
-0
2
Ь
1 3 ТуГ _ _ К1и К1 р , _ 13 ТуГ _
а4 =----------------р - Кг ■ х2, а5 =----------------------------------—, а6 = К2 р--------------------------р - Кг • -2,
3 2 г Т1 Т’ 3 2 г
Р1 = Яг-Кг, Ь2
Т
рэ
( х2 ^
р-хЭ + Яг -Кг---------, р4 = К1 р-Яг Кг,
К х0)
2 х 2
у1 = хЭ + Яг-Кг--------, у 2
г г х0
1 2 х 2
— + Яг-Кг--------
Т
К 55
х0
1 э
у4 = К2р------------р-Кг ■ х0, к1 = р - х2, к2
(/ 2
1э
, у3 =---р-Кг ■ х0,
3 2 г
К
р - х1 +—— - р - х0
55
к3
К 2м Т 2
В результате получим
при х0: А - а1 + в - а2 + С - а3 + О - а4 = Р - а5 + Н - аб,
при х1: А-Р1 + В-р2 + С рэ = Р Р4,
при х2 : В - у1 + С - у2 + Л - у3 = Н - у4,
при х3: В - к1 + С - к2 = Н - к3.
Выбирая Р = 1 и учитывая условие О > 0, имеем
(14)
Аа1 - у1 - Р4 - к2 - а1 - у2 - Р4 - к1 -Л - Р1 - у1 - а5 - к2 + Р1 - у2 - а5 - к1
О шіп -
+ О шіп -
+ О шіп -
Н
V
а1-Р2-у3-к2 -- а1 - Р3 - у3 - к1 Р1 - а3 - у3 - к1 -+ а 2 - Р1 - у3 - к2 Р1 - у1 - а 4 - к2 -Л - Р1 - а4 - у2 - к1
+
+
V
Ґ а1 - Р2 - у2 - к3 - а1 - у1 - Р3 - к3 - а2 - Р1 - у2 - к3 + Р1 - а3 - у1 - к3 - Л - а1 - Р2 - у4 - к2 + а1 - Р3 - у4 - к1 + а2 - Р1 - у4 - к2 - Р1 - а3 - у4 - к1 -
Р1 - у1 - аб - к2 + Р1 - у2 - аб - к1
Н- к3 - С (Р, Н)- к2 к1
Р2
Н- у4 - С (Р, Н)- у 2 -
Р1
Н- к3 - С (Р, Н)- к2 к1
у1
у3
Б>0,
- Р1 - а5 - у3 - к1 - Р - а1 - Р4 - у3 - к1 + Н - а1 - Р2 - у3 - к3 - Л
- Н - а2 - Р1 - у3 - к3 + Н - Р1 - у1 - а4 - к3 - Н - Р1 - а4 - у4 - к1 +
_ К
+ Н Р1 у3 аб к1
Аа1 - Р2 - у3 - к2 - а1 - Р3 - у3 - к1 - а2 - Р1 - у3 - к2 + Р1 - а3 - у3 - к1 +Л' + Р1 - у1 - а 4 - к2 - Р1 - а 4 - у2 - к1
V
У
1
u
w
-опт
ю тах
■sign
. (15)
Подставляя (20) в (16), интегрируя полученное выражение, и подставляя полученный результат в (10), имеем:
ґ А• (х0-хо) + В •(х1 -хі) + С • (х2-Х2) + Л + В • (х3 - хз) + Р • (х4 - Х4) + Н • (х5 - Х5)
При этом выражение (15) будет оптимальным по точности управлением, если при его подстановки в систему (1) будет выполняться условие (8), т.е.:
^4 + К1 р-Ыу
Rr Kr x1 -
A
Tr
x0
+ B-
Lss
+ p ■ X3 ■ X2 +
X1
TT
ss
+
Kr
L ■ T ss r
■ x0 +
V
2
+ Rr-Kr-X2 x0
J
3 '
2 Kr x2 ■ x0 -
V - Mc
+
J
x5 + K2 p’uw опт (Х)
L
ss
X2
Ts
p ■ X3 ■ X1
ss
Kr
L
p x3 x0
ss
Rr Kr
X1 ■ X2
x0
+ H ■
K 2 p
V V Mc
W ^ +
JJ
ф( x)
T 2
С(F,H)■ K2p H ■K2u
£ ф( X),
L
ss
t 2
u
ю тах-
(1б)
В качестве примера приведем данные моделирования переходных процессов асинхронного частотно-регулируемого электропривода с векторным управлением с асинхронным электродвигателем с короткозамкнутым ротором марки АИР56В4, при условии
Рном = 180 Вт, [Тном = 220/380[5](Д/У), /ном = 1.09/0.63[^](Д/У), Мном = 1.27[Н • м], Мпуск/Мном = 2.2, Ммах/Мном = 2.3, юном = 141[рад/с], ^ = 0.64, соб(ф) = 0.68, юхх = ию тах = 150[рад/с],
= 55[Ом], Яг = 29[Ом], Ьт = 1.2255[Гн], = 1.4295[Гн],
Lr = 1.2545[Гн], J = 0.00079[кг-м2], р = 2, Kr
L
m
Lr
1
1
лад
Т
55
Ку + Кг • Кг
-, К1 р = 1, К1ы = 10,
П = 0,5, ^2р = 1, ^2м = 5, Г2 = 2, ю_= 30[рад/с], Мс = 1[Нм],
у г _ = 0,8[Вб].
Подставляя указанные - О = 1, Р = 1 и полученные числовые значения - А=0,781, 5=0,005, С=-0.319, Я=1.042 в выражение (1), имеем наличие скользящего режима в управлении (рис. 1), выполнение условия устойчивости (рис.2) и оптимальный по точности сигнал скорости (рис. 3).
1 1;,сек
Рис. 1. Переходный процесс оптимального управления (15)
Рис.2. Переходные процессы функций (16) при управлении (15)
40
О
а
(Л
^ 35
8 | о Э ^ ех 30
В 8
I*
(Л
§
5
25
20
і, сек.
10
15
20
Рис. 3. Переходный процесс частоты вращения вала привода с оптимальным управлением (15)
Точность работы современных частотно-регулируемых асинхронных электроприводов обычно ограничивается ошибкой системы. Предлагаемое оптимальное управление позволяет свести ошибку систем автоматического регулирования к нулю (теоретически). Это повышает эффективность работы частотно-регулируемых асинхронных электроприводов и расширяет их функциональные возможности.
Список литературы
1. Усольцев А. А. Частотное управление асинхронными двигателями: учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 94 с.
2. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. Тула: Издательство ТулГУ, 2004. 152 с.
3. Рудаков В.В., Столяров И.М., Дартау В.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. / Л.: Энергоатомиздат, 1987. 136 с.
M. Prokofyev
Optimal in accuracy control of commercially manufactured asynchronous variable frequency electric drive.
Consideration is given to the solution of problem of obtaining optimal in accuracy control of asynchronous variable frequency electric drive shaft rotation speed basing on switching functions. The criteria of system stability is taken into account.
Key words: optimal in accuracy control, switching function.
Получено 02.11.10
УДК 681.513
М.Е. Прокофьев, инж.,
Б.В. Сухинин, д-р техн. наук, проф.,
В.В. Сурков, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-34, eeo@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ ПО КРИТЕРИЯМ ТОЧНОСТИ
Рассматривается «физический» подход к решению задачи точности на основе функций переключения. Показывается, что для нелинейных систем оптимальное по точности управление в общем случае состоит из n интервалов управлений, которые могут быть найдены один за другим по мере сжатия - расширения фазового пространства в процессе функционирования системы.
Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимальных по точности регуляторов, количество интервалов управлений.
Введение. В практике создания систем автоматического управления (САУ) аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) А.А. Красовского [1], несомненно, является наиболее приемлемым для
230
