Определение сопряженных точек для задачи восстановления трехмерных координат верхних плоскостей цилиндрических объектов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 681.3.01

С.Л. Балабаев, И.Ю. Балабаева, В.Г. Радецкий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК ДЛЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ВЕРХНИХ ПЛОСКОСТЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Введение

В рамках хоздоговорной работы «Разработка и внедрение системы бесконтактного определения разновысотности цилиндрических объектов», проводимой на кафедре по заказу НИИ МВС, для восстановления трехмерных координат точек использовались методы фотограмметрии. Один из ключевых вопросов при использовании такого подхода - это поиск сопряженных точек на изображениях исследуемой сцены, полученных с разных ракурсов. Для решения этого вопроса был разработан специализированный метод определения сопряженных точек на изображениях сцены реактора, полученных одной камерой с разных ракурсов. Метод основан на строгих геометрических закономерностях исследуемой сцены и включает два этапа. На первом этапе производится поиск 14 сопряженных точек (первичных), которые являются центрами эллипсов, образованных верхними гранями внешних и внутренних стенок цилиндров. На втором этапе производится поиск еще 72-х сопряженных точек (вторичных) для уточнения значений разновысотно-сти, определенных по первым 14 точкам.

Выбор первичных сопряженных точек

Используя систему параметров, определенных для эллипсов, соответствующих каждой верхней поверхности цилиндров в каждом из изображений серии, и выделив сопряженные точки, можно реконструировать трехмерную сцену.

Сопряженными точками для начала будут являться центры построенных эллипсов. Эти точки (пиксели) проще всего идентифицировать на изображениях, зная ракурс съемки каждого изображения и перемещения каждого цилиндра в изображении при смене ракурса.

Очевидно, что в идеальном случае, при правильно выбранном ракурсе (проекция линии зрения камеры перпендикулярна двум сторонам шестиугольника, образованного центрами крайних цилиндров соты и равной высоте установки цилиндрических объектов) соответствующие стороны, а также не пересекающая их диагональ шестиугольника будут параллельны. Т.е. на изображении центры эллипсов будут иметь только три значения координаты у: для ближней пары цилиндров, для дальней пары цилиндров, а также трех оставшихся в "соте" цилиндров. При переходе от одного ракурса к другому в этом случае (при соблюдении указанных идеальных условий) центры эллипсов будут иметь тот же набор координат в плоскости изображения.

В реальности высоты установки цилиндров могут отличаться друг от друга. В этом случае формируется 15 пар изображений:

изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 2 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 3 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 6

изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 3 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 4^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 4^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 5^ изображение с ракурса 6

В каждой паре выбираются сопряженные точки, соответствующие центрам эллипсов. По числу наблюдаемых в "соте" цилиндров их должно быть 7.

Выбор сопряженных точек

Поиск сопряженных точек иллюстрирует рис. . Точки пересечения линий, соединяющих центры цилиндров одной группы, с верхними эллипсами этих цилиндров являются точками, которые можно однозначно определить на каждом снимке, а значит и легко сопоставить их между снимками.

Рис. 1. Построение прямых, соединяющих центры эллипсов

Построение линий, соединяющих центры эллипсов

Первым этапом является нахождение уравнений прямых, соединяющих центры семи цилиндров, находящихся в “соте”. Известно, что уравнение прямой можно получить, зная координаты двух точек, принадлежащей этой прямой. Для шестнадцати прямых, изображенных выше (см.рис.1), такими точками являются:

а:: (хэ, уэ) и (х,, У4); а2: (х2, У2) и (Х4, у4); а3: (Х4, у4) и (Х7, У7); а4: (Х4, у4) и (х6, у6); а5: (Х4, у4) и (Х5, у5);

ав: (Х3, у3) и (Х5, У5); а7: (Х3, у3) и (Х6, у6); ав: (Х3, у3) и (Х7, У7); ад: (Х2, У2) и (Х3, у3); аю: (Х2, У2) и (Х4, У4) ап: (Х2,у2) и (Х5,У5) а12: (Х2, У2) и (Х6, у6) а13: (Х2, у2) и (Х7, у7) а14: (Х5, У5) и (Х7, У7) а15: (Х6, У6) и (Х7, У7) а16: (Х5, У5) и (Х6, У6)

Уравнение прямой а п, п = 1, 16 в общем виде выглядит следующим образом:

У = кпХ + Ьп ,

где кп и Ьп - коэффициенты, определяющие соответственно угол наклона прямой

и ее смещение вдоль оси ОУ относительно начала координат. Именно этими коэффициентами и определяется прямая.

Пусть прямая ап проходит через точки (х, у) и (х., у). Тогда справедлива следующая система уравнений:

| у, = КХ,+Ьп;

| У] = кХ1 + К

Откуда нетрудно выразить кп и Ьп :

кп =

у; - у

Х] - Х,

х, у - х,у.

Ь = 1'1 ]

Таким образом, можно найти коэффициенты всех шестнадцати прямых, подставляя вместо х, у, х; и у. координаты центров соответствующих эллипсов.

Определение точек пересечения прямых и эллипсов

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке М(хс, ус) имеет следующий вид:

(Х - Хс )2 , (у - ус )

2

+ -

а

Ь1

= 1.

Однако, в более общем случае, эллипс может быть повернут на некоторый угол ф относительно оси ОХ. Для получения уравнения, учитывающего такой по-

ворот, необходимо провести преобразование координат х и у по следующему законУ:

х = х • 008 р + у • 8ІП р; у' = у • 008 р — х • 8ІП р.

Таким образом, уравнение эллипса с центром в точке М(х0, у0) и повернутого относительно оси ОХ на угол ф принимает вид

(X • 008р + у • 8ІПр — хс )2 (у • 008р — X • 8ІПр — ус )2

Ь 2

= 1.

(1)

Рис. 2. Пять параметров произвольного эллипса

В общем случае существуют две точки пересечения прямой и эллипса. В случае касательной эти точки совпадают и являются точкой касания. Для нахождения точек пересечения эллипса, представленного уравнением (1), с прямой, представленной уравнением

у = ко • х + Ьо, (2)

подставляем в уравнение (1) вместо у правую часть выражения (2). Откуда

(х 008 р + (х + Ьо ) 8ІП р — хс ) + ()ох + Ьо ) 008 р — х 81П р — ус ) = 1

Ь2

(3)

Теперь, решив уравнение (3) относительно х, находим х-координаты точек пересечения:

(х 008 р + к0х 8ІП р + Ь0 8ІП р — хс )2 + (— х 8ІП р + к0х 008 р + Ь0 008 р — ус )2 = 1 ;

2 1 Т2 “1'

а Ь

(х(008р + к08ІПр) + Ь08ІПр — хс )2 + (х(— 8ІПр + к0008р)+ Ь0008р — ус )2 = 1.

2 1 Т2 =1

а Ь

2

а

а

Тогда

х2 (cosp + k0 sinp)2 + 2 x(cosp + k0 sinp)(b0 sinp - xc) + (b0 sinp - xc)

a2 +

2

+ x2 ( cos p - sin p)2 + 2x(k0 cos (p - sin p)(b0 cos (p - yc) + (0 cos (p - yc )2 _

b2

_ 1;

Или при a2- b2 ^ 0:

x 2b2 (cosp + k0 sinp)2 + 2xb2 (cosp + k0 sinp)(b0 sinp - xc) - 2xcb 2b0 sinp +

+ bgb2 sin2 (p + b2 x^ + x2 a2 (k0 cosp - sinp)2 + 2 xa2 (k0 cosp- sinp) ^ cosp- yc)-

^ 2 l , i 2 2 2 ,22 2 l 2 s\

- 2yca b0cosp+ b0a cos p + a yc -ab _ 0.

Преобразуем уравнение к виду x2(b2(cosp + k0 sinp)2 + a2(k0 cosp - sinp)2)+

+ x(2b2 (cos p + k0 sin p)(b0 sin p - kc) + 2a2 (k0 * cos p - sin p) cos p - yc ))-

- 2xcb2b0 sinp + b02b2 sin2 p + b2xc: - 2yca2b0 cosp + b02a2 cos2 p + a2y¿? - a2b2 _ 0.

Введем обозначения:

(b2(cosp + k0 sinp)2 + a2(k0 cosp - sinp)2)_ a1;

(b2(cosp + k0 sinp)(b0 sinp - kc) + 2a2(k0 cosp - sin p)(b0 cosp-yc ))_ ^;

- 2xcb 2b0sinp + b^b 2 sin2 p + b 2 xl - 2yca 2b0cosp + b0 a 2 cos2 p + a 2 y^ - a 2b 2 _ c1.

Тогда получаем обычное квадратное уравнение

x2 a1 + xb1 + c1 _ 0 ,

решение которого

x _- bx b\ - 4a1c1

x1,2 ^

2flfj

дает x-координаты искомых точек пересечения эллипса, заданного уравнением (1) и прямой, заданной уравнением (2).

Для нахождения y-координат этих точек подставим их x-координаты в уравнение (2). Откуда

7 U 7 - b1 + Vb12 - 4a1c1 U

y _ k0x1 + b0 _ k0--------h------------+

2a1

1 U 7 - b1 -Л\b1 - 4a1c1 7,

У 2 _ k0 x2 + b0 _ k0 ~ + b0.

2a1

В рамках решаемой задачи необходимо найти точки пересечения каждого периферийного эллипса с пятью прямыми. Это дает по десять точек на каждом из периферийных эллипсов. Для центрального эллипса необходимо найти точки его пересечения с тремя прямыми, что даст на нем шесть точек.

Рис. 3. Пересечение эллипсов и прямых

Таким образом, на каждом изображении необходимо найти точки пересечения эллипсов с прямыми, как это показывает рис.3:

эллипса БЬ1 с прямыми а13, а14 и а15; эллипса БЬ2 с прямыми а2, а3, а8, а10 и а13; эллипса БЬ3 с прямыми а3, а4, а9, а10 и а11; эллипса БЬ4 с прямыми а4, а5, а10, а11 и а15; эллипса БЬ5 с прямыми а5, а6, а11, а12 и а13; эллипса БЬ6 с прямыми а1, а6, а8, а12 и а14; эллипса БЬ7 с прямыми а1, а2, а7, а8 и а9.

Выбор сопряженных точек в двух изображениях

В результате нахождения точек пересечения прямых, соединяющих центры периферийных эллипсов со всеми эллипсами “соты”, получаем 66 точек (рис.4). Дополнительные шесть точек дают нам сами центры цилиндров.

Следующее изображение сцены формируется с ракурса, как показано ниже (рис.5рис. ):

Тогда, на снимке, полученном с ракурса 2, эллипсы БЬ1-БЬ7 преобразуются следующим образом:

БЬ1 ^ БЫ’

БЬ2 ^ БЬ2’

БЬ3 ^ БЬ3’

БЬ4 ^ БЬ4’ БЬ5 ^ БЬ5’ БЬ6 ^ БЬ6’ БЬ7 ^ БЬ7’.

Рис.4. Точки пересечения эллипсов и прямых

1

Рис. 5. Ракурсы съемки сцены

точки, пронумерованные выше (рис.6 рис), будут расположены на новом изображении следующим образом:

Рис. 6. Соответствие точек центров эллипсов и точек пересечения эллипсов и

прямых

Заключение

В результате использования этого метода получается два набора сопряженных точек. По первому из них производится первичная приблизительная оценка разно-высотности, дающая общее представление о разбросе высот цилиндрических объектов в «соте». В случае сильного разброса результатов измерения высоты корректируются, и оценка разновысотности начинается сначала. В случае же если обработка первого набора сопряженных точек покажет равенство высот всех цилиндрических объектов в «соте», производится уточнение результатов при помощи обработки второго набора сопряженных точек. Предложенная двухэтапная методика контроля разновысотности позволяет избежать вычислительно - емкого процесса обработки 72-х точек для «сот» со значительным разбросом высот цилиндрических объектов.

УДК 621.398.6

С.Л. Балабаев, В.Г. Радецкий, К.Е. Румянцев

ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ РАЗНОВЫСОТНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Введение

Одним из приоритетных направлений в области бесконтактного определения и измерения геометрических параметров объектов является создание телеметрических систем контроля, позволяющих получать изображение измеряемых объектов