CC BY
129
УДК 621.313.12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЛЬСОТРОНОВ. Ч. 2. РАСЧЕТ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ ТОКЕ
Г.В. Носов
Томский политехнический университет E-mail: nosov@nosov.tpu.ru
Получены формулы для расчета параметров рельсотронов при синусоидальном токе и неравномерной плотности тока. Определены такие параметры, как средняя магнитная индукция в пространстве между шинами рельсотрона, индуктивность, сопротивление, максимальная температура поверхности шин при их адиабатном нагреве, а также механическое напряжение в шинах. Фактором, определяющим возможности рельсотронов для ускорения тел, является существенное повышение температуры поверхности шин, что может привести к их расплавлению и однократному использованию рельсотрона. Достоверность полученных формул подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами компьютерного моделирования при определении индуктивности и сопротивления рельсотронов.
Ключевые слова:
Рельсотрон, шина, параметр, синусоидальный ток, неравномерная плотность тока, индукция, индуктивность, механическая сила, механическое напряжение, адиабатный нагрев шин, сопротивление.
Key words:
Railgun, tire, parameter, harmonic current, non-uniform current density, induction, inductance, mechanical force, mechanical tension, adiabatic heating of tires, resistance.
Рассмотрим установивший режим с синусоидальным током
/(О = + ф), (1)
имеющим действующее (среднеквадратичное) значение I и угловую частоту со=2ж/. В этом режиме будут наблюдаться поверхностный эффект и эффект близости [1], приводящие к неравномерной плотности тока при средней действующей плотности тока 50 [2].
Для расчета действующих значений магнитной индукции, подобно [2], воспользуемся законом полного тока и принципом наложения [3]:
В =
В =
b + с + 2а Мо1 ,
2(b + с + 2а) 4(b + с) 4(b + с +1,75а)
В Мо1 - В1С .
В, —-------------------.
2b + с
В —
Мо1 - Во(с + а )
(2)
(3)
(4)
(5)
— C1 exp
x - о, 5а
К
- C2 exp
x - о, 5а - b
К
(7)
в) x>0,5a+b
(x) — 3(x) — -B2 exp[-a(x- о,5а- b)],
£у2(0,5а) = Яр Ву2 (0,5а + Ъ) = -£2;
2сА1 = (2Ъ + 2с)А 0 определяем постоянные величины
= 1 + ^ехр(~ь/ А1) ; = в+ ехр(- Ъ/А 1) ;
1 1 - ехр(-2Ъ/ А1) 1; 2 1 - ехр(-2Ъ/А1) 1;
А1 = ^1 + ~ |А о (9)
при расчетных коэффициентах а, в из [2] и эквивалентной глубине проникновения электромагнитного поля в проводящее полупространство с постоянной удельной проводимостью у [3]:
Ко —
2
Моїсо
(10)
На рис. 1 приведены характерные графики распределения проекции вектора магнитной индукции на ось у, рассчитанные по (6-10).
2Ъ + с + 3а
При х>0 и -0,5с<у<0,5с [2] учтем приближенно проекцию вектора магнитной индукции на ось у следующим образом:
а) 0<х<0,5а
Я(х) = Ву1( х) = А; (6)
б) 0,5а<х<0,5а+Ь
Я (Х) = Я2 (х) =
причем из уравнений на поверхности шины 1 [2]
Рис. 1. Распределение проекции вектора магнитной индукции на ось у при частотах/: 1) -/=/1-^0; 2) -/=/¡>/1;
3) -///
С учетом (6, 7) найдем потокосцепление рельсотрона (Вб/м):
¥=¥1 + 2^2 =
: аВ + 2 I
Ь - (х - 0,5а)
В2 (х) \ йХ = V, (11)
тогда на основании (3, 7, 9, 11) индуктивность рельсотрона составит (Гн/м):
г ¡л01(\ + 2,3125Я + 0,875А2) х
^о Х
0 (1 + 2 А)(1 +1,75 Я)
1 + ^х
(Ь/ ¿1)
1 + 2 в ехр(-Ь/А1) + ехр( -2 Ь/А1)
5т1 =5(0,5а) = 8о{Ь ¿2) х (1 + в)
1 + 2в ехр(-Ь/ А 2) + ехр(-2Ь/ А 2) 1 - ехр(-2Ь/ А 2)
(18)
5т 2 = 5(0,5а + Ь) =
50 (Ь/¿2),
1 - ехр(-2Ь/ А1)
1 + в
(1 + в)
в + 2ехр(-Ь/ А 2) + вехр(-2Ь/А 2)
(19)
(12)
(V А1)
где Я=а/(Ь+с), %=Ь/а.
Далее, учитывая составляющую индукции на интервале 0,5а<х<0,5а+Ь
1 - ехр(-2Ь/ А 2)
На рис. 2 приведен характерный график распределения по шине 1 действующей плотности тока (14).
,3(х)
х - 0,5а
А-
-С4 ехр
х - 0,5а - Ь А
(13)
запишем соотношение для действующей плотно-
5( х) = ■
К 5 2 К5С3 Г х-0,5а^ « 4 1 , 1 ,
М0 ах = —5—3 ехр ^0А 2 - мА ^ 1 0,5а 0,5 а+Ь
К5С4
+ 5 4ехр
М0А 2
х - 0,5а - Ь А
(14)
где из уравнений для (13)
Ву2(0,5а) = В1; Ву2(0,5а + Ь) = -£2;
(2Ь + 2с) А 2 = 2ЬА 0
имеем
С = 1 + вехр(-Ь/А2) В ;
3 1 - ехр(-2^ а 2) 1;
С4 = в + ехр(-уА,) ^ ^ „ 11°8Ь А0. (15)
1 - ехр(-2Ь/ А 2) Ь + с
Поправочный коэффициент К5 найдем с учетом (14, 15) из уравнения для средней действующей плотности тока:
05а+Ь (1 + в) К5 В (16)
Рис. 2. Характерное распределение по шине 1 действующей плотности тока: 5т1, 5т2 - максимальные значения; 50 - среднее значение; Ат - толщина слоя с максимальной плотностью тока 5т1
На основании (14), подобно диффузии синусоидального электромагнитного поля в проводящее полупространство [4], запишем мгновенное значение плотности тока
Т2к5с3
5(х,г) = ’" 5 3 ехр
М0 А 2 Г
X 005
х - 0,5а А,
х - 0,5а ] ------;----- +
А
2 У
л/2К^4 М0 А 2
ехр
/ 1 Г
5„= — = - | 5(х)йх:
Ьс Ь
М0Ь
X 005
юг +
х - 0,5а - Ь
х - 0,5а - Ь А
(20)
тогда
К5 =
М0Ь50
(1+в) В (17)
В результате на основании (15-17) максимальные значения действующей плотности тока (14) будут равны:
тогда в шинах рельсотрона с постоянной удельной проводимостью у мощность тепловых потерь [3, 4] составит (Вт/м):
г» 0,5а+Ь ч Т
2с г 1
Р = — I 7 /5(х,г)2а
^ 0,5а _Т 0
где Т=2п/ю - период тока (1).
йх,
(21)
0,5а
х
0,5а
В результате с учетом (20, 21) можно найти сопротивление рельсотрона (Ом/м):
(22)
При сильном поверхностном эффекте, когда А0<<Ь, А0<<с и формулы (20-22) дают заметную погрешность, сопротивление рельсотрона можно рассчитать по приближенному соотношению:
1
(23)
У(Ь + с)КА (f,r, Ь/с)А 0 ’
где КА(/,у,Ь/е)х0,5...1,3 - поправочный коэффициент при /=500.5000 Гц; у=12,5-1061/Ом-м; Ь/с=0,66...1,64.
Из уравнения
5т1АтС = 50Ьс = 1
с учетом (16, 18) найдем толщину слоя Ат (рис. 2) с максимальной действующей плотностью тока 5и1
А т = 5 Ь = А 2(1 +в) х
5т1
1 - exp( -2b/ А 2)
1 + 2в exp(-b/A2) + exp(-2ЬА2) и максимальным повышением температуры (°С)
(24)
exp
=-
7оСо Ро
-1
(25)
а„
при адиабатном нагреве [2] за один радиоимпульс тока: длительность т, действующее значение I, угловая частота гармонического заполнения ю.
100
тока 5т1 от относительной ширины шины Ь/А2 при различных параметрах в. На рис. 5 для шин из бе-риллиевой бронзы [2] приведены графики зависимости длительности радиоимпульса т от максимальной плотности тока 5т1 при максимальном повышении температуры Эш (25) слоя толщиной Ат.
Графики зависимости относительной толщины слоя Ат/А2 с максимальной плотностью тока 5т1 ототно-сительной ширины шины Ь/А2 при параметре: 1 -Р=0,2; 2 - р=0,4; 3 - р=0,6; 4 - р=0,8; 5 - в=1
Ускоряющую тело механическую силу / можно найти приближенно как в [2] при воздействии радиоимпульса тока с действующим значением I и длительностью т.
Действующее значение механической силы давления магнитного поля на одну из шин, например, шину 1 [2], направленную вдоль оси х, рассчитаем следующим образом [3, 4]
х
(х) = с | 5(х)Ву 2 (х)] ^
0,5а
причем при сильном поверхностном эффекте максимум этот силы составит (Н/м)
В150Ьс
2
(26)
мсА т 10000
1000
100
Рис. 3. Графики зависимости относительной максимальной плотности тока 5т/50 от относительной ширины шины Ь/А2 при параметре: 1 - р=0,2; 2 - р=0,6; 3 - в=1
На рис. 3 приведены полученные по формуле (18) графики зависимости относительной максимальной плотности тока 5т1/50 от относительной ширины шины Ь/А2 при разных параметрах р. В свою очередь на рис. 4 указаны рассчитанные по формуле (24) графики зависимости относительной толщины слоя А„/А2 с максимальной плотностью
2 4 6 8 кА/м»Г
Рис. 5. Для шин из бериллиевой бронзы графики зависимости длительности радиоимпульса т от максимальной плотности тока Sm1 при максимальном повышении температуры 9m слоя толщиной Am: 1 - 225; 2 - 450; 3 - 900 °С
Для оценки механической прочности шины от действия силы (26) найдем максимум механического напряжения в шине (Н/м2)
а
ВА ь
2
(27)
которое не должно превышать допустимого напряжения <гдоп материала шины.
Таблица 1. Индуктивность и сопротивление рельсотронов при =12,5-1061/Ом-м
Исходные данные ELCUT Расчет Погреш- ности
а с Ь 1 ^0Е Lo «0 5 5ц
мм Гц мкГн/м мкОм/м мкГн/м мкОм/м %
0 0,398 266,67 0,402 266,67 0,9 0
5 0,398 266,67 0,401 256,2 0,9 4
10 30 20 50 0,397 269,6 0,398 229,5 0,3 14,9
500 0,369 434,8 0,374 433,3* 1,1 0,3
5000 0,281 1478,6 0,300 1472* 6,8 0,5
0 0,463 100 0,468 100 1,2 0
5 0,463 101 0,467 91,3 0,9 9,6
20 40 40 50 0,456 108,4 0,458 101,9 0,5 6
500 0,386 280,8 0,407 280,5* 5,5 0,1
5000 0,319 994,2 0,319 998,7 0 0,5
0 0,489 53,33 0,496 53,33 1,4 0
5 0,489 53,52 0,494 46,2 1 13,6
30 50 60 50 0,464 67,2 0,478 72,4 3,1 7,7
500 0,389 211,2 0,409 228,7 5 8,3
5000 0,332 730,2 0,321 723,1 3,3 1
0 0,508 33,33 0,511 33,33 0,6 0
5 0,507 33,6 0,508 27,9 0,2 16,8
40 60 80 50 0,486 50,6 0,485 57,3 0,2 13,3
500 0,389 171,9 0,403 180,7 3,6 5,1
5000 0,312 517 0,320 516* 2,6 0,2
0 0,520 22,86 0,521 22,86 0,2 0
5 0,518 23,3 0,516 19,1 0,3 17,8
50 70 100 50 0,478 41,5 0,485 47,5 1,6 14,4
500 0,389 145,3 0,396 149,9 1,7 3,2
5000 0,320 408,2 0,318 408,4* 0,5 0,04
0 0,526 16,67 0,528 16,67 0,3 0
5 0,522 17,3 0,521 14,5 0,1 16,3
60 80 120 50 0,469 35,7 0,483 40,6 3 13,7
500 0,387 129,8 0,388 128,3 0,3 1,2
5000 0,306 267,2 0,317 268,5* 3,5 0,5
0 0,528 12,7 0,532 12,7 0,8 0
5 0,522 13,5 0,525 11,8 0,5 12,6
70 90 140 50 0,461 31,5 0,479 35,5 3,9 12,7
500 0,384 117,7 0,381 112,2 0,7 4,7
5000 0,328 205,4 0,315 205,9* 3,9 0,2
0 0,533 10 0,536 10 0,6 0
5 0,523 10,9 0,526 10,1 0,6 7
80 100 160 50 0,454 27,7 0,474 31,5 4,4 13,9
500 0,386 102 0,375 99,8 2,8 2,2
5000 0,317 175,5 0,314 175,1* 1 0,2
0 0,533 8,08 0,539 8,08 1,1 0
5 0,517 9,18 0,527 9 2 2,1
90 110 180 50 0,447 25,9 0,468 28,4 4,8 9,7
500 0,378 85,7 0,370 89,8 2,1 4,8
5000 0,310 106,5 0,313 105,9* 0,8 0,6
же действующим значением I, то для расчета приближенных усредненных значений повышения температуры шин 3, удельной проводимости у, скорости тела Ут и длины рельсотрона 1Р можно воспользоваться формулами [2]. При этом значения индуктивности Ь0 и сопротивления Д следует брать по (12) и (22, 23) соответственно.
Достоверность формул (2-23) при параметре Я=а/(Ь+с)<1 подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами компьютерного моделирования по программе ELCUT [5]: относительные погрешности вычисления индуктивности 5 не превышают 7,8 %, а сопротивления 5Е- 18 %, причем результаты расчета Д по (23) обозначены * (табл. 1, 2).
Таблица 2. Индуктивность и сопротивление рельсотронов при у=50 ■ 101/Ом- м
Исходные данные ELCUT Расчет Погреш- ности
а с Ь 1 LoЕ %Е и «0 5и 5ц
мм Гц мкГн/м мкОм/м мкГн/м мкОм/м %
0 0,398 66,67 0 ,402 66,67 0,9 0
5 0,398 66,8 0 ,400 59,1 0,6 11,5
10 30 20 50 0,386 77 0 ,389 86,5 0,7 12,3
500 0,309 224,8 0,333 224,4* 7,7 0,2
5000 0,253 789 0,258 786,9* 1,9 0,3
0 0,463 25 0,468 25 1,2 0
5 0,461 25,4 0,464 21,1 0,7 16,9
20 40 40 50 0,430 43,3 0,436 50 1,3 15,6
500 0,339 148,8 0,352 157,9 3,9 6,1
5000 0,274 452,2 0,282 451,6* 2,9 0,1
0 0,489 13,33 0,496 13,33 1,4 0
5 0,484 14 0,488 12,2 0,9 12,7
30 50 60 50 0,427 32,3 0,444 36,2 4 11,9
500 0,350 118,8 0,352 114,3 0,4 3,8
5000 0,287 224,4 0,290 225,8* 1 0,6
0 0,508 8,33 0,511 8,33 0,6 0
5 0,493 9,4 0,499 9,1 1,3 3,3
40 60 80 50 0,421 26 0,442 28,6 4,9 9,9
500 0,356 96,9 0,347 90,4 2,4 6,7
5000 0,306 162,4 0,293 163,1* 4,1 0,4
0 0,520 5,72 0,521 5,72 0,2 0
5 0,504 7,1 0,504 7,5 0 5,6
50 70 100 50 0,416 21,7 0,436 23,7 4,7 9,2
500 0,359 77,8 0,343 75 4,5 3,6
5000 0,280 108 ,5 0,295 108,2* 5,4 0,3
Если синусоидальный ток (1) рассматривать как воздействие радиоимпульса длительностью т с тем
Увеличение частоты тока / приводит к усилению поверхностного эффекта, возрастанию максимальной плотности тока 5т1, максимального повышения температуры 3т и к уменьшению длительности т радиоимпульса тока. При этом уменьшается индуктивность 10, снижается ускоряющая сила / и увеличивается сопротивление Д, причем такое изменение Х0, / и Д возрастает с увеличением удельной проводимости у материала шин рельсотрона. Значения Ь0 и Д, полученные по формулам (12) и (22) при/^0, совпадают с результатами расчета в [2].
Таким образом, по полученным формулам (1-27) можно рассчитывать параметры рельсотро-нов при синусоидальном токе.
с
Выводы
1. Предложена методика расчета параметров рель-сотронов при синусоидальном токе, позволяющая оценивать возможности рельсотронов при неравномерной плотности тока.
2. Фактором, определяющим возможности рель-сотронов для ускорения тел при синусоидальном токе, является существенное повышение
температуры поверхностного слоя шин, что может привести к их расплавлению и однократному использованию рельсотрона.
3. Достоверность полученных формул подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами расчета индуктивности и сопротивления, полученными при помощи компьютерного моделирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Теория электрических аппаратов / под ред. проф. Г.Н. Александрова. - М.: Высшая школа, 1985. - 312 с.
2. Носов ГВ. Определение параметров рельсотронов. Ч. 1. Расчет при постоянной плотности тока // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т. 322. - № 4. - С. 65-69.
3. Татур ТА. Основы теории электромагнитного поля. Справочное пособие. - М.: Высшая школа, 1989. - 271 с.
4. Немков В.С., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. - Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 280 с.
5. Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности. Ч. 1 / под общей ред. канд. техн. наук А.С. Глазырина. -Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. - 199 с.
Поступила 11.01.2013 г.
УДК 621.374
СТАДИАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРОИМПУЛЬСНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В.И. Курец
Томский политехнический университет E-mail: kuretz@tpu.ru
Предложена методика определения размеров калибровочных отверстий в заземленных электродах на промежуточных стадиях электроимпульсного измельчения сырья. Показано, что использование стадиального разрушения существенно уменьшает удельные затраты энергии.
Ключевые слова:
Электроимпульсное измельчение, стадиальность, энергозатраты.
Key words:
Electric pulse crushing, stage, energy expenditure.
Одним из наиболее эффективных методов селективной дезинтеграции твердых неоднородных тел, включая горнорудное сырье, искусственные материалы и т. д., является электроимпульсный способ, использующий в качестве инструмента воздействия энергию электрической импульсной искры, сформированной в толще твердого тела [1].
Такой способ разрушения сырья позволяет обеспечивать растягивающие и сдвиговые нагрузки в материале, селективность дезинтеграции как по крупности, так и по неоднородностям в материале, отсутствие существенного заражения готового продукта аппаратурным металлом и т. д. [1]. Эти преимущества электроимпульсного способа обеспечивает его конкурентоспособность по сравнению с традиционными механическими способами разрушения. Однако этот способ имеет существенные недостатки, связанные с принципами его реализации. Электроимпульсные установки, как правило, состоят из генератора высоковольтных импульсов или нескольких генераторов, рабочей
камеры, имеющей высоковольтные электроды и заземленный электрод-классификатор, калибровочные отверстия в котором соответствуют максимальному размеру крупности готового продукта. Сырье загружается в камеру на электрод-классификатор, на высоковольтные электроды подаются высоковольтные импульсы, которые формируют электрический разряд в толще каждого куска сырья, разрушая его.
Таким образом, каждый акт воздействия имеет локальный характер в отличие от работы традиционных механических аппаратов, где в процесс разрушения вовлекается практически весь материал за один оборот в мельницах или дробилках. Поэтому по производительности разрушения элек-троимпульсный способ значительно уступает традиционным механическим способам. Кроме того, при электроимпульсном разрушении постоянно изменяется гранулометрический состав исходного сырья. При этом осколки материала, последовательно уменьшая свой размер в процессе разруше-
