CC BY
206
Электроэнергетика
УДК 621.313.12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЛЬСОТРОНОВ.
Ч. 1. РАСЧЕТ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ ТОКА
Г.В. Носов
Томский политехнический университет E-mail: nosov@nosov.tpu.ru
Получены формулы для расчета параметров рельсотронов при постоянной усредненной плотности тока. Определены такие параметры, как средняя магнитная индукция в пространстве между шинами рельсотрона, индуктивность, силы и механическое напряжение в шинах, сопротивление сучетом адиабатного нагрева шин, максимальная скорость тела идлина рельсотрона. Факторами, определяющими возможности рельсотронов для ускорения тел, являются усредненная плотность тока, прочность и повышение температуры шин, поэтому необходимо применять для изготовления шин высокопрочные материалы с максимально большой удельной проводимостью, например, бериллиевую бронзу. Достоверность полученных формул подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами расчетов, проведенными по другим методикам.
Ключевые слова:
Рельсотрон, шина, параметр, ток, постоянная плотность тока, индукция, индуктивность, механическая сила, механическое напряжение, адиабатный нагрев шин, сопротивление.
Key words:
Railgun, tire, parameter, current, constant current density, induction, inductance, mechanical force, mechanical tension, adiabatic heating of tires, resistance.
В настоящее время для применения в космической и военной технике, а также для научных исследований рельсотроны рассматриваются как перспективные электромагнитные ускорители тел до скоростей, достигающих 10 км/с и более [1, 2].
Поэтому расчет параметров рельсотронов представляется актуальной задачей. Рельсотрон является электромеханической установкой, преобразующей электромагнитную энергию импульса тока в механическую энергию ускоряемого тела и состоящий из двух параллельных шин (рельсов), между которыми движется ускоряемое тело, рис. 1.
При импульсном токе i(t) в шинах будут наблюдаться поверхностный эффект и эффект близости
[3], приводящие к неравномерной плотности тока.
Неравномерность плотности тока зависит от формы и длительности импульса тока, удельной проводимости у материала шин и размеров рельсотрона. В первом приближении будем полагать, что импульс тока i(t) прямоугольный, имеющий длительность т и постоянную амплитуду, равную действующему значению I. При этом поверхностный эффект и эффект близости примем незначитель-
Рис. 1. Принципиальная схема рельсотрона: 1, 2 - одинаковые шины; 3 - ускоряемое тело; у(1) - скорость тела; Щ - расстояние, пройденное телом в рельсотроне; 1(1) - электрический ток; а, Ь, с - размеры ускоряемого тела и шин рельсотрона
ными, а плотность тока как усредненную величину будем считать приближенно постоянной:
> Ьс • (1)
причем при постоянном во времени токе /(/)=Т=сош1 поверхностный эффект и эффект близости полностью отсутствуют и плотность тока постоянна [4].
Для расчета магнитной индукции воспользуемся законом полного тока и принципом наложения
[4] применительно к расчетной схеме рельсотрона, рис. 2.
Вп
В,,
¡Г г В2 я/2 і *
1 11,4 ат 2 ¡1 1В1 1 Ви
1 1 1 1 ь в! № '1$2 \ в,
1 Вл+ і в2 і
В — В — •
ВЛ1 ВЛО
2Ь + 2с + 4а Мо1
В Мо1 .
А, —---------------.
2Ь + 2с
В12 —
2Ь + 2с + 3,5а ()
Далее на основе принципа наложения находим
В0 + (В11 + Ви)
В0 В01 + В02 . В1 '
2
(3)
б) 0,5а<х<0,5а+Ь (верхний знак) и -0,5а-Ь<х<-0,5а (нижний знак)
Ву (х) — Ву 2 (Х) — В1
1 _ (1 + в)(х + 0,5а)
(6)
в) х<0,5а+Ь (верхний знак) и х<-0,5а—Ь (нижний знак)
Ву (х) — Ву3 (х) — -В2 • ехр[+а(х + 0,5а + Ь)], (7)
при расчетных коэффициентах
2. а — — 1п
(ВЛ
V В3 у
в— ^ —
В
— 0,5(1 + 2Я)(2 + 3,5Я) 1 -&
— (1 + £Я)(0,875Я2 + 2,3125 Я+1) 1 + £Я и геометрических параметрах
а
$—-; Я — а Ь + с
< 1.
<1 (8)
(9)
Рис. 2. Расчетная схема рельсотрона: 1, 2 - одинаковые шины с током 1(1), направленным «от нас» и «к нам» соответственно; ВС1 и В11 - магнитные индукции, создаваемые током 1-й шины; В02 и В12 - магнитные индукции, создаваемые током 2-й шины; В0 - результирующая магнитная индукция в центре пространства между шинами рельсотрона, создаваемая током 1-й и 2-й шин; В - средняя результирующая магнитная индукция в пространстве между шинами рельсотрона, создаваемая током 1-й и 2-й шин; В2 и В3 - результирующие магнитные индукции, создаваемые током 1-й и 2-й шин; /л0=4п-1Сг7 Гн/м - магнитная проницаемость материала шин и пространства вокруг них
Если принять магнитные индукции постоянными на контурах интегрирования, тогда для амплитуды тока /(0=1 их значения составят:
М01
/ В1 Вуг(ху \ -а-Ъ -%Ъа-Ъ/ -О^а А(х) Вуі(х) I 0 О^а \0,5а+Ъ а+Ъ х
■—Ї /. і ВуэС^^ -Вз 1 * \1 * ^ \/ВЛх)
-В
Рис. 3. Распределение проекции вектора магнитной индукции на ось у
С учетом (5, 6) найдем потокосцепление на единицу длины рельсотрона (Вб/м):
V — Vl + V —
0,5а+Ь ггь-(х-0,5а) 1 ]
— аА + 2 | ^ -------- ----- Ау2(хПйх,
тогда
V —
(2 -в)Ь
А.
(10)
а из уравнений
М01 — А1с + В2 (2Ь + с);
М01 — В0 (с + а) + В3 (2Ь + с + 3а), составленных по закону полного тока, определяем
В М01 - А1с . В М01 - А0(с + а) (4)
2 2Ь + с . 3 2Ь + с + 3а
С учетом рис. 2 на интервале -0,5с<у<0,5с
представим приближенно проекцию Бу(х) вектора магнитной индукции на ось у следующим образом (рис. 3):
а) -0,5а<х<0,5а
Ву(х) — Ву1( х) — В1. (5)
В результате на основании (2, 3, 10) определяем индуктивность рельсотрона (Гн/м):
(2 -вМ
¿0 — у = М0
1+-
(0,875Я2 + 2,3125Я + 1)Я
(11)
(1 + 1,75Я)(1 + 2Я)
На рис. 4 и 5 приведены графики зависимостей параметра в и индуктивности (11), полученные с учетом (8, 9).
Ускоряющую тело механическую силу найдем с использованием (11) приближенно как при постоянном во времени токе [4]
й
й/ (/)
V(*)•/(*)2
- ¿0.
(12)
0.5 а
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис 4. Графики зависимости коэффициента р от геометрического параметра Я рельсотронов
> мкГн
м 1
^=0,5
0,5 -—
> Я
С ) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 '
Рис. 5. Гоафики зависимости индуктивности Ц от геометрического параметра Я рельсотронов
Механическую силу давления магнитного поля на одну из шин, например, шину 1 (рис. 2), направленную вдоль оси х, рассчитаем следующим образом [4]
К (х)— с | 8 В 2(х)]
0,5а
К (х) — 41 (х - 0,5а)
Ь
1 - (1 + в)(х -0,5а)
2Ь
Сила (13) имеет максимальное значение
к — В1/
хт 2(1 + в)
при координате
х — хт — 0,5а +
1+в’
(13)
(14)
(15)
причем результирующая сила на основании (13) при х=0,5а+Ь равна
В11 (1 -в)
2 .
К
(16)
2(1 + вК
-(х - 0,5а)
К (х) =
с
1 - (1 + в)(х-0,5а) 2Ь
которое будет иметь максимальное значение
— В» — В11
хт с 2(1 + в) с
-<^
, (17)
(18)
при координате (15), причем значение (18) не должно превышать допустимого напряжения <гдоп материала шины. На рис. 6 приведена характерная относительная зависимость внутреннего механического напряжения в шине, полученная по формуле (17).
(х-0,5 а)/Ь
0,2 0,4 0,6 0,8 '
Рис. 6. Характерная относительная зависимость внутреннего механического напряжения в шине
Далее при удельной проводимости материала шин [3]
7 —
Ї0
1 + а*З
(19)
тогда с учетом (1, 6) при 0,5а<х<0,5а+Ь имеем силу на единицу длины (Н/м)
исходя из уравнения адиабатного процесса их нагрева
802 йґ — йЗ
Ї0 С0 р0 1 + аяЗ
находим повышение температуры шин за один импульс тока длительностью т (°С):
ехр
З —-
Ї0 С0 Р
1
0 у
а
(20)
где у0, а С0, р0 - соответственно удельная проводимость (1/Ом-м), температурный коэффициент сопротивления (1/°С), удельная теплоемкость (Дж/°С-кг) и объемная плотность (кг/м3) материала шин при начальной температуре 60.
На основании (19, 20) определяем усредненное сопротивление шин на единицу длины (Ом/м):
Для оценки механической прочности шины от действия силы (13) найдем внутреннее механическое напряжение в шине (Н/м2)
*0 —-]-т
* п 2С0 р0
1 1*2(1 + аЗ йт —
Ї0Ьс
а*802тЬс
ехр
2
а*80т 0С0р0 у
-1
(21)
Таблица 1. Индуктивность и индукция рельсотронов при 50=ЮА/мм2иа=30 мм
Дано по [5] по [6] Расчет Погрешности
с Ь I ¿0К ¿0Е в ¿0 в йк % %
мм МА мкГн/м Тл мкГн/м Тл %
20 0 2 0, 800 0 ,771 4,055 0 ,7821 4, 252 2 19 1, 44 4, 86
30 0 3 0 754 0 734 5,119 0 7222 5 ,260 4 21 1,61 2 76
10 60 0 6 0, 684 0 670 7,185 0 6570 7,131 4 00 1,95 0 74
90 0 9 0 652 0, 636 8,527 0 6380 8,216 2 15 0,25 3, 65
120 1 2 0 632 0 612 9,499 0 6298 8 , 934 0, 40 2,91 5, 95
10 0 2 0 720 0 700 4,094 0 ,7103 4,252 1, 32 1,47 3 87
20 0 4 0, 688 0 641 6,954 0 6591 7,013 4 22 2,83 0, 85
20 30 0 6 0 667 0, 634 9,038 0 6336 9,036 5, 04 0,07 0 02
60 1 2 0 632 0 610 13,167 0 6063 12,943 4, 08 0,60 1, 70
90 1 8 0 614 0 593 15,782 0 6006 15,273 2 20 1,29 3 22
120 2 4 0 603 0 579 17,707 0 6002 16,842 0, 48 3,66 4, 88
10 0 3 0 614 0 573 5,421 0 5942 5,260 3 23 3,70 2 97
20 0 6 0 605 0, 554 9,343 0 5760 9,036 4, 84 3,96 3, 28
30 30 0 9 0 599 0 553 12,158 0 5678 11,938 5 20 2,68 1, 81
60 1 8 0 587 0, 560 18,246 0 5639 17,791 3, 98 0,69 2, 49
90 2 7 0 582 0 555 22,173 0 5682 21,411 2 16 2,37 3, 44
120 3 6 0 576 0, 548 24,999 0 5735 23,896 0 50 4,65 4 41
10 0 4 0 537 0, 503 6,481 0 5159 6,024 3, 85 2,56 7, 05
20 0 8 0 541 0, 495 11,183 0 5143 10,612 4 89 3,90 5 ,11
40 30 1 2 0 544 0 507 14,927 0 5162 14,263 5 04 1,81 4 45
60 2 4 0, 548 0 525 22,912 0 5276 21,909 3 78 0,49 4 38
90 3 6 0 551 0 526 28,153 0 5393 26,802 2, 06 2,53 4, 80
120 4 8 0 552 0 526 31,996 0 5492 30,230 0 49 4,42 5 52
10 0 6 0 430 0, 404 7,814 0 4132 7,131 3 81 2,27 8 74
20 1 2 0, 446 0 415 14,111 0 4268 12,943 4 39 2,83 8 28
60 30 1 8 0 459 0 431 19,162 0 4389 17,791 4 42 1,83 7 15
60 3 6 0, 484 0, 463 30,430 0 4683 28,548 3 30 1,15 6 19
90 5 4 0, 499 0 473 38,097 0 4901 35,844 1, 79 3,62 5 91
120 7 2 0 509 0, 480 43,733 0 5068 41,145 0 37 5,58 5 92
10 0 9 0 331 0 314 9,033 0 3215 8,216 2, 99 2,40 9 05
20 1 8 0 354 0 327 16,700 0 3424 15,273 3, 34 4,71 8 54
90 30 2 7 0 373 0 347 23,300 0 3603 21,411 3 36 3,83 8 ,11
60 5 4 0 412 0, 389 38,797 0 4019 35,844 2 51 3,31 7 61
90 8 ,1 0, 438 0 415 49,672 0 4318 46,288 1, 32 4,06 6 81
120 10 ,8 0 455 0, 429 58,005 0 4546 54,215 0 15 5,98 6 53
10 1 2 0 270 0 256 9,711 0 2643 8,934 2 ,11 3,26 8 00
20 2 4 0 294 0 274 18,364 0 2868 16,842 2, 39 4,68 8 29
120 30 3 6 0 314 0 295 26,025 0 3063 23,896 2, 43 3,84 8 18
60 7 2 0 359 0 343 44,811 0 3524 41,145 1, 83 2,75 8 18
90 10 ,8 0 390 0, 369 58,597 0 3864 54,215 0, 86 4,71 7, 48
120 14 ,4 0 412 0 392 69,329 0 4126 64,475 0 12 5,25 7, 00
Согласно [2] запишем соотношения для расчета массы ускоряемого тела
тт «1,15а2Ърт, (22)
его максимальной скорости без учета трения и сопротивления воздуха
V» = V + ^ (23)
2тт
и длины рельсотрона
I = /(Т) = уот + ^¿, (24)
4»т
где рт, У0 - объемная плотность (кг/м3) материала тела и его начальная скорость (м/с).
Достоверность формул (2-11) при параметре А=а/(Ь+с)<1 подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами расчета по [5] и программе компьютерного моделирования ELCUT [6]: относительные погрешности вычисления индуктивности 5£К и 5£Е не превышают 6 %, а индукции 8В - 9,1 % (табл. 1).
В табл. 2 приведены рассчитанные по формулам (3, 11, 18, 20-24) параметры рельсотронов с шинами из бериллиевой бронзы БрБ2 [7]: 70«12,5 1/Ом-м; «*0,0035 1/°С; С0*385,5 Дж/°С-кг; р0=8230 кг/м3; <тдоп*1350 МПа; рт«20000 кг/м3; Г0=0.
На рис. 7 приведены графики зависимости длительности импульса т от плотности тока 50 для различных повышений температуры шин (20) из бе-риллиевой бронзы БрБ2.
от плотности тока 80 для различных повышений температуры шин из бериллиевой бронзы: 1) 75; 2) 150; 3) 300 °С
Увеличение размеров рельсотрона (а, Ь, с) при сохранении допустимого механического напряже-
Таблица 2. Параметры рельсотронов из бериллиевой бронзы
Исходные данные Расчетные параметры
а с Ь <50 I т ¿0 &хт «0 тт 1
мм А/мм2 МА мс мкГн/м МПа °С мкОм/м кг км/с м
10 30 20 4000 2,4 0,3 0,402 1298 151 332 0,046 7,55 1 ,13
20 40 40 2300 3,68 0,9 0,468 1302 149 124 0,368 7,76 3 ,49
30 50 60 1640 4, 92 1 ,8 0,496 1302 152 67 1,242 8,70 7,83
40 60 80 1280 6 ,14 3 0,511 1302 155 42 2,944 9,83 14 ,75
50 70 100 1050 7 ,35 4,4 0,521 1298 153 29 5,750 10 ,77 23 ,69
60 80 120 890 8 ,54 6,1 0,528 1293 152 21 9,936 11 ,82 36,06
70 90 140 775 9,76 8 0,532 1297 151 16 15,78 12 ,87 51,48
80 100 160 684 10 ,9 10 0,536 1291 146 12 23,55 13 ,63 68,16
90 110 180 610 12,1 13 0,539 1276 152 10 33,53 15 ,24 99,08
ния axm в бериллиевых шинах и их приемлемого нагрева З на 150 °С за импульс дает увеличение амплитуды тока I, длительности импульса т, индуктивности L0, массы ускоряемого тела mT, максимальной скорости Vm и длины рельсотрона lp при уменьшении усредненной плотности тока S0 и сопротивления R0.
Таким образом, по полученным формулам (1-24) можно рассчитывать параметры рельсотронов при постоянной усредненной плотности тока в их шинах.
Выводы
1. Предложена методика расчета параметров рельсотронов при постоянной усредненной плотно-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Witt W., Loffler M. The electromagnetic Gun-CCloser to Weapon System Status // Military Technology. - 1998. - № 5. - P. 80-86.
2. Носов ГВ. К расчету параметров и эффективности преобразования энергии рельсотроном // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 310. - № 2. - С. 70-73.
3. Теория электрических аппаратов / под ред. проф. Г.Н. Александрова. - М.: Высшая школа, 1985. - 312 с.
4. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. - М.: Высшая школа, 1989. - 271 с.
5. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. - Л.: Энергоатомиздат, 1986. - 488 с.
сти тока в их шинах, позволяющая оценивать возможности рельсотронов для ускорения тел и проектировать для них электромагнитные источники питания.
2. Факторами, определяющими возможности рельсотронов для ускорения тел, являются усредненная плотность тока, прочность и повышение температуры шин, поэтому необходимо применять для изготовления шин высокопрочные материалы с максимальной удельной проводимостью, например, бериллиевую бронзу.
3. Достоверность полученных формул подтверждается удовлетворительным совпадением с результатами расчета индукции и индуктивности, проведенными по другим методикам.
6. Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности. Ч. 1 / под общей ред. канд. техн. наук А.С. Глазырина. -Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007.
- 199 с.
7. Электротехнический справочник: в 3 т. Т. 1. Общие вопросы. Электротехнические материалы / под общ. ред. проф. МЭИ В.Г Герасимова и др. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 488 с.
Поступила 11.01.2013 г.
