Обобщенная модель стационарной газовой детонации Зельдовича-Неймана-Деринга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 534

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОМ ГАЗОВОЙ ДЕТОНАЦИИ ЗЕЛЬДОВИЧА-НЕЙМАНА-ДЕРИНГА

В.М. Гендугов

1

Исследована модель детонации в N-компонентной смеси газов, зона горения которой формируется n (1 ^ n ^ N — 1) независимыми реакциями, удовлетворяющими кинетической формулировке закона действующих масс. В рамках этой схемы установлено существование двух возможных типов самоподдерживающихся детонационных волн с асимптотически устойчивыми зонами горения. Показано, что реализуется только сильная волна, распространяющаяся в режиме Чепмена-Жуге относительно потока на критической поверхности. При этом для смеси совершенных газов выявлено, что эта волна реализуется только тогда, когда зона горения формируется одной либо двумя реакциями.

Ключевые слова: детонация, смесь газов, критическая поверхность, устойчивость, зона горения.

A model of N-component gas mixture detonation satisfying the kinetic formulation of the mass action law with n (1 ^ n ^ N — 1) independent reactions is studied. In the framework of this model, it is found that there exist two possible types of self-sustaining detonation waves with asymptotically stable combustion zones. It is shown that it is possible to observe only a strong wave propagating in the Chapman-Jouguet regime relative to the flow on the critical surface. It is also shown that, for a perfect gas mixture, this wave appears only when a combustion zone is formed by one or two reactions.

Key words: detonation, gas mixture, critical surface, stability, combustion zone.

1. Работа посвящена исследованию обобщенной модели идеальной стационарной детонации Зельдови-ча-Неймана-Деринга (ЗНД) в Ж-компонентной смеси совершенных газов. Как и в [1-3], плоская одномерная структура детонационной волны (ДВ) включает ударную волну (УВ) и непрерывную зону горения, в которой химические превращения, в отличие от [1-3], определяются не одной, а п (1 ^ п < N) независимыми наблюдаемыми реакциями, удовлетворяющими кинетической формулировке закона действующих масс (ЗДМ). Подробный анализ результатов исследований обобщенной модели ДВ представлен в монографии [4]. Они свидетельствуют о том, что найденные на критической поверхности (КП) условия удовлетворяются в химически равновесном потоке. На этом основании сделаны выводы, что ДВ является нормальной и распространяется с замороженной скоростью относительно химически равновесного потока, т.е. в режиме Чепмена-Жуге. Однако в более поздних работах [5, 6] показано, что такой равновесный поток в общем случае термодинамически неустойчив. Иначе говоря, выявлены трудности построения обобщенной модели, природу которых требуется установить.

2. Пусть по покоящейся горючей смеси газов с постоянной скоростью О движется детонация. В системе координат, связанной с УВ, движение реагирующей смеси за УВ стационарно и подчиняется уравнениям неразрывности, количества движения, энергии, химической кинетики и состояния, которые в пренебрежении явлениями переноса запишем в удобной форме:

p0u0 = p0D = pu = K,

dp K2 dp

dx p2 dx'

dh K2 dp

dx p3 dx'

(1)

(2)

(3)

(4)

i= 1

Гендугов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат.

ф-та МГУ, e-mail: Gendugovv@mail.ru.

1

р = р^Ск) = ЖнТ%-QY (5)

где Ср = Срк к; — = Q = У^ к к i R — абсолютная газовая постоянная; cvk, rrik, hi —

mk m mk mk

k= 1 k k=1 k k= 1

теплоемкость при постоянном давлении, молекулярная масса и энергия образования k-го компонента; v'ik, v'/k — стехиометрические коэффициенты k-го компонента до и после в i-й реакции; Ui — скорость i-й реакции; u — скорость потока относительно УВ; Wk — скорость массообразования k-го компонента; p — давление; индексом ° обозначены параметры газа перед УВ.

Система уравнений решается с начальными данными на УВ, заданными в форме соотношений на скачке в пренебрежении изменением состава смеси. Кроме того, реагирующий поток стремится к состоянию химического равновесия, которое для адиабатически изолированной частицы характеризуется максимумом энтропии S, т.е. при x ^ ж

dS = 0, (6)

d2S < 0. (7)

Заметим, что уравнения (2) и (3) интегрируются. С учетом соотношений на УВ их первые интегралы запишем так:

K 2 K 2

Р +-=Ро +-, 8

Р ро

K2 K2

h + W2=ho + M (9)

Выделим теперь в (4) подсистему из n уравнений с невырожденной матрицей стехиометрических коэффициентов

К 1х = Ше ~ ^ Ui = We> е = 1,...,п, (10)

i=l

и решим ее относительно Ui. Затем подставим Ui в оставшиеся (N — n) уравнений (4) и проинтегрируем их с учетом неизменности состава смеси на УВ. В результате получим уравнения вида

n

Ck — Ck0 = Pik (ci — Ci0), k = 1,...,N, (11)

i=l

где pik = const; Pi=k = 1, Pi=k = 0, если k ^ n.

С помощью (11) исключим в исходной системе уравнений зависимые концентрации. Тогда уравнение (5) примет вид

P^CpO + Pi (Ci — Ci0

р = р(Ь,р,а) = —---——-----г. (12)

Ц1г + Яо + Тфг-сго) — +

\ / \т0 ^ ^г

4 г 7 4 г

N N ,0 N

Здесь /Зг = У дг = V 1 = V

тк тк ^ тк

Соотношения (1), (8), (9), (12), как видно, не зависят от структуры волны. Поэтому термодинамическая устойчивость равновесного состояния в детонационной волне определяется, как и в [5], из (6) и (7) при голономных связях (11), (8), (9), (12).

3. Исследуем теперь структуру ДВ. С этой целью приведем исходную систему уравнений к нормальному виду. Вначале запишем (12) в дифференциальной форме:

Ар (®р\ (др\ ^Сг

<1х~ \дк)р>с.<1х \др)н>с. ^\д<к)р,н<Ь:'

Затем, привлекая (2) и (3), преобразуем это соотношение к виду

= (1-м?)-<«>

с1р

г=1 4 7

и

Здесь М; = — — число Маха потока, рассчитанное по замороженной скорости звука а*, которая в а1

переменных Н, р, сг имеет вид [7]

/ р\дЪ) Р,С1+\д'Р/Н,С1 Теперь с учетом (13) и (10) исходную систему уравнений представим в форме

(1Р _ 1 у

(14)

Ф = =р ^ = ж1 = Рг

йх р2 р р' йх К г'

Эта система уравнений нормального вида описывает непрерывную зону горения стационарной детонации, если ее правые части непрерывны и имеют непрерывные частные производные.

Выберем за УВ конечную область [0, х*] с точкой х* в зоне слабой химической неравновесности, где выполняются соотношения Онзагера [8]. Для фиксированного К решение (14) в [0,х*] единственно и задача состоит в определении условий асимптотической устойчивости этого решения. Отметим, что в зависимости от значения К может реализоваться один из двух режимов детонации — содержащий в зоне горения критическую поверхность либо не содержащий ее. При реализации первого режима на КП в силу непрерывности градиентов параметров получаем два условия:

М2 = 1. (16)

Так как уравнения (8) независимы, то входящие в (15) независимые йсг отличны от нуля в зоне горения. Поэтому (15) равносильно уравнениям

=0, ¿ = 1.....п, (17)

дсг/ р,н

названным в [5] условиями экстремального состояния среды.

4. С целью определения условий асимптотической устойчивости решения (14) рассмотрим производство энтропии а = К —. Распишем производную ¿>, а затем, привлекая термодинамические тождества

ах

' дв\ 1 { дв\ 1

г \др)КСг рт (18)

и уравнения (2), (3), приведем а к виду

При этом только в равновесном потоке а = 0, где, как следует из (6), выполняются уравнения ЗДМ

(£) =0, { = (1»)

В области слабой химической неравновесности (x > x*) выполняются соотношения Онзагера, устанавливающие линейные зависимости между W% и ( —— ) . С их помощью запишем производство энтропии

\dciJp,h

так:

а ~ ^ Гг1( 9Ci ^ P'h ^ 9Cl

где (тц) — определенно-положительная матрица кинетических коэффициентов (тц = const). Напомним теперь теорему Ляпунова об устойчивости [9]. Пусть в области x > x* существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка определенно-положительная функция а, такая, что функция ф = (grad а, F) является определенно-отрицательной. Тогда решение (14) асимптотически устойчиво. Здесь F — вектор с компонентами из правых частей (14). Видно, что

^ da ^S ( ^ + ^ + V dcm\

dx % да V dcidh dx dcidp dx dcidcm dx J'

i,l s m=1 7

Привлекая (14), (18) и соотношение Онзагера, приведем ф к форме с матрицей коэффициентов (Gij) = (Tii)(bim)(Tmj), где

, К2 dp dp d2s

(bim) = лгг(л Т7г\ ТГ Ь

р4Т (1 - M2) dCi dcm dcidcn

Для того чтобы выполнялось условие ф ^ 0 (ф < 0 в зоне горения, ф = 0 в равновесном потоке), необходимо и достаточно, чтобы главные миноры порядка g удовлетворяли неравенствам Сильвестра

(-1)g \ Gmi \g = (-1)g\Tli\g | bim\g \ Tmj\g > 0, g = 1,...,П.

Так как \тц\д > 0, то неравенства Сильвестра равносильны условиям ( — 1)g\bim\g ^ 0, причем в зоне горения имеет место строгое неравенство, а равенство выполняется в равновесном потоке, когда хотя бы одно из собственных значений ф равно нулю. Мы ограничимся случаем, когда только одно собственное значение обращается в нуль, что равносильно равенству нулю минора порядка п. Разложим миноры \bim\g по столбцам и в сумме сохраним отличные от нуля определители.

Тогда с учетом вида K и Mf, а также того факта, что для газовой смеси при p,h = const квадратичная ( d2s \

форма с матрицей I ——-— ) является определенно-отрицательной [10], получим неравенства

dc-idcn

1 - M2

g

1 - Mf

> 0, g = 1,...,п. (20)

Эти неравенства выполняются и в равновесном потоке, однако при некоторой скорости волны имеет место равенство

М^ = 1. (21)

и

Здесь Мй =--число Маха, рассчитанное по скорости звука ад с (п — д) замороженными и д неравно-

ag

весными концентрациями компонент:

1 1 g

a2 af p2Tbg l=1 V dcU

p,h

л- p2)

1

Данная формула тождественна формуле для ад в химически равновесной смеси [7]; 5д — главный минор

порядка д матрицы ( —— ); §[„ — определитель, отличающийся от 5„ тем, что его 1-й столбец состоит \0с Зст)

др

из элементов

дСт' р,Н

Из условий (20) следует, что реагирующий поток в ДВ асимптотически устойчив, если он дозвуковой или сверхзвуковой по отношению ко всем скоростям звука.

Замечание 1. Для модифицированной модели ЗНД (п = 1) функции Ляпунова имеют вид ( дз\ , Аа

а = Гц —— и гр = К —— при х > 0, откуда следует, что условия устойчивости (20) справедливы \дс1/ Р,н Ах

Аз ( дз\

во всей зоне горения, так как К — = —— \У\ > 0.

Ах \дс1] р,н

Замечание 2. Из (22) и (17) следует, что в экстремальном состоянии среды все скорости звука равны замороженной. Поэтому решение (14) может не иметь сингулярной особенности на КП только тогда, когда на ней состояние среды экстремальное.

Замечание 3. В отсутствие изменения состава поток за ударной волной, согласно соотношению Прандтля, является дозвуковым относительно замороженной скорости звука.

5. Проведенный анализ позволяет выписать две замкнутые системы уравнений для определения слабой и сильной стационарных самоподдерживающихся детонационных волн с непрерывными и асимптотически устойчивыми зонами горения.

А) Назовем детонацию слабой, если она, имея дозвуковую зону горения по отношению к af, распространяется относительно термодинамически устойчивого равновесного потока с равновесной скоростью звука. Система, определяющая скорость слабой детонации и параметры соответствующего ей равновесного потока, включает уравнения (1), (8), (12), (19) и (21). Поскольку, как известно [4], возмущения в реагирующем потоке газа распространяются с замороженной скоростью звука, то слабая детонация с примыкающей к ней волной разрежения не реализуется. Причина состоит в том, что возмущения, распространяясь по дозвуковой зоне горения, догоняют ударную волну и меняют ее скорость.

Б) Назовем детонацию сильной, если она распространяется с замороженной скоростью относительно химически неравновесного потока на КП, где при равенстве всех скоростей звука осуществляется переход от дозвукового потока за УВ к сверхзвуковому за КП. При этом скорость сильной детонации и параметры потока на КП находятся из системы уравнений (1), (8), (9), (12), (16), (17). Из этого определения следует, что сильная детонация является недосжатой.

Напомним теперь основной вывод работы [11] о том, что передний фронт волны разрежения гладко сшивается со стационарной зоной горения на КП, где выполняется (17) и условие, равносильное (16). Иначе говоря, в рамках исследуемой модели реализуется только сильная детонация. Выделим из системы уравнений подсистему, представленную в форме

1 , , ( 1 1\ „ , (др\

Ь-]1о = -(р-ро)[ — + -), р = р(]г,р,С1), — =0, (23)

2 \ро N \дСг/р,к

которая в переменных 1/р, р описывает адиабату равных скоростей звука. При этом уравнение прямой Михельсона имеет вид

р-ро = К2(1--±-), р ро

а условие (16) определяет физическое условие касания прямой Михельсона этой адиабаты. Докажем, что (16) — это действительно физическое условие касания. С этой целью запишем уравнение адиабаты равных скоростей звука в дифференциальной форме

2 \р) П ро р) (24)

Используя геометрическое условие касания

Ар

= -(Р - Ро)

=-*',

ро р

(25)

приведем систему (24) к виду

1

Ак = - Ар, р

А[ -

р

Ар

р2

1 др др р дк др

р2а2

Из второго уравнения этой системы и из (25) следует физическое условие касания (16). Вычисляя теперь по (12) производные (17), получим систему уравнений

вгРг - Срт =

шч Т

г = 1,

, п,

(26)

которая содержит только две неизвестные величины

7 / с

ср т = К

7 - 1

7

и Т =

к + Я

Очевидно, что при п ^ 3 система (26) лишена смысла, т.е. не все производные (17) обращаются в нуль. Отсюда следует необычный вывод: в горючей смеси совершенных газов с разными теплоемкостями и молекулярными массами компонентов не существует самоподдерживающейся детонационной волны с плоской одномерной структурой, если в зоне ее горения число независимых реакций больше двух.

Замечание 4. В горючей смеси совершенных газов с равными молярными теплоемкостями компонентов стационарная самоподдерживающаяся детонация не распространяется, так как все производные (17) отличны от нуля.

6. В свете этих результатов целесообразно перейти к выводу уравнения адиабаты равных скоростей звука для сильной детонации с двумя независимыми реакциями в зоне горения. Напомним, что адиабата равных скоростей звука для детонации, зона горения которой формируется одной независимой реакцией, получена в работе [12]. Поэтому здесь этот вывод не приводится.

Рассмотрим сильную детонацию в смеси совершенных газов, зона горения которой формируется двумя независимыми реакциями. В этом случае, как следует из (25), в экстремальном состоянии среды температура и отношение теплоемкостей смеси — постоянные величины:

Ср _ _ Р2Р2 ~ Д/Х1 к + (^> Т д2р2 - Я1Ц1 ''

Срт

К-

7

7-1 д2ц2 ~ '

Расписывая ср, т, Я через концентрации, получим из этих равенств систему линейных уравнений относительно концентраций, решения которых зависят от энтальпии:

С1 - С1о =

С2 - С20 =

к - ко

7

Я2^2 - Я1Р А (7 - 1)^2 в1 Т - VI ( 7К

- в2 -

7К

Я2Р2 - Я1Р А (7 - 1)то

Сро

Р2Т - д2

Я2Ц-2 - Я1Р1 V (Т — 1)т0

к - ко ( 7К

Я2Р2 - 91V А (7 -1)^1

Сро

- в1

В силу естественных ограничений на С1 и С2 накладываются ограничения и на к. Подставив (вг - Сго) в формулу для Я, получим равенство

Я = ^-—Т-к о,

7 - 1 то

из которого следует, что в экстремальном состоянии среды тепловой эффект реакции — постоянная величина. Поэтому уравнение состояния (5) принимает вид

к - ко =

7 Р

7 К

7 - 1 р 7 - 1 то

Т.

Объединяя это равенство с (23), получим уравнение адиабаты равных скоростей звука

1

А

р

1

1

С

р

V 9 7 ~ 1 УГо ) 7 + 1

— = -Т.-, Я = -,

Ро Х—-1 7-1

Р

которая, как видно, тождественна по форме детонационной адиабате в классической модели Михельсона-Чепмена-Жуге (рисунок).

7. Исследование обобщенной модели детонации ЗНД выявило, что в смеси совершенных газов самоподдерживающаяся детонация не распространяется, если число независимых реакций, формирующих ее зону горения, больше двух. Это неестественное ограничение в дополнение к известным проблемам создает новые трудности построения теории и наводит на мысль о наличии "дефектов" в модели ЗНД. Напомним, однако, что попытки найти решение проблем теории детонации, руководствуясь идеей о "дефектах" модели ЗНД, не привели к окончательным результатам [4, 11]. К тому же построение любой модели ДВ сопряжено с необходимостью решения одной из проблем газодинамики горения — проблемы "холодной" границы. Суть ее, как известно, состоит в том, что исходная детонирующая смесь химически не равновесна при любой модели реакции, удовлетворяющей кинетической формулировке закона действующих масс. Из всего сказанного можно заключить, что проблемы теории детонации — это своеобразные проявления проблем газодинамики горения, разрешение которых, как указал Н. Н. Семенов [13], сводится к пересмотру основ существующего учения о движении реагирующей смеси газов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 09-08-00284-а, 09-08-13673-офиц.

0 111 í£o) 1 £\)

Y+i IpJ. Р

Схема, иллюстрирующая структуру сильной детонации: A — точка начального состояния; ABC — ударная адиабата Гюго-нио; G — точка, соответствующая критической поверхности; EGM — адиабата равных скоростей звука; PL — сверхзвуковая ветвь равновесной адиабаты; AGC — прямая Михельсона; CG — дозвуковая по отношению к замороженной и равновесной скоростям звука зона горения, заключенная между ударной волной и критической поверхностью; GL — сверхзвуковая область зоны горения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зельдович Я.Б. К теории распространения детонации в газообразных системах // Журн. эксп. и теор. физ. 1940. 10, вып. 5. 542-568.

2. Neumann J. Theory of detonation waves // Office of Scientific Research and Development Rept. 1942. N 549.

3. Daring W., Burkhard G. Contribution to the theory of detonation // Tech. Rept. Wright-Patterson Air Force Base, Dayton, 1949.

4. Вильямс Ф.А. Теория горения. М: Наука, 1971. (Пер. с англ.: Williams F.A. Combustion Theory. L.: Palo Alto, 1964.)

5. Гендугов В.М. Теория детонации. Термодинамическое обоснование гипотезы Чепмена-Жуге // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 3. 55-58.

6. Гендугов В.М. Свойства равновесной детонации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 41-47.

7. Гендугов В.М. О скоростях звука в химически равновесной смеси газов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 4. 51-53.

8. Де Грот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика М.: Мир, 1964. (Пер. с англ.: Graat S.R. de, Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Amsterdam, 1962.)

9. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

10. Миркес Е.М., Быков В.И. О выпуклости термодинамических функций для неизотермических условий // Журн. физ. химии. 1986. 60, № 3. 732-734.

11. Kirkwaad J.G., Waad W.W. Structure of a steady-state plane detonation wave with finite reaction rate //J. Chem. Phys. 1954. 22. 1915-1921.

12. Гендугов В.М. Модифицированная модель детонации Зельдовича-Неймана-Деринга и ее особенности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 1. 58-64.

13. Семенов Н.Н. Цепные реакции. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 03.12.2007