Об одной начально-краевой задаче, возникающей в динамике системы стратифицированных жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 2. С. 179-194.

УДК 517.956; 517.958; 517.986.7 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14205

ОБ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМЫ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет, Таврическая академия, Симферополь, Россия tsvetdo@gmail.com

Рассматривается линеаризованная задача о колебаниях системы слоёв несжимаемой идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой упругим льдом, который моделируется упругой пластиной. С использованием метода ортогонального проектирования граничных условий на движущуюся поверхность исходная начально-краевая задача редуцирована к эквивалентной задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы.

Ключевые слова: стратифицированная жидкость, упругий лёд, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши в гильбертовом пространстве, сильное 'решение.

Введение

В связи с новыми потребностями прикладных наук возрос интерес к изучению динамических характеристик жидкостей, обладающих разными специфическими свойствами. К таким жидкостям, в частности, относятся стратифицированные жидкости. Возникающие при этом начально-краевые задачи оказываются чрезвычайно своеобразными. В представленной работе рассматривается начально-краевая задача, которая описывает линейные колебания системы из двух идеальных стратифицированных жидкостей в ограниченном сосуде со свободной поверхностью, полностью покрытой упругим льдом.

Вопросы, связанные с численным анализом колебания плавающей упругой пластины (частным случаем является упругий лёд на поверхности жидкости), к настоящему времени сравнительно хорошо разработаны. Подробную библиографию по этому кругу вопросов можно найти в монографиях [1; 2].

Работа является продолжением исследований, начатых в работе [3], в которой изучалась задача о малых движениях системы идеальных стратифицированных жидкостей, полностью покрытой крошеным льдом. При этом был модифицирован изложенный в монографии [4] общий подход к задачам о колебаниях системы из несмешивающихся идеальных жидкостей, заполняющих произвольный сосуд. А именно: исходные объекты рассматривались не «наборами», а по отдельности, с исключением по ходу рассуждений тривиальных составляющих. В данной работе исходная задача, после исключения полей плотностей жидкости, сводится к дифференциально-операторному уравнению второго порядка в некотором гильбертовом пространстве, при этом структура операторных коэффициентов имеет более

сложную структуру, чем в работе [3], что приводит к усложнению получения итоговой теоремы о разрешимости.

1. Математическая формулировка задачи

Рассмотрим неподвижный сосуд, частично заполненный системой из двух идеальных стратифицированных несжимаемых жидкостей, расположенных одна над другой (наподобие слоёного пирога) таким образом, что жидкость большей плотности занимает низшее (по отношению к ускорению силы тяжести) положение, выше располагается жидкость меньшей плотности. Жидкости предполагаются тяжёлыми и в силу этого действие капиллярных сил в задаче не учитывается. Обозначим через Пг (г = 1, 2) область, занимаемую в состоянии покоя жидкостью плотности Рог (г = 1, 2), соответствующий участок твёрдой стенки — через (г = 1, 2). Представим Г = дП2 \ 52 = Г1 и Г2, где Г1 и Г2 — это нижняя и верхняя границы области П2 соответственно, причём Г2 полностью покрыта упругим льдом. Введём систему координат Ох1х2х3 таким образом, что ось Ох3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на поверхности раздела Г1. Обозначим через пг (г = 1, 2) единичный вектор, нормальный к дПг (г = 1, 2) и направленный вне Пг.

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкостей по плотностям р0г = р0г(х3) (г = 1, 2):

Функции Ni(x3) (i = 1, 2) называют частотами Вяйсяля — Брента или частотами плавучести. Физически N^(x3) равна частоте колебаний, с которой частица жидкости, находящаяся на уровне x3 = const, будет колебаться в стратифицированной жидкости, если сместится с этого уровня.

Рассмотрим малые движения изучаемой гидросистемы, близкие к состоянию покоя. Пусть и (i =1, 2) — поля скоростей в жидкостях, а Z = (i(t, X), X G Г представляют собой отклонение свободно движущихся поверхностей жидкостей Г (t) от Г (i = 1, 2) по нормали n^ pi = p^t, x), x G Qi (i =1, 2) — отклонение полей давлений от равновесных; pi = pi(t,x), x G Qi (i = 1, 2) — отклонения полей плотности от исходных poi(x3).

Линейная постановка начально-краевой задачи о колебаниях рассматриваемой гидросистемы выглядит следующим образом (см., например, [3; 5]):

0 < Ni;min < N^3) < Ni

i,max

■2

dUi

Poi1(x3)(-Vpi - Pige3) + Л (в

(1)

Ui • n1 = U2 • n1 (на Г1),

(в Qi),

dt2

Ui(0,x)= u0(x), pi(0,x) = p0(x), Zi(0,x) = C°(x).

Последние три условия — это начальные условия, которые добавлены к задаче для полноты её формулировки, ¿Г = 0 есть условия сохранения объёма. Линейный дифференциальный оператор К, задается дифференциальным выражением К(2 := + Рог^Сг на области определения

Я(К) = {(г е С4 (Гг) | (г = ^ = 0 (на дГг)} ,

где V — единичный вектор внешней нормали к дГ2 , в > 0 — коэффициент жёсткости льда, р0 — поверхностная плотность льда (см. подробнее [5]).

2. Вспомогательные утверждения

Приведённые ниже в этом пункте утверждения заимствованы из работ [3; 5].

2.1. Свойства оператора потенциальной энергии упругой части системы

Свяжем с поверхностью Г2 гильбертово пространство Ьг (Г2) со скалярным произведением

Г2

р (X) ф (X) ¿Гг.

'Г2

Лемма 1. Оператор К : "Р(К) С Ь2 (Г2) ^ Ь2 (Г2) является неограниченным симметричным положительно определённым оператором, действующим в Ь2 (Г2).

Замечание 1. Как известно, симметричный положительно определённый оператор, действующий в (вещественном) гильбертовом пространстве и заданный на плотном в этом пространстве множестве, допускает расширение по Фридрихсу до самосопряжённого положительно определённого оператора с той же нижней гранью. Поэтому далее будем считать, в силу леммы 1, что оператор К уже расширен по Фридрихсу на более широкое множество, обеспечивающее самосопряжённость расширенного оператора, который снова будем обозначать через К. Кроме того, "Р(К) С Нк, где Нк — энергетическое пространство оператора К.

Теорема 1. Оператор К : "Р(К) С Ь2 (Г2) ^ Ь2 (Г2) (после расширения по Фридрихсу ) — неограниченный самосопряжённый положительно определённый оператор. Энергетическое пространство Нк С Ь2 (Г2) оператора К состоит из тех элементов из Ь2 (Г2), для которых конечна квадратичная форма

и

2

к = (Ки,и) = Рогд / |и| ¿Гг+

^ Г2

+ в

Г2

д2и

3x1

2

+

д 2и

дх2

+ 2(1 - а)

д 2и

дх1дх2

+ 2а

д2 и д 2и 8x1 дх2

причём Т>(К1/2) = Нк.

Замечание 2. Отметим, что если функция (2 удовлетворяет условиям Сг е С2(Гг)^ СгвГг = 0, (г = ^ = 0 (на <9Гг),

¿Г2

(4)

то, как следует из доказанной теоремы, (2 е Нк. Множество элементов, удовлетворяющих условиям (4), образуют множество гладких функций, всюду плотное в Нк.

2

2

2.2. Исключение полей плотностей

В начально-краевой задаче (1)-(3) можно исключить поля плотностей рг(Ь,х), если ввести взамен поля скорости иг(Ь,х) поле малых смещений частиц жидкости ?7г(Ь,х), связанных с иг(Ь,х) соотношениями

= иг, divVi = 0 (г = 1, 2) (вП). Тогда вместо (1) придём к связи

Рг(Ь, х) = -Урог ■ ^¿(¿,х) + /¿,о(х) = -р0г(хз)г,з(Ь х) + До(х), Ло(х) := Рг(0,х) + р0г(хз)^г,з(0,х), г,з := V ■ бз,

и к уравнениям для ?7г(Ь, х) и рг(Ь, х):

д 2гг

"д^ = -Р-г1(хз)Ург - ^(хзКзез + ^¿,о(х), div V = 0 (в Пг), ^г,о(х) = /г(*,х) - д/г,о(х)бз/рог(хз).

С учётом сказанного перепишем исходную задачу (1)-(3) в виде

д 2гг

= -Р-1(хз)Ург - ^2(хз)гг,звз + ^г,о(х), divV = 0 (в П), V ■ п =: = 0 (на 5), гг1 ■ п1 = гг2 ■ п2 (наГ2), / гг,з^Гг = 0,

•/Г;

Р1 - р2 = Ард^1,з (на Г1), р2 = Кг2,з + Ро(наГ2), ( )

дгГ-

(0,х) = иг(0,х) = и0(х), V (0,х) = гг0 (х), г,з(0,х) = Сг(0,х) = Сг0(х) (х е Г), г =1, 2.

3. Метод ортогонального проектирования

Для области П1 введём разложение пространства векторных полей Ь2(П1 ,р01) в ортогональную сумму (см. [5]):

Ь2(П1,ро1) = /о(П1,ро1) 0 С(П1,ро1) 0 Со,п(П1,ро1), (6)

</0(П1, р01) := {и1 | divи1 = 0 (в П1), и1 ■ п1 = 0 (на дП1)},

С(П1,ро1): = {й | гг1 = р-11(хз)Ур1, й ■ п = 0 (на 51),

V- г1 = 0 (в п1 ), / р ¿г1 = 0},

Г1

Со,Г1 (П1, Р01) : = {г/ 1 | г/ 1 = р-'/^У^ь = 0 (на Г1)}.

Будем считать и1 (Ь, х) и р-11Ур1(^,х) функциями переменной Ь со значениями в Ь2(П, р01), тогда в силу уравнений и граничных условий (5), ортогонального разложения (6) имеем

гг1(Ь,х) е ^/о(П1,ро1) 0 (Сн,^ (П1,ро1) =: Лад (Пьро1), (7)

Р-11Ур1(Ь,х) е (Со,Г1 (П1, Р01) 0 С(П1 ,ро1) =: (С(П1, Р01).

Поэтому при каждом t будем разыскивать их в виде

VI (¿, ж) = го 1 (¿, ж) + р° 1 ^Ф1 (¿, ж),

гУ1 (¿,ж) е/о(П1,рс1), рО/УФ^ж) е Сад(^1,ро1), (8)

Р-11 Ур^, ж) = р-11Ур1,1(*, ж) + р-11Ур1>2(*, ж), рО/УрмМ) е Сад (П1,Р01), р0_11Ур1;2(^,ж) е (^о.Гх(П1,Р01).

Обозначим через Р0,1, Р/^ и Р0,г1 ортопроекторы на подпространства /0(П1,р01), С(^1,р01), С0,г1 (^1,р01) соответственно. Тогда, подставляя (8) в первое уравнение (5) для г =1 и применяя ортопроекторы, получаем

+ P

0,1

Nf(*3) р-1

-i дФ1

дхз

д 2w 1

д 2

dt2 (р-11 V$l) + Po"l1Vpi,1 + Ph,Si

д Ф1 дхз

+ W1,3 ез

P0,1^1,0,

(9)

^ 1 — дф

дхз

Nfe) P01J

+ W1,3 ез

= Ph,Si ^1,0,

Po 11Vp1,2 + Po,ri

( р-11

+ ^1,з ез

Po,ri ^1,0.

:iq)

Замечание 3. Из (10) следует, что составляющая поля давлений, обусловленная слагаемым р-"11Ур1,2, определяется лишь полем вертикального смещения 11,3 и начальными условиями. Следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением первых двух соотношений, а также граничных условий и начальных данных с соответствующей заменой р1 ^ р1,2, так как р1 = р1,1 + р1,2, р1,2 = 0 (на Г1).

Для области П2 введём разложение пространства векторных полей Ь2(П2,р02) в ортогональную сумму

L2(^2, P02) = ^0(^2, P02) Ф Gh,s2 (П2, P02) Ф G0,г (П2, P02).

Подпространство С^,^(^2,р02) из (11) состоит из квазипотенциальных гармонических полей с нулевой нормальной составляющей на твёрдой стенке $2, для которых также выполнено условие сохранения объёма по всей границе Г = Г1 и Г2. В изучаемой задаче в силу несжимаемости жидкостей условие сохранения объёма должно выполняться на каждой из границ Г1 и Г2 в отдельности. Отсюда следует, что подпространство Сь,,я2(^2,р02) шире, чем требуется. В связи с этим воспользуемся разложением этого подпространства в ортогональную сумму двух подпространств, естественным образом приспособленных к данной задаче (см. подробнее в работе [6]):

Gh,S2(^2,P02) = G^s(П2,P02) Ф («P V^}

:12)

где {a^0} — одномерное подпространство, а функция является решением следующей краевой задачи:

V- (p 01V^0) = 0 (в П), P- 1V^0 -n = 0 (на S), = mesГ1 (на Г2), = -mesГ2 (на Г1);

Gh^S2(П2, P02) := {V2I V2 = P- 2 (x?)Vp, V ■ V2 = 0 (в П)

-> -> f др

v2 ■ n1 = 0 (на S2), — dr1 = 0

Ti

дп

Г2

-т^аГ2 дп

pdr = 0}.

0

г

Учитывая (12) и (11), введём ортогональное разложение

L2(^2, Р02) = Jo(^2,PQ2) Ф (^2,Р02) Ф {ар02 V^q} Ф <5О,Г(^2,Р02)

:13)

где Г = Г1 иГ2. Введём также ортопроекторы на соответствующие подпространства: Р°>2, ' ро,г.

Как и прежде, в силу условия соленоидальности и условия непротекания на твёрдой стенке 52 считаем, что € /0(^2,Р02) Ф <5;(^2,Р02) = /д (^2,Р02). Поле р-1Ур2 квазипотенциально, поэтому

Р°2 Vp2 е G^ (^2,Р02) ф {аР(°2 V^o} ф Go,r(^2,P02) =: G(^2,Р02).

Представим поля v2 и Р° 1 Vp2 в виде:

£2 = г/2 + Р-2^ф2, г/2 € ./0(^2,Р02), Р-2^ф2 € <5;(^2,Р02), Р-21 = Р-21 ^2, 1 + Р-21 ^2,2 + «(¿) Р-1 ^0, Р021^Р2,1 € <5; (^2,Р02), Р-21 ^Р2,2 € <5 0,г(^2 ,Р02).

Подставим эти представления в уравнение движения для идеальной жидкости из П2 и применим к нему ортопроекторы, отвечающие разложению (13). Получим:

д 2w2

+ Pc

0,2

Р°2

°1 д Ф2

дхз

+ W2,3 ез

Po,2^2,Q,

д2

dt2 (Р°21 V^2) + Р021 VP2,1 +

PO

_1 д Ф2

дхз

+ ^2,З ез

= ^2,0,

a(t)P°2 V^0 +

^Ы PO

_1 д Ф2

Р021 Vp2,2 = -Ро,Г

дхз

_1 дФ2

+ ^2,З ез

дхз

+ W2,3 ез

= P^2,0,

+ РО,Г02,О.

14) ;15) '16) '17)

Соотношения (16) и (17) показывают, что ар-^V^ и р°~^р2,2 определяется лишь полем вертикального смещения v2,3 и начальными условиями. В то же время эти поля не входят в (14), (15). Отметим также, что для элементов подпространства {а Рог V^0} выполнены условия

V ■ (p-^V^o) = 0 (в П2), Pô/V^o ■ n = 0 (на S2), = а mes Г1 (на Г2), = —а mes Г2 (на Г1),

поэтому из (16) находятся все коэффициенты а и тем самым — составляющая

Замечание 4. Учитывая тривиальные соотношения (16), (17), в дальнейшем будем рассматривать для идеальной жидкости из П2 уравнения (14), (15).

Перейдём к окончательной формулировке задачи с учётом проведённых выше преобразований. После отделения тривиальных соотношений начально-краевая задача (5) формулируется следующим образом (где г(¿, х), ФД£,х) и Рг;1(£,ж) —

искомые функции):

д 2Wi

ôt2

+ Po,i

дхз

+ Wi,3 ез

= P0,i^i,0 (в ^i),

div wwj = 0 (в Q»), w» ■ п» = 0 (на д Q») (i = 1, 2),

д2

ôt2 (P-I^l) + P-i1 Vpi,i + Ph,Si

д2

^ (P0_21V$^ + P-21 Vp2,1 + P;

N2(x3) P_

_1 д Ф1

h,S2

P_1

дхз _1 д Ф2

дхз

+ W1, з ез

+ ^2,з ез

(18)

(19)

(20)

V ■ ^-/(я^Ф») = 0 (В Qi), p_¿1(ж)VФi ■ П = 0 (на Si) (i =1, 2), J Ф1 dr = 0, J Ф2 dr = 0, p_^i ■ П1 = P021VФ2 ■ П1 (на Г1),

PriP1,1 = £ДР ( PO11 ) + PriP2,1 (на Г1),

дхз

ri

1 дФ2

Pr2P2,1 = Pr2 KPr^ P° 2

+ д2 / _1 дФЛ ( r)

Г2 + P0W2 VP_ 2 (на Г2),

(21)

(22)

p2,1 dr1 — a(t)mesr1 mesr2, (23)

/ p2,1 dr2 = —a(t)mesr1mesr2, / p1,1 dr1 = 'Г2 Jri

д

W(0,x) = P0,iV0(x), —Wi(0,x) = P0,iU0(x) (i = 1, 2),

P_1^1(0,x) = P;,SiV0(x), P_2^2(0,x) = PgV0(x),

д д - (p_^i(0,x)) = Ph,SiU0(x), 7* (pO^m) = PgЙ°(я).

(24)

01 ôî Через Pri обозначены ортопроекторы на L2,ri := Ь2(Г») 0 {1ri} (i = 1, 2). Целесообразность введения в задачу ортопроекторов P^, а также нормировочных соотношений (23) подробно разобрана в работе [6].

Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач.

Вспомогательная задача I.

V- (P_2^1) = 0 (в Q2), P_2^1 ■ П2 = 0 (на S2), P-K^l ■ П2 = 0 (на Г2), p_1(0^i ■ Й2 = П1 (на Г1 ), J Ф1 dr = 0.

Вспомогательная задача II.

V- (p_^2) = 0 (в Q2), P_21VФ2 ■ П2 = 0 (на S2), P_21(0)VФ2 ■ П2 = 0 (на Г1), P_l(b^2 ■ П2 = П2 (на Г2), J Ф2 dr = 0.

i

Задачи I и II — это задачи Неймана. Если nl G H_ 1 , то задача I имеет единственное решение Ф1 G Hp(Q2, P02). Аналогично, если n2 € H_l/2, то задача II имеет единственное решение Ф2,2 G H(Q2) (см. [4]). Символом ~обозначен класс функций из H_,1/2 (i = 1, 2), продолженных нулём на всю границу дq» в классе H^^(ôq») (i = 1, 2) (см., например, [7]).

Введём по решениям задач I и II операторы:

P_2l(0)PriФ1|ri =: Slnl, P_2l(b)Pr2Ф1|Г2 =: S2^l, P_2l(0)PriФ2 1 ri =: ^5^2, P_2l(b)Pr2Ф2|Г2 =: S4^2.

Здесь следует отметить, что оператор Si — самосопряжённый, положительный и компактный в L2,ri, а оператор S4 — самосопряжённый, положительный и компактный в L2,r2 •

Вспомогательная задача III.

V ■ (Po~i^i) = 0 (в Qi), Ро~1^Ф1 ■ ni = 0 (на Si), ро"11(0)УФ1 ■ ni = по (на ri), / Ф1 ¿Г = 0.

•М

Это также задача Неймана. Если ^о € H ^ , то задача имеет единственное решение Ф1 € (Пьр01). Введём по решению задачи III оператор:

ро-11(0)Рг1 Ф11Г1 =: Sono.

Оператор S0 является самосопряжённым, положительным и компактным в L2,r1.

4. Приведение системы к дифференциально-операторному уравнению

Введём новые переменные

р- 11Vm1 = Ph,Si

р- 11 ез , Po 11Vk1 = Ph,Si (N12(x3)w1,3ea

P-11VF1 = Ph,si ^1,0, P-21VF2 = P^^ ^2,0, (25)

P° 21Vm2 = P

h,S2

P-21 g Кз

P° /Vk2 = Ph^ (N22(x3)w2,3ê3)

Тогда из уравнений (9) и (14) приходим к интегралам Коши — Лагранжа

д 2Фг

<9t2

+ рц + тг + k = Fi + Ci(t) (вa) (i = 1, 2), (26)

где — произвольная функция времени.

Рассмотрим (26) на Г (г =1, 2) и перепишем условия на Г1 и Г2 в следующем виде (КК := Рг2 КРг2):

д2 , ^ , ч А / _1 дФ1 \

(ф1|г1 - ф2|г1) + ЯДР Р-1 +

ôt^ 1111 2|11' ' » ' V ÖX3

Г1

+Pi1 Ш1 + Pi1 h - Pi1 m - Pi1 k2 = Pi1 F - Pi1 F2 (на Г1), (27)

U) + к (p-21 £12

J^ i Ф2|г2 + P0 (P-21j + к (^р-21 ^ + Pr2m2 + Pr2k2 = Pr2F2 (на Г2).

В силу принадлежности р- 2 УФ2 пространству б;;(П2,р02) и определения пространства б;;(^2,Р02) потенциал Ф2 с помощью решений I и II вспомогательных задач можно представить в виде Ф2 = Ф1 + Ф2, при этом разложим пространство б;;(^2,р2) в виде следующей прямой суммы:

б; (^2, Р02) = б 1(^2, Р02) Ф 62(^2, Р02), (28)

где

(51(^2, р02) := |р021^р | У(р-21Ур) = 0 (в П2), р-21^р • П2 = 0 (на $2),

р -1Ур ■ п2 = 0 (на Г2), У р(Г = 0}, (2(^2^02) =: |р021^р I V(р021Vp) = 0 (в ^2 ), р-2 V? ■ П = 0 (на $2),

р-21Ур ■ п2 = 0 (на Г1), / р(Г = 0}.

Выразив Рг. (Фг) (г = 1, 2) с помощью операторов $ (7 = 0,1,... , 4) с учётом равенств

П0 = (р°"11(дф1/джз^Г1 = - (р-21(дф2/джз^Г1 = -Пъ приходим вместо (27) к системе уравнений

д2

((р01$0 + р02$1)П0 - р02$з) + #ДрП0 +

+ Рг1 «1 + Рг1 к1 - Рг1 т2 - Рг1 к2 = Рг1 Р - Рг1 -2 := -1, д2

д^2 (-р02$2П0 + (р02$4 + р0Р)П2) + КГП2 + Рг2«2 + Рг2 ^2 = Рг2 -2 := -2.

В дальнейшем все искомые функции и заданные функции переменной £ и пространственных переменных будем считать функциями одной переменной £ со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах, что уже и было учтено в проведённых выше построениях. В связи с этим далее все производные д/д£ будем заменять на

Начально-краевую задачу (5) перепишем в виде задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве

Н := Л.(П,р0) 0 Н, Л,(П,р0) = /0(^1,р01) 0 /0(^2,р02),

Н := Я1 0 Я2, Я = Ь2(Гг) 0{1г} (г = 1, 2),

а именно, в виде

(2

—АХ + Вк X = Т, X (0) = X0, Х'(0) = X1, (29)

(Й2

А ) ■ + В = (0 £) + (£ В12) ■ (30)

10 = diag(/01,/02), 101 — единичные операторы в /0(^,р0г), = diag(gAр/1, КК), I — единичные операторы в Нг, X := (г/; п)*, Т := (Р^, Р)*, Р = (Р^ Р2)*, Р^ = (Рад^1,0, Р^^2,0)*, гг = (/1; г^)*, п = (П0; П2)*, К := Рг2РРг2,

м := ( р01$0 + р02^1 -р02$3 ^ ^ , Вц := (В" ^ ] , (31

-р02 $2 р02$4 + р0/^ ' V 0 В

В12 :Ч0 ви , В21 :Ч0 , В22 :Ч0 ;

В1^ := Р0,г (^2(жз)гг,звз) , В^Щ := Р),1 (^2(жз)(игПг)вз) , В21^/1 := Рр4кг, В^г := -Рг1 &2, Е^/ := Р^т1, ^2/2 := -Рг1 ™2,

г

где i = 1 соответствует По и через ^ Gh,Si (П1, Р01) обозначен оператор,

который посредством решения вспомогательной задачи III ставит в соответствие

^^_1/2 1 ^ ^^_1/2

элементу n0 G НГ 1/ функцию р— УФ1 G Gh,Sl (П1,р01), аналогично U2 : HT-/ ^

G(^2,Р02).

Начальные данные в (29) имеют вид

X0 = (W0; , W0 = (P01^; P02^2)2 , П0 = М(*),п0(*))4, (32)

X1 = (W1; П1)', W1 = (P01«?; P02U2)2 , П1 = МФ,^))*,

где n0(x) = [(ph,Si«1(x)) ■ n1]r1, n21(x) = (p^^W) ■ n2

данных условие

причем для начальных

Г2

данных в силу разложения (28) должно выполняться следующее кинематическое

71^1,51 м1(х) = и0(х) (на Г1). (33)

Здесь через П1 обозначен проектор на подпространство С 1(П2,р02), через символы 7г — операция взятия нормального следа на Г1 для полей, заданных в области ^ (г = 1, 2).

Итог проведенных рассуждений:

Лемма 2. Классическое решение задачи (5) является решением задачи Коши (29), (32) в гильбертовом пространстве Н.

Лемма 3. Оператор М из (31), действующий в пространстве Н, самосопряжён, ограничен и положителен.

Доказательство. Свойство ограниченности следует из того, что ограничены все операторные коэффициенты матрицы М.

Найдем квадратичную форму оператора М, для любого п € Н имеем

(Мп, п) = (( (р01^0 + ^ ^о - Р02?3П21 , =

V \-Р02^2П0 + (Р02^4 + Ро 12)П2/ \П2/ / = (Р01^0П0, П0) + (Р02^1П0 - Р02^эП2, П0) + (-Р02^2П0 + Р02^4П2, П2) + +Р0(П2,П2) = (Р01^0П0,П0) + (-Р02РГ1 $2, П0) + (Р02РГ2 Ф2,П2) + Р0(П2,П2).

Так как

(Р01 ^0^0,^0) = / PriФ1 р0 11 тт1 dr = I Ф1 (р0 11УФ1 ■ П1) dS1

./Г1 дх3 JдQ1

= / Р-11(хз) УФ1 УФ1 = / р-11(хз) |УФ1|2 ^, ./П1

(-Р02РГ1Ф2, П0) + (Р02РГ2Ф2, П2) = I Рг1 Ф2 Р-21 тг1 ¿Г1+

,/г1 дхз

+ / РГ2Ф2Р-21 ^¿Г = / Ф2(Ро21^Ф2 ■ Й2)^2 = / р-21(Хз)|УФ2|2^П2,

«/ Г2 дХ3 ,УдП2 ./П2

окончательно получаем

(Мп,п)= / Ро°11(Хз)|УФ1|2 + / Ро°21(Хз)|УФ2|2 ¿^2 + Р0 / |П2|2 ^ ./п1 ./п2 ./г2

С учетом ограниченности оператора М из последнего видно, что он самосопряжен и положителен. □

Лемма 4. Оператор В из (30), действующий в пространстве Н, самосопряжён, ограничен и неотрицателен.

Доказательство следует из равенства

(Вх, х)н = ™)/0(П>А)) + (В12П е)/о(П,ро) + (В21г п)я + (В22П п)я =

2 ( 2 = X / ^^2(жз)р0г(жз) Ц,3 + (р-^УФг ■ 63) | ¿П».

»=1 ./П;

Докажем его. С учётом определения (31), а также обозначений (25) имеем: 2

(В11^,^)/о(П,ро) = ^(В11 ^,^)/0(Пг,р0г) =

»=1

У^ (Д),г ^2(хз)^г;звз = Х/ ^2(жз) Рог(хз) К,з|2 ¿П»,

¿=1 V I- -I / .о(Пг,рог) »=1

2

(В12П,^)/о(П;ро) = В^М и(Пг,№) =

¿=1

2 2 „

= X (Ро,г (^2(хз)(игПг)вз) , е) = X / Ж2ро» (р-^Ф* ■ бз) г,з ¿П»,

¿=1 »=1

2 ^ д Ф \

(В21гу, п)н = М, + (В^, По)я. = J РГР Р-/ ^

»=1

2

+ / %к2 (Р-21 Ц^) ¿Г + ^ Рг2к^Р-21 Ц^) ¿Г = X ^ к» (р-^ф» ■ п)

X] I Ро» (Ро»^к) (р°-^Фг) ¿П» = X / (р-^Ф» ■ ез) ¿П»,

'гх \ дХз / .Угг \ дХз

2 „ 2

»=1 ^ »=1 ^ 2

(В22П,П)Я = XX(В22Пг,Пг)Яг + (В12^ Ыя. = ^ РГхт1 11 ^^ ¿Г1 +

+ £ РГ1 Р0-1 Ш ^ + 12 РГ2 Р0-1 Ш ^ =

2 г 2 /•

= X / (Ро»^Ф» ■ п) ^ = X / Ро» (Ро^т») (р-1 VФ¿) ¿П» =

»=1 ^ дПг »=1 ^ ^г

2 Г

= Х / NРо*к"^Фг ■ ё*з|2 ¿П».

Лемма 5. Оператор К := РГ2КРГ2 из (30) является положительно определённым и неограниченным в Н2.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 1.

Замечание 5. Прежде чем перейти к дальнейшим рассуждениям, отметим ряд фактов:

1. В уравнении (29) оператор М с учётом его определения и леммы 3 удовлетворяет следующим свойствам: 0 < М = М* Е £(Н), £(Н) — пространство линейных

ограниченных операторов, действующих в Н. Однако операторный коэффициент при искомой функции не является положительно определенным оператором. Данный факт не позволяет воспользоваться известной теоремой о существовании и единственности сильного решения (см., например, [8]), в связи с этим требуются дополнительные построения.

2. В работе [3] рассматривался случай, когда свободная поверхность Г2 полностью покрыта крошеным льдом. В этом случае исходная начально-краевая задача была сведена к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве, при этом структура операторных коэффициентов более простая, чем в рассматриваемом здесь случае, когда на свободной поверхности — упругий лед. В частности, операторный коэффициент при искомой функции в [3] является ограниченным и положительно определенным.

5. Теорема существования сильного решения

Перепишем уравнение (29) в следующем виде:

( * 1 + ( /0 + В11 В12 1 ( * 1 = ( ^ 1 + ( /0 о \ ( * \ (34) ¿Д Мп ^ Д В21 /к + В22 Д п ) V р ) V о о Д п ) . (3)

Осуществим замену /¿^п = С в (34) и применим оператор diag (/0; /—1/2) к обеим частям уравнения, в результате приходим к уравнению

сР_ ( * 1 ( /0 + В11 В12/-1/2 \ ( *

аД /-1/2М/—1/2() ^ /— 1/2В21 /2 + /— 1/2В22/-1/22 ) I С

Р^ \ / /0 0 \ / *

I-01/2f jч 0 z

Пусть теперь I^^MI-1^ = y, что равносильно

mIkZ := I-1/2MI- 1/2Z = I- 1/2MI-1/2(11/2n) = I-1/2Mn = y. (35)

С учётом сказанного приходим к следующей задаче Коши: d2v ^

— + IBFv = f + Rv, v(0) = (W(0); y(0))4, v'(0) = (W'(0); y'(0))4, (36) F = diag(I0; M-1), R = diag(I0; 0), f = (F^; I-1/2F)4,

. ........„r-1/2

^ / B21 I2 + ^ / B22 ^

_ I0 + B11 B12I-B = I . -1/2 R T . T-1/2 R T-1/2

где /в — самосопряженный, ограниченный и положительно определенный оператор, Р(/вР)= £>(Р).

Введем скалярное произведение, определяющее эквивалентную норму в пространстве Н: г>2] := (/— ; г>2), тогда

[/вР^; ^2] = (Р^; ^2) = Р^) = /— 1/вР^) = /вР^],

следовательно, /вР — самосопряженный оператор, более того, он является неограниченным и положительно определенным оператором.

Определение 1. Сильным (по переменной г) решением задачи (36) на отрезке [0,Т] назовём такую функцию г (г) со значениями в Н, для которой выполнены следующие условия:

1) г(г) Е £>(/вР) при любом г Е [0; Т], /вРг Е С ([0; Т]; Н);

2) V Е С2 ([0; Т]; Н);

3) выполнены уравнение (36) и начальные условия.

Замечание 6. Отметим, что введённое определение говорит о том, что все фигури-руемые искомые функции переменной г и пространственных переменных, а также их производные по г, имеющиеся в условиях, являются непрерывными функциями г со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах. Что касается непрерывности и даже существования всех участвующих производных по пространственным переменным, то это, вообще говоря, не требуется.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

г(0) ЕГ(/ВР) = Р(Р), г'(0) Е Р((/БР)1/2) = Р(Р1/2), /(г) Е С1 ([0; Т]; Н). (37)

Тогда задача (36) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т].

Доказательство. Теорему существования сильного решения задачи Коши (36) докажем, опираясь на преобразования из [8, с. 291-301]. Введём новые искомые функции Р 1/2г =: и, и =

р 1/2г' = р 1/2г, г ' = г и

перейдём к системе уравнений первого порядка

± ( г N ( 0 —/БР1/2 \ ( г N ( / + ЯРо1/2и А и У А Р1/2 0 Д и ,/ А 0

/в 0 N ( 0 —Р1/2 N ( ге N ( / + ЯРо1/2и

0 V Р1/2 0 ; V и У А 0

Здесь оператор diag(/Б; /2) ограничен и положительно определён, а оператор

0 _Р1/2 N . ( 0 гР1/2

Р1/2 0 ; = \ —гР1/2 0

является инфинитезимальным генератором унитарной группы операторов, действующей в пространстве Н ® Н. Поэтому произведение таких операторов обладает таким же свойством в пространстве с эквивалентной нормой, определяемой оператором diag(/¿1; /2).

Далее, дополнительное слагаемое, определяемое выражением (ЯР°1/2и;0)4, соответствует ограниченному возмущению инфинитезимального генератора унитарной и потому сильно непрерывной группы операторов. Поэтому операторный коэффициент в полученной задаче Коши является инфинитезимальным генератором сильно непрерывной группы операторов. Значит, если выполнены условия

Р 1/2го = ио Е £>(Р1/2) ^ го Е £>(Р), г1 = го Е £>(Р1/2), /(г) Е С1 ([0,Т]; Н), то задача (36) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т]. □

Вернёмся по всем преобразованиям обратно к задаче (29). Пусть выполнены условия (37), тогда задача Коши (36) согласно теореме 2 имеет единственное

сильное решение на отрезке [0; Т]. С учётом замены (35) имеем

(г° = («;уо)4 Е Х>(Р)) ^ (« Е /о(П,ро),уо Е®(М1-1)) ^ ^ (/о Е /о(П,ро), М-1уо = М—1 (М/кД^У Е н) ^ ^ (/о Е /о(П,ро),по ЕР(/К/2)) ^ ^ («о Е /о(Пг,рог) (г = 1, 2), По Е Нь по Е £>(К1/2)) . Далее,

(г1 = (г/1;у1)4 Е Р(Р1/2)) ^ (г/1 Е /о(П,ро),у1 Е Р(М—1/2)) ^ ^ (г/1 Е /о(П,ро), М—1/2у1 = М—1^/^У = М^У Е Н) ^ г/1 Е /о(П,ро), п1 Е^(/К/2)) ^

Е /о(а,рог) (г = 1, 2), По1 Е Н1, п1 Е £>(К1/2)) , /(г) Е С1 ([0; Т]; Н) ^ (р„ Е С1 ([0; Т]; /о(П,ро)) , /^/2Р Е С1 ([0; Т]; Н)) ^ ^ А Е С1 ([0; Т]; /о(П, ро)) , Р Е С1 ([0; Т]; Н)) ^ Т(г) Е С1 ([0, Т]; Н) .

Здесь оператор /^1/2 является ограниченным оператором. Лемма 6. Если выполнены условия

Xо = («; по)4 Е /о(П,ро) ФР(/К/2) ^ « Е /о(Пг,рог), поо Е Н1, по Е 1/2),

X1 = (г/1; п1)4 Е /о(П,ро) ф Р^2) ^ Е «о(Пг,рог), по1 Е Нь п1 Е £>(К1/2), Т(г) Е С1 ([0, Т]; Н) , Н = /о(П,ро) ф Н, то существует единственное сильное решение задачи (29).

Определение 2. Сильным (по переменной г) решением задачи (1)-(3) на промежутке [0, Т] назовём набор функций и (г, ж), рг (г, ж), рг (г, ж) и (г, X) (г = 1, 2), для которых выполнены следующие условия:

1) и Е С1 ([0,Т] ; (Пг,рог^, р—/Ур Е С ([0,Т]; С (Пг,рог)), а также р^ Е

С1 ([0,Т]; £2 (Пг)) и при любом г Е [0,Т] справедливо первое уравнение (1), где £2(Пг) — гильбертово пространство скалярных функций со скалярным произведе-

нием

(^ФЫп,) := 92 [роДжзЖЛж^] 1^(ж)ф(ж) ¿Пг;

2) выполнены граничные условия на Гг: д^г/дг Е С ([0,Т] ; Нг), р1 = р2 + Ард(1 Е С ([0, Т]; ¿2(Г1)), Р2 = К(2 + ро(д2(2/дг2) Е С ([0,Т]; ¿2^2)), где все слагаемые являются непрерывными по г функциями со значениями в ¿2(Гг);

3) выполнены начальные условия.

Возвращаясь от задачи (29) по всем преобразованиям назад, приходим к условиям существования сильного (по переменной г) решения исходной начально-краевой задачи (1)-(3).

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

1) р0 € £2^), и!0 € ^0,5 (г = 1, 2) (см. подробнее (7) и после (13)), причём 71Р/1,51 и!(ж) = —72П1рг^и0(ж) (на Г1) (см. подробнее (33));

2) С0 € Н1 = ¿2 (Г1) е {1Г1}, С0 € Х>(К1/2), дг2 № = 0;

3) С! = [(Рад и10 (х)) ■ п1]г1 € Н1, С21 = [(и20 (я)) ■ € 1/2);

4) /7 (£) € С1 ([0,Т] ¿2 (а,Р0*)) .

Тогда каждая из задач: (1)-(3); (5); (18)—(24) и (29) — имеет единственное сильное по £ решение.

Автор благодарит рецензента за внимание к работе и уточнения.

Список литературы

1. Прикладные задачи динамики ледяного покрова / В.М.Козин, В. Д. Жёсткая, А. В. Погорелова [и др.]. — М. : Акад. Естествознания, 2008. — 329 с.

2. Букатов, А. Е. Волны в море с плавающим ледяным покровом / А. Е. Букатов. — Севастополь : Морск. гидрофиз. ин-т, 2017. — 360 с.

3. Цветков, Д. О. Малые движения системы идеальных стратифицированных жидкостей, полностью покрытой крошеным льдом / Д. О. Цветков // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. — 2018. — Т. 26. — С. 104-119.

4. Kopachevsky, N. D. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1. Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid / N. D. Kopachevsky, S.G.Krein. — Basel ; Boston ; Berlin : Birkhauser Verlag, 2001. — 384 p.

5. Цветков, Д. О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой упругим льдом / Д. О. Цветков // Сиб. электрон. мат. изв. — 2018. — Т. 15. — С. 422-435.

6. Копачевский, Н. Д. Колебания стратифицированных жидкостей / Н. Д. Копачев-ский, Д. О. Цветков // Соврем. математика. Фундамент. направления. — 2008. — Т. 29. — С. 103-130.

7. Агранович, М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей / М. С. Агронович // Успехи мат. наук. — 2002. — Т. 57, № 5. — С. 3-78.

8. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г.Крейн. — M. : Наука, 1967. — 464 с.

Поступила в 'редакцию 17.09.2018 После переработки 29.04.2019

Сведения об авторе

Цветков Денис Олегович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа, Крымский федеральный университет, Таврическая академия, Симферополь, Россия; e-mail: tsvetdo@gmail.com.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 2. P. 179-194.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14205

ON AN INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM ARISING IN THE DYNAMICS OF A SYSTEM OF STRATIFIED FLUIDS

D.O. Tsvetkov

Crimean Federal University, Taurida Academy, Simferopol, Russia tsvetdo@gmail.com

A linearized problem of small motions of a system of layers of incompressible ideal stratified fluids with a free surface, covered with the elastic ice that is modeled by the elastic plate, is considered. With using the method of the orthogonal projecting the boundary conditions on the moving surface, the original initial-boundary value problem is reduced to the equivalent Cauchy problem for an ordinary differential equation of the second order in some Hilbert space. We find the conditions under which there exists a time-strong solution to the initial-boundary value problem describing the evolution of the original hydrodynamics system.

Keywords: stratified fluid, elastic ice, differential-operator equation, the Cauchy problem in a Hilbert space, strong solution.

References

1. KozinV.M., Zhyostkaya V.D., PogorelovaA.V. [et al.]. Prikladnye zadachi dinamiki ledyanogo pokrova [Applied problems of ice cover dynamics]. Moscow, Akademiya Estestvoznaniya Publ., 2008. 329 р. (In Russ.).

2. Bukatov А.Е. Volny v more s plavayushchim ledyanym pokrovom [Waves in the sea with floating ice cover]. Sevastopol, Marine Hydrophysical Institute, 2017. 360 p. (In Russ.).

3. Tsvetkov D.O. Malye dvizheniya sistemy ideal'nykh stratifitsirovannykh zhidkostey, polnost'yu pokrytoy kroshenym l'dom [Small movements of a system of ideal stratified fluids completely covered with crumbled ice]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika [Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics], 2018, vol. 26, pp. 105-120. (In Russ.).

4. Kopachevsky N.D., KreinS.G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1. Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. Basel, Boston, Berlin, Birkhauser Verlag, 2001. 384 p.

5. Tsvetkov D.O. Malye dvizheniya ideal'noy stratifitsirovannoy zhidkosti so svobodnoy poverkhnost'yu, polnost'yu pokrytoy uprugim l'dom [Small motions of an ideal stratified fluid with a free surface completely covered with the elastic ice]. Sibirskiye elektronnye matematicheskiye izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2018, vol. 15, pp. 422-435. (In Russ.).

6. Kopachevsky N.D., Tsvetkov D.O. Oscillations of stratified fluids. Journal of Mathematical Sciences, 2010, vol. 164, no. 4, pp. 574-602.

7. Agranovich M.S. Spectral problems for second-order strongly elliptic systems in smooth and non-smooth domains. Russian Mathematical Surveys, 2002, vol. 57, no. 5, pp. 847-920.

8. KreinS.G. Linear Differential Equations in Banach Space. Americam Mathematical Society, 1972. 464 p.

Accepted article received 17.09.2018 Corrections received 29.04.2019