Нестационарная линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

Рассматривается первая начально-краевая задача для системы уравнений Осколкова, моделирующей в линейном приближении динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта нулевого порядка. Данная задача исследуется в рамках теории линейных неоднородных уравнений соболевского типа. Доказана теорема существования единственного решения указанной задачи и получено описание ее расширенного фазового пространства.

Ключевые слова: расширенное фазовое пространство, уравнение соболевского типа, относительно р-ограниченный оператор, система уравнений Осколкова.

моделирует в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости [1, 2]. Здесь V = (^1,... , уп), Vk = V;(ж,£), к = 1,п, соответствует вектору скорости жидкости; функция р = р (ж, £) отвечает давлению жидкости; вектор-функция / = (/1,... , /п), fk = / (ж,£), характеризует объемные силы; а вектор-функция V = (VI,... , гп), г; = V;(ж) соответствует стационарному решению исходной системы. (Поскольку таких стационарных решений может быть несколько [3], то мы не должны ограничиваться рассмотрением только одного — нулевого стационарного решения). Параметр V £ К+ характеризует вязкие, а параметр ж £ К — упругие свойства жидкости. Обоснование системы (1) содержится в [4].

Пусть П С Кп, п = 2, 3, 4 — ограниченная область с границей дП класса С. Рассмотрим задачу Коши—Дирихле

для системы (1). В случае, когда f = f (ж), задача (1), (2), изучалась в [4]. Нашей целью является изучение разрешимости задачи (1), (2) при нестационарном свободном члене f = f (ж,і). Эту задачу мы исследуем в рамках теории линейных уравнений соболевского типа. Поэтому сначала рассматривается абстрактная задача Коши для указанного класса уравнений, а затем задача (1), (2) изучается как конкретная интерпретация абстрактной задачи.

Введение

Система уравнений

(1 — жУ2)^ = — (V ■ У)^ — (V ■ У)й — Ур + Д

0 = У ■ V

(1)

v(ж,і) = 0, (ж, і) Є дП х К;

v(ж, 0) = зд(ж), ж Є П.

(2)

1. Абстрактная задача

Пусть Ы и Т — банаховы пространства, операторы Ь £ £(Ы; Т) (т. е. линеен и непрерывен) и M £ 67(Ы; Т) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен).

Пусть интервал = (а, Ь) содержит точку 0 и вектор-функция / £ С00 (1^; Т).

Рассмотрим задачу Коши

и(0) = м0 (3)

для линейного операторного уравнения соболевского типа

Ым = Ми + /. (4)

Хорошо известно, что задача (3), (4) однозначно разрешима не для всех начальных данных м0 из банахова пространства Ы. Поэтому актуальным является описание множества корректности указанной задачи. В связи с этим введем следующее определение.

Определение 1. Множество В* С и х К назовем расширенным фазовым пространством уравнения (4), если:

(I) любое решение u £ С°(/ь;Ы) уравнения (4) лежит в В*, т. е. (м(£),£) £ В* для любого £ £ /^;

(II) при любом (и0, 0) £ В0 существует единственное решение задачи (3), (4).

Замечание 1. Понятие расширенного фазового пространства обобщает понятие фазового пространства [4] на неавтономный случай, и представленные в этом параграфе результаты изложены в соответствии с цитируемой работой и работой [5].

Замечание 2. Ранее вместо термина «расширенное фазовое пространство> использовался термин «конфигурационное пространство> [6], что вносило некоторую путаницу в терминологию (см. по этому поводу [5]).

Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда задача (3), (4) редуцируется к эквивалентной системе

Яй° = и° + М-70, и°(0) = и° й1 = би1 + Ь-71, и1^) = и°

;Д _ с„Д т-lfl л,1/п\_л,°’ (5)

где Я = М-1Ь°, 5 = Ь-1Мь ик Є ик, ^ Є .Я, к = 0,1; ик, (.к) - подпространства банахова пространства и (.) такие, что и° ф и1 = и (. ф .1 = .);

и Ьк — сужения операторов М и Ь соответственно на подпространство ик. По построению 5 Є £(и1). Тогда вторая задача (5) имеет единственное решение и1 Є С(/ьи1), представимое в виде

и1(і) = ехр(і$)и1 + / ехр((і — 3)5)Ь11f1 (з) ^з, і Є 7^,

причем ехр(£$) = и — полугруппа, являющаяся сужением разрешающей полугруппы и* уравнения (4) на Ы1. Для рассмотрения первой задачи (5) предположим, что то — устранимая особая точка либо полюс порядка p £ N Ь-резольвенты

г

оператора М, т. е. оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є N° [5]. Тогда, последовательно дифференцируя р раз первое уравнение (5) по і и умножая слева на оператор Я, получим

= — £ я»м°-1 (і), і є £ (6)

»=°

Отсюда видно, что первая задача (5) неразрешима, если

и» = — £ я» м-1 (0).

»=°

С другой стороны, если (6) выполняется в нуле, то первая задача имеет единственное решение и° Є Сте(/ь и°).

Из соотношения (6) следует, что расширенное фазовое пространство задачи (5), а следовательно, и задачи (3), (4) имеет вид

Вг = |(и(і),і) : и (і) Є ёошМ, (/ — ф) ^Ми(і) + ^^Я» --і» (і)^ =0, і Є /^

где Я = Ь°М(-1(/ — ф), ф — проектор на подпространство .1 .

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є N°. Тогда при любом f Є Сте(/^; .) и при любом и° таком, что (и°, 0) Є В°, существует единственное решение и Є Сте(/ь и) задачи (3), (4), имеющее вид

и(«) = - £ я» Мо-1(/ - 0) (() + и'и! + / и;-'ь-1<э/(8) ж.

9=° 0

2. Конкретная интерпретация

Перед тем как приступить к исследованию задачи (1), (2), сделаем два замечания.

Сначала заметим, что уравнение несжимаемости 0 = V • V можно заменить уравнением

0 = V(V• V). (7)

Мы получили систему уравнений, эквивалентную исходной, так как по формуле Гаусса—О строградского

дп

Учитывая,что V • р = Сопв^) (это вытекает из (7)) и 1/(х,£) = 0 для всех (х,£) £ 5П х К, получим Сопв^) = 0. Далее, положим Vp = рР , так как во многих гидродинамических задачах знание градиента давления предпочтительнее,

чем знание давления [7]. Итак, рассмотрим задачу (2) для системы Осколкова, представленной в виде

Г (1 — жУ2^ = ^У2^ — (й ■ У)^ — (V ■ У)й — — + /,

\0 = У(У- V). (8)

Задачу (2), (8) будем рассматривать как конкретную интерпретацию абстрактной задачи (3), (4). Поэтому редуцируем ее к задаче Коши для линейного неоднородного уравнения соболевского типа. Редукцию проведем, следуя [8]. Обо-

О О

значим через Н2 = (Ж^)”, И1=(Ж21)га, Ь = (Ь2)” — соболевские пространства вектор-функций V = (^1, ^2,... , V”), определенных в области П. Рассмотрим линеал С = {V Є (С0°(П))” : У^ = 0} вектор-функций, соленоидальных и финитных в области П. Замыкание С по норме Ь2 обозначим через Н2. Н2 — гильбертово пространство со скалярным произведением, унаследованным из Ь2. Кроме того, существует расщепление Ь2 = Н2 фНП, где НП — ортогональное дополнение к Н2.

Обозначим через П : Ь2 — НП ортопроектор. Сужение проектора П на пространО О О

ство Н2 П Н1 С Ь2 является непрерывным оператором П : Н2 П Н1 — Н2 П Н1.

О

(Обсуждение этого круга вопросов см. в [9].) Представим пространство Н2 П Н1 в виде прямой суммы Н2 ф НП, где Н2 = кегП, НП = ітП. Имеет место плотное вложение С С и непрерывные плотные вложения с—— Н^ и Н — Нп .

Пространство НП состоит из вектор-функций, равных нулю на дП и являющихся градиентами функций ^ Є Ж23(П).

Формулой А = У2 зададим линейный непрерывный оператор А : Н^ ф НП — Ь2 с дискретным, отрицательным, конечнократным спектром ^(А), сгущающимся лишь на —то. Пусть и Є Н^ ф НП. Тогда формулой

В : и — VУ2и — (и ■ У)и — (и ■ У)и

зададим линейный непрерывный оператор В : Н^ ф НП — Ь2. Выражением С : и — У (У ■ и) зададим линейный непрерывный оператор С : Н ф нп — ь2, причем ітС = НП, кегС = Н^.

Положим Е = I — П и обозначим через А (В) сужение оператора ЕА (ЕВ) на Н2. Оператор А : Н2 — Н2 линеен и замкнут, его спектр ст(А) дискретен, отрицателен, конечнократен, сгущается лишь на —то.

Положим Аш = I — жА. Выберем параметр ж таким, чтобы ж-1 Є а(А) П 0"(А). Обозначим через АШ2 (АШП) сужение оператора ЕАШ (ПАШ) на Н^ (НП). Тогда оператор АШ2 : Н22 — Н2 (АШП : НП — НП2) — топлинейный изоморфизм.

О

Представим пространства: Н2 П Н1 = Н^ х НП; Ь2 = Н2 х НП. Положим

и = Н2 х НП х Нр, Т = Н х Нп х Нр, Нр = Нп. (9)

Элемент и Є и имеет вид: и = (и2, иП, ир), где = Еи, иП = Пи, ир = —— Элемент / Є Т имеет аналогичный вид: / = (/2, /П, 0), где /2 = Е/, /П = П/.

Лемма 1. Пусть и и Т определены в (9). Тогда

(і) формулой

Ь

ЕАЖЕ 0 0

0 ПАЖП 0 0 0 0

(10)

определяется линейный непрерывный оператор Ь : Ы — Т. Если ж-1 Є ^(А), то кегЬ = {0} х {0} х Нр, ітЬ = Н2 х НП х {0};

(іі) если и Є Н2 ф НП, то формулой

ЕВЕ ЕВП 0 М = І ПВ Е ПВП —П I (11)

\ 0 С 0 /

определяется линейный непрерывный оператор М : Ы — Т.

Редукция задачи (2), (8) к задаче Коши (3) для уравнения (4) закончена.

Лемма 2. Пусть Ы и Т определены в (9), а Ь и М — в (10) и (11) соответственно, ж-1 Є ^(А) и 0"(А). Тогда оператор М (Ь, 1)-ограничен.

Доказательство. В силу леммы 1 оператор Ь бирасщепляющий. Поэтому для доказательства леммы ввиду результатов [4] достаточно показать, что, во-первых, каждый вектор ^ Є кегЬ \ {0} имеет точно один М-присоединенный вектор и,

во-вторых, М[Ы01] ф ітЬ = Т.

Пусть ^ Є кегЬ \ {0}, тогда в силу леммы 1 (і) вектор ^ = (0, 0, <^р), ^р = 0.

Отсюда М^ = (0, — <^р, 0) Є ітЬ. Найдем такой ф Є кегЬ \ {0}, что Ьф = М^.

Используя (10), получаем

Из (12) следует, что фп = 0, так как ^р = 0 по условию, а значит, Сфп = 0. Отсюда

Осталось доказать существование вектора ф ^ кегЬ\{0}, удовлетворяющего системе (12). Для этого рассмотрим оператор

АЖ<Гф2 0, ПАШфП ^р.

(12)

Поскольку

то компоненты фст и фп вектора ф можно найти из равенств: фст = 0, фп = — ^р,

а компоненту фр можно выбрать произвольно.

Проверим второе условие: М[и01] ф ішЬ = Т. Положим Ы00 = кегЬ, соішЬ = И2 х НП х {0}. Пользуясь оператором Ь-1, получим Т00 = М[и00] = {0} х НП х {0} С ішЬ, и01 = Ь-1[Т00] = ЕА-1 [Нп] х ПА-П[Нп] х {0}.

Поскольку АЖП [НП] = НП, то

и01 = ЕА-1А-П [НП] х НП х {0} С соішЬ.

Отсюда

Т01 = М[и01] = ЕВ(ЕА-М-П + I)[НП] х ПВ(ЕА-1 А-П + 1)Н]хС[НП].

Имеем

ЕА-1А-П + 1 = ЕА-1А-П + А^п А-П = (ЕА-1 + ПА-1)А-П = А-1А-П,

поэтому Т01 = ЕВА-1 А-ПС-1[Нр] х ПВА-1А-ПС-1[НР] х Нр С ішЬ, где оператор (7-1 — обратный к сужению (7 оператора С на НП.

Далее, положим

где

12

0 0 0

Р = І 0 0 0

0 0 П

ЕА-1 А_1 •

/ 0 0 0

О) = І 0 П 003

0 0 0

Р1

0 р12 0 00 000

0 0 д13

0 0 д23

0 0 П

где д13 = ева-1а-пС-1, д23 = пва-1а-пс-1, д03 = —о3.

Нетрудно проверить, что операторы : Ы ^ Ы , О : Т ^ Т при

к = 0,1 — проекторы, причем Р0Р1 = Р1Р0 = 0, д0д1 = д1д0 = 0. Поэтому

оператор д = 1 — д1 тоже является проектором, причем ішд = ішЬ, кег<5 = Т01.

Значит, Т01 ф ішЬ = Т. □

Для нашей задачи (2), (8) расширенное фазовое пространство В* определяется равенством

/ ~° о

^і1

или (1 — д)^ = 0, где

V = Ми + f (і) + Д

Д = Ь0М0~1(/ — д) Є£(Т; Т0),

а проектор I — Q = О) + Поскольку О°О1 = О^° = 0, то (О° + = 0

тогда и только тогда, когда (О°г> = 0) Л (О1^ = 0). Первое из этих равенств эквивалентно условию ип = 0, а второе выполняется тогда и только тогда, когда

>/(£)

Итак, расширенное фазовое пространство имеет вид

ДпСО

ПВи* + /л (і) + = иР.

В = < (и, і) Є Ы х К : иП = 0, ир = ПВи2 + /П(і) + Д-

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда для любого / Є Т, / = (/, /П, 0), и любого и0 такого, что (и0, 0) Є В0, существует единственное решение задачи (1), (2).

Автор выражает благодарность профессору Г. А. Свиридюку за внимание и интерес к данным исследованиям.

Список литературы

1. Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. мат. ин-та АН СССР. — 1988. — № 179. — С. 126—164.

2. Осколков, А. П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — Т. 198. — С. 31—48.

3. Осколков, А. П. Об асимптотическом поведении при £ ^ то решений начально-краевых задач для уравнений движения вязкоупругих жидкостей / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1989. — Т. 171. — С. 174—181.

4. Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 47—74.

5. Свиридюк, Г. А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Вестн. МаГУ. Математика. — Вып. 8. — С. 5—33.

6. Сукачева, Т. Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей / Т. Г. Сукачева // Дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Новгород. гос. ун-т.— Великий Новгород, 2004.

7. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтттитт. — М. : Наука, 1986.

8. Свиридюк, Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. — 1994. — № 1. — С. 62—70.

9. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская — М. : Наука, 1970.