Об одном подходе к решению задачи севооборота в многокритериальной постановке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об одном подходе к решению задачи севооборота в многокритериальной

постановке

About one approach to the solution of the problem of crop rotation in a

multicriteria setting

Темиров Астемир Алиевич Temirov Astemir Alievich

аспирант

Финансовый университет при Правительстве РФ

t-ast@mail.ru

Аннотация. В статье предложен теоретико-графовый подход к моделированию задачи севооборота, имеющий значение для аграрной экономики. Разработана и сформулирована задача короткого 4-хпольного севооборота в многокритериальной постановке. Векторная целевая функция содержит первый экономический критерий F (*) ^ max вида MAXSUM и отражает эффективность аграрного производства. Второй критерий F (*) ^ min вида MINSUM является аг-роэкологическим и характеризует экологическую безопасность продукции с. -х производства, минимизирует содержание вредных веществ в возделываемой культуре. Проблема нахождения «наилучшего» решения задачи севооборота предлагается реализовать последовательным выполнением подзадач.

Abstract. The article proposes a graph-theoretic approach to modeling the crop rotation problem, which is important for the agrarian economy. In this article the problem of short 4-field crop rotation in a multicriteria setting has been developed and formulated. The vector objective function contains the first economic criterion of the type MAXSUM and reflects the efficiency of agricultural production. The second criterion is agroecological and has the kind of MINSUM, it characterizes the ecological safety of agricultural products and minimizes the content of harmful substances in the cultivated crop. The problem of finding the "best" solution to the crop rotation

problem is proposed to be realized by the successive implementation of some sub-tasks.

Ключевые слова: севооборот, двудольный граф, паросочетание, принятие решений, многокритериальность, векторная целевая функция, множество допустимых решений, полное множество альтернатив.

Keywords: crop rotation, bipartite graph, match, making decisions, multicriteria, vector target function, set of admissible solutions, full set of alternatives.

В фундаментальном исследовании по экономико-математическому обоснованию параметров аграрного производства, в том числе оптимизации севооборотов отмечается, что разработка наиболее продуктивных севооборотов есть важное средство повышения эффективности использования земли, увеличения валовых сборов с.-х. культур. В границах севооборотов реализуются технологические процессы возделыванию с.-х. культур с применением рациональных систем машин и средств защиты растений. Поэтому организация севооборотов является одной из главных задач внутрихозяйственного землеустройства, которая может эффективно решаться только с использованием экономико-математических методов.

На современном этапе развития агрономической науки теоретической основой при построении севооборотов является плодосмена, то есть периодическая смена культур, отличающихся агротехническими и хозяйственными свойствами [8]. Рациональный севооборот в условиях орошения является исходным пунктом получения высоких устойчивых урожаев. Вместе с тем при изучении и построении севооборотов остается ряд недостаточно изученных, противоречивых и дискуссионных вопросов. В то же время, математически строгая постановка многокритериальной задачи оптимизации севооборота в условиях частичной неопределенности, а также теоретико-графовое ее представление требует проведения отдельных исследований.

При построении модели оптимизации севооборотов используют следую-

щие основные принципы [4, 10]:

- оптимизации структуры посевных площадей при введении в проектируемый севооборот агротехнически обоснованных сельскохозяйственных культур;

- увязывание планируемой структуры посевных площадей с рекомендуемыми сочетаниями отраслей сельскохозяйственного производства с учетом зоны расположения хозяйства;

- учет качества почв при проектировании чередования типов севооборотов (зерновой, овощной, кормовой и др.) и видов с.-х. культур.

Известны агробиологически обоснованные методы выбора предшественников, в том числе защищенные патентами, в частности способы подбора культуры-предшественника, являющейся комплементарной по аллелопатическому последействию [8]. Определенным недостатком такого подхода является его однокритериальность, направленность только на повышение продуктивности агропроизводства. Традиционным подходом к экономико-математической оптимизации является постановка и решение задачи линейного программирования (ЗЛП). В дополнение к традиционному для ЗЛП условию неотрицательности переменных, т.е. площади под конкретными культурами, на них накладывают следующие агротехнологические ограничения: площади пашни; использование производственных ресурсов; поддержание положительного баланса почвенного гумуса; выполнению плана отрасли полеводства по гарантированному объему производства товарной продукции и кормов; рекомендуемые размеры севооборотов и т.д. Здесь, также следует учитывать тот факт, что при традиционном экономико-математическом моделировании все числовые параметры исследуемых моделей обычно определены приблизительно или же взяты из каких-то отрезков числовой оси. В качестве целевой функции в такой линейной постановке используют либо максимальный чистый доход, либо минимум совокупных затрат на производство продукции.

Однако более общая постановка и реализация многокритериальной задачи экономико-математической оптимизации севооборотов требует проведения до-

полнительных исследований, в частности учета к экономическим критериям, экологических критериев. Необходимость такого подхода особенно важна при вынужденной замене запланированных сорточередований, при изменении эколо-го-экономических условий хозяйствования, например, цен сельскохозяйственной продукции, ограниченности агротехнических сроков, материальных, трудовых и финансовых ресурсов и др.

Изложенные причины способствуют проведению дополнительных исследований многокритериальной постановки задачи, например, для короткого 4-хпольного севооборота, на базе теории графов с двумя «разнонаправленными» критериями - экономическим и агроэкологическим. При этом первый критерий является экономическим показателем, обобщенно отражающим эффективность аграрного производства и являющимся, что очень важно, результатом реализации прогнозной модели. Второй из критериев является агроэкологическим, характеризующим экологическую безопасность продукции с.-х производства и минимизируется в процессе реализации разрабатываемой оптимизационной процедуры.

Таким образом, на базе теории графов формулируется многокритериальная задача оптимизации 4-хпольного севооборота, в которой первый - максимизируемый критерий имеет вид MAXSUM и представляет собой экономический эффект, базирующийся на результатах некоторой прогнозной модели, а второй - минимизируемый критерий вида MINSUM, являющийся агроэкологическим и определяет собой уровень вредных веществ [1] в возделываемой сельскохозяйственной культуре.

Проблема принятия решений существует для задач многокритериальной оптимизации [2, 3, 5, 6, 9]. Как правило, в таких задачах содержится большое количество неопределенностей, что связано с отсутствием достаточного объема информации для оптимальных действий. Поэтому в таких случаях говорят, что человек принимает решение в условиях неполной информации, а значит и неопределенности. Одной из таких задач многокритериальной оптимизации является задача севооборота, когда известны два и более критерия, имеющих различные направления и различные единицы измерения.

Постановка задачи. Пусть имеется общая площадь S пахотных угодий для одного фермерского предприятия. Пусть £ разбита на п полей одинаковой площади, занумерованные индексом у = 1,2,...п. Для культуры к = 1,2,...т выращиваемых на полях у данного хозяйства известно число отводимых полей под каждую к . Пусть также задана ожидаемая урожайность каждой культуры на каждом поле, что является результатом прогнозной модели. Ставится задача нахождения такого допустимого назначения культуры на поля, чтобы, во-первых, получить максимальную ожидаемую прибыль, и, во-вторых, обеспечить выход экологически чистого урожая с минимальным содержанием в нем вредных микроэлементов. Последние определяют и загрязненность поля, и урожайности культуры. Таким образом, задача определения оптимального севооборота является двукритериальной, а значит многокритериальной решение которой необходимо найти. Первый критерий ^ (х) означает экономический эффект: это объем ожидаемого выхода урожайности культуры, измеряется либо в ц / га, либо в рублях стоимости единицы веса культуры. Второй критерий (х) выражает суммарное количество вредных веществ содержащихся в урожае, показатель которого необходимо минимизировать.

Известно, что отличие многокритериальной задачи от однокритериальной состоит в том, что в первом случае получаем не одно решение, а множество альтернативных решений [2, 3, 5, 9]. Сделать окончательный выбор наиболее целесообразного решения должен человек, т.е. лицо принимающее решение (ЛПР). Таким образом, вопрос о принятии решений выходит за рамки формального определения понятия «оптимум», «оптимальное решение» по той причине, что на него в общем случае претендует не менее двух различных элементов. Отсюда становится ясной математическая неоднозначность указанной проблемы при двух и более критериях.

В настоящее время без сомнения теория графов является мощным инструментом для визуального графического представления моделей исследования, поэтому формулировка задачи севооборота базируется на математическом ап-

парате теории графов [2, 7]. Для этого будем использовать следующие понятия и обозначения:

- О = (у ,У2, Е) - это двудольный (т + п) - вершинный граф, в котором вершины первой доли VI = т пронумерованы индексами (номера) выращиваемых культур к = 1,2,...т, а вершины второй доли |У2| = п пронумерованы индексами (номера) полей у = 1,2, ...п;

- ребро е = (к, у), I е V, У е V является элементом множества Е двудольного графа О = (у ,У2, Е) только тогда, когда разрешается засевать культуру к на поле у по результатам прогнозируемого года, при этом отсутствие ребра е = (к, у) означает, что запрещено назначать к на поле у; каждому ребру е е Е приписаны веса ^ (е) > 0, у = 1,2,3;

- ику - урожайность (ц / га) культуры к на поле у;

- К - коэффициент загрязнения, который выражает уровень содержания вредных элементов на поле у ;

-щ(к)- количество вредного вещества в единице культуры к в случае, когда она выращивается на поле у, у которого коэффициент загрязнения равен К;

- ск - стоимость единицы урожая к - той ожидаемой культуры в рублях;

- 8} - площадь у - го поля.

Применительно к настоящей постановке допускаем следующее: в рассматриваемом фермерском хозяйстве все поля имеют одинаковые площади; для всех полей соблюдаются одинаковые агротехнические мероприятия; структура посевных площадей тоже одинакова.

На рисунке 1 представлен двудольный граф О = (у ,У2, Е) c бинарной матрицей возможных севооборотов в случае, когда известно количество полей у = 1, п, которое засевается культурой 1 < к < т.

Уг У: 1 1 \ 12 3 4

1 2 3 4 110 1 1110 0 111 10 11

I 3 3 }

\ 4 4 /

Рисунок 1 - Двудольный граф О = (V, V, Е) с бинарной матрицей х = | |х^.||

возможных севооборотов

Допустимое решение в терминах теории графов взаимно-однозначно представляется остовным подграфом х = (V, V, Ех), Ех с Е, который определяется так: Ех состоит из п попарно непересекающихся ребер таких, что ребро е = (к, 7)е Ех имеет место тогда и только тогда, когда в матрице х = 1 |х,.|| элемент хк. = 1. Ос-

II 711тхп к

товный подграф х = (V, V, Ех) состоит из к компонент связности, каждый из которых является паросочетанием с вершиной ук е V (культуры) и закачивается вершиной у} е V, означающие поля, на которых запланировано засевать культуру к. Множество таких остовных подграфов х = (^ V, Ех), удовлетворяющих этим условиям, называется множеством допустимых решений X = X(О)={х}. Другими словами подграф или же суграф х = (ух,У2, Ех) есть совершенное паро-сочетание [7].

На рисунке 2 представлено МДР X = {х} задачи севооборота. Каждое решение х1 ={е1, е5, е8, е12 }, х2 ={е1, е5, е9, еп }, хз ={е2, е4, е8, е12 }, х4 = {е2, е6, е7, е12 },

х5 = {е2' е4' е9' е11}, хб = {е3' е5' е8' е10 х7 = {е3 ' еб ' е7 ' е10 х8 = {е2 ' еб ' е9 ' е10 } ,

х9 = {е3, е4, е7, е11} есть совершенное паросочетание.

е1 1

е 8 3

4 ег

X1

X

6

11

'1 1

11

5 2 2

2 2

е 8 3 3

4 4 е

12

X,

44

22

33

44

22

е, 2

X

33

44

X

Рисунок 2 - Множество допустимых решений X = {х, х2, Xз, х4, х5, х6, х7, х8, х9}

В бинарной матрице факт допустимого решения х = ||х^.|| учитывается

строкой 1 < к < т, причем строка к содержит пк единиц и (п - пк) нулевых значений и удовлетворяет условию (1):

п _

£ Хку = 1, для к = 1, т . (1)

у=1

Условие допустимости решения х = ||х^.|| также требует, чтобы каждое

поле оказалось засеянным, причем одной культурой, и этот факт соответствует математической записи (2):

т _

£ ху = 1, для у = 1, п. (2)

к=1

Каждому ребру е = (к, у)е Е на рисунке 2 приписываются следующие веса щ (е), щ (е), щ (е), вычисляемые формулами (3-5):

щ (е) = пк] • , у'е У = к, У2 = 3 (3)

щ (е) = щ (е)-¥(К]) (4) Щ (е) = Щ(е)- Ск (5)

где, щ (е) означает выход ожидаемой урожайности культуры к с поля у; щ (е), вычисляется согласно (4) и определяет количество вредного вещества, содер-

1

1

е

2

3

3

3

е

12

4

5

1

1

1

1

1

1

жащегося в единице веса урожая культуры к на поле у; вычисленный вес щ (е) согласно (5) определяет стоимость урожая культуры к, выращенной на поле у.

Учитывая, введенные выше обозначения представим математическую формулу (6), для вычисления суммарного количества ожидаемого урожая:

4(x)=ZZukj • sj • xkj (6)

к=1 j=1

где ык] есть урожайность определенной культуры с поля у, - площадь у -го поля, хк] - булева переменная, значение которой определяется согласно выражения (7):

(1, если некоторая культура к засевается на поле у , ч

Хку = 1п (7)

[0, в противном случае

Тогда суммарное количество ожидаемого урожая с учетом содержания вредного вещества в получаемом урожае вычисляется по формуле (8):

/i'(x) = Z£ U, . Sj . x, ), (8)

где yk (k; )- количество вредного вещества в единице веса культуры к в случае, когда она выращивается на поле j, для которого коэффициент содержания этого вещества в пашне составляет К}. В таком случае, экологический критерий определяется выражением (9):

F2(x) = 4£) ^ min. (9)

4(x)

Экологический критерий урожайности представляет собой удельную величину усредненного количества вредного вещества, что означает содержание этого вещества в единице веса суммарного урожая (8), который ожидается в случае, когда поля засеваются согласного некоторого допустимого решения

x = xj е Х.

II к II mxn

Известно, что когда засеваемые на поля культуры являются разнородными, валовой показатель экономического эффекта принято выражать в рублях.

Тогда правильным считается максимизированная целевая функция экономического критерия, которая принимает вид (10):

\ (10)

Fi (x) = LL ck • ukj • sj • xk] ^ max,

k=1 j=1

где с^ - коэффициент приведения объемов выращиваемых культур к одной единице измерения.

Таким образом, эффект от назначения культуры k = i,2,...m на поле j = 1,2,...,« оценивается ВЦФ вида (11), в которой первый критерий F(x)^max стремится к максимуму, а второй F (x) ^ min - к минимуму.

F (x) = F (x), F2 (x)). (11)

Максимизируемый экономический и минимизируемый экологический критерии вычисляются по формулам (12) и (13) соответственно:

F (x)=£ W (e)^ max. (12)

ee£r

F2 "L W2 (e)^ min. (13)

L W1(e) ^

В настоящее время для задачи севооборота в многокритериальной постановке отсутствуют универсальные методы ее решения. Проблема нахождения наилучшего решения этой задачи предлагается реализовать последовательным выполнением следующих подзадач [2, 3, 5]:

- получить множество допустимых решений МДР X = {х};

- на МДР X = {х} определить состав векторной целевой функции;

- вычислить значения весов решений и получить численные значения целевых функций;

- найти из МДР паретовское множество (ПМ) X и полное множество альтернатив (ПМА) X0 используя бинарные операции предпочтения и несравнимости;

- на заключительном этапе с помощью процедур теории выбора и принятие решений из ПМА X0 на базе «прямых методов» найти вариант решения, претендующий на роль «наилучшего» с учетом справедливости включения

X0 ^ X с X.

Рассмотрим одну конкретную двукритериальную задачу, для наглядного представления вычислительных особенностей предлагаемой теоретико-графовой модели задачи севооборота.

Пусть решается задача одного короткого севооборота, и при этом имеются четыре культуры, представленные индексом к = 1,2,3,4. Культуры выращиваются на пахотных угодьях из 4-х полей 7 = 1,2,3,4.

Допустим, для простоты, что все поля имеют одинаковую площадь, тогда мы можем положить £ = 1, 7 = 1,4. При таком допущении и^ культуры к = 1,2,3,4 на полях 7 = 1,2,3,4 совпадают с соответствующими величинами щ (е) = ик] • я,. = ик] • 1, в = (к, 7) ожидаемого урожая, имеющихся культур на этих же полях. Представим их значения в таблице 1.

Таблица 1 - Значения урожайности и^ культур (ц/га) на полях единицы площади я и значения цен ^ за единицу веса продукции

Номера культур, к = 1,4 Номера полей, 7 = 1,4 Стоимость единицы веса продукции, ск, руб.

1 2 3 4

1 20 30 40 20 500

2 100 120 140 100 200

3 50 30 30 40 400

4 110 80 90 100 300

Количество вредного (загрязняющего) вещества [1] ) единицы веса (ц/га) культуры для каждой пары к,7 представлены в таблице 2 (3.7), и измеряется в граммах (г/ ц. га).

В двудольном графе на рисунке 1 отсутствуют следующие ребра: (1,3), (2,4), (3,1), (4,2). Согласно агротехнического условия, пара (к, 7) является запрещенной, если в предыдущем году культура к была засеяна на поле 7.

Таблица 2 - Количество ) вредного вещества в единице веса культуры

Номера полей, 7 = 1,4

Номера культур, к = 1,4 1 2 3 4

1 10 15 10 20

2 30 20 25 15

3 40 50 30 30

4 20 35 15 25

Далее для каждого ребра е е Е находим численные значения весов w1 (в1),

г = 1,12 с помощью формул (3-5), при этом принимая во внимание данные таблицы 1 и 2. Результаты сведены в таблицу 3.

Таблица 3 - Численные значения весов ребер графа G = V V2, E)

Веса wi (ei) ребер Ребра двудольного графа

e1 e 2 e 3 e4 e5 e6 e 7 e8 e 9 e10 e11 e12

w1 (ei) 20 30 20 100 120 140 30 30 40 110 90 100

w2 (ei ) 200 450 400 3000 2400 3500 1500 900 1200 2200 1350 2500

w3 ^ ) 1000 0 675 0 100 0 2000 0 2400 0 2800 0 1200 0 1200 0 1600 0 3300 0 2700 0 3000 0

На следующем этапе вычислительного процесса для каждого решения х е X находим численные значения целевых функций F (х) и F2 (х) с помощью формул (12) и (13). Алгоритм нахождения значений целевых функций F (х) и F2 (х) продемонстрируем на примере одного допустимого решения, т.е. севооборота: х1 ={e1, e5, e8, e12}

1. Находим эффект от назначения культуры к на поле j, вычисляя значения весов решений: Fv (х) = £ wv (e), v = 1,2,3.

eeE

F (хх )=w (e)+w (e)+w (e)+w (e2)=20+120 + 30+100 = 270 ц / га.

F(х)= w(e)+ w(e)+ w(e)+ w(ei2) = 200 + 2400 + 900 + 2500 = 6000 гр.в ц/га.

F (х ) = w (e ) + w (es)+ w (e ) + w (ei2 ) = 10000 + 24000 +12000 + 30000 = 76000 тыс.руб.

2. Вычисляем значения ВЦФ ^ (х) и ^ (х) соответственно экономический и экологический критерии с помощью формул (12) и (13): ^ (х)= Е ^ (е) = 76000;

е^х

„ / Ч 1 ^ / ч 6000 „

(х) = ^^ • Е (е) = 6000 = 22,2. Е (е) еТЕ, 270

X

Ex

Аналогичные вычисления осуществляем для остальных решений x е X:

Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Значения векторной целевой функции для МДР X

Множество допустимых решений, xr, r = 1,9 Векторная целевая функция

F1 (xr) ^ max F2 (xr) ^ min

xi 76 000 22,22

x 2 68 750 26,35

80 000 26,55

x 4 69 750 23,08

x 5 77 000 19,07

x 6 70 000 21,07

74 000 25,33

x8 83 750 22,97

x9 60 000 26,04

Следует отметить, что целевые функции F X max и F (xr min имеют различные направления и различные единицы измерения, поэтому нарушены условия однородности, соизмеримости и сопоставимости критериев ВЦФ. В силу этого методом «нормирования» [2, 5, 9] преобразуем критерии ВЦФ (11) так, чтобы результаты такой операции привели к виду, отвечающему перечисленным выше условиям. Для этого сначала изменим вид экстремума ЦФ F(x)^max на противоположный F*(xmin. Такое преобразование должно обладать следующими свойствами: для F * (x) сохраняется та же единица измерения, что и для исходного F (x); для F * (x) и F (x) сохраняются значения их экстремумов, это значит, что Д* = A1 и a* = a1, где Д* = maxF*(x), A1 = maxF(x);

а* = min F* * (x), a = min F (x). Перечисленным свойствам отвечает следующее ли-

xeX xeX

нейное преобразование (14):

Fj* (x)= a1 + A1 - F1 (x), x e X, (14)

где из таблицы 4 находим значения а = 60000 , А1 = 83750 . После применения (14) к F (x) ^ max получаем ВЦФ вида (15):

F * (x) = (f* (x), F2 (x)), (15)

удовлетворяющие первым двум условиям: однородности и сопоставимости: F1 * (xmin , F2 (x)^ min . Численные значения результатов в таблице 5.

Из таблицы 5 видно, что условие соизмеримости пока еще нарушается для наших критериев F* (xr) и F2 (xr) в масштабе их измерения, поэтому продолжаем нормировать оба критерия ВЦФ (15), чтобы обеспечить сопоставимость. Для этого находим для каждого критерия «эталон» т , который может быть оптимальным значением для ЦФ F** (x) и F2 (x). Поскольку оба критерии минимизируются, подходящими эталонами из таблицы 5 будут следующие значения т = a, = min F* (x) = 60000 и т = a = min F (x) = 19,07.

1 1 xeX 1 4 ' 22 xeX X '

Таблица 5 - Значения целевых функций после нормирования

Множество допустимых значений, xr, r = 1,9 Векторная целевая функция

Fj* (xr min F2 (xr) ^ min

x1 67 750 22,22

x2 75 000 26,35

^ 63 750 26,55

x4 74 000 23,08

x 5 66 750 19,07

x 6 73 750 21,07

^ 69 750 25,33

x8 60 000 22,97

X 9 83 750 26,04

Далее, используя формулу (16):

f: (x) = .1fm v = 1,2 (16)

«v

критерии F* (x) и F (x) представляются в нормированном или, что, то же самое, в удельном виде [9]. В таком случае нормированная величина (16) выражает значение fv (x) в долях от величины оптимума av. Тогда из таблицы 5 получим таблицу 6, в которой представлены значения обоих нормированных критериев:

Fн (x) = — • F* (x) ^ min , FH (x) = — • F (x) ^ min . Они образуют собой нормирован-

a a2

ную ВЦФ (17):

Е" (х)=^" (х), Г2* (х)). (17)

Таблица 6 - Удельные значения целевых функций после нормирования

Допустимые решения, xr, r = 19 Значения векторной целевой функции после нормирования

FiH (xr) FH (xr)

x1 1,13 1,17

x2 1,25 1,38

x 1,06 1,39

x4 1,23 1,21

x5 1,11 1,00

x 6 1,23 1,10

1,16 1,33

x8 1,00 1,20

x9 1,40 1,37

Идеальные точки, a 1.0 1.0

Следует отметить, что ВЦФ (17) удовлетворяет всем условиям так, что можно было применить известные в теории принятия решений бинарные операции предпочтения и несравнимости [2, 3, 5, 9]. Из таблицы 6 по результатам бинарных операций сравнения очевидно, что векторно несравнимыми, а значит и парето-оптимальными являются элементы х5 по значению Е2 (х) и х8 по значению Е (х). В результате получаем паретовское множество (ПМ) X состоящее из двух взаимно недоминимруемых элементов х5 и х8. В таких случаях

принято говорить, что ПМ Х состоит из двух паретовских оптимумов и равно полному множеству альтернатив (ПМА) Х0 [5, 9], т.е. справедливо равенство

X = X° = {x5 , x8 }.

Итак, для задачи севооборота существует проблема принятия решения: выбор из двух X0 = {x5, x} одного решения, когда оба несравнимы и претендуют на роль «наилучшего». В настоящее время отсутствуют универсальные методы решения такой проблемы, но существуют так называемые «прямые методы» в виде решающих правил (РП), представленные в трудах [2, 3, 5, 9] последовательное применение которых, при некоторых условиях выбирает тот элемент, который может претендовать на роль «наилучшего» или «компромиссного».

Предпримем попытку осуществить выбор и принятие решения при следующих предположениях:

1. Пусть нормированные критерии (17) имеют одинаковый коэффициент относительной важности:

2. Пусть каждый из трех РП fp (x), p = 1,3 в одинаковой степени отражает

величину полезности вариантов x e X, r = 1,2 .

Тогда, с учетом предположений 1 и 2 найдем значения применяемых РП: «взвешенная сумма» (линейная свертка критериев), «минмакс» и «расстояние до идеальной точки», с целью выделить из двух решений то единственное, которое будет считаться условно оптимальным. Результаты сведем в таблицу 7.

2

1. РП «взвешенной суммы»: f (ä, x) = £ Äv Fv (x) ^ min

V=1

f (ä, x5 ) = 1 • 1,11 +1 • 1,0 = 2,11;

f (ä, x ) = 1-1,0 +1 • 1,20 = 2,20.

2. РП MINMAX: f (ä

, x) = maxÄv • Fv (x) ^ min

1<v<2

f (ä, x5) = max(1 • 1,11, 1 • 1,0) = 1,11;

1<v<2

f (ä, x8) = max(1 • 1,0, 1 • 1,20) = 1,20.

1<v<2

3. РП вида "расстояние до идеальной точки":

2 V

,= (F(x)-r V 12

/ (Л, x) = I ^ (F (x) - av )2 ■ Л ^ min, где av - это идеальные точки из таблицы

Vv=i у

/ (Л, x) = V(i,ii - i,o)2 ■ i2 + (1,0 - i,o)2 ■ i2 ■ = 4 0,ii2 = o,ii; / (Л, x ) = V(l,0 -1,0)2 ■ l2 + (l,20 - l,o)2 ■ l2 ■ = 40,202 = 0,20.

Таблица 7 - Результат применения решающих правил

Допустимые решения, xr, r = 1,2 Решающие правила

Взвешенной суммы /1 (xr) MINMAX /2 (xr) Расстояние до идеальной точки, /3 (хг)

Х5 2,11 1,11 0,11

Х8 2,20 1,20 0,20

По результатам трех решающих правил ЛПР в качестве «наилучшего» выбирает х5 = {е, е5, е, еи}. Графовая и матричная модели решения х5 представлены на рисунке 3.

е,

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 0 0 1

4 0 0 1 0

л.

Рисунок 3- «Наилучший» севооборот

Таким образом, все этапы решения многокритериальной задачи севооборота последовательно реализованы:

1) получено МДР X

2) вычислены значения ЦФ для каждого х е X и результаты представлены в соответствующих таблицах

3) получено множество Парето X = (х)

4) получено полное множество альтернатив X0

i

1

е

i

х

2

2

3

3

5) применены три известных РП и найдено «наилучшее» из двух потенциальных решений.

Следовательно, предложена альтернатива традиционным подходам к решению экономико-математической задачи севооборота (постановка и решение задачи линейного программирования, учитывающей сложившиеся на данный момент условия), разработанная на основе теоретико-графового подхода и реализованная с использованием изложенного вычислительного процесса.

Литература

1. Гриценко, В.В. Вредители и болезни сельскохозяйственных культур. Серия Профессиональное образование / В.В. Гриценко, Ю.М. Стройков, Н.Н Третьяков. - М.: Изд-во Академия, 2014. - 224 с.

2. Емеличев, В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач / В.А. Емеличев, В.А. Перепелица // Дискретная математика. - М.: Российская академия наук, 1994.- Т.6, №1.- С. 3-33

3. Емельянов, С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений / С.В. Емельянов. - М.: Знание, 1985. - 32 с.

4. Иваньо, Я.М. О многоэтапных моделях оптимизации структуры посевов / Я.М. Иваньо, М.Н. Полковская // Известия Байкальского ГУ. - Изд-во БГУ (Иркутск). - 2014. - № 1 - С. 121-125.

5. Ларичев, О.И. Наука и искусство принятия решения / О.И. Ларичев. - М.: Наука, 1979. - 200 с.

6. Литвак, Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений /Б.Г. Литвак. - М.: Патент, 2001. - 271 с.

7. Оре, О. Графы и их применение / О. Оре. - М.: Мир, 1965. - 173 с.

8. Пат.2436285. Российская Федерация, МПК: Л0Ш7/00. Способ подбора комплементарного по аллелопатическому последействию предшественника / В.Н. Золотарев, Н.Ю. Красавина; заявитель и патентообладатель Государственное научное учреждение "Всероссийский научно-исследовательский институт

кормов имени В.Р. Вильямса" Российской академии сельскохозяйственных наук. - № 2436285; заявл.14.05.10; опубл. 20.12.11, Бюл. № 35.- 6 с.

9. Перепелица, В.А. Многокритериальные модели и методы для задач оптимизации на графах / В.А. Перепелица. - Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. - 337 с.

10.Филатов, А.Г. Системно-энергетический подход к теоретическим основам севооборотов / А.Г. Филатов, Б.Г. Ильманбетов, В.В. Коринец // Теоретические и прикладные проблемы агропромышленного комплекса. - М.: ТУМА ГРУПП, 2012. - №4(13). - С. 9-12.