Исследование сложности задачи покрытия графа цепями с интервальными данными Текст научной статьи по специальности «Математика»

МНГЕИНТПКН

ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОСТИ ЗАДАЧИ ПОКРЫТИЯ ГРАФА ЦЕПЯМИ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

А.М. Кочкаров, К.А. Кульчицкий, Ш.М. Курджиев, А.В. Николаев

RESEARCH OF COMPLEXITY OF THE PROBLEM OF THE COVERING THE GRAPH BY CIRCUITS WITH THE INTERVAL DATA

A.M. Kochkarov, K.A. Kulchitskiy, S.M. Kurdzhiev, A.V. Nikolaev

The article is devoted to research of problems with such kind of uncertainty, as interval the initial data. For research of complexity of such problems their data to 2- criterion are offered to problems. NP-completeness 2- criterion problems of a covering the graph is proved by circuits from what NP-completeness and consequently and intractability to a problem equivalent to it with the interval data follows.

Статья посвящена исследованию задач с таким видом неопределенности, как интервальные исходные данны/е. Для исследования сложности таких задач предлагается сведение их к 2-критериальным задачам. До-казы/вается NP-полнота 2-критерильной задачи покрытия графа цепями, из чего вытекает NP-полнота, а следовательно и трудно-решаемость эквивалентной ей задаче с интервальными данны1ми.

1. Общая формулировка векторных задач покрытия графа цепями

Пусть задан n -вершинный граф G = (V, E), каждому ребру e е E которого приписаны N весов

W(e), wv(e)e{1,2,...,r), v = 1,...,N.

Граф такого вида называется N -взвешенным. Задано также множество типов (покрывающих) цепей (МТЦ), обозначаемое через H = {h1,h2,...,ht,...,hT }i {2,3,...,n).

Покрытием графа G цепями заданной длины назовем такой остовный подграф х = (V, Ex ), Ex i E, у которого каждая компонента связности представляет собой некоторую h -цепь, где h е H. Число ht е H будем называть типом цепи, подразумевая при этом, что значения ht упорядочены по возрастанию. Всякое такое покрытие принято называть допустимым решением задачи о покрытии графа G цепями для заданного множества H . Множество всех допустимых решений (МДР) обозначим через X = {х). Для оценки качества допустимых решений на множестве X определена ВЦФ

F (x)=(Fi (x)F (x),...,Fn (х)), (1)

критерии которой имеют вид:

Fv (xextr, v = 1,..., N, (2)

extr е {min, max).

Критерии указанной ВЦФ (1)-(2), как правило, минимизируются (максимизируются). В общем случае решением индивидуальной [1] дискретной многокритериальной задачи является нахождение того или иного множества альтернатив (МА) [2].

В теории принятия решений в качестве МА принято рассматривать паретовское

множество (ПМ) X, состоящее из всех па-рето-оптимальных решений из [3, 4] МДР

X . ПМ X е X рассматривается в качестве МА в том случае, когда для ЛПР структура

плана х е X имеет столь же существенное значение, как и значение показателей Р(х), V = 1,...,N.

На практике в качестве МА рассматривают полное множество альтернатив

(ПМА) Xи. Оно определятся как подмножество X0 е X, если его мощность X 0| минимальна при выполнении равенства

р (X0 )= Р (X),

где Р(X*)= {р(х): х е X*}(VX*с X). По своему содержанию ПМА - это наиболее экономное множество представителей ПМ в критериальном пространстве. Иначе, если

для пары решений х', х" е X, выполняется равенство Р (х") = р (х " ), то х " и х " считаются эквивалентными и выбирается из них только одно.

2. Задачи с интервальными данными

Будем считать, что термин «интервальная задача покрытия графа цепями» будет означать сформулированную выше постановку задачи о покрытии графа цепями при следующем условии: для каждого ребра е е Е точное значение веса w(e), вообще говоря, неизвестно, в силу чего оно задается в виде интервала w(e)=[w1 (е), w2 (е)]. Уточним, что под интервалом подразумевается замкнутый отрезок на вещественной прямой Я . Таким образом, в исходных данных задачи относительно веса w(e) известно лишь, что его значение не меньше ниж-

ней границы w1 (е) и не превосходит верхней границы w2 (е).

При решении экстремальных задач на графах (например, задачи об остовных деревьях) веса, заданные интервалами, могут означать в области автоматизированного проектирования и объектах сетевого вида ожидаемый расход ресурсов (времени, материалов и т.п.) на создание объекта, представляемого соответствующим ребром.

В общем случае интервальная экстремальная задача на графах формулируется следующим образом. Дан п -вершинный граф G = (V, Е), в котором каждому ребру е е Е приписан интервальный вес w(e), заданный в виде отрезка

^е) = к (4 ^ (е)], где ^ (е) < ^ (е). Допустимое решение рассматриваемой задачи определяется в виде остовного подграфа х = (ух, Ех ), Vx е V, Ех е Е. Через X = {х} обозначим МДР этой задачи. На X определена интервальная целевая функция (ИЦФ)

w(x) = ^ w(e) ® шт .

ееЕх

(3)

Согласно определению операции сложения интервалов [5, 6] получим значение ИЦФ

w(e)=[wl (е), W2 (е)], (4)

где wi (х) = ^ wi (е), I = 1,2. Требуется

ееЕх

найти такой элемент х0 е X, на котором значение ИЦФ (3)-(4) достигает требуемого экстремума, например, минимума.

В случае интервальных весов нахождение оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив. В связи с этим, для определения подмножества решений необходимо ввести отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости [2,3,4].

Определение 1. Решение х1, предпочтительней решения х2 или, другими

словами, решение х2 доминируется решением х1, если wi (х1) < wi (х2), i = 1,2, при

этом хотя бы одно неравенство должно быть строгим. Эту предпочтительность обозначим через х1 • х2.

Определение 2. Решение х1, х2 е X называется несравнимым, когда имеет место строгое вложение интервалов, т.е. выполняется: либо w(x1 w(x2), либо w(x2) ^ w(x1). Несравнимость пары х1 и х2 обозначаем через х1 » х2.

Определение 3. Решения х1, х2 е X эквивалентны, если совпадают соответствующие им интервалы w(x2) = w(x1). Обозначим эквивалентность этих решений как х1 = х2 .

Введенные на МДР X бинарные отношения предпочтения и несравнимости

порождают ПМ X ^ X .

В качестве искомого решения интервальной задачи рассматривается как ПМ X,

так и ПМА X0.

Примечание 1. Введение указанных бинарных отношений порядка •, » и ° на МДР X диктуется содержательной постановкой задачи. При этом отношения порядка, представленные в определениях 1-3, порождают ПМ меньшей мощности, нежели отношения порядка, предлагаемые в работах [7, 8].

Решение интервальных задач является многоэтапным процессом. Вначале определяется состав критериев, порождаемых ИЦФ вида (3)-(4), после чего находится множество векторно-несравнимых альтернатив [9] X. На заключительном этапе с помощью процедур теории выбора и принятия

решений [2, 9] из X выбирается искомый «компромиссный оптимум» х0.

В отличие от классических экстремальных, т.е. оптимизационных задач на графах, в случае интервальных весов (4), вообще говоря, отсутствует безусловное наилучшее решение, и «компромиссный оп-

тимум» х0 приходится выбирать из множества несравнимых альтернатив X . Наличие в таком множестве хотя бы пары несравнимых по значению ИЦФ (3)-(4) решений означает, что исходной интервальной задаче присуща неопределенность функции цели.

3. Сведение интервальной задачи о цепях к 2-критеральной задаче

Сформулированная выше интервальная задача сводится к задаче многокритериальной оптимизации с тем же множеством допустимых решений X и векторной целевой функцией ВЦФ вида

F (х) = (Fj (х), F2 (х)), (5)

где

F (х) = ^ wj (х) ® min , (6)

eeEx

F2 (x) = ^ d(e) ® min ,

(7)

такого,

что

d (е)= w2 (е)- w1 (е). (8)

Определение 4. Решение х е X называется ПО для задачи с ВЦФ (5)-(7), если не

существует х е X

^ (х*)< ^ (~)

v\ ' ^ ', при этом хотя бы одно неравенство является строгим.

При исследовании задачи с ВЦФ (5)-(8) будем учитывать справедливость следующих утверждений.

Лемма 1. Пусть на множестве допустимых решений X = {х} задачи векторной оптимизации с минимизируемыми критериями ВЦФ (5)-(7) порождает ПМ X, а ВЦФ

^ (х)=(^1 (х), ^ (х)+ с), (9)

где С - некоторая константа, порождает ПМ Xc. Тогда справедливо равенство

X = X c.

Лемма 2. ПМ задачи векторной оптимизации на п -вершинном графе G = (V, Е) с минимизируемыми критериями вида (4) и вида (6)-(7) совпадают, если

для каждого решения х е X мощность множества ребер \EX \ = const.

Теорема 1. ПМ задач с ИЦФ (3)-(4) и ВЦФ(5)-(8) совпадают.

Доказательство. Поскольку определение ПО задач с ИЦФ (3)-(4) и с ВЦФ (5)-(8) эквивалентны, то ПМ указанных задач совпадают. Далее, согласно лемме 2, получаем, что ПМ задач с критериями (6)-(8) и (3)-(4) также совпадают. Отсюда следует утверждение теоремы.

Таким образом, согласно теоремы 1, при исследовании ПМ интервальной задачи можно использовать утверждения, полученные относительно 2-критериальной задачи с весовыми критериями вида (6)-(8).

4. Оценки сложности интервальной задачи о покрытии графа цепями

К настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные методы решения следующей проблемы распознавания. Для данного n -вершинного графа G и заданного МТЦ H е{2,3,...,n} требуется установить, является ли пустым МДР X = X(G) соответствующей задачи покрытия графа цепями. Для того, чтобы убедиться в том, что эта проблема трудна, достаточно рассмотреть такие случаи, когда H = Hх = {3} и H = H 2 = {n}. В случае H = H1 получаем NP -полную задачу, эквивалентную известной задаче о 3-сочетаниях, а в случае H = H2 получаем NP -полную задачу распознавания свойства гамильтоновости графа [1]. Вместе с этим случай H = H 0 = {2} определяет собой полиномиально разрешимую задачу о совершенном паросочетании [3, 11].

В дополнение к сформулированным выше утверждениям заметим, что в общем случае отсутствуют точные формулы вычисления максимальной мощности ПМА, ПМ и МДР. Эти формулы известны лишь в частных случаях, когда множество H состоит из единственного элемента h1 = 2 или

Ь = п : в случае ^ = 2 максимальная мощность множества совершенных паросочета-ний имеет, как указано выше, вид:

X =

n k2k

, k = —, n -2

четно; в случае

Ь = п , максимальная мощность множества гамильтоновых цепей равна: |Х| = ^ (п —1)|.

Причем указанные максимальные мощности относятся к ПМ и ПМА [2, 3].

Осуществим вывод формул вычисления точного значения максимальной мощности МДР, ПМ и ПМА для задачи покрытия п -вершинного графа h -цепями, h < п . Для этого нам понадобится известное в комбинаторике понятие «выборка объема г из п элементов или, иначе, (п, г) -выборка». Причем, нам потребуется упорядоченная (п, г) -выборка без повторений, которую принято называть термином (п, г) -размещения». Число всех (п, г) -размещений чаще всего обозначается через Агп, где при г < п имеем:

п! (10)

Arn = n(n - 1)...(n - r +1) =

(n - r)

В дальнейшем рассматриваем только случай, когда п кратно г , используя обозначения

п (11)

q =

h

Введем формулу количества |Х|

всех допустимых покрытий полного п -вершинного графа h -цепями. Считаем, что вершины V е V данного графа G = (V, Е) перенумерованы индексами 1,2,...,п. Это позволит представить каждую цепь h в G в виде последовательности Ь = /2,..., 1п ]. При этом говорим, что цепь Ь покрывает вершины 11,12,..,1п.

Если некоторое покрытие х = (V, Ех ) е X представлять в виде мно-

жества, состоящего из h -цепей, количество которых равно q, то минимальный элемент какой-либо цепи называем индексом этой цепи.

Для обоснования точной формулы вычисления мощности МДР X определим

процесс перечисления покрытий х е X так, чтобы перечисляемые элементы из X не повторялись. Для этого всякий раз h -цепи, составляющие покрытие х , упорядочиваем в порядке возрастания их индексов. Тогда для организации бесповторного перечисления элементов х е X полезно базироваться на том, что является справедливым следующее очевидное

Утверждение 1. Если для двух покрытий х1з х2 е X не совпадают соответствующие им последовательности индексов цепей, то покрытия х1 , х2 являются различными.

В дальнейшем для перечисления допустимых покрытий из X используем следующий принцип представления цепей (ППЦ). Первой цепью всегда называем ту цепь, которая содержит элемент /1 = 1; второй называем всегда такую цепь, которая содержит минимальный элемент из подмножества всех вершин, не покрытых первой цепью. С помощью этого ППЦ определяется третья, четвертая и т.д. цепи, рассматриваемого покрытия X.

Согласно представленного ППЦ при выборе первой цепи фиксируем первую вершину /1 = 1; остальные вершины, покрываемые этой цепью, с учетом их перестановок в цепях, можем выбрать числом способов, равным Л'—1 . При выборе второй цепи

фиксируем минимальный номер среди п — h номеров оставшихся непокрытыми вершин. Остальные вершины этой цепи, с учетом их перестановок в цепях, мы можем выбрать

числом способов ЛП—^ к.

Пусть выбраны первые к > 2 цепей, к < q — 1. Тогда для выбора следующей, т.е. (к +1) -ой цепи фиксируем минимальный

номер в подмножестве п — кк вершин, которые остались непокрытыми уже выбранными к цепями. Тогда остальные (к — 1) вершин (к +1) -ой цепи (с учетом их перестановок) можем выбрать числом способов

ЛкП-\— кк. Таким образом, при выполнении условия (11), первые q — 1 цепей можем выбрать числом способов, равным

(12)

ih-1

Лй—1 • Л • • Л'

п— л-п—1—Н ■■■ 2к—1 *

Последнюю q -ю по порядку цепь можем выбрать количеством способов, равным числу гамильтоновых цепей в полном к -вершинном графе, т.е. числом способов, равным

- Ah = - h!. 2 n 2

(13)

В формуле (13) множитель 1/2 появляется в силу того, что цепи вида [1,2,...,к — 1,к] и [к,к —1,...,2,1] представляют собой одну и ту же цепь.

Таким образом, с учетом (10)-(13), количество X всех допустимых покрытий полного п -вершинного графа к -цепями вычисляется с помощью следующей формулы:

а—1 ,, ^ 1 п! (14)

X

П Am—1—kh V k=1

■-■ h!= 2

q\2hq~l '

Введем обозначения: Mn = (g) -множество всех n -вершинных графов; 11N (H )= maxi X (G, H ) - максимальная

gemn1 1

мощность МДР задачи покрытия n -вершинных графов цепями из МТЦ H; 1 n (h) - максимальная мощность МДР задач

покрытия n -вершинных графов h -вершинными цепями. В дальнейшем воспользуемся тем, что при пополнении множества E данного графа G = (V, E) новыми

ребрами мощность МДР |X(G, H) может

только увеличиться. Отсюда с учетом (14) вытекает, что для вычисления значения 1n (H ) достаточно получить формулу мощ-

ности МДР для случая, когда G является полным графом. Справедлива

Теорема 2. Для всяких п > 2 и h > 2 таких, что п кратно h, максимальная

мощность МДР ¡1 п (h) = П[ п , , где

q!-2hq-1 '

q =

n h

Примечание 2. Теорема 2 обобщает известную теорему вычисления количества совершенных паросочетаний в n -вершинном графе с четным числом вершин: в полном графе с четным числом вершин П = 2q количество всех паросочетаний

n!

равно -. В случае h = П, q = 1 из

q!-2hq

теоремы 2 получаем формулу вычисления количества всех гамильтоновых цепей в

полном n -вершинном графе: ¡1 n (h) = n!

Для фиксированного МТЦ

H = {hj, h2,..., hT ) рассмотрим всевозможные n -вершинные N -взвешенные графы G = (V, E). Через ZN (H) обозначим массовую задачу [1] покрытия этих графов цепями из H в случае, когда количество всякого покрытия x = (V, Ex )е X(G, H ) оценивается с помощью следующей ВЦФ:

F (x)=(F (x), F2 (x),..., Fn (x)), (15) состоящей из критериев вида MINSUM

Fv (x )= 2 Wv (e)® min, (16)

eeEx

v = 1,N, Nj < N и критериев вида MINMAX Fv (x) = maxwv (e) ® min,

(17)

V = N + 1,ы

Здесь термин «N -взвешенный граф» означает, что каждому ребру е е Е, приписаны N -весов wv (е) > 0, V = 1, N. Под решением задач X (Н) подразумевается нахождение и представление в явном виде ПМА.

Иными словами, проблема состоит в построении достаточно эффективного алгоритма, гарантирующего нахождение таких решений. Остановимся на проблеме оценки вычислительной сложности нахождения ПМА для тех или иных задач X (Н) и условимся, что в случае, если Н является одноэлементным множеством, т.е., состоит из единственного элемента h е{2,3,...,п}, то вместо обозначения X (Н) используем обозначение X (к ).

Обозначим через ~п (к, N) и (^ ^ (~п (к) и (h)) максимальные мощности ПМ и ПМА для N -критериальной задачи X (к) с ВЦФ (13)-(15) (интервальной задачи X (к)) на N -взвешенных графах. Для вычисления ~п (к, N) и (^ N) докажем ряд вспомогательных утверждений, для чего сформулируем необходимые определения.

Рассматривая N -критериальную задачу X (Н), называем ее полной, если для п -вершинного графа G = (V, Е), можно указать такие веса wv (е), V = 1, N для всех

его ребер е е Е , при которых выполняются равенства

X0 = X = X. ~ (18)

Из определения ПМ X и ПМА X0 вытекает, что является справедливой следующая

Лемма 3. Для всякой индивидуальной задачи X(Н) с ВЦФ (15)-(17) выполняется равенство мощностей X0| = .

Для какой-либо задачи X (Н) с ВЦФ (15)-(17) рассмотрим некоторую задачу, у которой новая (расширенная) ВЦФ определяет на прежнем МДР X другие множества альтернатив МА. Возникает вопрос о том, как соотносятся «старые» и «новые» МА. С учетом того, что добавление новых критериев не изменяет значение «старых» критериев

(16)-(17) на всех элементах х е X, справедлива

Лемма 4. При любом N > 2 для всякой индивидуальной задачи с ВЦФ (15)-(17) добавление новых критериев к этой ВЦФ

либо оставит ПМ X и ПМА X0 неизменными, либо пополнит их новыми альтернативами.

Рассмотрим случай 1-элементных МТЦ. Для этого случая справедлива

Теорема 3. Всякая задача

7(к),к е {2,3,...,п} является полной, если ее ВЦФ (15) содержит не менее двух критериев вида МШиМ (16).

Теоремы 2 и 3 позволяют представить формулу вычисления максимальных мощностей ПМ и ПМА для многокритериальной задачи 7 (к). Непосредственно из теорем 2 и 3 вытекает, что, с учетом обозначения (11) является справедливой следующая

Теорема 4. Если задача 7 (к) содержит не менее двух критериев вида МШБиМ, то для всякой тройки N > 2, п > 2, к > 2, п кратно к , максимальная мощность ПМ и ПМА вычисляется по формуле:

т (а, N )=~ (к N )=.

Примечание 3. Теоремы 3 и 4 доказаны для общего случая взвешивания ребер графов G е Мп. Однако, представленное выше сведение с ИЦФ (3)-(4) к 2-критериальной задаче с ВЦФ (5)-(8) представляет такое значение весов w1 (е), w2 (е) ребер исходного интервально взвешенного графа, для которых, по необходимости, выполняются неравенства

w1 (е) < w2 (е) "е е Е .

Теорема 5. Интервальные задачи 7 (Н) с ЦФ вида (3)-(4) являются полными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.: Мир, 1982. - 416 с.

2. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных

задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

3. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. - Т. 6. -Вып. 1. - С. 3-33.

4. Кини Р.Л., Райфа X Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь, 1981. - 420 с.

5. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. - M.: Мир, 1987. -542 с.

6. Калмыков С.А., Шокин Ю.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986. -590 с.

7. Демченко А.И. Синтез транспортных сетей в условиях неопределенности исходной информации // Труды семинара по интервальной математике. - 1990. - C. 10-16.

8. Claudio D.M., Franciosi B. T. Domain Approach to Interval Mathematics. // International conference on Interval and Stochastic Methods in Science and Engineering (Interval-92). - 1992 № 2. - P. 13-17.

9. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения. -М.: Наука, 1979. - 200 с.

10. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. - М.: Мир, 1981. - 323 с.

11. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. - 512 с.

Об авторах

Кочкаров Ахмат Магомедович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии. Сфера научных интересов - теория графов, фрактальные графы.

Кульчицкий Константин Алексеевич, аспирант. Сфера научных интересов - теория графов и ее приложения.

Курджиев Шакман Магомедович, ассистент кафедры математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии. Сфера научных интересов - теория графов и ее приложения.

Николаев Александр Викторович, аспирант. Сфера научных интересов - теория графов и ее приложения.