CC BY
52
УДК 51р30
Марголина Наталия Львовна
кандидат физико-математических наук, доцент
Матыцина Татьяна Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент
Ширяев Кирилл Евгеньевич
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет nmargolina@yandex.ru, tnmatytsina@yandex.ru, shiryaev4@yandex.ru
ОБ ЭТАПАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ
В статье обсуждается современная ситуация, сложившаяся в вузовском математическом образовании. Авторами на примере понятий вектора и векторного пространства рассмотрены этапы этого образования: знакомство, усвоение и понимание понятий. Также в статье говорится о пользе студенческих математических сообществ.
Ключевые слова: математическое образование; знакомство с понятием; усвоение, понимание; векторное пространство; ряд Фурье.
Сегодня преподавание математически в ВУЗе - дело не просто сложное, но, пожалуй, даже изощренной сложности. И дело тут не в трудности самой дисциплины, а, главным образом, в отношении к математикам. С одной стороны, никто не спорит, что математика необходима для специалистов любого профиля, начиная от традиционно математизированных естественников (физиков, химиков и т.д.) и заканчивая все более и более использующими математические методы гуманитариями (статистический анализ текстов в лингвистике, событий в истории и т.д.). Все это делает нагрузку вузовского преподавателя-математика более-менее стабильной, что, на фоне общего сокращения контингента, нередко вызывает зависть. С другой стороны, сегодня преобладает та точка зрения, что образование должно приносить доход, если и не тем, кто его получает, но уж наверняка тем, кто его дает. Рыночная же стоимость математики, увы, невелика. Во-первых, наука чисто абстрактная, сложная даже для восприятия, не то что для понимания, и потому явно немассовая. Во-вторых, как любая фундаментальная наука, математика требует немалых затрат времени, и потому не может дать «мгновенного» эффекта, что, конечно, тоже не привлекает «инвесторов». Правда, затраты времени, компенсируются малыми ресурсными тратами (математику не нужны ни сложное лабораторное оборудование, ни дорогие опыты). Это, на первый взгляд, должно бы повысить привлекательность математики, но для любящего пафосные речи чиновника-управленца это головная боль. В самом деле, как ему, бедному, отчитываться за выделенные математикам деньги? Не станешь же заявлять, что сумма ушла на доску и маркеры, ручки и бумагу? Это как-то не звучит. А вот дорогостоящее оборудование для внедрения «инноваций» (совершенно непонятно, чем смысл этого слова отличается от новейших разработок, но зато как звучит!), создание «групп перманентного мониторинга» сразу повышает статус если и не в глазах начальства, то уж в своих-то собственных точно. Вот и получается, что с внедрением в обра-
зование грубых рыночных отношений математика как аристократка на барахолке, не пиарит громогласно свою значимость, а скромно стоит в стороне. И вот уже пихают «царицу всех наук» куда-то к краю образовательного базара.
Кроме того, в связи с укрупнением ВУЗов сходят на нет маленькие математические традиции (а они есть на каждой кафедре, в каждом математическом сообществе), связанные как с особенностями преподавания в данном ВУЗе, так и с личными научными интересами преподавателей. Естественно, это обедняет математическую жизнь кафедры и сказывается, в конечном счете, на общем уровне преподавания. Вдобавок, в нынешнем хаосе ком-петентностного подхода, фактическое содержание образовательных программ мало регламентировано. Вот и отходит потихоньку математическое образование на задний план.
Кстати, о компетентностном подходе. Сразу бросается в глаза тот факт, что компетенции формируются не внутри специальных дисциплин, а на стыках между ними, или, пожалуй, даже на стыках между блоками дисциплин. Достаточно посмотреть на названия профессиональных компетенций для будущих учителей математики - они не содержат ни одного (!) математического термина. Так что, может, всё-таки, будем учить математике, а не «умению формирования компетенций, связанных с будущей профессиональной деятельностью»?
На взгляд авторов, у «задыхающегося» математического образования достаточно и собственных проблем, связанных и с низкой планкой школьной математики, и с рядом объективных причин (математика никогда не была «легкой» дисциплиной), и с «поточностью» этого образования. Так, к «внутренним» проблемам можно отнести важнейший для любого преподавателя вопрос - о понимании дисциплины. Так для педагогов-математиков важно не только знать некие стандартные способы решения задач и уметь их применять, «когда скажут», но и понимать математическую сущность задачи. И уже понявшего можно обучать педагогической методике, чтобы он, в свою очередь, передавал это
© Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н., Ширяев К.Е., 2017
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 1
123
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
понимание своим ученикам, а не просто «натаскивал» их на определенные правила.
Проиллюстрируем этот тезис конкретным примером. Большинство школьников и первокурсников, не знакомых с линейной алгеброй, на вопрос об определении вектора, отвечает, что это направленный отрезок. Так их учили в школе. В вузовском образовании такая модель вектора тоже встречается в некоторых разделах геометрии. Вместе с тем, она «перекрывает кислород» более весомым пониманиям, что такое вектор. Например, какэлемента векторного пространства (это «высокий научный стиль»), или, по-простому, как просто набора чисел, который можно умножать покомпонентно на число или складывать с другим таким набором. Но студенты воспринимают вектор именно как направленный отрезок и, как следствие, плохо складывают вектора, вычисляют их абсолютные величины или скалярные произведения. А ведь в школьном курсе есть координатный метод, и можно упомянуть об определении вектора алгебраическом.
В данной ситуации происходит подмена двух этапов математического образования - первичного знакомства с информацией и ее усвоения. Так, модель вектора как направленного отрезка очень хороша для усвоения этого понятия. Первое же столкновение с алгебраической моделью ставит человека, усвоившего это понятие, в тупик.
Но не будем винить в этом школу - при тех условиях, в которых работают учителя, и которые, не в последнюю очередь, связаны с тотальной подготовкой к ЕГЭ в старших классах, за работу школьных математиков надо давать медаль.
Увы, тенденция примитивизации математики исподволь начинает распространяться и на ВУЗы. Один из лично знакомых авторам статьи «руководителей подразделений» заявлял о студентах-экономистах с полной серьезностью: «Мне не нужны студенты, знающие, что такое дифференциал, мне нужны студенты, умеющие как угодно решать дифференциальные уравнения». Но ведь такое «как угодно умение» как раз и не означает ни реального знания понятия дифференциального уравнения (как же это можно понять без дифференциалов), ни умения их рационально (то есть разумным способом) решать; фактически решение сводится к некой «магии» применения непонятных методов и действий. Такая точка зрения особенно популярна у активных пользователей информационных систем и у ... студентов-лентяев. Первые верят в миф о том, что «в Интернете есть всё», вторые используют этот миф в надежде, что «к экзамену они всё найдут и выучат». И первым, и вторым заметим, что знакомство с нужной информацией не означает ее усвоения, тем более понимания; ну, а куда может завести бездумное пользование сетями, хорошо известно на примерах «цветных революций» (см. [1]).
Но вернемся к этапам математического знания. Начинается все со знакомства с информацией. Например, в курсе линейной алгебры, с аксиоматического построения векторного пространства. Далее, свойства векторного пространства исследуются с помощью линейной зависимости и независимости и т.д. В то же время на практике складывают вектора, раскладывают их по базисам и т.п. Это тоже необходимая часть знакомства с векторным пространством, но «другой ракурс». Если лекционный курс более умозрителен, то практические задачи всегда наглядны, иллюстрированы. Одна из опасностей здесь - соскользнуть в чистую «механику» решения задач. Впрочем, как показывает опыт, прорешав достаточное количество типовых примеров, студент начинает лучше «чувствовать» объект, что позволяет преодолеть «мистический ужас» перед абстрактной теорией.
Когда необходимая информация понята слушателями, наступает (или должен наступить) этап ее усвоения. Как понятно по самому слову, это критический обзор информации, выделение ее истинной части как самоочевидной для слушателя. На этом этапе студент уже может самостоятельно решать теоретические задачи, возникающие как в рамках данной дисциплины, так и в некоторых смежных. Именно на этом этапе усвоения студент может не только воспроизвести «зазубренные» определения и формулировки теорем, но и привести иллюстрирующие их примеры. Но вот курс закончен, выучен, усвоен и сдан. Возникает вопрос - что дальше. Хорошо сбалансированное обучение математике предлагает более или менее постоянную встречу с уже «пройденным» материалом. Происходит анализ разных точек зрения (не только теоретической и практической) различных дисциплин, иногда весьма далеких друг от друга. Это способствует обобщению и ведет к пониманию глубинного мате-магического смысла. Этот этап образования можно назвать собственно пониманием.
Так уже с упомянутым понятием вектора и векторного пространства студент постоянно встречается в курсе теории функций и функционального анализа при рассмотрении нормированных и евклидовых пространств, а также в курсе проективной геометрии при введении определения проективного пространства, которое непосредственно определяется через векторное пространство. Студентам младших курсов кажется, что математический анализ никак не связан с линейной алгеброй и тем более с геометрией. Но при столкновении, скажем, с рядом Фурье, некоторые из студентов начинают понимать, что это лишь разложение функции (элемента векторного пространства) по бесконечному базису из ортогональных тригонометрических функций. Таким образом, обобщается и понятие вектора, и понятие скалярного произведения, и понятие ряда Фурье.
124
Вестник КГУ ^ 2017
Разумеется, приведенные выше этапы математического образования достаточно условны, главным образом в силу того, что процесс образования непрерывен. Знакомство с новыми понятиями ведется к их усвоению, усвоение при обобщающем анализе - к пониманию, понимание же, переплетаясь с понятиями из других областей, образует конгломерат новых задач и все возвращается на круги своя. Необходимым условием для этого «круговорота» является интерес студента к математике.
Стимулировать этот процесс можно (и нужно), например, созданием научного семинара. Очень хорошо, если результаты студенческих работ могут быть опубликованы. Пусть они иногда не сверхвысокого уровня сложности и написаны совместно с руководителями (например [2; 3; 4]). Пусть это не «серьезные» научные труды (типа [5; 6; 7]) в индексируемых научных журналах. Это не так важно. Важно, что студент заинтересовался математической проблемой, преодолел «страх» перед письменным, официальным изложением своих мыслей, сделал, пусть и не в одиночку, первый шаг на пути своего математического образования.
А уж оно отблагодарит его пониманием, защищая от верхоглядства и информационного сплет-ничества. Именно понимание позволит творчески применить имеющиеся знания в нестандартной ситуации, более того, поможет адаптировать понятую информацию для передачи ее другому человеку.
Библиографический список
1. Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н., Ширяев К.Е. Информационная безопасность в свете некоторых фактов из области математического
образования // Философские проблемы информационных технологий и киберпространства. - Пятигорск: ПГЛУ, 2016. - № 1 (11). - С. 35-44.
2. Дугина В.С, Матыцина Т.Н. Математическая терминология: эксцентриситет // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы Х Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2016. - С. 176-179.
3. Марголина Н.Л., Силонова Е.В. Пример использования средств и методов математической статистики в прикладных исследованиях // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы Х Всерос. науч.-метод. конфер. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2016. - С. 140-141.
4. Цуцурина А.А., Ширяев К.Е. Несколько слов о неправильном применении термина «особое решение» // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы Х Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2016. - С. 157-160.
5. Shiryaev K.E. Central exponent of a system with unbounded coefficients // Journal of Mathemat-ical Science. - 2015. - T. 207. - № 5. - С. 331-332.
6. Margolina N.L. On the residual uniform stability of linear systems with unbounded coeffi-cients // Journal of Mathematical Science. - 2015. - T. 207. -№ 5. - С. 245-246.
7. Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства некоторых модулей стабильных векторных расслоений определенного ранга // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2005. - Т. 11. - № 6. - С. 8-14.
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 1
125
